中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)案-二次函數(shù)及其圖象

二次函數(shù)及其圖象

?【課前熱身】

1.向上發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)X秒后的高度為y公尺，且時(shí)間與高度關(guān)系為y=a^+bx.若此炮彈在第7秒

與第14秒時(shí)的高度相等，則再下列哪一個(gè)時(shí)間的高度是最高的？()

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

2.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=2/的圖象向上平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式為()

A.y=2x2—2B.y=2x~+2C.y=2(x—2)2D.y=2(x+2)2

3拋.物線y=(x-2尸+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(—2,—3)

4.二次函數(shù)y=(無+iy+2的最小值是().

A.2B.1C.-3D-1

5.拋物線y=-2——4x—5經(jīng)過平移得到y(tǒng)=-2一,平移方法是()

A.向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位

B.向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位

C.向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位

D.向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位

?【考點(diǎn)聚焦】

21

\y=ax^y=a(x-h)+k

?之間的單隹關(guān)系

.開口方向I

二次函數(shù)

y=axbx^c(a^O)HU]—-——[wit]

-(W]

T：.種表示方式I

T二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1

?【備考兵法】

K考查重點(diǎn)與常見題型』

1.考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以x為自變量的二次函

數(shù)y=（m-2）x2+m2-m-2額圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則m的值是

2.綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)

考查兩個(gè)函數(shù)的圖象，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)y=kx+b的圖象在第一、

二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y=kx2+bx—l的圖象大致是（）

3.考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題

和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過（0,3）,（4,6）兩點(diǎn)，對稱軸為x=§,求這條

拋物線的解析式.

4.考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：己

知拋物線y=ax2+bx+c（aWO）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一1、3,與y軸交點(diǎn)的縱坐

標(biāo)是一萬（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)

坐標(biāo).

5.考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題.

拋物線的平移

拋物線的平移主要是移動頂點(diǎn)的位置，將丫=@/沿著y軸（上“+”，下“一”）平移k（k>0）

個(gè)單位得到函數(shù)y=ax2±k,將丫=2*2沿著x軸（右“一”，左"+”）平移h（h>0）個(gè)單位得到y(tǒng)=a

（x±h）2.在平移之前先將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，再來平移，若沿y軸平移則直接在解析式的常

數(shù)項(xiàng)后進(jìn)行加減（上加下減），若沿x軸平移則直接在含x的括號內(nèi)進(jìn)行加減（右減左加）.

?【考點(diǎn)鏈接】

1.二次函數(shù),=。。一/?)2+4的圖象和性質(zhì)

a<0

圖象

開口

對稱軸

頂點(diǎn)坐標(biāo)

最值當(dāng)乂=時(shí)，y有最值當(dāng)x=,y有最值

增在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而y隨x的增大而

減

在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而y隨x的增大而

2.二次函數(shù)丁=。/+力'+。用配方法可化成^二扉尢一力丫+左的形式，其中

h=,k=.

3.二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象和y=ax2圖象的關(guān)系.

4.二次函數(shù)y=a/+/^+c中的符號的確定.

?【典例精析】

例1已知：二次函數(shù)為y=x2—x+m,(1)寫出它的圖象的開口方向，對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)m為

何值時(shí)，頂點(diǎn)在x軸上方，(3)若拋物線與y軸交于A,過A作AB〃x軸交拋物線于另一點(diǎn)B,當(dāng)S

AM?=4時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式.

例2如圖，拋物線y=o?+區(qū)一名經(jīng)過A(—1,O)、C(0,4)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)6.

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知點(diǎn)加+1)在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)。關(guān)于直線8C對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，連接3D,點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且NDBP=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

?【迎考精練】

一、選擇題

1.(2009年上海市)拋物線y=2(x+，〃)2+〃(m,〃是常數(shù))的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(m,ri)B.(-m,n)C.(m,—n)D.(-m,-n)

2.(2009年陜西省)根據(jù)下表中的二次函數(shù))，=4f+"+c的自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值，可判斷二次

函數(shù)的圖像與x軸()

x???—1012

77

y???-1-2

44

A.只有一個(gè)交點(diǎn)

B.有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們分別在y軸兩側(cè)

C.有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們均在y軸同側(cè)

D.無交點(diǎn)

3.（2009年湖北荊門）函數(shù)產(chǎn)ax+1與尸df+bx+l（a=0）的圖象可能是（）

它圖象上的兩點(diǎn)，則yi與丫2的大小關(guān)系是（）

A.y1<y2B.乃=y2c.D.不能確定

5.（2009年湖北孝感）將函數(shù)y=的圖象向右平移以〃>0）個(gè)單位，得到函數(shù)y=/-3x+2

的圖象，則a的值為

A.1B.2C.3D.4

6.（2009年天津市）在平面直角坐標(biāo)系中，先將拋物線丁=/+尤-2關(guān)于x軸作軸對稱變換，再將

所得的拋物線關(guān)于y軸作軸對稱變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的解析式為（）

