2024年中考壓軸題匯編1（6.21）

2024年中考壓軸題匯編【2024年安徽】8．已知實數(shù)a，b滿足a﹣b+1＝0，0＜a+b+1＜1，則下列判斷正確的是（）A．﹣＜a＜0B．＜b＜1C．﹣2＜2a+4b＜1D．﹣1＜4a+2b＜09．在凸五邊形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F(xiàn)是CD的中點．下列條件中，不能推出AF與CD一定垂直的是（）A．∠ABC＝∠AED B．∠BAF＝∠EAF C．∠BCF＝∠EDF D．∠ABD＝∠AEC10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是邊AC上的高．點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上（不與端點重合），且DE⊥DF．設(shè)AE＝x，四邊形DEBF的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象為（）A．B．C．D．14．如圖，現(xiàn)有正方形紙片ABCD，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上．沿垂直于EF的直線折疊得到折痕MN，點B，C分別落在正方形所在平面內(nèi)的點B′，C′處，然后還原．（1）若點N在邊CD上，且∠BEF＝α，則∠C′NM＝（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于MN的直線折疊得到折痕GH，點G，H分別在邊CD，AD上，點D落在正方形所在平面內(nèi)的點D′處，然后還原．若點D′在線段B′C′上，且四邊形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN與GH的交點為P，則PH的長為．22．（12分）如圖1，?ABCD的對角線AC與BD交于點O，點M，N分別在邊AD，BC上，且AM＝CN．點E，F(xiàn)分別是BD與AN，CM的交點．（1）求證：OE＝OF；（2）連接BM交AC于點H，連接HE，HF．（?。┤鐖D2，若HE∥AB，求證：HF∥AD；（ⅱ）如圖3，若?ABCD為菱形，且MD＝2AM，∠EHF＝60°，求的值．23．（14分）已知拋物線y＝﹣x2+bx（b為常數(shù)）的頂點橫坐標(biāo)比拋物線y＝﹣x2+2x的頂點橫坐標(biāo)大1．（1）求b的值；（2）點A（x1，y1）在拋物線y＝﹣x2+2x上，點B（x1+t，y1+h）在拋物線y＝﹣x2+bx上．（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；（ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值．【2024年甘肅】10．如圖1，動點P從菱形ABCD的點A出發(fā)，沿邊AB→BC勻速運動，運動到點C時停止．設(shè)點P的運動路程為x，PO的長為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點P運動到BC中點時，PO的長為（）A．2 B．3 C． D．26.【模型建立】（1）如圖1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式寫出線段AE，DE，CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在對角線BD和邊CD上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式寫出線段BE，AD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型遷移】如圖3，在正方形ABCD中，點E在對角線BD上，點F在邊CD的延長線上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式寫出線段BE，AD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．27．（12分）如圖1，拋物線y＝a（x﹣h）2+k交x軸于O，A（4，0）兩點，頂點為B（2，2），點C為OB的中點．（1）求拋物線y＝a（x﹣h）2+k的表達(dá)式；（2）過點C作CH⊥OA，垂足為H，交拋物線于點E．求線段CE的長．（3）點D為線段OA上一動點（O點除外），在OC右側(cè)作平行四邊形OCFD．①如圖2，當(dāng)點F落在拋物線上時，求點F的坐標(biāo)；②如圖3，連接BD，BF，求BD+BF的最小值．【2024年自貢】12．如圖，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，將矩形沿直線EF折疊，使點A，B分別落在邊AD、BC上的點A′，B′處，EF，A′F分別交AC于點G，H．若GH＝2，HC＝8，則BF的長為（）A． B． C． D．518．九（1）班勞動實踐基地內(nèi)有一塊面積足夠大的平整空地，地上兩段圍墻AB⊥CD于點O（如圖），其中AB上的EO段圍墻空缺．同學(xué)們測得AE＝6.6m，OE＝1.4m，OB＝6m，OC＝5m，OD＝3m，班長買來可切斷的圍欄16m，準(zhǔn)備利用已有圍墻，圍出一塊封閉的矩形菜地，則該菜地最大面積是m2．25．為測量水平操場上旗桿的高度，九（2）班各學(xué)習(xí)小組運用了多種測量方法．（1）如圖1，小張在測量時發(fā)現(xiàn)，自己在操場上的影長EF恰好等于自己的身高DE．此時，小組同學(xué)測得旗桿AB的影長BC為11.3m，據(jù)此可得旗桿高度為m；（2）如圖2，小李站在操場上E點處，前面水平放置鏡面C，并通過鏡面觀測到旗桿頂部A．小組同學(xué)測得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到鏡面距離EC＝2m，鏡面到旗桿的距離CB＝16m．求旗桿高度；（3）小王所在小組采用圖3的方法測量，結(jié)果誤差較大．在更新測量工具，優(yōu)化測量方法后，測量精度明顯提高，研學(xué)旅行時，他們利用自制工具，成功測量了江姐故里廣場雕塑的高度．方法如下：如圖4，在透明的塑料軟管內(nèi)注入適量的水，利用連通器原理，保持管內(nèi)水面M，N兩點始終處于同一水平線上．如圖5，在支架上端P處，用細(xì)線系小重物Q，標(biāo)高線PQ始終垂直于水平地面．