新教材2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修第一冊(cè)學(xué)案：123充要條件

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第2課時(shí)充要條件

基礎(chǔ)認(rèn)知?自主學(xué)習(xí)《

:；1.充要條件可以用哪些詞語(yǔ)表達(dá)？

日田

i“心2.充要條件與集合相等之間有什么關(guān)系？

1.充要條件

如果p=q且q=p,則稱p是q的充分必要條件（簡(jiǎn)稱為充

定義

要條件）

記法poq

讀法“p與q等價(jià)”“p當(dāng)且僅當(dāng)q”

集合如果A={x|p(x)},B={x|q(x)}

觀點(diǎn)且A=B,貝IjD(x)=a(x)

一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義實(shí)際上給出了這個(gè)對(duì)象的一個(gè)充要

結(jié)論

條件

思考

符號(hào)的含義是什么？

提示：“=”表示"等價(jià)，，，如“A與B等價(jià)”指的是“如果A,那么B”，

同時(shí)有“如果B,那么A”，或者說(shuō)“從A推出B”,同時(shí)可“從B推出A”.

2.充分性、必要性的其他情況

推出關(guān)系充分性、必要性

p=q且q^pp是q的充分不必要條件

pAq且q=pp是q的必要不充分條件

p是q的既不充分

PM且q#p

也不必要條件

基礎(chǔ)小測(cè)

1.辨析記憶（對(duì)的打y”,錯(cuò)的打“X”）.

（1）當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，也可說(shuō)成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立.（）

（2）若p沙q和q法p有一個(gè)成立，則p一定不是q的充要條件.（）

⑶若p是q的充要條件,q是r的充要條件，則p是r的充要條件.

（）

提示：（1）V.當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，p=q,且q=P,故說(shuō)成q成立當(dāng)且

僅當(dāng)p成立，這種說(shuō)法正確.

⑵J.若p中q或q和，則p不是q的充分條件，或p不是q的必要條件,

故此說(shuō)法正確.

（3）V.因?yàn)閜=q,q=r,所以p=r,所以p是r的充要條件.

2.若p是r的充分非必要條件,q是s的必要非充分條件，且r是s的充分

非必要條件，則p是q的條件（）

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分又非必要

選A.因?yàn)閜是r的充分非必要條件,q是s的必要非充分條件，且r是s

的充分非必要條件，

即p=>r,r不能推出p;r=>s,s不能推出r;s=>q,q不能推出s;

所以p=>q,q不能推出p,即p是q的充分非必要條件.

3.(教材練習(xí)改編)設(shè)集合M={x|0<xS3},N={x|0<xS2},那么“a￡M”是“a

WN”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

選B.因?yàn)镹CM.所以“a￡M”是“a￡N”的必要而不充分條件.

》能力形成?合作探究《

類型一充分條件和必要條件的綜合判斷(邏輯推理)

【典例】1.一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c,a#0圖像的頂點(diǎn)在原點(diǎn)的必要不

充分條件是()

A.b=O,c=OB.a+b+c=O

C.c=O,b#OD.bc=O

2.下列各題中,p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條

件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”)？

(l)p:x#0,q:x+|x|>0.

(2)p:a>0,q:關(guān)于x的方程ax+b=O(a,b￡R)有唯一解.

(3)p:ab>0,a,b￡R,q:|a+b|=|a|+|b|.

(4)p:c=O,q:y=ax2+bx+c(a^0)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn).

【思路導(dǎo)引】1.一元二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖像的頂點(diǎn)在原點(diǎn)的充要

條件為b=O,c=O,再利用定義法解決.

2.依據(jù)“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不

必要條件”的定義判斷.

1.選D.若一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則-&=0,且

2a

c=0,所以頂點(diǎn)在原點(diǎn)的充要條件是b=0,c=0,故A是充要條件,B,C既不

充分也不必要,D是必要不充分條件.

2.⑴因?yàn)橛蓌WO推不出x+|x|>0,如x=-1HO,但是x+|x|=O,所以

p+q,

由x+1x|>0可得x>0,可推出xH0,所以q今p,

所以p是q的必要不充分條件.

⑵當(dāng)a>0時(shí)，關(guān)于x的方程ax+b=O(a,b￡R)有唯一解x=--,所以p=q,

a

若關(guān)于x的方程ax+b=O(a,b￡R)有唯一解，則aHO,推不出a>0,所以

q/p,

所以p是q的充分不必要條件.

⑶當(dāng)ab>0時(shí)，|a+b|=|a|+|b|成立，所以poq,因?yàn)閍=0時(shí)，也有

|a+b|=|a|+|b|,

所以q中p,所以p是q的充分不必要條件.

(4)當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)y=ax，bx+c的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；

當(dāng)y=ax，bx+c(aHO)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，

0=aX02+bX0+c,所以c=0,

所以pQq,所以p是q的充要條件.

