新課標高中數(shù)學人教A版必修1全冊導學案（附習題答案）

§集合的含義及其暗示

［自學目標］

1.認識并理解集合的含義，知道經(jīng)常使用數(shù)集及其記法；

2.了解屬于關(guān)系和集合相等的意義，初步了解有限集、無限集、

空集的意義；

3.初步掌握集合的兩種暗示方法一列舉法和描述法，并能正確地

暗示一些簡單的集合.

［知識要點］

1.集合和元素

(1)如果a是集合A的元素,就說a屬于集合A,記作aeA；

(2)如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A,記作

2.集合中元素的特性:確定性;無序性;互異性.

3.集合的暗示方法:列舉法;描述法;Venn圖.

4集合的分類?有限集?于限集?空集

5：經(jīng)常使用數(shù)集及其記法：自然數(shù)集記作N,正整數(shù)集記作N*或時,

整數(shù)集記作Z,有理數(shù)集記作Q,實數(shù)集記作R.

［預習自測］

例L下列的研究對象能否構(gòu)成一個集合?如果能,采納適當?shù)姆绞?/p>

喑小它.

(1)小于5的自然數(shù)；

(2)某班所有高個子的同學；

(3)不等式2x+l>7的整數(shù)解；

(4)所有年夜于0的負數(shù)；

(5)平面直角坐標系內(nèi)，第一、三象限的平分線上的所有點.

分析：判斷某些對象能否構(gòu)成集合,主要是根據(jù)集合的含義,檢查

是否滿足集合元素簡直定性.

例2.已知集合"=｛a,b,c｝中的三個元素可構(gòu)成某一個三角形的三

邊的長,那么此三角形

一定是

()

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰

三角形

例3.設(shè)aeN,beN,a+b=2,A=+(y-a)~=5人｝,若(3,2)eA,

求a,b的值.

分析：某元素屬于集合A,必具有集合A中元素的性質(zhì)P，反過來，

只要元素具有集合A中元素的性質(zhì)P,就一定屬于集合A.

例4.已知M={2,a,。},N={2a,2,b",且"=',求實數(shù)a力的值.

［課內(nèi)練習］

1.下列說法正確的是()

(A)所有著名的作家可以形成一個集合(B)0與{0}的意義相同

(C)集合A={x|x=L〃eN+,是有限集(D)方程，+2x+l=0的解

集只有一個元素

2.下列四個集合中，是空集的是()

A.{x|x+3=3}B.{(x,y)|y2=-x2,x,yeR}

C.{x\x2<0}D.{x［%2一x+i=0}

3.方程組{二;二:的解構(gòu)成的集合是()

A.{(1,1)}B.{1,1}C.(1,1)

D.{1}.

4.已知A={—2,—1,0,1},3={y|y=WxeA},則B=

5.若A={-2,2,3,4},5={x|x=產(chǎn),用列舉法暗示B=.

［歸納反思］

1.本課時的重點內(nèi)容是集合的含義及其暗示方法，難點是元素與

集合間的關(guān)系以及集合元素的三個重要特性的正確使用；

2.根據(jù)元素的特征進行分析,運用集合中元素的三個特性解決問

題，叫做元素分析法.這是解決有關(guān)集合問題的一種重要方法；

3.確定的對象才華構(gòu)成集合.可依據(jù)對象的特點或個數(shù)的幾多來

暗示集合，如個數(shù)較少的有限集合可采納列舉法,而其它的一般采

納描述法.

4.要特別注意數(shù)學語言、符號的規(guī)范使用.

［鞏固提高］

1.已知下列條件：①小于60的全體有理數(shù)；②某校高一年級的

所有學生；③與2相差很小的數(shù)；④方程/=4的所有解.其中不

成以暗示集合的有--------------------()

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.下列關(guān)系中表述正確的是-------------------------------

---------()

0050

A.B.E?)}C,OG0D.OGN

3.下列表述中正確的是------------------------------------

----------()

A.{0}=°B,{1,2}={2,1}C.{0}=0D.0史N

2

4.已知集合A={a—3,2a_l,a2_i},若-3是集合A的一個元素，則。的

取值是()

A.0B.-1C.1D.2

x=3+2y

5.方程組15x+y=4的解的集合是一-

()

A.{(IT)}B.{(Tl)}C.