如圖6，在江姐故里廣場上E點處，同學(xué)們用注水管確定與雕塑底部B處于同一水平線的D，G兩點，并標(biāo)記觀測視線DA與標(biāo)高線交點C，測得標(biāo)高CG＝1.8m，DG＝1.5m．將觀測點D后移24m到D′處．采用同樣方法，測得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（結(jié)果精確到1m）．26.如圖，拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，頂點為P．（1）求拋物線的解析式及P點坐標(biāo)；（2）拋物線交y軸于點C，經(jīng)過點A，B，C的圓與y軸的另一個交點為D，求線段CD的長；（3）過點P的直線y＝kx+n分別與拋物線、直線x＝﹣1交于x軸下方的點M，N，直線NB交拋物線對稱軸于點E，點P關(guān)于E的對稱點為Q，MH⊥x軸于點H．請判斷點H與直線NQ的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【2024年宜賓】10．如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點A、B及AC的中點M，BC∥x軸，AB與y軸交于點N．則的值為（）A． B． C． D．11．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC為邊作Rt△BCD，BC＝BD，點D與點A在BC的兩側(cè)，則AD的最大值為（）A．2+3 B．6+2 C．5 D．812．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象交x軸于點A（﹣3，0）、B（1，0），交y軸于點C．以下結(jié)論：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③當(dāng)以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，c＝；④當(dāng)c＝3時，在△AOC內(nèi)有一動點P，若OP＝2，則CP+AP的最小值為．其中正確結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個16．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分別是邊CD、AD上的動點，且CE＝DF．當(dāng)AE+CF的值最小時，則CE＝．18．如圖，正方形ABCD的邊長為1，M、N是邊BC、CD上的動點．若∠MAN＝45°，則MN的最小值為．25．（14分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，﹣4），其頂點為D．（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點D的坐標(biāo)；（2）在y軸上是否存在一點M，使得△BDM的周長最小．若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若點E在以點P（3，0）為圓心，1為半徑的⊙P上，連結(jié)AE，以AE為邊在AE的下方作等邊三角形AEF，連結(jié)BF．求BF的取值范圍．【2024年連云港】7．如圖，正方形中有一個由若干個長方形組成的對稱圖案，其中正方形邊長是80cm，則圖中陰影圖形的周長是（）A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm8．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a＜0）的頂點為（1，2）．小燁同學(xué)得出以下結(jié)論：①abc＜0；②當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減?。虎廴鬭x2+bx+c＝0的一個根為3，則；④拋物線y＝ax2+2是由拋物線y＝ax2+bx+c向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的．其中一定正確的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④15．如圖，將一張矩形紙片ABCD上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕EF，連接BF．再將矩形紙片折疊，使點B落在BF上的點H處，折痕為AG．若點G恰好為線段BC最靠近點B的一個五等分點，AB＝4，則BC的長為．16．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2．點P在邊AC上，過點P作PD⊥AB，垂足為D，過點D作DF⊥BC，垂足為F．連接PF，取PF的中點E．在點P從點A到點C的運動過程中，點E所經(jīng)過的路徑長為．26．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣1（a、b為常數(shù)，a＞0）．（1）若拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（4，0）兩點，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖，當(dāng)b＝1時，過點C（﹣1，a）、分別作y軸的平行線，交拋物線于點M、N，連接MN、MD．求證：MD平分∠CMN；（3）當(dāng)a＝1，b≤﹣2時，過直線y＝x﹣1（1≤x≤3）上一點G作y軸的平行線，交拋物線于點H．若GH的最大值為4，求b的值．27．（12分）【問題情境】（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小聽將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°（如圖2），這時候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的倍．由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；【操作實踐】（2）如圖3，圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系．