山東省青島市四校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2024年山東省青島市高一四校期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．2．存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有（）A． B．C． D．3．已知是奇函數(shù)，則（）A．2 B． C．1 D．4．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．5．下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．定義表示不超過的最大整數(shù)．例如：，，則（）A． B．，C．是偶函數(shù) D．是增函數(shù)二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，在單調(diào)遞減，則（）A． B．C． D．10．已知，，且，則（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，為偶函?shù)，則（）A． B．為偶函數(shù)C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開_____．13．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．14．設(shè)，函數(shù)，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）求值：（1）（2）．16．（15分）用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個(gè)面積為的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成60°，當(dāng)?shù)妊菪蔚难L為多少時(shí)，所用籬笆的長度最小？并求出所用籬笆長度的最小值．17．（15分）已知集合，，其中，（）是關(guān)于的方程（）的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．（1）若，求出實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（17分）已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求的值；（2）設(shè)，，若對(duì)任意的，存在，使得，求的取值范圍．19．（17分）離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)是素?cái)?shù)，集合，若，，，記為除以的余數(shù)，為除以的余數(shù)；設(shè)，1，，，…，兩兩不同，若（），則稱是以為底的離散對(duì)數(shù)，記為．（1）若，，求；（2）對(duì)，，記為除以的余數(shù)（當(dāng)能被整除時(shí)，）．證明：，其中，；（3）已知．對(duì)，，令，．證明：．2024年山東省青島市高一四校期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案解析精編1．B【分析】利用補(bǔ)集、并集的定義直接求解即得．【詳解】依題意，全集，則，，得，，所以．故選：B2．D【分析】根據(jù)函數(shù)的定義一一判斷即可．【詳解】對(duì)于A：函數(shù)的定義域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，解得或，所以的值不唯一，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，解得或，所以的值不唯一，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，令（），則（），所以（），故D正確；故選：D3．A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可求解參數(shù)的值．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以滿足，即，化簡為，得，，此時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，成立．故選：A4．B【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【詳解】由題意得，，，易知，，故，則，可得，故B正確．故選：B5．B【分析】取，可判斷A；作差法比較數(shù)的大小可判斷B；由不等式性質(zhì)可判斷C；作差法比較數(shù)的大小可判斷D．【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋?，故D錯(cuò)誤．故選：B．6．C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性結(jié)合函數(shù)值的符合分析判斷．【詳解】由題意可得：的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以為奇函?shù)，排除B，D．當(dāng)時(shí)，則，，可得，所以，排除A．故選：C．7．D【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可．【詳解】由得或所以的定義域?yàn)橐驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D【點(diǎn)睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要先求函數(shù)的定義域．8．B【分析】A選項(xiàng)，取特殊值，判斷出A選項(xiàng)的真假；B選項(xiàng)，設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，可得與，的關(guān)系，可得，判斷出B選項(xiàng)的真假；C選項(xiàng)，取特殊值，利用偶函數(shù)定義驗(yàn)證，判斷出C的真假；D中，取特殊值，判斷出函數(shù)不是增函數(shù)，判斷出D的真假．【詳解】A選項(xiàng)，取，，則，，顯然，所以A不正確；B選項(xiàng)，設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以，故B正確；C選項(xiàng)，，因?yàn)椋?，所以，所以不是偶函?shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，所以，所以不是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：B．9．BD【分析】由奇偶函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系確定兩函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且兩函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，，，所以BD正確，C錯(cuò)誤；若，則，A錯(cuò)誤．故選：BD10．ABD【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解．【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．11．ACD【分析】對(duì)于A，利用賦值法即可判斷；對(duì)于B，利用賦值法與函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；對(duì)于C，利用換元法結(jié)合的奇偶性即可判斷；對(duì)于D，先推得的一個(gè)周期為6，再依次求得，，，，，，從而利用的周期性即可判斷．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，令，則，故，則，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則，又不恒為0，故，所以為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，令，則，故，令，則，故，又為奇函數(shù)，故，所以，即，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知，所以，故的一個(gè)周期為6，因?yàn)?，所以，?duì)于，令，得，則，令，得，則，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用賦值法與函數(shù)奇偶性的定義推得的奇偶性，再結(jié)合題設(shè)條件推得為周期函數(shù)，從而得解．12．【分析】抽象函數(shù)定義域求解，需整體在范圍內(nèi)，從而解出的范圍，同時(shí)注意需保證，最后求出交集即可得解．【詳解】由已知，的定義域?yàn)椋詫?duì)于需滿足，解得故答案為：．13．【分析】由，根據(jù)奇偶性、單調(diào)性定義及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷性質(zhì)，再由性質(zhì)得即可求范圍．【詳解】由題設(shè)，定義域?yàn)椋?，即為偶函?shù)，在上，令，且，則，由，，故，即函數(shù)在上遞增，而在定義域上遞增，故在上遞增，所以，可得，故，可得．故答案為：14．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，此時(shí)成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時(shí)，，此時(shí)成立．（2）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，顯然不成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時(shí)，，顯然不成立；綜上，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為1，．所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對(duì)值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對(duì)應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)，從而解出．15．（1）3；（2）10【分析】根據(jù)指對(duì)冪的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算．【詳解】（1）；（2）原式；綜上，（1）原式；（2）原式．16．當(dāng)?shù)妊菪蔚难L為時(shí)，所用籬笆長度最小，其最小值為．【分析】以實(shí)際應(yīng)用問題為情境，建立函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)最值的求法解出結(jié)果；【詳解】設(shè)（），上底（），分別過點(diǎn)，作下底的垂線，垂足分別為，，則，，則下底，該等腰梯形的面積，所以，則，所用籬笆長為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．所以，當(dāng)?shù)妊菪蔚难L為時(shí)，所用籬笆長度最小，其最小值為．17．（1）2；（2）【分析】（1）先根據(jù)得到，，結(jié)合方程的兩根得到方程，求出；（2），故，，結(jié)合方程的兩根得到不等式，求出．【詳解】（1）因?yàn)?，故，，又（）的兩根分別為，，故，，故；（2）因?yàn)椋?，，又（）的兩根分別為，，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．18．（1）；（2）【分析】（1）由偶函數(shù)的性質(zhì)即可求解的值；（2）由題意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分別求出和的最小值，即可求解．【詳解】（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，，，，，，，，所以，即．（2），因?yàn)閷?duì)任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以的取值范圍為．19．（1）1；（2）證明見解析；（3）證明見解析【分析】（1）第一問直接根據(jù)新定義來即可．（2）第二問結(jié)合新定義、帶余除法以及費(fèi)馬小定理即可得證．（3）根據(jù)新定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可得證．【詳解】（1）若，，又注意到，所以．（2）【方法一】：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)，，故，，，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，因1，，，…，相異，故，而，故，互質(zhì)．記，，，則，，使得，，故，故，設(shè)，，則，因?yàn)?，2，3，…除以的余數(shù)兩兩相異，且，，，…除以的余數(shù)兩兩相異，故，故，故，而，其中，故即．