解題策略

從命題角度判斷p是q的充分必要條件

⑴原理：

判斷P是q的充分必要條件,主要是判斷poq及qop這兩個(gè)命題是否

成立.

(2)方法：

①若p=q成立,則p是q的充分條件，同時(shí)q是P的必要條件；

②若qop成立,則p是q的必要條件，同時(shí)q是p的充分條件；

③若二者都成立,則P與q互為充要條件.

跟蹤訓(xùn)練

下列各題中,p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條

件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”)？

(I)p:x2=3x+4,q:x=43%+4.

(2)p:a是自然數(shù),q:a是正數(shù).

(3)p:a=l,q:a的倒數(shù)是其本身.

(4)p:點(diǎn)P(2-a,3a-2)到兩坐標(biāo)軸距離相等,q:a=l或a=0.

⑴當(dāng)x=-1時(shí)，x?=3x+4成立，但是x=73x+4不成立，所以P市q,由

x=，3%+4兩邊平方可得X2=3X+4,所以q今p,所以p是q的必要不充分

條件.

(2)0是自然數(shù)，但是0不是正數(shù)，

所以p^q,1.5是正數(shù)，但是1.5不是自然數(shù)，

所以q+p,所以p是q的既不充分也不必要條件.

⑶倒數(shù)是其本身的數(shù)有±1,所以q+p,且poq,

所以p是q的充分不必要條件.

(4)當(dāng)a=1,點(diǎn)P(1,1)到兩坐標(biāo)軸距離相等;

當(dāng)a=0,點(diǎn)P(2,-2)到兩坐標(biāo)軸距離相等;

當(dāng)點(diǎn)P(2-a,3a-2)到兩坐標(biāo)軸距離相等時(shí),

|2-a|=|3a-2|,解得a=1或a=0.

所以p=q,所以p是q的充要條件.

類型二充要條件的證明(邏輯推理)

【典例】1.求證:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(X)有一個(gè)根為1的充要條件

是a+b+c=0.

2.求證:方程f(%)=0有一根為1的充要條件是f(l)=0.

【思路導(dǎo)引】從充分性和必要性兩個(gè)方面證明.

【證明】1.因?yàn)閍+b+c=0,

所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中，

得ax2+bx-a-b=0,

即(x-1)(ax+a+b)=0.

所以方程(X)有一個(gè)根為1,

所以a+b+c=00方程(X)有'一個(gè)根為1.

因?yàn)榉匠蘟x，bx+c=0有一個(gè)根為1,

所以x=1滿足方程ax2+bx+c=0.

所以有aX12+bX1+c=0,即a+b+c=0.

所以方程(X)有一■個(gè)根為10a+b+c=O,

從而a+b+c=0o方程(X)有一■個(gè)根為1,

因此a+b+c=O是方程(X)有一個(gè)根為1的充要條件.

2.充分性:當(dāng)f(l)=O時(shí)，即x=l代入f(%)=0,等式成立，所以f(l>0是

f(%)=0有一根為1的充分條件；

必要性:當(dāng)f(%)=0有一根為1時(shí)，

即(1,0)為y=f(%)與X軸的一個(gè)交點(diǎn)，

所以f(l)=0,所以f(l)=0是f(X)=0有一根為1的必要條件，

綜上所述:方程f(%)=0有一根為1的充要條件是f(l)=0.

一題多變

將本例1的條件“有一個(gè)根為1”改為“有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)

根”,“a+b+c=0”改為“ac<0”,如何證明?

【證明】因?yàn)閍c<0,所以△=b2-4ac>0,方程ax?+bx+c=0中有兩個(gè)不等實(shí)

根，由根與系數(shù)關(guān)系可知這兩個(gè)根的積為￡<o,

a

所以方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一■個(gè)負(fù)根，

所以ac<0=方程(X)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根.

因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c=0有一■個(gè)正根和一■個(gè)負(fù)根，

由根與系數(shù)關(guān)系可知這兩個(gè)根的積為-<0,

所以ac<0.所以方程（X）有一個(gè)正根和一'個(gè)負(fù)根0ac<0,從而2（3<0=方

程（X）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，因此ac<0是方程（X）有一個(gè)正根和一

個(gè)負(fù)根的充要條件.

解題策略

充要條件的證明策略

（1）要證明一個(gè)條件p是q的充要條件，需要從充分性和必要性兩個(gè)方向

進(jìn)行，即證明兩個(gè)命題“若p,則q”為真且“若q,則p”為真.

⑵在證明的過(guò)程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來(lái)證明，證明p與q的解集

是相同的,證明前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推

證到哪些結(jié)論.

提醒:證明時(shí)一定要注意,分清充分性與必要性的證明方向.

跟蹤訓(xùn)練

求證:關(guān)于x的方程x2+mx+l=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件是m>2.