小昕按所示步驟進(jìn)行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請你結(jié)合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點P為端點的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系；【探究應(yīng)用】（3）如圖5，在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將△PDC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中∠DAP存在最大值．若PE＝8，PF＝5，當(dāng)∠DAP最大時，求AD的長；（4）如圖6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D、E分別在邊AC和BC上，連接DE、AE、BD．若AC+CD＝5，BC+CE＝8，求AE+BD的最小值．【2024年蘇州】8．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，動點E，F(xiàn)分別從點A，C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB，CD向終點B，D運動，過點E，F(xiàn)作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則AG的最大值為（）A． B． C．2 D．115．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點A（0，m），B（1，﹣m），C（2，n），D（3，﹣m），其中m，n為常數(shù)，則的值為．16．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，點D，E分別在AC，AB邊上，AE＝AD，連接DE，將△ADE沿DE翻折，得到△FDE，連接CE，CF．若△CEF的面積是△BEC面積的2倍，則AD＝．

27．如圖①，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象C1與開口向下的二次函數(shù)圖象C2均過點A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求圖象C1對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若圖象C2過點C（0，6），點P位于第一象限，且在圖象C2上，直線l過點P且與x軸平行，與圖象C2的另一個交點為Q（Q在P左側(cè)），直線l與圖象C1的交點為M，N（N在M左側(cè)）．當(dāng)PQ＝MP+QN時，求點P的坐標(biāo)；（3）如圖②，D，E分別為二次函數(shù)圖象C1，C2的頂點，連接AD，過點A作AF⊥AD，交圖象C2于點F，連接EF，當(dāng)EF∥AD時，求圖象C2對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【2024年鹽城】16．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點D是AC的中點，連接BD，將△BCD繞點B旋轉(zhuǎn)，得到△BEF．連接CF，當(dāng)CF∥AB時，CF＝．25．（10分）如圖1，E、F、G、H分別是?ABCD各邊的中點，連接AF、CE交于點M，連接AG、CH交于點N，將四邊形AMCN稱為?ABCD的“中頂點四邊形”．（1）求證：中頂點四邊形AMCN為平行四邊形；（2）①如圖2，連接AC、BD交于點O，可得M、N兩點都在BD上，當(dāng)?ABCD滿足時，中頂點四邊形AMCN是菱形；②如圖3，已知矩形AMCN為某平行四邊形的中頂點四邊形，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出該平行四邊形．（保留作圖痕跡，不寫作法）26．（12分）請根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù)．制定加工方案生產(chǎn)背景背景1◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風(fēng)”“雅”“正”三種樣式．◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風(fēng)”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件．◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等．背景2每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為：①“風(fēng)”服裝：24元/件；②“正”服裝：48元/件；③“雅”服裝：當(dāng)每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．信息整理現(xiàn)安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，列表如下：服裝種類加工人數(shù)（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）風(fēng)y224雅x1正148探究任務(wù)任務(wù)1探尋變量關(guān)系求x、y之間的數(shù)量關(guān)系．任務(wù)2建立數(shù)學(xué)模型設(shè)該工廠每天的總利潤為w元，求w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)3擬定加工方案制定使每天總利潤最大的加工方案．27．（14分）發(fā)現(xiàn)問題小明買菠蘿時發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數(shù)學(xué)道理呢？分析問題某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯規(guī)律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數(shù)，n＞k≥3，d＞0），如圖1所示．小明設(shè)計了如下三種鏟籽方案．