新教材2021秋高中數學蘇教版必修第一冊學案：第8章函數應用

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第8章函數應用

8.1二分法與求方程近似解

8.1.1函數的零點

課程1.結合學過的函數圖象，了解函數零點與方程解的關系

標準2.結公具體連續(xù)函數及其圖象的特點.「解函數零點存在定理

份基礎認知?自主學習《

概念認知

1,函數的零點

⑴概念：使函數y=f(x)的值為0的實數x.

零點、圖象與x軸的交點、方程實數解的關系:

函數的零點

方程/a尸o的實數解

⑵本質：方程f(x)=0的根、函數y=f(x)的圖象與X軸的公共點的

橫坐標.

(3)應用：利用零點、圖象與x軸的交點、方程實數解的關系，實現

三種問題的相互轉化.

2.函數零點范圍的判定

⑴條件：函數y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是一條不間斷的曲線,

且有f(a)_f(b)_<0；

⑵結論：函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點.

⑶本質：利用函數的性質判斷零點的存在性.

⑷應用：判斷零點的存在性、求參數的范圍等.

自我小測

1.已知定義在R上的函數f(x)的圖象是連續(xù)的，且其中的四組對應

值如表，那么在下列區(qū)間中，函數f(x)不一定存在零點的是()

X1235

f(x)3-120

A.(l,2)B.［1,3］C.［2,5)D.(3,5)

選D.由題表可知，f(l)=3,f(2)=-1,f(3)=2,f(5)=0.

由f(l)?f(2)<0,可知函數f(x)在(1,2)上一定有零點；則函數f(x)在［1,

3］上一定有零點；

由f(2)-f(3)<0，可知函數f(x)在(2,3)上一定有零點，則函數f(x)在［2,

5)上一定有零點；

由f(3)>0,f(5)=0,可知f(x)在(3,5)上不一定有零點.

所以函數f(x)不一定存在零點的區(qū)間是(3,5).

2.函數f(x)=log2(2x+1)的零點是()

A.1B.0C.(0,0)D.(1,1)

選B.令log2(2x+1)=0,解得x=0.

3.已知m是函數f(x)=爪-2*+2的零點，則實數m￡()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

選B.由f(x)=點-2x+2=0可得+2=2X.

作出函數y=\[x+2與y=2x的圖象如圖所示，

當0<x<1時,f(x)>0恒成立，沒有零點，因為f(l)=1>0,f(2)=也

-2<0,故在(I,2)上有零點，

結合圖象可知，

當x>2時，爪+2Q,即y=五+2恒在y=2X的下方.

故m￡(l,2).

4.根據表格中的數據，可以斷定方程ex=x+2的一個根所在的區(qū)間

是()

X-10123

ex0.3712.727.3920.09

x+212345

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(1,2)D.(2,3)

選C.令f(x)=ex-x-2,由圖表知，f(l)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=

7.39-4=3.39>0,

即f(l)f(2)<0,根據零點存在性定理可知f(x)在(1,2)上存在零點，即

方程ex-x-2=0的一個根所在的區(qū)間為(1,2).

5.若函數f(x)=x2-ax+b有兩個零點1和4,則函數g(x)=bx2-ax

+1的零點為.

fa=1+4=5,

由根與系數的關系得

[b=1x4=4,

所以g(x)=4x2-5x+1=(4x-l)(x-1),

令g(x)=0,則x=[或1,

即g(x)的零點為1或1.

答案：;或1

6.已知函數f(x)=|x2-5|-2,則函數F(x)=xf(x)-1的零點的個數

為.

顯然x=0不是函數F(x)的零點，

令F(x)=xf(x)-1=0,則f(x)=1.

A.

故函數F(x)的零點個數即為函數f(x)的圖象與函數g(x)=|的圖象的

交點個數，

在同一坐標系中作兩函數圖象如圖：

由圖可知，函數f(x)與函數g(x)的圖象有5個交點，即函數F(x)有5

個零點.

冬室,5

7.求下列函數的零點.

(l)y=-x2-x+20；(2)y=x3+8；

(3)y=(x2-2)(x2-3x+2)；

x2+4x-12

(4)y=-.

x-2

(1)令y=0,有-x2-x+20=0,解得xi=-5,x2=4.故所求函數的

零點為-5,4.

(2)y=x3+8=(x+2)(x2-2x+4).

令(x+2)(x2-2x+4)=0,解得X=-2,故所求函數的零點為-2.

(3)令(x2-2)(x2-3x+2)=0,

解得Xl=-y[2,X2二碑,X3=1,X4=2.

故所求函數的零點為-啦，啦,1,2.

_x2+4x-12(x+6)(x-2)

(4)由題意知y=--------------=-------------------------

(x+6)(x-2)

令=0,解得x=-6.

x-2

故所求函數的零點為-6.

基礎全面練

一、選擇題

1,下列圖象表示的函數中沒有零點的是()

選A.BCD的圖象均與x軸有交點，故函數均有零點，A的圖象與x

軸沒有交點，故函數沒有零點.