D.{T［}

2冗+4>0

6.用列舉法暗示不等式組h+的整數(shù)解集合為：

7.設(shè)9W=則集合卜X=…=°>中所有元素的和

為：

8、用列舉法暗示下列集合：

⑴{(x,y)|x+y=3,xeN,yeN}(2){小+y=3”N,ywN}

9.已知2={1,2,V—5x+9},廬{3,V+ax+a},如果A={1,2,3),2

WB,求實數(shù)a的值.

10.設(shè)集合A={巾eZ,|〃|<3},集合8={小=/_144},

C={(再汕“TX"}‘集合，試用列舉法分別寫'出集合A、B、

’C.

子集、全集、補集

［自學目標］

1.了解集合之間包括關(guān)系的意義.

2.理解子集、真子集的概念.

3.了解全集的意義,理解補集的概念.

［知識要點］

1.子集的概念：如果集合A中的任意一個元素都嬖食2中的元

素(若aeA,則aeB),那么稱集合A為集合B的4T^et),

I已作AqB或B衛(wèi)A,.

A=8還可以用Venn圖暗示.

我彳］規(guī)定：0=A.即空集是任何集合的子集.

根據(jù)子集的界說，容易獲得：

⑴任何一個集合是它自己的子集，即A1A.

⑵子集具有傳遞性，即若AqB且BqC,則A=C.

2.真子集：如果且這同集合A稱為集合B的真子集

3

(propersubset).

記作：緊B

⑴規(guī)定：空集是任何非空集合的真子集.

⑵如果專聽B。，/巳AC

3.兩個集合相等：如果與BqA同時成立，那么A6中的元素

是一樣的，即A=B.

4.全集：如果集合S包括有我們所要研究的各個集合，這時S可

以看作一個全集(Universalset)，全集通常記作U.

5.補集：設(shè)AqS,由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S

的子集A的補集

(complementaryset),記作：6SA(讀作A在S中的補集)，即

補集的Venn圖暗示：

［預習自測］

例1.判斷以下關(guān)系是否正確：

⑴㈤=嘰⑵{123}={321}；(3)0^{0}.

€0e0=

(4)0{0}.(5){0}.(6){0};

例2.^：A={x|-l<x<3,xeZ},寫出A的所有子集.

例3.已知集合”={。,。+”,4+24,N={aq,aq1},其中。。0且加=",

求4和d的值(用“暗示).

例4.設(shè)全集U={2,3,/+2a—3},A={|2?-1|,2),QA={5},求實數(shù)a的值.

例5.已知A={x|x<3},8={x|x<a}.

⑴若求a的取值范圍；

⑵若A=求a的取值范圍；

⑶若O要泮，求。的取值范圍.

［課內(nèi)練習］

1.下列關(guān)系中正確的個數(shù)為O

①0￡{0},②①00},③{0,1}之{(0.1)}，④{(a,b)}=

{(b,a)}

A)1(8)2(03(〃)4

2.集合{2,4,6,8}的真子集的個數(shù)是()

(A)16(B)15(014(D)13

3.集合A={正方形},8={矩形},C={平行四邊形},。={梯形}，則下面包

括關(guān)系中不正確的是()

(A)A^B(B)BcC(C)C^D

4

(D)AcC

4.若集合，則6=.

5.已知M={x|2Wx<5},N={x|a+l〈x〈2a1}.

(1)若M=N,求實數(shù)a的取值范圍；

(II)若M?N,求實數(shù)a的取值范圍.

[歸納反思]

1.這節(jié)課我們學習了集合之間包括關(guān)系及補集的概念，重點理解

子集、真子集,補集的概念，注意空集與全集的相關(guān)知識，學會

數(shù)軸暗示數(shù)集.

2.深刻理解用集合語言敘述的數(shù)學命題，并能準確地把它翻譯成

相關(guān)的代數(shù)語言或幾何語言，抓住集合語言向文字語言或圖形

語言轉(zhuǎn)化是翻開解題年夜門的鑰匙，解決集合問題時要注意充

沛運用數(shù)軸和韋恩圖，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的思想方法的巨年夜威力.