方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為，共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總長為；方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為；方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．解決問題在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進(jìn)行評價．【2024年揚州】8．1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，這一列數(shù)滿足：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它的前兩個數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為（）A．676 B．674 C．1348 D．135018．如圖，已知兩條平行線l1、l2，點A是l1上的定點，AB⊥l2于點B，點C、D分別是l1，l2上的動點，且滿足AC＝BD，連接CD交線段AB于點E，BH⊥CD于點H，則當(dāng)∠BAH最大時，sin∠BAH的值為．27．如圖，點A、B、M、E、F依次在直線l上，點A、B固定不動，且AB＝2，分別以AB、EF為邊在直線l同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角邊MP恒過點C，直角邊MN恒過點H．（1）如圖1，若BE＝10，EF＝12，求點M與點B之間的距離；（2）如圖1，若BE＝10，當(dāng)點M在點B、E之間運動時，求HE的最大值；（3）如圖2，若BF＝22，當(dāng)點E在點B、F之間運動時，點M隨之運動，連接CH，點O是CH的中點，連接HB、MO，則2OM+HB的最小值為．28．在綜合實踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情況，猜想結(jié)論，然后再研究一般情況，證明結(jié)論．如圖，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圓，點D在⊙O上（AD＞BD），連接AD、BD、CD．【特殊化感知】（1）如圖1，若∠ACB＝60°，點D在AO延長線上，則AD﹣BD與CD的數(shù)量關(guān)系為；【一般化探究】（2）如圖2，若∠ACB＝60°，點C、D在AB向側(cè)，判斷AD﹣BD與CD的數(shù)量關(guān)系并說明理由；【拓展性延伸】（3）若∠ACB＝α，直接寫出AD、BD、CD滿足的數(shù)量關(guān)系．（用含α的式子表示）【2024年江西】11．將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形ABCD，連接AC，則tan∠CAB＝．12．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝2，點C在線段AB上運動，過點C的弦DE⊥AB，將沿DE翻折交直線AB于點F，當(dāng)DE的長為正整數(shù)時，線段FB的長為．22.如圖，一小球從斜坡O點以一定的方向彈出，球的飛行路線可以用二次函數(shù)y＝ax2+bx（a＜0）刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律如表：x012m4567…y068n…（1）①m＝，n＝；②小球的落點是A，求點A的坐標(biāo)．（2）小球飛行高度y（米）與飛行時間t（秒）滿足關(guān)系：y＝﹣5t2+vt．①小球飛行的最大高度為米；②求v的值．六、解答題（本大題共12分）23．（12分）綜合與實踐如圖，在Rt△ABC中，點D是斜邊AB上的動點（點D與點A不重合），連接CD，以CD為直角邊在CD的右側(cè)構(gòu)造Rt△CDE，∠DCE＝90°，連接BE，＝m．特例感知（1）如圖1，當(dāng)m＝1時，BE與AD之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是．類比遷移（2）如圖2，當(dāng)m≠1時，猜想BE與AD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．拓展應(yīng)用（3）在（1）的條件下，點F與點C關(guān)于DE對稱，連接DF，EF，BF，如圖3．已知AC＝6，設(shè)AD＝x，四邊形CDFE的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；②當(dāng)BF＝2時，請直接寫出AD的長度．

【2024年山東濱州】8．劉徽（今山東濱州人）是魏晉時期我國偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一，被譽為“世界古代數(shù)學(xué)泰斗”．劉徽在注釋《九章算術(shù)》時十分重視一題多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導(dǎo)，他給出了內(nèi)切圓直徑的多種表達(dá)形式．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的長分別為c，a，b．則可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的內(nèi)切圓直徑d，下列表達(dá)式錯誤的是（）d＝a+b﹣cB．C．D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）|16．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A，B均在格點上．（1）AB的長為；（2）請只用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出以AB為邊的矩形ABCD，使其面積為，并簡要說明點C，D的位置是如何找到的（不用證明）：．24．（12分）【教材呈現(xiàn)】現(xiàn)行人教版九年級下冊數(shù)學(xué)教材85頁“拓廣探索”第14題：14．如圖，在銳角△ABC中，探究，之間的關(guān)系．（提示：分別作AB和BC邊上的高．）