2025屆云南省永勝縣第二中學高一數學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆云南省永勝縣第二中學高一數學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，若將它的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則函數的圖象的一條對稱軸的方程為（）A． B． C． D．2．過點且與圓相切的直線方程為（）A． B．或C．或 D．或3．在中，已知角的對邊分別為，若，，，，且，則的最小角的余弦值為（）A． B． C． D．4．從裝有2個白球和2個黑球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是A．至少有一個黑球與都是黑球 B．至少有一個黑球與至少有一個白球C．恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球 D．至少有一個黑球與都是白球5．函數y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．6．過點且與原點距離最大的直線方程是（）A． B．C． D．7．已知向量，向量，且，那么等于()A． B． C． D．8．向正方形ABCD內任投一點P，則“的面積大于正方形ABCD面積的”的概率是（）A． B． C． D．9．等差數列中，，則數列前9項的和等于（）A．66 B．99 C．144 D．29710．設，則下列不等式恒成立的是A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列，若對任意正整數都有，則正整數______；12．設y＝f（x）是定義域為R的偶函數，且它的圖象關于點（2，0）對稱，若當x∈（0，2）時，f（x）＝x2，則f（19）＝_____13．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是等腰直角三角形，則該幾何體的體積為__________．14．關于函數f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命題：①y=f（x）的表達式可改寫為y=4cos（2x﹣）；②y=f（x）是以2π為最小正周期的周期函數；③y=f（x）的圖象關于點對稱；④y=f（x）的圖象關于直線x=﹣對稱．其中正確的命題的序號是．15．在四面體中，平面ABC，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_______．16．我國南宋時期著名的數學家秦九韶在其著作《數書九章》中獨立提出了一種求三角形面積的方法——“三斜求積術”，即的，其中分別為內角的對邊.若，且則的面積的最大值為____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數列的前項和為，公比，，．（1）求等比數列的通項公式；（2）設，求的前項和．18．2019年，河北等8省公布了高考改革綜合方案將采取“3+1+2”模式，即語文、數學、英語必考，然后考生先在物理、歷史中選擇1門，再在思想政治、地理、化學、生物中選擇2門.為了更好進行生涯規(guī)劃，甲同學對高一一年來的七次考試成績進行統(tǒng)計分析，其中物理、歷史成績的莖葉圖如圖所示.(1)若甲同學隨機選擇3門功課，求他選到物理、地理兩門功課的概率；(2)試根據莖葉圖分析甲同學應在物理和歷史中選擇哪一門學科？并說明理由；(3)甲同學發(fā)現，其物理考試成績(分)與班級平均分(分)具有線性相關關系，統(tǒng)計數據如下表所示，試求當班級平均分為50分時，其物理考試成績.參考數據:，，，.參考公式：，，(計算時精確到).19．某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；（Ⅱ）已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區(qū)間[40，50）內的人數；20．已知函數（）的一段圖象如圖所示.（1）求函數的解析式；（2）若，求函數的值域.21．已知直線l：(a-2)y=(3a-1)x-1（1）求證：不論實數a取何值，直線l總經過一定點；（2）若直線l與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求直線l的方程．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】分析：由左加右減，得出解析式，因為解析式為正弦函數，所以令，解出，對k進行賦值，得出對稱軸.詳解：由左加右減可得，解析式為正弦函數，則令，解得：，令，則，故選B.點睛：三角函數圖像左右平移時，需注意要把x放到括號內加減，求三角函數的對稱軸，則令等于正弦或余弦函數的對稱軸公式，求出x解析式，即為對稱軸方程.2、C【解析】

分別考慮斜率存在和不存在兩種情況得到答案.【詳解】如圖所示：當斜率不存在時：當斜率存在時：設故答案選C【點睛】本題考查了圓的切線問題，忽略掉斜率不存在是容易發(fā)生的錯誤.3、D【解析】

