2024屆上海黃浦區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷和答案

高中PAGE1高中2024年上海黃浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一、填空題1.已知集合，則__________．2.若函數(shù)為偶函數(shù)，則_______3.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則滿足的復(fù)數(shù)為__________．4.若雙曲線經(jīng)過點，則此雙曲線的離心率為__________．5.已知向量，則向量與夾角的余弦值為__________．6.若一個棱長為2的正方體的八個頂點在同一個球面上，則該球的體積為__________．7.某城市30天的空氣質(zhì)量指數(shù)如下：29，26，28，29，38，29，26，26，40，31，35，44，33，28，80，86，65，53，70，34，36，，31，38，63，60，56，34，74，34．則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為__________．8.在中，三個內(nèi)角的對邊分別為，若，則的值為__________．9.某校共有400名學(xué)生參加了趣味知識競賽（滿分：150分），且每位學(xué)生的競賽成績均不低于90分．將這400名學(xué)生的競賽成績分組如下：，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則這400名學(xué)生中競賽成績不低于120分的人數(shù)為__________．10.若是一個三角形的內(nèi)角，且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是__________．11.設(shè)是首項為3且公比為的等比數(shù)列，則滿足不等式的最小正整數(shù)的值為__________．12.若正三棱錐的底面邊長為6，高為，動點P滿足，則的最小值為__________．二、選擇題13.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是（）A. B. C. D.15.若實數(shù)滿足，則必有（）A. B. C.D.16.在平面直角坐標(biāo)系中，對于定點，記點集中距離原點O最近點為點，此最近距離為．當(dāng)點P在曲線上運動時，關(guān)于下列結(jié)論：①點的軌跡是一個圓；②的取值范圍是．正確的判斷是（）A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立三、解答題17.已知等比數(shù)列是嚴格增數(shù)列，其第3、4、5項的乘積為1000，并且這三項分別乘以4、3、2后，所得三個數(shù)依次成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若對任意的正整數(shù)n，數(shù)列的前n項和，向量的模為，求數(shù)列的前n項和．18.如圖，平面平面，四邊形是正方形，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正切值．19.某公園的一個角形區(qū)域如圖所示，其中．現(xiàn)擬用長度為100米的隔離檔板（折線）與部分圍墻（折線）圍成一個花卉育苗區(qū)，要求滿足．（1）設(shè)，試用表示；（2）為使花卉育苗區(qū)的面積最大，應(yīng)如何設(shè)計？請說明理由．20.設(shè)a為實數(shù)，是以點為頂點，以點為焦點的拋物線，是以點為圓心、半徑為1的圓位于y軸右側(cè)且在直線下方的部分．（1）求與的方程；（2）若直線被所截得的線段的中點在上，求a的值；（3）是否存在a，滿足：在的上方，且有兩條不同的切線被所截得的線段長相等？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．21.設(shè)函數(shù)與的定義域均為，若存在，滿足且，則稱函數(shù)與“局部趨同”．（1）判斷函數(shù)與是否“局部趨同”，并說明理由；（2）已知函數(shù)．求證：對任意的正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”；（3）對于給定的實數(shù)，若存在實數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：一．填空題：1、；2、1；3、；4、；5、；6、；7、56；8、；9、；10、；11、25；12、8；二．選擇題：13、A；14、B；15、D；16、C；三．解答題：17、（1）因為等比數(shù)列為嚴格增數(shù)列，所以其公比，由分別乘以4,3,2后依然成等差數(shù)列，得，有，即，由，解得，所以；（2）由題意知，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，又，所以，解得，所以，則，所以數(shù)列的前n項和為.18、（1）由于，所以四邊形是等腰梯形，，所以到的距離是，所以.依題意，平面平面，四邊形是正方形，由此以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，由于，所以，所以平面.（2）平面的一個法向量為，，，設(shè)平面法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則，則，所以.19、（1），，，，，設(shè),，則,，則，，則，則，即，即則，則，則可得：則，則，則，則，則，則，即，即，即.（2）設(shè)，由（1）得，則，，，，，，要使花卉育苗區(qū)的面積最大，則，即，故當(dāng),時，花卉育苗區(qū)的面積最大，最大為1250.20、（1）設(shè)，則，解得，故，依題意有.（2）設(shè)被所截得的線段為，中點為，聯(lián)立和有，故，故，代入得：，解得.（3）如圖，在的上方時，拋物線和圓無交點，聯(lián)立和有且，解得，顯然，切線斜率存在，設(shè)切線方程為，由為四分之一圓知，又圓心到切線的距離等于半徑：，故，切線方程為，與聯(lián)立得，設(shè)被所截得的線段為，則，，記，則，，記，則，依題意有：對給定的，使得和有兩個交點，由知使即可，否則在上單調(diào)，不存在使得，而，故只需，解得，綜上所述：.21、（1）由，，得，，令，解得：，，且，即不存在，滿足且，則函數(shù)與不是“局部趨同”；（2）函數(shù)，則，若函數(shù)與“局部趨同”，則存在，滿足且，即，且，則若有解，不論為何值，都存在，滿足且，即對任意正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”，即，其，即有解，所以對任意的正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”，（3）若函數(shù)與“局部趨同”，則且，由，得，即