【得出結(jié)論】【基礎(chǔ)應(yīng)用】在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，利用以上結(jié)論求AB的長．【推廣證明】進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，不僅在銳角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且還滿足（R為△ABC外接圓的半徑）．請利用圖1證明．【拓展應(yīng)用】如圖2，四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝3，CD＝4，∠B＝∠C＝90°．求過A，B，D三點的圓的半徑．【2024年遂寧】10．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，且該拋物線與x軸交于點A（1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2），（0，﹣3）之間（不含端點），則下列結(jié)論正確的有多少個（）①abc＞0；②9a﹣3b+c＞0；③＜a＜1；④若方程ax2+bx+c＝x+1兩根為m，n（m＜n），則﹣3＜m＜1＜n．A．1 B．2 C．3 D．415．如圖，在正方形紙片ABCD中，E是AB邊的中點，將正方形紙片沿EC折疊，點B落在點P處，延長CP交AD于點Q，連結(jié)AP并延長交CD于點F．給出以下結(jié)論：①△AEP為等腰三角形；②F為CD的中點；②AP：PF＝2：3；④cos∠DCQ＝．其中正確結(jié)論是（填序號）．24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是一條弦，點D是的中點，DN⊥AB于點E，交AC于點F，連結(jié)DB交AC于點C．（1）求證：AF＝DF；（2）延長GD至點M，使DM＝DG，連結(jié)AM．①求證：AM是⊙O的切線；②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半徑．25．（12分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸分別交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），P、Q為拋物線上的兩點．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)P、C兩點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，△OPQ是以點P為直角頂點的直角三角形時，求點Q的坐標(biāo)；（3）設(shè)P的橫坐標(biāo)為m，Q的橫坐標(biāo)為m+1，試探究：△OPQ的面積S是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．

【2024年山東煙臺】10．如圖，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的頂點E，G在同一水平線上，點G與AB的中點重合，EF＝2cm，∠E＝60°，現(xiàn)將菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向勻速運動，當(dāng)點E運動到CD上時停止．在這個運動過程中，菱形EFGH與矩形ABCD重疊部分的面積S（cm2）與運動時間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（）A． B． C． D．15．如圖，在?ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E為邊CD的中點，F(xiàn)為邊AD上的一動點，將△DEF沿EF翻折得△D′EF，連接AD'，BD'，則△ABD′面積的最小值為．16．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如表：x﹣4﹣3﹣115y0595﹣27下列結(jié)論：①abc＞0；②關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)﹣4＜x＜1時，y的取值范圍為0＜y＜5；④若點（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＝y(tǒng)2；⑤滿足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范圍是x＜﹣2或x＞3．其中正確結(jié)論的序號為．22．（10分）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為直線BC上任意一點，連接AD．將線段AD繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得線段ED，連接BE．【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系為；【類比探究】（2）當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系并證明；【聯(lián)系拓廣】（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，請直接寫出sin∠ECD的值．23．（11分）如圖，AB是⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于⊙O，點I為△ABC的內(nèi)心，連接CI并延長交⊙O于點D，E是上任意一點，連接AD，BD，BE，CE．（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度數(shù)；（2）找出圖中所有與DI相等的線段，并證明；（3）若CI＝2，DI＝，求△ABC的周長．24．（13分）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，OC＝OA，AB＝4，對稱軸為直線l1：x＝﹣1．將拋物線y1繞點O旋轉(zhuǎn)180°后得到新拋物線y2，拋物線y2與y軸交于點D，頂點為E，對稱軸為直線l2．（1）分別求拋物線y1和y2的表達(dá)式；（2）如圖1，點F的坐標(biāo)為（﹣6，0），動點M在直線l1上，過點M作MN∥x軸與直線l2交于點N，連接FM，DN，求FM+MN+DN的最小值；（3）如圖2，點H的坐標(biāo)為（0，﹣2），動點P在拋物線y2上，試探究是否存在點P，使∠PEH＝2∠DHE？