A.y——一工+2B.y—+x-2C.y=4-x+2D.y=+x+2

7.（2009年四川遂寧）把二次函數(shù)產(chǎn)」X2_+3用配方法化成y="（xiy+k的形式

4

A?y=—；（x—2/+2B.y=+4

C.y=—；(X+2)2+4

8.（2009年河北）某車的剎車距離y（m）與開始剎車時(shí)的速度x（m/s）之間滿足二次函數(shù)y=（*

>0）,若該車某次的剎車距離為5m,則開始剎車時(shí)的速度為（）

A.40m/sB.20m/s

C.10m/sD.5m/s

二、填空題

1.（2009年北京市）若把代數(shù)式2x-3化為（x-my+Z的形式，其中〃z,%為常數(shù),

則m+k=.

2.（2009年安徽）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)（-,，,且圖象與x軸的另一交點(diǎn)到原

24

點(diǎn)的距離為1,則該二次函數(shù)的解析式為

3.（2009年湖南郴州）拋物線y=-3（x-1）?+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

4.（2009年內(nèi)蒙古包頭）已知二次函數(shù)y=o?+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)（―2,0）、（加0）,且

1<再<2,與y軸的正半軸的交點(diǎn)在（0,2）的下方.下列結(jié)論：①4。-3+。=0；②a<b<0；③

2a+c>0；?2a-h+\>0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是個(gè).

5.（2009年湖北襄樊）拋物線丁=-/+陵+。的圖象如圖所示,

則此拋物線的解析式為.

6.（2009年湖北荊門）函數(shù)y=（x—2）（3-幻取得最大值時(shí)，x=

三、解答題

1.（2009年湖南衡陽）已知二次函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,-2）,求這個(gè)二次

函數(shù)的關(guān)系式.

2.（2009年湖南株洲）已知ZV3C為直角三角形，ZACB^90°,AC=BC,點(diǎn)A、C在x軸上，

點(diǎn)8坐標(biāo)為（3,機(jī)）（/?>0）,線段AB與y軸相交于點(diǎn)。，以尸（1,0）為頂點(diǎn)的拋物線過

點(diǎn)、B、D.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)（用加表示）；

（2）求拋物線的解析式；

（3）設(shè)點(diǎn)。為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)8之間的一動點(diǎn)，連結(jié)P。并延長交BC于點(diǎn)E,連結(jié)B。并延

長交AC于點(diǎn)尸，試證明：FC（AC+EC）為定值.

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）判斷點(diǎn)"（1,-）是否在直線力。上？

2

（3）過點(diǎn)"（1,-）作一條直線/與二次函數(shù)的圖象交于區(qū)F兩點(diǎn)、（不同于力，B,C三點(diǎn)），

2

y

請自己給出￡點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明△婀是直角三角形.」f

.C

——2--------------?

-1X

A-2

第3題

4.(2009年陜西省)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0B10A,且0B=20A,點(diǎn)A的坐標(biāo)是

(—1,2).

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求過點(diǎn)A、0、B的拋物線的表達(dá)式；

(3)連接AB,在(2)中的拋物線上求出點(diǎn)P,使得SAABP=S^ABO.

y=-x+Bx+c

5.(2009年福建漳州)如圖1,己知：拋物線2與x軸交于4B兩點(diǎn)，與了軸交于

1C

y=-x-2

點(diǎn)、C,經(jīng)過從C兩點(diǎn)的直線是2，連結(jié)』C.

(1)6、。兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為R,)、a,)，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為；

(2)判斷△池?的形狀，并說明理由；

(3)若△3c內(nèi)部能否截出面積最大的矩形(頂點(diǎn)以E、F、G在各邊上)？若

能，求出在工5邊上的矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

，bAac-b2\

[拋物線＞'的頂點(diǎn)坐標(biāo)是I2a4aJ]

圖2（備用）.

【參考答案】

選擇題

1.B

2.B

3.C

【解析】本題考查函數(shù)圖象與性質(zhì)，當(dāng)”>0時(shí)，直線從左向右是上升的，拋物線開口向上，D是錯(cuò)的,

函數(shù)片ax+1與尸a才2+"+1（aWO）的圖象必過（0,1）,所以C是正確的，故選C.