[鞏固提高]

1.四個關(guān)系式：①0u{O};②Oe{0};③0e{O};④0={0}.其中

表述正確的是[]

A.①，②B.①，③C.①，④

D.②，④

2.若上叮Ix是三角形},P={x|x是直角三角形}，則。。尸二-

A.{x|x是直角三角形}B.{x|

x是銳角三角形}

C.{x|x是鈍角三角形}D.{x|

x是銳角三角形或鈍角三角形}

3.下列四個命題：①0={0}；②空集沒有子集；③任何一個集合

必有兩個子集；④空集是任何一個集合的子集.其中正確的有-一

[]

A.0個B.1個C.2個D.3個

4.滿足關(guān)系{1,2}緊4{1,2,3,4,5}的集合A的個數(shù)是--------------

------------[]

A.5B.6C.7D.8

5.若eR,A={(x,y)|y=x},8==,則A,B的關(guān)系是---

[]

A緊ABB.ABC.A=B

D.AQB

5

6.設(shè)A={x|xW5,xwN},B={x|1<X<6,XeN},則C/=

7.U={x|Y_8x+i5=o,xe&},則U的所有子集是

8.已知集合A={x|"x<5},B={x\x2},且滿足A=B,求實數(shù)a

的取值范圍.

9.已知集合P-{x|x2+x-6=0,xe/?),S-{x|ax+1=0,xeR},

若ScP,求實數(shù)a的取值集合.

10.已知加小|x〉o,xe/?},N={x［x>a,xe/?)

(1)若M=N,求a得取值范圍；

(2)若求a得取值范圍；

(3)若求。得取值范圍.

交集、并集

［自學目標］

1.理解交集、并集的概念和意義

2.掌握了解區(qū)間的概念和暗示方法

3.掌握有關(guān)集合的術(shù)語和符號

［知識要點］

1.交集界說：AAB={x|x￡A且x￡B}

運算性質(zhì)：(l)AGBA,AGBB

(2)AGA=A,AC6=6

(3)ADB=BAA

(4)ABACIB=A

2.并集界說：AUB={x|x￡A或x￡B}

運算性質(zhì)：⑴A(AUB),B(AUB)(2)AUA-A,AU

@=A

(3)AUB-BUA(4)ABAUB=B

［預習自測］

1.設(shè)人=收N>-2},8=權(quán)鼠<3},求AGB和AUB

2.已知全集U={xix取不年夜于30的質(zhì)數(shù)},A、B是U的兩個子

集，且AAGB二

{5,13,23},CuAnB={H,19,29},GAnCuB={3,7},求A,B.

3.設(shè)集合A={|a+l|,3,5},集合B={2a+1,a2+2a,a2+2a—1}AD

BE2,3}時，

求AUB

［課內(nèi)練習］

1.設(shè)A=(-l,3］,B=［2,4),求AGB

2.設(shè)A=(0,l］,B={0},求AUB

6

3.在平面內(nèi)，設(shè)A、B、0為定點,P為動點，則下列集合暗示什么

圖形

(1){P|PA=PB}(2){PPO=1}

4.設(shè)A={(x,y)|y=-4x+b},B={(x,y)|y=5x一3}，求AGB

5.設(shè)A={x|x=2k+1,k《Z},B={x|x=2k—l,k￡Z},C={x|x=2k,k￡

Z},

求AGB,AUC,AUB

［歸納反思］

1.集合的交、并、補運算，可以借助數(shù)軸，還可以借助文氏圖，它

們都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)

2.分類討論是一種重要的數(shù)學思想法，明確分類討論思想,掌握分

類討論思想方法.