利用余弦定理求出和的表達式，由，結合正弦定理得出的表達式，利用余弦定理得出的表達式，可解出的值，于此確定三邊長，再利用大邊對大角定理得出為最小角，從而求出．【詳解】，由正弦定理，即，，，，解得，由大邊對大角定理可知角是最小角，所以，，故選D．【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的應用，考查大邊對大角定理，在解題時，要充分結合題中的已知條件選擇正弦定理和余弦定理進行求解，考查計算能力，屬于中等題．4、C【解析】

列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可【詳解】對于A：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：兩個都是黑球，∴這兩個事件不是互斥事件，∴A不正確對于B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個白球”可以同時發(fā)生，如：一個白球一個黑球，∴B不正確對于C：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是白球，∴兩個事件是互斥事件但不是對立事件，∴C正確對于D：事件：“至少有一個黑球”與“都是白球”不能同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，∴這兩個事件是對立事件，∴D不正確故選C．【點睛】本題考查互斥事件與對立事件．首先要求理解互斥事件和對立事件的定義，理解互斥事件與對立事件的聯系與區(qū)別．同時要能夠準確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡單題5、D【解析】分析:先研究函數的奇偶性，再研究函數在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．6、A【解析】

當直線與垂直時距離最大，進而可得直線的斜率，從而得到直線方程?！驹斀狻吭c坐標為，根據題意可知當直線與垂直時距離最大，由兩點斜率公式可得：所以所求直線的斜率為：故所求直線的方程為：，化簡可得：故答案選A【點睛】本題考查點到直線的距離公式，涉及直線的點斜式方程和一般方程，屬于基礎題。7、D【解析】

由兩向量平行，其向量坐標交叉相乘相等，得到.【詳解】因為，所以，解得：.【點睛】本題考查向量平行的坐標運算，考查基本運算，注意符號的正負.8、C【解析】

由題意，求出滿足題意的點所在區(qū)域的面積，利用面積比求概率.【詳解】由題意，設正方形的邊長為1，則正方形的面積為1，要使的面積大于正方形面積的，需要到的距離大于，即點所在區(qū)域面積為，由幾何概型得，的面積大于正方形面積的的概率為.故選：C.【點睛】本題考查幾何概型的概率求法，解題的關鍵是明確概率模型，屬于基礎題.9、B【解析】

根據等差數列性質，結合條件可得，進而求得.再根據等差數列前n項和公式表示出，即可得解.【詳解】等差數列中，，則，解得，因而，由等差數列前n項和公式可得，故選：B.【點睛】本題考查了等差數列性質的應用，等差數列前n項和公式的用法，屬于基礎題.10、C【解析】

利用不等式的性質，合理推理，即可求解，得到答案.【詳解】因為，所以，所以A項不正確；因為，所以，，則，所以B不正確；因為，則，所以，又因為，則，所以等號不成立，所以C正確；由，所以，所以D錯誤.【點睛】本題主要考查了不等式的性質的應用，其中解答中熟記不等式的性質，合理運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、9【解析】

分析數列的單調性，以及數列各項的取值正負，得到數列中的最大項，由此即可求解出的值.【詳解】因為，所以時，，時，，又因為在上遞增，在也是遞增的，所以，又因為對任意正整數都有，所以.故答案為：.【點睛】本題考查數列的單調性以及數列中項的正負判斷，難度一般.處理數列單調性或者最值的問題時，可以采取函數的思想來解決問題，但是要注意到數列對應的函數的定義域為.12、﹣1.【解析】

根據題意，由函數的奇偶性與對稱性分析可得，即函數是周期為的周期函數，據此可得，再由函數的解析式計算即可.【詳解】根據題意，是定義域為的偶函數，則，又由得圖象關于點對稱，則，所以，即函數是周期為的周期函數，所以，又當時，，則，所以.故答案為：.【點睛】本題考查函數的奇偶性與周期性的性質以及應用，注意分析函數的周期性，屬于基礎題.13、【解析】