【證明】（1）充分性：因?yàn)閙22,所以△=m2-4N0,所以方程x2+mx+1=0

有實(shí)根，設(shè)兩根為X”X2,由根與系數(shù)的關(guān)系知，Xi?X2=1>0,所以Xi,X2同

號(hào).又x1+x2=-m^-2<0,所以Xi,X2同為負(fù)數(shù).

即x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充分條件是m22;

2

⑵必要性：因?yàn)閤+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根,設(shè)其為xbx2,且Xlx2=1,

（2

所~以,A=m-4>0.

3+x2=-m<0,

即>2或m<-2,

\m>0,

所以m22,即x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的必要條件是m22.

綜上可知,m22是x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充分必要條件.

類型三用集合觀點(diǎn)解充分條件、必要條件問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

【典例】1.已知p:點(diǎn)M(l-a,2a+6)在第四象限,q:a<l,則p是4的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.已知p:{x|-l<x<3},q:{x[-l<x<m+l},若q是p的必要不充分條件，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍是.

【思路導(dǎo)引】1.第四象限內(nèi)的點(diǎn)橫坐標(biāo)大于0,縱坐標(biāo)小于0.依據(jù)“小范

圍”推“大范圍”，“大范圍”推不出“小范圍”判斷.

2.利用必要不充分條件與集合間的包含關(guān)系，建立關(guān)于m的不等式，求m

的取值范圍.

1.選A因?yàn)辄c(diǎn)M(1-a,2a+6)在第四象限,

1-a>0,

所以解得a<-3.

2a+6<0,

因?yàn)?-°°,-3)U(~°°,1),

所以p=>q,q中p,

所以p是q的充分不必要條件.

2.由題意，p:{x|-1<x<3],q:{x|-1<x<m+1},

因?yàn)閝是P的必要不充分條件，則m+1>3,解得m>2,即實(shí)數(shù)m的取值范

圍是(2,+°°).

答案：(2,+8)

解題策略

從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件

若AcB,則p是q的充分條件,若AUB,

則P是q的充分不必要條件

若BeA,則p是q的必要條件,若BUA,

則P是q的必要不充分條件C3

若A=B,則p,q互為充要條件

若A2B且B&A,則p既不是q的充分條件，

也不是q的必要條件CD0

其中p:A={x[p(x)成立},q:B={x[q(x)成立}.

題型比比看

⑴已知p:-2sxs10,q:l-mSxSl+m(m>0),且p是q的充分不必要條件，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍為.

(2)已知p:-2sxs10,q:l-mSxSl+m(m>0),且p是q的必要不充分條件，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍為.

(1)因?yàn)镻是q的充分不必要條件，所以p=q且q力p.即｛x|-2WxW10｝

是｛x11-mWxW1+m,m>0｝的真子集,

切>。，fl-m<-2,

所以或｛m>0,解得G9.

1+m>10(1+m>10,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為｛m|m29｝.

⑵因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以qop,且p力q.

則{x11-mWxW1+m,m>0}U{x|-2WxW10},

m>0,

所以1-m>-2,

1+m<10

解得0<mW3.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

即m的取值范圍是(0,3].

答案：(1)(2)(0,3]

跟蹤訓(xùn)練

(2021.荷澤高一檢測(cè))若不等式l<x<3的必要不充分條件是m-2<x<m+2,

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.[l,2]B.[l,3]

C(-l⑵D.(l,3)

選B.設(shè)A={x11<x<3),B={x|m-2<x<m+2]，因?yàn)椴坏仁?<x<3的必要不充

分條件是m-2<x<m+2,可得A是B的真子集，

所以怔2W1

1m+2>3

解得1WmW3,經(jīng)檢驗(yàn)m=1和m=3符合題意，

所以1WmW3.

II

已知p:-l<x<3,q:k-2sxsk+5,若p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)k的取

值范圍.

因?yàn)閜是q的充分不必要條件，

所以p對(duì)應(yīng)的集合是q對(duì)應(yīng)集合的真子集，

所以（7,3）U[k-2,k+5],

所以尸<-1,

l/c+5>3

=-2WkW1.

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-2,1].

》學(xué)情診斷?課堂測(cè)評(píng)⑥

1.（2021?南寧高一檢測(cè)）“x=3"是22=9”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

選A.由X2=9得到x=±3;所以由“x=3"能推出‘<=9"；由‘<=9”不能推出

“x=3”；因此“x=3”是“x?=9”的充分不必要條件.

2.（2021.上海高一檢測(cè)）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a/））的值恒為正值的充要

條件是（）

A.b2-4ac>0B.b2-4ac>0

C.a>0,b2-4ac<0D.a<0,b2-4ac<0

選C.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a/））的值恒為正值，則函數(shù)y=ax2+bx+c（a^O）

的圖像開(kāi)口向上，且與x軸沒(méi)有交點(diǎn)