［鞏固提高］

1.設(shè)全集U={a,b,c,d,e},N={b,d,e)集合M={a,c,d),則Cu(MUN)

即是

2.設(shè)A={x|xV2},B={x|x>l},求AAB和AUB

3.已知集合A=［1,4),B=(-8,a),惹AB,求實數(shù)a的取值范圍

4.求滿足{1,3}UA={1,3,5}的集合A

5.設(shè)八二以及一x—2=0},B=(-2,2］,求AGB

6、設(shè)A={(x,y)|4x+my=6},B={(x,y)|y=nx—3}且AG

B={(1,2)},

則m=n=

7、已知A={2,—l,x2—x+l},B={2y,—4,x+4},C={-1,7}且An

B=C,求x,y的值

8、設(shè)集合A={x|2x2+3px+2=0},B={x|2x2+x+q=0},其中p,q,x￡R,

且AGB={L}時，求P的值和AUB

2

9、某車間有120人,其中乘電車上班的84人,乘汽車上班的32人,

兩車都乘的18人，求：⑴只乘電車的人數(shù)⑵不乘電車的人數(shù)⑶

搭車的人數(shù)⑷只乘一種車的人數(shù)

1。設(shè)集合A={x|x"+2(a+1)x+a2—1=0},B={x|x2+4x=0}

⑴若AGB=A，求a的值

⑵若AUB=A，求a的值

集合復習課

［自學目標］

1.加深對集合關(guān)系運算的認識

2.對含字母的集合問題有一個初步的了解

7

［知識要點］

1.數(shù)軸在解集合題中應用

2.若集合中含有參數(shù),需對參數(shù)進行分類討論

［預習自測］

1.含有三個實數(shù)的集合可暗示為卜，,1卜也可暗示為{/，H初},求

2003+^2004

2.已知集合A={x［x<-1或x>2},集合B={X|4X+“<0},那時A=求

實數(shù)P的取值范圍

3.已知全集U={1,3,xi+3x2+2x},\={l,,2x—1|},若GA={0},則

這樣的實數(shù)x是否存在,若存在,求出x的值,若不存在,說明理

由

［課內(nèi)練習］

1.已知A={x|x<3},B={x|x〈a}

(1)若BA,求a的取值范圍

(2)若AyB,求a的取值范圍

(3)若C嬴&B,求a的取值范圍

2.若P={y|y=x；xGR},Q={y|y=x?+l,x￡R},則PGQ二

3.若P={y|y=x；x￡R},Q={(x,y)|y=x；x￡R},貝PGQ=

4.滿足{a,毛}A{a,b,c,d,e}的集合A的個數(shù)是

［歸納反思］

1.由條件給出的集合要明白它所暗示的含義，即元素是什么？

2.含參數(shù)問題需對參數(shù)進行分類討論，討論時要求既不重復也不

遺漏.

［鞏固提高］

1.已知集合后{x|x3-2x2—x+2=0},則下列各數(shù)中不屬于M的一

個是()

A.—1B.1C.2

D.—2

2.設(shè)集合A={x|—1WXV2},B={x|x<a}，若AGBW則a的

取值范圍是()

A.a<2B.a>一2C.a>—1D.—l〈a<2

3.集合A、B各有12個元素,AAB中有4個元素,則AUB中元素

個數(shù)為

4.數(shù)集M={xIx=左+工,左eN},N={Xx=V」,％eN},則它們之間

424

的關(guān)系是

8

5.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x—y=4},那么集

合MAN=

6.設(shè)集合A={x|x‘一px+15=0},B={x|x2—5x+q=0},若AU

B={2,3,5},則A=

B二

7.已知全集U=R,A={x|xW3},B={x0>xW5},求(CuA)AB

8.已知集合人=權(quán)日2—3x+2=0),B={x|x2—mx+保-1)=0},且8A,

求實數(shù)m的值

9.已知A={x|x2+x—6=0},B={x|mx+l=O},且AUB=A,求實數(shù)m的

取值范圍

10.已知集合A=收|一2<x<一1或x>0},集合B={x|aWxWb},

滿足AnB={x|0VxW2},AUB={x|x>—2},求a、b的值

§函數(shù)的概念與圖象(1)

［自學目標］

1.體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學模型，理解函

數(shù)的概念.

2.了解而成函數(shù)的要素有界說域、值域與對應法則；

［知識要點］

1.函數(shù)的界說：y=/(%),xeA.

2.函數(shù)概念的三要素：界說域、值域與對應法則.

3.函數(shù)的相等.

