空間直線、平面的平行-教案課件-人教版高中數學必修第二冊

空間直線、平面的平行

【第一學時】

直線與直線平行

【學習目標】

1.理解基本事實4,并會用它解決兩直線平行問題

2.理解定理的內容，套用定理解決角相等或互補問題

【學習重難點】

1.基本事實4

2.等角定理

【學習過程】

一、問題導學

預習教材內容，思考以下問題：

1.基本事實4的內容是什么？

2.定理的內容是什么？

二、新知探究

探究__________________________

基本事實4的應用

例1：如圖，E,尸分別是長方體A3CD-分B是出的棱AA,GC的中點.求

證：四邊形8班。尸為平行四邊形.

5G

AR

探究點圖L

定理的應用

例2：如圖所示，不共面的三條射線OA,OB,0C,點4,

Bi,G分別是04,OB,0C上的點，且甯=嘿=弟.

（7/1OD（7C

求證：△AiBiGs^ABC.

【學習小結】

1.基本事實4

（1）平行于同一條直線的兩條直線壬紅.這一性質通常叫做平行線的傳遞

a//b

性.（2）符號表示：\^a//c.

b//c.

2.等角定理

如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

【精煉反饋】

1.如圖，長方體48co-ABC中，M是的中點,

N是BiC的中點，求證：CM〃4N.

【第二學時】

直線與平面平行

【學習目標】

1.理解直線與平面平行的定義，會用圖形語言、文字語言、符號語言準確

描述直線與平面平行的判定定理，會用直線與平面平行的判定定理證明一些空間

線面位置關系

2.理解并能證明直線與平面平行的性質定理，明確定理的條件，能利用直

線與平面平行的性質定理解決有關的平行問題

【學習重難點】

1.直線與平面平行的判定

2.直線與平面平行的性質

【學習過程】

一、問題導學

預習教材內容，思考以下問題:

1.直線與平面平行的判定定理是什么？

2.直線與平面平行的性質定理是什么？

二、合作探究

探究點@

直線與平面平行的判定

例1：如圖，在正方體ABCD-41B1C1D中,E,

BC,CCi,的中點，求證：EV〃平面ADiG

探究點晝L

線面平行性質定理的應用

例2：如圖，P是平行四邊形A8CO所在平面外的一點，M是PC的中點,

在。M上取一點G,過點G和AP作平面，交平面30M于G”.求證：A尸〃GH

【學習小結】

i.直線與平面平行的判定定理

如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,

文字語言

那么該直線與此平面平行

符號語言aQa,bua,旦b=a〃a

----a

圖形語言z一—

2.直線與平面平行的性質定理

一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此

文字語言

平面相交，那么該直線與交線平行

符號語言a//a,au6,aC6=bna//b

圖形語言J47

【精煉反饋】

1.已知人是平面a外的一條直線，下列條件中，可得出匕〃a的是()

A.。與a內的一條直線不相交

B.。與a內的兩條直線不相交

C.。與a內的無數條直線不相交

D.與a內的所有直線不相交

2.給出下列命題：

①如果一條直線不在平面內，則這條直線就與這個平面平行；

②過直線外一點，可以作無數個平面與這條直線平行；

③如果一條直線與平面平行，則它與平面內的任何直線平行.

其中正確命題的個數為()

A.0B.1

C.2D.3

3.三棱臺A5C-4BC中，直線A3與平面43cl的位置關系是()

A.相交B.平行

C.在平面內D.不確定

4.如圖，直三棱柱ABC-A山Ci中，。是AB的中點.證明：8G〃平面AiCD

【第三學時】

平面與平面平行

【學習目標】

1.理解平面與平面平行的定義，會用圖形語言、文字語言、符號語言準確

描述平面與平面平行的判定定理，會用平面與平面平行的判定定理證明空間面面

位置關系

2.理解并能證明平面與平面平行的性質定理，能利用平面與平面平行的性

質定理解決有關的平行問題

【學習重難點】

1.平面與平面平行的判定

2.平面與平面平行的性質

【學習過程】

一、問題導學

預習教材內容，思考以下問題：

1.面面平行的判定定理是什么？

2.面面平行的性質定理是什么？

二、合作探究

探究點15L

平面與平面平行的判定0.G

例1：如圖所示，已知正方體ABC。A\B\C\D\.

(1)求證：平面41?！ㄆ矫?1出C；

(2)若E,尸分別是A4i,CG的中點，求證：平面

B

平面FBD.

［變條件］把本例(2)的條件改為“E,F分別是A4i與CCi上的點，且4E

=%iA”，求F在何位置時，平面EBOi〃平面FBD?