_2

函數的零點所在的區(qū)間是()

2.f(x)=In(x+1)-X-

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)

選B.因為f(l)=ln2-2<0,

f(2)=ln3-1>lne-1=0,gpf(l)-f(2)<0,所以函數f(x)=ln(x+1)

2

的零點所在區(qū)間是

-7A.(1,2).

3.方程Inx+x-4=0的實根所在的區(qū)間為()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

選B.令f(x)=Inx+x-4,在定義域上連續(xù)且單調遞增，f(3)=ln3+3

-4=In3-1>0,

f(2)=In2+2-4=In2-2<0,

故f(2)f(3)<0,故實根所在區(qū)間是(2,3).

4.已知函數f(x)=3X+x,g(x)=logsx+x,h(x)=x3+x的零點分別為

a,b,c』Ua,b,c的大小順序為()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

選B.令f(x)=+x=0,貝Ux=-3X,

令g(x)=10g3X+x=0'貝Ux=-10g3X,

令h(x)=x3+x=0,貝Ux=-x3,

設函數f(x),g(x),h(x)的零點分別為a,b,c,

X3

作出函數y=-3,y=-log3x,y=-x,y=x的圖象如圖，由圖可

知：b>c>a.

5.已知函數f(x)=mx+l的零點在區(qū)間(1,2)內，則m的取值范圍

選B根據題目，函數f(x)=mx+1,

當m=0時，f(x)=1,沒有零點，當m#0時，f(x)為單調函數，若其

在區(qū)間(1,2)內存在零點,必有f(l)f(2)<0,即(m+l)(2m+1)<0,解

得-l<m<-3，即m的取值范圍為［-1,-j.

6.(多選)若函數y=f(x)在區(qū)間［a力］上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線,

則下列說法正確的是()

A.若f(a)-f(b)>0,則不存在實數c￡(a,b),使得f(c)=0

B.若f(a).f(b)<0,則存在且只存在一個實數c仁(a,b),使得f(c)=0

C.若f(a).f(b)>0,則有可能存在實數c￡(a,b),使得f(c)=0

D.若f(a).f(b)<0,則在(a,b)內的零點個數不確定

選CD.根據函數零點存在定理可判斷,若f(a)-f(b)<0，則一定存在實

數c￡(a,b),使得f(c)=0,

但c的個數不確定，故B錯誤，D正確；

若f(a)-f(b)>0,則有可能存在實數ce(a,b),

使得f(c)=0,如f(x)=x2-1,f(-2)-f(2)>0,

但f(x)=x2-1在(-2,2)內有兩個零點，故A錯誤，

C正確.

7.(多選)若函數f(x)=x+?但￡即在區(qū)間(1,2)上有零點，則a的值

A.

可能是()

A.-2B.-1C.-4D.-3

選AD.f(x)=x+|(aWR)的圖象在(1,2)上是連續(xù)不斷的，貝仙+a)

12+駕<0,解得-4<a<-1,所以a的值可能是-2,-3.

二、填空題

8.根據表格中的數據，可以判定方程ex-x-2=0的一個實根所在

的區(qū)間為(k,k+l)(kGN),則k的值為.

X-10123

ex0.3712.727.3920.09

x+212345

記f(x)=ex-x-2，則該函數的零點就是方程ex-x-2=0的實根.由

題表可知f(-1)=0.37-KO,f(0)=1-2<0,f(l)=2.72-3<0,f(2)

=7.39-4>0"(3)=20.09-5〉0.由零點存在性定理可得f(l)f(2)<0,

故函數的零點所在的區(qū)間為(1,2),所以k=1.

答案：1

9.函數f(x)=(X-1)(x2+3x-10)的零點個數是_______.

因為f(x)=(x-1)(x2+3x-10)=(x-l)(x+5)(x-2),

由f(x)=0,得乂=-5或x=l或x=2.

冬空?3

三、解答題

X2-X,X<1,

{10g2(X-1),X>1.

⑴在如圖所示的坐標系中，作出函數f(x)的圖象并寫出單調區(qū)間.

y

4-

3-

2-

1-

IIII___iiii?1一

-4-3-2-1。1234”

-1_

-2-

-3"

-4-

⑵若f(a)=2,求實數a的值.

⑶當m為何值時，f(x)+m=0有三個不同的零點.

⑴函數圖象如圖，

由圖可知，函數的減區(qū)間為8,；］；

增區(qū)間為6,1,(1,+8).

(2)由f(a)=2,得a?-a=2(a01)或log2(a-1)=2(a>l).解得a=-1或a

=5.

(3)由圖可知要使f(x)+m=0有三個不同的零點，貝U--mSO,解

得.

11.已知a>0,函數f(x)=:*/(XGR).

x2+1

⑴證明：f(x)是奇函數.

⑵如果方程f(x)=1只有一個實數解，求a的值.