首先根據三視圖還原幾何體，再計算體積即可.【詳解】由三視圖知：該幾何體是以底面是直角三角形，高為的三棱錐，直觀圖如圖所示：.故答案為：【點睛】本題主要考查三視圖還原直觀圖，同時考查了錐體的體積計算，屬于簡單題.14、①③【解析】

∵f（x）=4sin（2x+）=4cos（）=4cos（﹣2x+）=4cos（2x﹣），故①正確；∵T=，故②不正確；令x=﹣代入f（x）=4sin（2x+）得到f（﹣）=4sin（+）=0，故y=f（x）的圖象關于點對稱，③正確④不正確；故答案為①③．15、【解析】

設,再根據外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構成直角三角形求解進而求得體積即可.【詳解】設,底面外接圓直徑為.易得底面是邊長為3的等邊三角形.則由正弦定理得.又外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構成直角三角形有.又外接球的表面積為,即.解得.故四面體體積為.故答案為：【點睛】本題主要考查了側棱垂直于底面的四面體的外接球問題.需要根據題意建立底面三角形外接圓的直徑和三棱錐的高與外接球直徑的關系再求解.屬于中檔題.16、【解析】

由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求積”公式即可求得答案．【詳解】因為，所以整理可得，由正弦定理得因為，所以所以當時，的面積的最大值為【點睛】本題用到的知識點有同角三角函數的基本關系式，兩角和的正弦公式，正弦定理等，考查學生分析問題的能力和計算整理能力．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）將已知兩式作差，利用等比數列的通項公式，可得公比，由等比數列的求和可得首項，進而得到所求通項公式；（2）求得bn＝n，，由裂項相消求和可得答案．【詳解】（1）等比數列的前項和為，公比，①，②．②﹣①，得，則，又，所以，因為，所以，所以，所以；（2），所以前項和．【點睛】裂項相消法適用于形如(其中是各項均不為零的等差數列，c為常數)的數列.裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和，還有一類隔一項的裂項求和，如或.18、（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】

(1)列出基本事件的所有情況，然后再列出滿足條件的所有情況，利用古典概率公式即可得到答案.(2)計算平均值和方差，從而比較甲同學應在物理和歷史中選擇哪一門學科；（3）先計算和，然后通過公式計算出線性回歸方程，然后代入平均值50即可得到答案.【詳解】(1)記物理、歷史分別為，思想政治、地理、化學、生物分別為，由題意可知考生選擇的情形有，，，，，，，，，，，，共12種他選到物理、地理兩門功課的滿情形有，共3種甲同學選到物理、地理兩門功課的概率為(2)物理成績的平均分為歷史成績的平均分為由莖葉圖可知物理成績的方差歷史成績的方差故從平均分來看，選擇物理歷史學科均可以；從方差的穩(wěn)定性來看，應選擇物理學科；從最高分的情況來看，應選擇歷史學科(答對一點即可)(3)，,關于的回歸方程為當時，,當班級平均分為50分時，其物理考試成績?yōu)?3分【點睛】本題主要考查古典概型，統(tǒng)計數的相關含義，線性回歸方程的計算，意在考查學生的閱讀理解能力，計算能力和分析能力，難度不大.19、（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）20.【解析】

（1）首先可以根據頻率分布直方圖得出樣本中分數不小于的頻率，然后算出樣本中分數小于的頻率，最后計算出分數小于的概率；（2）首先計算出樣本中分數不小于的頻率，然后計算出分數在區(qū)間內的人數，最后計算出總體中分數在區(qū)間內的人數?！驹斀狻浚?）根據頻率分布直方圖可知，樣本中分數不小于的頻率為，所以樣本中分數小于的頻率為．所以從總體的名學生中隨機抽取一人，其分數小于的概率估計為。（2）根據題意，樣本中分數不小于的頻率為，分數在區(qū)間內的人數為，所以總體中分數在區(qū)間內的人數估計為