明：解：當尸滿足時，兩平面平行，下面給出證i會-f----

在D\D上取點M,［/痣j/c

且DM=：DDi,"B

連接AM,FM,

則AE^DiM,

從而四邊形是平行四邊形.

所以D\E//AM.

同理，FM^CD,

又因為AB幺CO,所以幺AB,

從而四邊形尸MAB是平行四邊形.所以

即有D\E//BF又BFu平面FBD,

Q1EC平面FBD,

所以。歸〃平面FBD.

又BiB幺DiD,從而四邊形831。。是平行四邊形.故而

又BDu平面FBD,平面FBD,

從而3101〃平面FBD,

又。1后門8。1=。1,

所以平面E8Q〃平面FBD.

探究點回L

面面平行性質定理的應用

例2：如圖所示，兩條異面直線A4,。。與兩平行平面a,4分別交于點8,

A和。，C,點M,N分別是AB,CD的中點，求證：MN〃平面

互動探究

1.［變條件］在本例中將M，N分別為AB,C。的中點換為M,N分別在線

段A8,CO上，且鐳=/，其他不變.

證明：MN〃平面a.

證明：作AE〃C。交a于點E,連接AC,BD,如圖.

因為a〃夕且平面AEDC與平面a,4的交線分別為ED,

AC,所以AC〃紅＞,所以四邊形AEDC為平行四邊形，作NP

〃DE交AE于點P,

連接MP,BE,于喘CN=釜AP

I'lUrtL

又因為MB=ND'所以所'以MP//BE.

而BEua,MP^a,所以MP〃a.同理PN〃a.

又因為MPCNP=P,所以平面MPN〃平面a.

又MNu平面MPN,所以MN〃平面a.

2.［變條件、變問法］兩條異面直線與三個平行平面a,夕，y分別交于A,B,

C和。，E,F,求證：第=等.

證明：連接Ab交平面￡于點M.

連接MB,ME,BE,AD,CF,因為a〃夕，

所以ME//AD.

所以匹=則

MF'

同理，BM//CF,

hqABAM

加以MF'

BC~EF-

探究點酉—

平行關系的綜合問題

例3：在正方體ABCD4BGD1中，如圖.

(1)求證：平面AID〃平面。山￡＞；

(2)試找出體對角線4C與平面AB。和平面CiBD的

交點E,F,并證明：AiE=EF=FC.

【學習小結】

1.平面與平面平行的判定定理

如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,那

文字語言

么這兩個平面平行

符號語言auB，bu[3,a"a,:〃/=8〃a

/W7

圖形語言口

2.平面與平面平行的性質定理

兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么

文字語言

兩條交線平行

符號語言a〃B，aC\y=a,/3C\v=b=>a//b

圖形語言

【精煉反饋】

1.已知a,夕是兩個不重合的平面，下列選項中，一定能得出平面a與平面

用平行的是()

A.平面a內有一條直線與平面夕平行

B.平面a內有兩條直線與平面￡平行

C.平面a內有一條直線與平面夕內的一條直線平行

D.平面a與平面4不相交

2.如圖所示，尸是三角形ABC所在平面外一點，平面a〃f

平面ABC,a分別交線段%,PB,PC于4,B',C,若N七7

A4，=2：3,則SMEC：SAABC等于()

A.2：25B,4：25

C.2：5D.4：5

3.在棱長為2的正方體ABCD-AIBCIOI中，M是棱A41的中點，過C,M,

作正方體的截面，則截面的面積是

4.如圖，已知與CO是異面直線，且AB〃平面a,CO〃平面a,ACHa

=E,ADHa=F,BDC\a=G,BCna=H.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

【參考答案】

【第一學時】

二、新知探究

例1：【答案】如圖所示，取。。的中點。連接E。，QG.

因為E是/Ui的中點，所以EQ幺401.

因為在矩形AiBGDi中，AIDI^BICI,

所以E。幺BG,

所以四邊形EQG3為平行四邊形，所以BE幺G0.

又Q，尸分別是。Q,GC的中點，

所以Q。幺GR

所以四邊形OQCiF為平行四邊形，

所以C\Q^FD.

又B\Ek\Q,所以BEZFD,

故四邊形BEDb為平行四邊形.

4

E

A

例2：【答案】在△0A8中，因為第=喘,所以ABi〃AR

同理可證4C〃AC,B\C\//BC.

所以NG48i=NC48,ZA\B\C\=ZABC.

所以iBiCis△ABC.