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【2024年臨沂】16．任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運算，經(jīng)過有限次運算后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是“冰雹猜想”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點（x，y）中的x，y分別按照“冰雹猜想”同步進(jìn)行運算得到新的點的橫、縱坐標(biāo)，其中x，y均為正整數(shù)．例如，點（6，3）經(jīng)過第1次運算得到點（3，10），經(jīng)過第2次運算得到點（10，5），以此類推．則點（1，4）經(jīng)過2024次運算后得到點．22．（12分）一副三角板分別記作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于點M，EN⊥DF于點N，如圖1．（1）求證：BM＝EN；（2）在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點C與點E重合記為C，點A與點D重合，將圖2中的△DCF繞C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α后，延長BM交直線DF于點P．①當(dāng)α＝30°時，如圖3，求證：四邊形CNPM為正方形；②當(dāng)30°＜α＜60°時，寫出線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系，并證明；當(dāng)60°＜α＜120°時，直接寫出線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系．23．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P（2，﹣3）在二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的圖象上，記該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝m．（1）求m的值；（2）若點Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的圖象上，將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖象．當(dāng)0≤x≤4時，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；（3）設(shè)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交點為（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范圍．【2024年上?！?7．在平行四邊形ABCD中，∠ABC是銳角，將CD沿直線l翻折至AB所在直線，對應(yīng)點分別為C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，則cos∠ABC＝．18．對于一個二次函數(shù)y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一點P（x′，y′），使得x′﹣m＝y(tǒng)′﹣k≠0，則稱2|x′﹣m|為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和B（5，0）．（1）求平移后新拋物線的表達(dá)式；（2）直線x＝m（m＞0）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q；①如果PQ小于3，求m的取值范圍；②記點P在原拋物線上的對應(yīng)點為P′，如果四邊形P′BPQ有一組對邊平行，求點P的坐標(biāo)．25．（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，點E在邊AB上，且．（1）如圖1所示，點F在邊CD上，且，聯(lián)結(jié)EF，求證：EF∥BC；（2）已知AD＝AE＝1；①如圖2所示，聯(lián)結(jié)DE，如果△ADE外接圓的圓心恰好落在∠B的平分線上，求△ADE的外接圓的半徑長；②如圖3所示，如果點M在邊BC上，聯(lián)結(jié)EM、DM、EC，DM與EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM?DN，求邊CD的長．【2024年成都】22．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一條角平分線，E為AD中點，連接BE．若BE＝BC，CD＝2，則BD＝．23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣1圖象上三點．若0＜x1＜1，x2＞4，則y1y2（填“＞”或“＜”）；若對于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，則m的取值范圍是．25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），其頂點為C，D是拋物線第四象限上一點．（1）求線段AB的長；（2）當(dāng)a＝1時，若△ACD的面積與△ABD的面積相等，求tan∠ABD的值；（3）延長CD交x軸于點E，當(dāng)AD＝DE時，將△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′．將拋物線L平移得到拋物線L′，使得點A′，B′都落在拋物線L′上．試判斷拋物線L′與L是否交于某個定點．若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．26．（12分）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．【初步感知】（1）如圖1，連接BD，CE，在紙片ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究的值．