［預習自測］

例1.判斷下列對應是否為函數(shù)：

2

(1)—H;

X

(2)xfy,這里丁=%,無￡N,y￡R

彌補：(1)A=R,B={xeR|x>0},fy=\x\;

(2)A=3=.y=

(3)A={XG/?Ix>0},B=R廳：x.y=±G;

(4)A={x|0WxW6},6={X()WxW3}J:x->y=5

分析：判斷是否為函數(shù)應從界說入手，其關(guān)鍵是是否為單值

對應,單值對應的關(guān)鍵是元素對應的存在性和唯一性.

例2.下列各圖中暗示函數(shù)的是-----------------------------

-------------［］

9

D

例3.在下列各組函數(shù)中，/(x)與g(x)暗示同一函數(shù)的是

A./(X)=1,g(x)=x。B.y=Xy=

c.y=%2與y=(x+i)2D./(x)=|XI,g(x)=V?

r3x-6(x，0)

例4已知函數(shù)y(x)q求/⑴及/"⑴］

x+5(x<0),

［課內(nèi)練習］

-----------()

A.(1)(2)(4)B.(1)(2)C.(2)(3)(4)

D.(1)(4)

2.下列四組函數(shù)中，暗示同一函數(shù)的是-----------------------

-----------()

A.y="Y-12x+9和y=|3-2.B.y-x1^\y=

C.j?=x^0y=>/j?D.曠=》和/=(4)

3.下列四個命題

(1)f(X)=Jx-2+71-X有意義；

(2)/(x)暗示的是含有x的代數(shù)式

(3)函數(shù)y=2x(xeN)的圖象是一直線；

(4)函數(shù)y=Kf-0的圖象是拋物線，其中正確的命題個數(shù)是

-x2,x<0

()

A.1B.2C.3D.0

io

4.已知f(x)二卜-T("D,則f(正)=；

l-x2(x<l)3

5.已知5滿足F(a6)=f(a)+f{b),且f(2)=p,f(3)=q那么f(72)=

［歸納反思］

1.本課時的重點內(nèi)容是函數(shù)的界說與函數(shù)記號的意義，難點

是函數(shù)概念的理解和正確應用；

2.判斷兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)，是函數(shù)概念的一個重要應用，

要能緊扣函數(shù)界說的三要素進行分析，從而正確地作出判斷.

［鞏固提高］

1.下列各圖中，可暗示函數(shù)y=/(x)的圖象的只可能是---------

ABC

D

2.下列各項中暗示同一函數(shù)的是---------------------------

-------------[]

A.y=(x-l)°與y=lB.y=^x2,y=

x3

2x

C.y=x-l,xeR與y=x-l,xeND.f(x)-2x-1與

g?)=2I

3.若/(x)=Q為常數(shù))，〃0)=3,則。=-------------------

——[]

A.-1B.1

C.2D.-2

4.設(shè)，a)=N，"±i,則/1(一)即是--------------------------

x-1

------[]

D./(%)

5.已矢口/(x)=/+i,貝⑵=,/(x+i)=

6.已知f(x)=x-l,xeZ且xe[-l,4],貝1Jf(x)的界說域是,

值域是

,,[x2-l(|x|>1)_,J3

7.已知〃x)=，，則八斗)=

8.設(shè)/(x)=/+l,求/""(0)]｝的值

11

9.已知函數(shù)/(x)=:x+3,求使/(X)€4,4)的x的取值范圍

2o

10.若f(x)=2/+l,g(x)=x-l,求加(切,g"(x)］

§函數(shù)的概念與圖象(2)

［自學目標］

掌握求函數(shù)界說域的方法以及步伐；

［知識要點］

1、函數(shù)界說域的求法：

(1)由函數(shù)的解析式確定函數(shù)的界說域；

⑵由實際問題確定的函數(shù)的界說域；

⑶不給出函數(shù)的解析式，而由/⑴的界說域確定函數(shù)〃g(x)］的界

說域.

［預習自測］

例1.求下列函數(shù)的界說域：

(1)f(x)=yj\+x-x(2)f(x)=-L-(3)=(4)f(x)=

1+-

X

分析：如果/(x)是整式，那么函數(shù)的界說域是實數(shù)集R;如果/(x)

是分式，那么函數(shù)的界說域是使分母。。的實數(shù)的集合；如果/⑸

是二次根式,那么函數(shù)的界說域是使根號內(nèi)的表達式20的實數(shù)的

集合.★注意界說域的暗示可以是集合或區(qū)間.