【精煉反饋】

1.【答案】證明：取的中點P,連接CiP,MP,則4P=；AQ.又N為

51c的中點,BiCi^AiDi,

所以GN幺抬I,四邊形BAiNCi為平行四邊形，A\N//C\P.

又由PM幺。Di幺CCi,得。尸〃CM.所以CM〃AiN.

2.【答案】如圖，已知直線a,分為異面直線，A,B,C為直線。上三點，

D,E,F為直線力上三點，4,B',C,D',￡分別為A。，DB,BE,EC,CE的

中點.求證：ZA'B'C'=ZC'D'E'.

AB

證明:因為4,9分別是AO,的中點，所以A5〃a,

同理CO〃a,B'C'//b,D'E'//b,所以B'C//D'E'.

又ZA'B'C的兩邊和NCOE的兩邊的方向都相同，

所以N4QC=NCOE1

【第二學時】

二、合作探究

例1：【答案】連接BG,則由E,尸分別是BC,CG的中點，知EF〃BG.

又A8幺A出幺。Ci,所以四邊形出是平行四邊形,

所以所以E尸〃ADi.

又ERI平面AOiG,AUu平面AUG,

所以EF〃平面AOiG.

例2：【答案】如圖，連接AC,交BD于點O,連接MO.

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以點。是AC的中點.

又因為點M是PC的中點，

所以AP〃OM.

又因為AE平面8￡>M,OMu平面

所以AP〃平面BDM.

因為平面刑HGCI平面BDM=GH,

APu平面R1HG,所以AP〃GH.

【精煉反饋】

1.【答案】D

【解析】選D.若人與a內的所有直線不相交，即b與a無公共點，故b〃a.

2.【答案】B

【解析】選B.①中，直線可能與平面相交，故①錯；②是正確的；③中，一

條直線與平面平行，則它與平面內的直線平行或異面，故③錯.

3.【答案】B

【解析】選B在三棱臺ABCAiBiC中,AB//A\B\,A8Q平面AiBici

平面A1BC1,所以AB〃平面AIBICI.

4.【答案】證明：如圖，連接AG交4c于點R則廠為AG的中點.

又。是A8的中點，連接OF,則。/〃BG.

因為OFu平面4CD,BGC平面ACD,所以3?！ㄆ矫鍭CD

【第三學時】

例1：【答案】(1)因為幺DO”

所以四邊形BBQD是平行四邊形，

所以301〃3。，又8D0平面

BiDiU平面BD1C,所以平面BiDiC.

同理AQ〃平面B\D\C.

又AiOn8O=O,

所以平面A1B。〃平面BiDC

(2)由

得8。〃平面EB\D\.

取881的中點G,

連接AG,GF,

易得AE〃BG,

又因為AE=BG,

所以四邊形AEBG是平行四邊形，

所以B\E//AG.

易得GF〃AD,又因為GF=AO,

所以四邊形ADFG是平行四邊形，

所以AG〃OF,所以8iE〃DF,

所以OF〃平面EB\D\.

又因為BDCDF=D,

所以平面平面FBD.

例2：【證明】如圖，過點A作AE〃C。交a于點E,取AE?、c

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的中點P,連接MP,PN,BE,ED,BD,AC.

因為AE〃CQ,所以AE,CD確定平面AEDC.

則平面AEOCna=OE,平面4即。0夕=4。，因為a〃尸,

所以AC〃OE.

又P,N分別為AE,CD的中點,

所以PN〃DE,PNta,DEua,所以PN〃a.

又M,P分別為AB,AE的中點，

所以M尸〃BE,且MPCa,BEua.

所以M尸〃a,因為MPCPN=P,

所以平面MPN//a.

又MNu平面MPN,所以MN〃平面a.

例3：【答案】解：(1)證明：因為在正方體ABC。ABGOi中，A。幺BG,

所以四邊形AB\C\D是平行四邊形，

所以AB〃GD

又因為CiOu平面CiBD,ABC平面C1BD.

所以〃平面C\BD.

同理平面CiBD.

又因為ABIPBIDI=Bi,Abu平面ABOi,BiDiu平面AB\D\，所以平面ABDi

〃平面C\BD.

(2)如圖，連接4G交BA于點。，連接4C,連接

與4c交于點￡

又因為AOu平面ABOi,所以點E也在平面AB1D1內，所

以點E就是AC與平面ABDi的交點；

連接AC交8。于O,連接GO與AC交于點尸，則點尸就是AC與平面

C\BD的交點.證明AiE=EF=FC的過程如下：

因為平面AiCCn平面AB\D\=EO\,

平面AiCiCC平面C\BD=C\F,

平面ABD〃平面CiB。，所以E