4.C

5.B

6.C

7.D

8.C

填空題

1.-3

C2121

2.y=x+x,y=——廠+一

33

3.(1,5)

4.4

【解析】本題考查二次函數(shù)圖象的畫法、識別理解，方程根與系數(shù)的關(guān)系筌等知識和數(shù)形結(jié)合能力.

根據(jù)題意畫大致圖象如圖所示，由丁=公2+hx+c與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)得

ax(-2)2+^x(-2)+c=0,即4a—2〃+c=0所以①正確；

由圖象開口向下知4<0,由〉=以2+陵+。與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(玉,0)且1<玉<2,則該

拋物線的對稱軸為x=_2=(_2)+N由a〈0得b>a,所以結(jié)論②正確；

2a22

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知玉.馬=￡<—2,結(jié)合a<o得2a+c>0,所以③結(jié)論正確；

a

由皿一力+c=O得2a—￡，而0<c<2,,.?.-!<—￡<0...-k2a-b<0...Za-b+lX),所以結(jié)論

22

④正確.

點(diǎn)撥：4a—a+c=O是否成立，也就是判斷當(dāng)x=—2時(shí)，y=or2+法+c的函數(shù)值是否為0；

判斷了=?2+公+。中a符號利用拋物線的開口方向來判斷，開口向上a>0,開口向下a〈0;判斷a、b

的小關(guān)系時(shí)，可利用對稱軸》=-2的值的情況來判斷；判斷a、c的關(guān)系時(shí)，可利用由一元二次方

2a

c

程根與系數(shù)的關(guān)系=一的值的范圍來判斷；2a-b+l的值情況可用4a—%+c=0來判斷.

a

5.y=—x2+2尤+3

【解析】本題考查二次函數(shù)的有關(guān)知識，由圖象知該拋物線的對稱軸是x=l,且過點(diǎn)(3,0),所以

__^___1(h=2

一一三,解得",所以拋物線的解析式為y=-/+2x+3

-9+3"c=0I"?'

故填產(chǎn)-/+28+3

6.5

【解析】本題考查二次函數(shù)的最值問題，可以用配方法或二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出當(dāng)X為何值時(shí)二

次函數(shù)取得最大值，下面用配方法，

y=(x—2)(3-x)=—/+5x—6=—卜一目+?,所以當(dāng)x=g時(shí)，函數(shù)y=(X—2)(3—X)取得最大值,

故填9

解答題

1.解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為丁=”熾一一2得：

0=。(0-1)2-2解得：a=2

這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式是丁=2(x-1)?_2,即y=2--4x

2.(1)由可知OC=3,BC=m,又△{6c為等腰直角三角形，

AC=BC=m,OA=m—3,所以點(diǎn)4的坐標(biāo)是(3—m,0).

(2)??ZODA=ZOAD=45°：.OD=OA=m-3,則點(diǎn)。的坐標(biāo)是(0,加一3).

又拋物線頂點(diǎn)為尸(1,0),且過點(diǎn)3、D,所以可設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-l)2,得：

tz(3-l)2=mfa=l,

《，解得《???拋物線的解析式為y=Y-2x+l

a(0-l)2=/??-3[m=4

(3)過點(diǎn)。作QMLAC于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作QN_LBC于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)是(x,V—2x+l),

則QM=CN=(x-Ip,MC=QN=3-x.

OMPM(尤一r-1

?:QM//CE：.APQMs"EC：.^=——即——-=——,得￡。=2(九一1)

Ei2

,:QNHFC：.用QNs.FC：.或=如即±±=土蟲二121,得/c=三

FCBCFC4x+1

又???AC=4

444

FC(AC+EC)=——[4+2(x-l)]=——(2x+2)----2(x+1)=8

x+1x+1x+1

即FT(AC+EC)為定值8.

3.(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a/+6x+c(a00),

59

把A(0>-2),B(—1>0)>C(—，—)代入得

48

0=“-6+c解得k2,b=0,c=—2,

9255,

—=—a+—b+c

8164

y—2x?—2

（2）設(shè)直線花的解析式為>=履+雙々WO），

把4（0,-2）,。（工,2）代入得

48

b=-2

解得&=9,h=—2，y=—x—2

95

-=-k+b22

184

=1）在直線/C上

當(dāng)尸1時(shí),y

222

45

（3）設(shè)￡點(diǎn)坐標(biāo)為,則直線￡獷的解析式為y=—X——

22-36

45

由—化簡得d即（嗎（2%等=0,

y=2x2-2

.?.廠點(diǎn)的坐標(biāo)為（Z.12）.

618

過后點(diǎn)作￡7/_Lx軸于〃，則〃的坐標(biāo)為（」,0）.