例2.周長為/的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架(如

圖)，若矩形底邊長為2x,求此框架圍成的右工門一記無數(shù)關(guān)

系式，并指出其界說域1

例3.若函數(shù)y=/(x)的界說域為［-1,1］D-----C

(1)求函數(shù)/(x+1)的界說域；

⑵求函數(shù)+3+的界說域.

44,||

［課內(nèi)練習］2xB

1.函數(shù)/(x)=—、的界說域

x-同

是()

A.(^3o,0)B.(0,+oo)C.[0,4-oo)D.R

2.函數(shù)f(x)的界說域是［gl］,則y=f(3-x)的界說域

12

是------------------()

A[0,1]B[2,|]C[0,|]D(—,3)

3.函數(shù)〃x)=(l-x)°+Vi二三的界說域是：

4.函數(shù)/(x)=lg(x-5)的界說域是

5.函數(shù)y(x)=3M+iog4+i)的界說域是

x-l

[歸納反思]

1.函數(shù)界說域是指受限制條件下的自變量的取值；

2.求函數(shù)的界說域經(jīng)常是歸結(jié)為解不等式和不等式組；

[鞏固提高]

1.函數(shù)y=—1的界說域是----------------

----[]

A.[-1,1]B.(-oo-i]U[l,+oo)C.[0,1]D.{-1,1}

2.已知Ax)的界說域為[-2,2],則f(l-2x)的界說域為一

一[]

A.[-2,2]B.C.[-1,3]D.[-2,|]

函數(shù)y=g翼的界說域是-------------------

3.

A.1x|x>01B.|x|x<0|C.{x[x<O,xw-l}D.一1}

4.函數(shù)、=在亙的界說域是

X

5.函數(shù)/(x)=k+l|的界說域是；值域是.

6.函數(shù)k4的界說域是：.

1-兇

7.求下列函數(shù)的界說域

1Jl-x

(1)y~j2x+3;(2)(3)

(l-2x)(x+l)尤+5

8.若函數(shù)/(x)的界說域為xe[-3,1],則F(x)=/(x)+/(-x)的界說域.

9.用長為30cm的鐵絲圍成矩形,試將矩形面積S(而)暗示為

矩形一邊長雙5)的函數(shù),并畫出函數(shù)的圖象.

10.已知函數(shù)/(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0,/(x+1)=/(x)+x+l,求

/(x)的表達式.

§函數(shù)的概念與圖象(3)

[自學目標]

13

掌握求函數(shù)值域的基本求法；

［知識要點］

函數(shù)值域的求法

函數(shù)的值域是由函數(shù)的界說域與對應法則確定的，因此,要求函

數(shù)的值域，一般要從函數(shù)的界說域與對應法則入手分析,經(jīng)常使用

的方法有：

(1)觀察法；(2)圖象法；(3)配方法；(4)換元法.

［預習自測］

例1.求下列函數(shù)的值域：

(1)y=2x+l,xe{l,2,3,4,5};

(2)y=4x+1；

(3)產(chǎn)弋；

X4-1

(5)y=-x?—2x+3變題：y=-x?-2x+3(-5WxW-2);

(6)y=x+y12x-］

分析：求函數(shù)的值域,一種經(jīng)常使用的方法就是將函數(shù)的解析式作

適當?shù)淖冃?，通過觀察或利用熟知的基本函數(shù)(如一次函數(shù)、二次

函數(shù)等)的值域，從而逐步推出所求函數(shù)的值域(觀察法)；或者

也可以利用換元法進行轉(zhuǎn)化求值域.