【深入探究】（2）如圖2，在紙片ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點D恰好落在△ABC的中線BM的延長線上時，延長ED交AC于點F，求CF的長．【拓展延伸】（3）在紙片ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究C，D，E三點能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請說明理由．【2024年達(dá)州】10．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，點D，E分別在AC，BC邊上運動，連結(jié)AE，BD交于點F，且始終滿足AD＝CE，則下列結(jié)論：①＝；②∠DFE＝135°；③△ABF面積的最大值是4﹣4；④CF的最小值是2﹣2．其中正確的是（）A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在線段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，則△ABC的面積是．25．（12分）在學(xué)習(xí)特殊的平行四邊形時，我們發(fā)現(xiàn)正方形的對角線等于邊長的倍，某數(shù)學(xué)興趣小組以此為方向?qū)α庑蔚膶蔷€和邊長的數(shù)量關(guān)系探究發(fā)現(xiàn)，具體如下：如圖1．（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO．∴AB2＝AO2+BO2又∵AC＝2AO，BD＝2BO，∴AB2＝+．化簡整理得AC2+BD2＝．[類比探究]（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形，請說明邊長與對角線的數(shù)量關(guān)系．[拓展應(yīng)用]（3）如圖3，四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC，BD相交于點O，點E為AO的中點，點F為BC的中點，連接EF，若AB＝8，BD＝8，AC＝12，直接寫出EF的長度．（2024年德陽）已知⊙O的半徑為5，B、C是⊙O上兩定點，點A是⊙O上一動點，且∠BAC＝60°，∠BAC的平分線交⊙O于點D．（1）證明：點D為上一定點；（2）過點D作BC的平行線交AB的延長線于點F．①判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；②若△ABC為銳角三角形，求DF的取值范圍．【2024年廣安】10.如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣，0），對稱軸是直線x＝﹣，有以下結(jié)論：①abc＜0；②若點（﹣1，y1）和點（2，y2）都在拋物線上，則y1＜y2；③am2+bm≤a﹣b（m為任意實數(shù)）；④3a+4c＝0，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個25．（9分）如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，點D在BA的延長線上，∠DCA＝∠CBA．（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）點G是半徑OB上的點，過點G作OB的垂線與BC交于點F，與DC的延長線交于點E，若sinD＝，DA＝FG＝2，求CE的長．六、拓展探究題（10分）26．（10分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A坐標(biāo)為（﹣1，0），點B坐標(biāo)為（3，0）．（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．（2）點P是直線BC上方拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線交直線BC于點D，過點P作y軸的垂線，垂足為點E，請?zhí)骄?PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時P點的坐標(biāo)；若沒有最大值，請說明理由．（3）點M為該拋物線上的點，當(dāng)∠MCB＝45°時，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標(biāo)．【2024年涼山州】24．如圖，⊙M的圓心為M（4，0），半徑為2，P是直線y＝x+4上的一個動點，過點P作⊙M的切線，切點為Q，則PQ的最小值為．【2024年瀘州】11．已知二次函數(shù)y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自變量）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．1≤a＜ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．1≤a＜12．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，且滿足AE＝BF，AF與DE交于點O，點M是DF的中點，G是邊AB上的點，AG＝2GB，則OM+FG的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．1016．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個圖形先向上平移a（a＞0）個單位，再繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角度，這樣的圖形運動叫做圖形的ρ（a，θ）變換．如：點A（2，0）按照ρ（1，90°）變換后得到點A'的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點B（，﹣1）按照ρ（2，105°）變換后得到點B'的坐標(biāo)為．24．（12分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線與AC的延長線交于點D，點E在⊙O上，AC＝CE，CE交AB于點F．（1）求證：∠CAE＝∠D；（2）過點C作CG⊥AB于點G，若OA＝3，BD＝3，求FG的長．