⑴由函數f(x)二』-儀￡即，可得定義域為區(qū)，且代-心=

x2+1x2+1

=-f(x),

所以f(x)為奇函數.

⑵方程f(x)=1只有一個實數解，

即為x2-ax+1=0,A=a2-4=0,

解得a=2(-2舍去),

所以a的值為2.

綜合突破練

一、單選題

1.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且a,p是函數f(x)的兩個零點,

則實數a,b,a,p的大小關系可能是()

A.a<a<b<PB.a<a<0<b

C.a<a<b<PD.a<a<P<b

選C.因為a,0是函數f(x)的兩個零點，

所以f(a)=f(P)=0.又f(a)=f(b)=-2<0,

結合二次函數的圖象(如圖所示)可知a,b必在a,0之間.

'|2x-1|,x<2

2.已知函數f(x)=《3若方程f(x)-a=0有三個不同的實

,x>2.

x-1

數根，則實數a的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,3)D.(1,3)

'|2x-1|,x<2

選A.因為f(x)=《3

------,x>2

X-1

所以圖象如圖

4、

-3-2-10123456789X

-1

因為方程f(x)-a=0有三個不同的實數根，

即為函數y=f(x)的圖象與y=a的圖象有三個不同的交點，由圖象可

知：a的取值范圍為(0,1).

3.函數f(x)=In|x-2|+X?與g(x)=4x,兩函數圖象所有交點的橫坐

標之和為()

A.0B.2C.3D.4

選D.函數f(x)=In|x-2|+x?與g(x)=4x兩函數圖象交點的橫坐標之

和，可以轉化為方程In|x-2|=4x-x2的根之和；y=In|x-2和y=

4x-x2均關于x=2對稱，且兩個圖象有2個交點，兩個交點橫坐標

之和為4.

二、多選題

4.函數f(x)=|x2-4x|-m恰好有兩個不同零點，則m的值可以是

A.m>4B.4

C.0<m<4D.0

選AD.由f(x)=0可得m=|x2-4x|,

作出y=|x2-4x的函數圖象如圖所示：

因為f(x)恰好有兩個不同的零點，

所以直線y=m與y=*-4x舊勺圖象有兩個不同的交點,

所以m=0或m>4.

【光速解題】選取特殊值通過求零點判斷.

三、填空題

5.函數f(x)=x2-在R上的零點個數是_______.

由題意可知，函數f(x)=X2-2X的零點個數，等于函數y=2X,y=X2

的圖象交點個數.如圖，畫出函數y=2x,y=x2的大致圖象.

由圖象可知有3個交點，即f(x)=x2-有3個零點.

冬空?3

口?工

ay3。

+j,x>2,

6.已知函數f(x)=<',若函數g(x)=f(x)-k有兩個不

log2X,0<x<2.

同的零點，則實數k的取值范圍是_______.

畫出函數f(x)的圖象如圖.

要使函數g(x)=f(x)-k有兩個不同零點,只需y=f(x)與y=k的圖象

有兩個不同交點，由圖易知日|,1].

答案：1，1)

7.函數f(x)=(2X-3)-ln(x-2)的零點個數為.

函數的定義域為{x|x>2},

令(2x-3)-ln(x-2)=0,因為2X-3>0,

可得In(x-2)=0,解得x=3.

所以函數的零點只有1個.

答案：1

【誤區(qū)警示】本題容易出現忽視定義域的錯誤，誤認為零點個數為

2.

、、，-1,x<0,

8.設函數f(x)=yg(x)=loga(x-l)(a>1).

f(x-2),x>0,

(l)f(2019)的值為；

⑵若函數h(x);f(x)-g(x)恰有3個零點，則實數a的取值范圍是

(l)f(2019)=f(2017)=...=f(-=1-1=1；

(2)當0<xS2時，-2<x-2<0,

mx-2

所以f(x)=f(x-2)二電-1；

當2<xS4時，0<x-2S2,

_mx-4

所以f(x)=f(x-2)=9-1；

當4<x<6時，2<x-2<4,

一mx-6

所以f(x)=f(x-2)二國-1；

當6<x<8時，4<x<6,

_mx-8

所以f(x)=f(x-2)=⑸-1；

畫出f(x)和g(x)兩個函數的圖象如圖所示，

由loga(4-1)=3，得a=豺,

由loga(6-1)=3,得a=赤,

由圖可知，當兩個函數的圖象有3個交點時，即函數h(x)=f(x)-g(x)

恰有3個零點時,

實數a的取值范圍是(至，赤].

答案:(1)1(2)(/,汨]

四、解答題

9.已知函數f(x)為定義在R上的奇函數，且x>0時，f(x)=X?-2x

+2.若對任意X1^[-1,0),都存在唯一的X2￡[0,+8),使得f(xi)

+f(x2)=a成立，求實數a的取值范圍.

由函數為定義在R上的奇函數及x>0時，f(x)=X?-2x+2,得x<0

時，

f(x)=-x2-2x-2,

作出f(0)=0,f(x)的圖象如