例2.若函數(shù)y=f—3x-4的界說域為值域為［-",~4］,求加的

4

取值范圍

［課堂練習］

1.函數(shù)y=￡(x>0)的值域為()

A.［0,2］B.(0,2］C.(0,2)

D.[0,2)

2.函數(shù)y=2x2-4x-3,0<xW3的值域為

()

A(-3,3)B(-5,-3)C(-5,3)D(-5,+O°)

3.函數(shù)y=-的最年夜值是()

A.2B.-C.-1D.-4

2

4.函數(shù)y=x?(XH-2)的值域為

14

5.求函數(shù)y=x+Jl-2尤的界說域和值域

[歸納反思]

求函數(shù)的值域是學習中的一個難點，方法靈活多樣,初學時只要

掌握幾種經(jīng)常使用的方法，如觀察法、圖象法、配方法、換元法等,

在以后的學習中還會有一些新的方法(例如運用函數(shù)的單調(diào)性、

配方法、分段討論法、不等式法等等)，可以逐步地深入和提高.

[鞏固提高]

1.函數(shù)y=Lx>l)的值域是--------------------------------

X

------[]

A.(-oo,0)U(0,+oo)B.RC.(0,1)D.(1,+8)走

2.下列函數(shù)中，值域是(0,+8)的是一

------[]

A.y=7x2-3x+lB.y=2x+l(x>0)C.y=x2+x+\

D.y=\

X

3.已知函數(shù)/(x)的值域是[-2,2],則函數(shù)y=/(x+l)的值域是----

—[]

A.[-1,3]B.[-3,1]C.[-2,2]D.[-1,1]

4.f(x)=x2w{±1,±2,±3},則/(%)的值域是：.

5.函數(shù)y=x-2VP7+2的值域為:.

6.函數(shù)y的值域為:.

x2-2x+2

7.求下列函數(shù)的值域

(1)y=4x(2)y=-2x2-x-\(3)y=x2(-2<x<3)

(4)y=--(5)y=2x-Vx-1(6)y-'+"

x2+l?l-3x

8.那時xe[l,3],求函數(shù)/(x)=2x2—6x+c的值域

§函數(shù)的概念與圖象(4)

[自學目標]

1.會運用描點法作出一些簡單函數(shù)的圖象，從“形”的角度進一

步加深對函數(shù)概念的理解；

2.通過對函數(shù)圖象的描繪和研究，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的意識,提高運用

數(shù)形結(jié)合的思想方法解決數(shù)學問題的能力.

[知識要點]

1.函數(shù)圖象的概念

將自變量的一個值X。作為橫坐標,相應的函數(shù)值/(X。)作為縱坐

15

標,就獲得坐標平面上的一個點(2/(%)).當自變量取遍函數(shù)界說

域A中的每一個值時，就獲得一系列這樣的點.所有這些點組成的

集合(點集)為A},即{(x,y)|y=/(x),xeA},所有這些點

組成的圖形就是函數(shù)y=/(x)的圖象.

2.函數(shù)圖象的畫法

畫函數(shù)的圖象，經(jīng)常使用描點法，其基本步伐是：⑴列表；⑵描

點；⑶連線.在畫圖過程中，一定要注意函數(shù)的界說域和值域.

3.會作圖，會讀(用)圖

［預習自測］

例1.畫出下列函數(shù)的圖象，并求值域：

(1)y=3x-l,xe［1,2］；⑵(-1)xe{0,1,2,3)；

(3)y=\x\;變題：y=|x-l|;(4)y=x2-2|x|-2

例2.直線尸3與函數(shù)7=|9-6入：圖象的交點個數(shù)為()

(力)4個QB)3個(O2個(〃)1個

例3.下圖中的A.B.C.D四個圖象中，用哪三個分別描述下列三

件事最合適,并請你為剩下的一個圖象寫出一件事.

離開家的距離(m)離開家的距離(m)

時間(min)時間(min)

AB

離開家的距離(m)離開家的距離(m)

時間(min)時間(min)

CD

⑴我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，停下來想了一會

還是返回家取了作業(yè)本再上學；

⑵我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通梗塞,擔擱了

一些時間；

⑶我動身后，心情輕松,緩緩行進,后來為了趕時間加快了速度.