2

:?EH=g,=8爐=（|）2+（》2=與，

類似地可得3尸=（為2+（與2=儂=空，

186324162

心日,40、2,10、225001250

186324162

BE2+BF2=—+—=工型=EF2，???△戚是直角三角形.

4162162

4.解：（1）過點(diǎn)A作AF，x軸，垂足為點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BE_Lx軸,垂足為點(diǎn)E,

貝|JAF=2,OF=1.

VOA±OB,

AZAOF+ZBOE=90°.

又VZB0E+Z0BE=90°,

.??ZAOF=ZOBE.

ARtAAFO^RtAOEB.

?.?-BE=-O-E=-O-B=2汽?

OFAFOA

ABE=2,0E=4.

AB(4,2).

(2)設(shè)過點(diǎn)A(—1,2),B(4,2),0(0,0)的拋物線為片a/找"c.

1

”5，

a-b+c=2,乙

二V16〃+46+c=2,解之，得</?=—之，

2

c=0.八

c=0.

.?.所求拋物線的表達(dá)式為y=1x2-|x.

(3)由題意,知AB〃x軸.

設(shè)拋物線上符合條件的點(diǎn)P到AB的距離為d,

則SABP=-ABd=-AB-AF.

&22

/.d=2.

???點(diǎn)P的縱坐標(biāo)只能是0或4.

令y=0,W—x2--%=0,解之，得x=0,或x=3.

22

???符合條件的點(diǎn)PMO,0),P2(3,0).

令尸4,M-X2--X=4,解之，得彳=延叵.

222

...符合條件的點(diǎn)P3(上巫，4),p.,(3+^,4).

22

???綜上，符合題意的點(diǎn)有四個(gè)：

P.(0,0),P2(3,0),P：(3-q,4),巳(3+戶,4).

22

（評卷時(shí)，無PKO,0）不扣分）

5.解：(1)當(dāng)0MxM4時(shí)，線段創(chuàng)的函數(shù)關(guān)系式為了=一1比；

當(dāng)4MX&10時(shí),

由于曲線46所在拋物線的頂點(diǎn)為力(4,-40),設(shè)其解析式為y=a(x—4)"一40

在丁=一5/+2。5入-1230中，令x=io,得了=320；,Ba。,320)

VB(10,320)在該拋物線上

2

A320=a(10-4)-40

解得。=10

.?.當(dāng)4VXWIO時(shí)，丁=10(工一4)2-40=1加一88+120

(x=1,2,3,4)，。-10x

(x=5,6,7,8,940),y=S10x2-80x4-120

2

(x=10,11,12).綜上可知,-5X+205X-1230

(2)當(dāng)0WxW4時(shí)，S=-10

當(dāng)5KxW10時(shí)，S=20x-90

當(dāng)11MXW12時(shí),^=-10x4-210

(3)10月份該公司所獲得的利潤最多,最多利潤是110萬元.

'65k+b=55,

<

6.解：(1)根據(jù)題意得〔75無+A=45.解得上=_1,8=120.

所求一次函數(shù)的表達(dá)式為丁=一工+120.

(2)fT=0；-60X-x+120)

=-X2+180X-7200

=-(X-90)2+900

:拋物線的開口向下，，當(dāng)X<90時(shí)，印隨X的增大而增大,

而60<x<87,

二當(dāng)x=87時(shí)，用=—（87-90>+900=891

當(dāng)銷售單價(jià)定為87元時(shí)，商場可獲得最大利潤，最大利潤是891元.

（3）由印=500,^500=-x^+lSOx-7200,

整理得，x2-180x4-7700=0,解得，々=70,芻=110.

由圖象可知，要使該商場獲得利潤不低于500元,銷售單價(jià)應(yīng)在70元到110元之間，而60<x<87,

所以，銷售單價(jià)x的范圍是704x487.

_12_3

7.(1)B(4,0),。。-2).y~2X2X

（2）△力5c是直角三角形.

C—x--x-z=u

證明：令了二°,則22.

再=-1,—4

..A-W).

解法一：..』8=5,AC=&BC=2^5

AC2+BC2=5+2Q=25=AB2.

△/BC是直角三角形.

COAO_1

?：AO=1,CO=2,BO=4,：.—=

解法二：BOOC2

?：&OC=4COB=qO°,

..△工OCS/XCOB

4co=NCBO.

?.?NCBO+NBCO=90°,

AACO+ZBCO=90°,即乙4cB=90°

：△是直角三角形.

(3)能.①當(dāng)矩形兩個(gè)頂點(diǎn)在上時(shí)，