25．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（3，0），與y軸交于點B，且關(guān)于直線x＝1對稱．（1）求該拋物線的解析式；（2）當(dāng)﹣1≤x≤t時，y的取值范圍是0≤y≤2t﹣1，求t的值；（3）點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線AB于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．【2024年眉山】12．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，對稱軸為直線x＝1，下列四個結(jié)論：①bc＜0；②3a+2c＜0；③ax2+bx≥a+b；④若﹣2＜c＜﹣1，則﹣＜a+b+c＜﹣，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個18．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，連結(jié)BD．若AB＝10，BD＝2，則BC的長為．25．（10分）綜合與實踐問題提出：在一次綜合與實踐活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形的中心O處，并繞點O旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況．操作發(fā)現(xiàn)：將直角三角板的直角頂點放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中：（1）若正方形邊長為4，當(dāng)一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為；當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時，重疊部分的面積為．（2）若正方形的面積為S，重疊部分的面積為S1，在旋轉(zhuǎn)過程中S1與S的關(guān)系為．類比探究：如圖1，若等腰直角三角板的直角頂點與點O重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩條直角邊分別角交正方形兩邊于E，F(xiàn)兩點，小宇經(jīng)過多次實驗得到結(jié)論BE+DF＝OC，請你幫他進(jìn)行證明．拓展延伸：如圖2，若正方形邊長為4，將另一個直角三角板中60°角的頂點與點O重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板的直角邊交AB于點M，斜邊交BC于點N，且BM＝BN時，請求出重疊部分的面積．（參考數(shù)據(jù)：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣）【2024年南充】9．當(dāng)2≤x≤5時，一次函數(shù)y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，則實數(shù)m的值為（）A．﹣3或0 B．0或1 C．﹣5或﹣3 D．﹣5或110．如圖是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成．在正方形ABCD中，AB＝10．下列三個結(jié)論：①若tan∠ADF＝，則EF＝2；②若Rt△ABG的面積是正方形EFGH面積的3倍，則點F是AG的三等分點；③將△ABG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG'，則BG′的最大值為5+5．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③16．已知拋物線C1：y＝x2+mx+m與x軸交于兩點A，B（A在B的左側(cè)），拋物線C2：y＝x2+nx+n（m≠n）與x軸交于兩點C，D（C在D的左側(cè)），且AB＝CD．下列四個結(jié)論：①C1與C2交點為（﹣1，1）；②m+n＝4；③mn＞0；④A，D兩點關(guān)于（﹣1，0）對稱．其中正確的結(jié)論是.（填寫序號）24．（10分）如圖，正方形ABCD邊長為6cm，點E為對角線AC上一點，CE＝2AE，點P在AB邊上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時點Q在BC邊上以2cm/s的速度由點C向點B運動，設(shè)運動時間為t秒（0＜t≤3）．（1）求證：△AEP∽△CEQ．（2）當(dāng)△EPQ是直角三角形時，求t的值．（3）連接AQ，當(dāng)tan∠AQE＝時，求△AEQ的面積．25．（12分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖1，拋物線與y軸交于點C，點P為線段OC上一點（不與端點重合），直線PA，PB分別交拋物線于點E，D，設(shè)△PAD面積為S1，△PBE面積為S2，求的值．（3）如圖2，點K是拋物線對稱軸與x軸的交點，過點K的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點M，N，過拋物線頂點G作直線l∥x軸，點Q是直線l上一動點．求QM+QN的最小值．【2024年內(nèi)江】24．（6分）一個四位數(shù)，如果它的千位與十位上的數(shù)字之和為9，百位與個位上的數(shù)字之和也為9，則稱該數(shù)為“極數(shù)”．若偶數(shù)m為“極數(shù)”，且是完全平方數(shù)，則m＝．25．（6分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC邊上一點，且BE＝2，點I是△ABC的內(nèi)心，BI的延長線交AC于點D，P是BD上一動點，連接PE、PC，則PE+PC的最小值為．（2024年云南）如圖，AB是⊙O的直徑，點D、F是⊙O上異于A、B的點．點C在⊙O外，CA＝CD，延長BF與CA的延長線交于點M，點N在BA的延長線上，∠AMN＝∠ABM，AM?BM＝AB?MN．點H在直徑AB上，∠AHD＝90°，點E是線段DH的中點．（1）求∠AFB的度數(shù)；（2）求證：直線CM與⊙O相切；（3）看一看，想一想，證一證：以下與線段CE、線段EB、線段CB有關(guān)的三個結(jié)論：CE+EB＜CB，CE+EB＝CB