［課堂練習］

1.下列四個圖像中，是函數(shù)圖像的是()

16

D、(3)、(4)

2.直線x=a（aeR）和函數(shù)y=f+i的圖象的交點個數(shù)（）

A至多一個B至少有一個C有且僅有一個D有一個或

兩個以上

3.函數(shù)y=|x+l|+l的圖象是（）

4.某企業(yè)近幾年的年產(chǎn)值如圖，則年增長率最高的是（）（年

增長率=年增長值/年產(chǎn)值）

A）97年B）98年（萬元）

C）99年D）00年黑|

5.作出函數(shù)y=x2-2x-3（x?-l或x>2）

400--------------------

的圖象；200三a7

［歸納反思］9697989900(年)

根據(jù)函數(shù)的解析式畫函數(shù)的圖象,基本方法是描點法，但值得指

出的是：一要注意函數(shù)的界說域,二要注意對函數(shù)解析式的特

征加以分析，充沛利用已知函數(shù)的圖象提高作圖的速度和準確

性；

函數(shù)的圖象是暗示函數(shù)的一種方法,通過函數(shù)的圖象可以直觀

地暗示X與y的對應關(guān)系以及兩個變量變動過程中的變動趨勢，

以后我們會經(jīng)常地運用函數(shù)解析式與函數(shù)圖象兩者的有機結(jié)合

來研究函數(shù)的性質(zhì).

［鞏固提高］

1.某學生離家去學校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了

再走作余下的路,在下圖中縱軸暗示離學校距離,橫軸暗示

動身后的時間，則下圖中較符合學生走法的是（）

ddd

D

2.某工廠八年來產(chǎn)物C（即前t年年產(chǎn)量

之和）與時間t（年）的函數(shù)如下圖，下列四

17

種說法：(1)前三年中,產(chǎn)量增長的速度越來越快；

(2)前三年中，產(chǎn)量增長的速度越來越慢；

(3)第三年后，年產(chǎn)量堅持不變；

(4)第三年后，年產(chǎn)量逐步增長.

其中說法正確的是()

A.(2)與(3)B.(2)與(4)C.(1)與(3)

D.(1)與(4)

3.下列各圖象中,哪一個不成能是函數(shù)y=/(x)的圖象()

A.k<0,b>0B.k<0,h<0C.k>0,b<0D.k>Q,b>0

5.函數(shù)y=++bx+c與y=ox+b(abN0)的圖象只可能是

D.

7.函數(shù)y=3x-l(lWxW2)的圖象是

8.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2,0)和(-2,1),則此函數(shù)的解析式

為

9.若二次函數(shù)y=-/+2mr-/+3的圖象的對稱軸為x=-2,則加

10.在同一個坐標系中作出函數(shù)/(x)=(x7)2與g(x)=|x—1］的圖象

(1)問：y=g(x)的圖象關(guān)于什么直線對稱？

18

(2)已知X］</<1,比力年夜小：g(X1)g(%2)

§函數(shù)的暗示方法

［自學目標］

1.了解暗示函數(shù)有三種基本方法：圖象法、列表法、解析法;理解

函數(shù)關(guān)系的三種暗示方法具有內(nèi)在的聯(lián)系，在一定的條件下是可以

互相轉(zhuǎn)化的.

2.了解求函數(shù)解析式的一些基本方法,會求一些簡單函數(shù)的解析式.

3.了解簡單的分段函數(shù)的特點以及應用.

［知識要點］

1.暗示函數(shù)的方法,經(jīng)常使用的有:解析法,列表法和圖象法.

在暗示函數(shù)的基本方法中，列表法就是直接列表暗示函數(shù)，圖象

法就是直接作圖暗示函數(shù),而解析法是通過函數(shù)解析式暗示函數(shù).

2.求函數(shù)的解析式,一般有三種情況

⑴根據(jù)實際問題建立函數(shù)的關(guān)系式；

⑵已知函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式；

⑶運用換元法求函數(shù)的解析式；

3.分段函數(shù)

在界說域內(nèi)分歧部份上,有分歧的解析表達式的函數(shù)通常叫做分段

函數(shù)；

注意：

①分段函數(shù)是一個函數(shù),而不是幾個函數(shù)；

②分段函數(shù)的界說域是X的分歧取值范圍的并集;其值域是相應的

y的取值范圍的并集

［例題分析］

例1.購買某種飲料x聽，所需錢數(shù)為y元.若每聽2元,試分別

用解析法、列表法、圖象法將y暗示X(XG{1,2,3,4})成的函

數(shù)，并指出該函數(shù)的值域.

例2.(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且