新高一數(shù)學(xué)銜接課程

新高一數(shù)學(xué)銜接課程說明

成都為學(xué)溪教育

課程目標(biāo)

初高中數(shù)學(xué)無論是在知識的廣度和難度上，還是在學(xué)習(xí)方法上，都存在較大的差異，對于剛升入新高

的學(xué)生來說，在學(xué)習(xí)中存在很多不適應(yīng)的地方：比如學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)方法等.因此我們編寫了這套《初高中數(shù)學(xué)

銜接課程》，旨在解決以上問題.

1.補(bǔ)充初高中脫節(jié)的數(shù)學(xué)知識、需要加深的初中數(shù)學(xué)知識等，為高中學(xué)習(xí)鋪路搭橋.

2.學(xué)習(xí)集合與函數(shù)等知識，使新高一的學(xué)生了解高中數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)、要求、學(xué)法及教學(xué)方法；

3.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的自信心.

適用對象

新高一學(xué)生

課時安排

授課時間：7-8月，共計(jì)10次課，20小時（一對一）或30小時（班組課）.

課程特色

以初中所學(xué)知識為起點(diǎn)，逐步過渡到高一知識，注重在初高中知識之間搭臺階，平穩(wěn)起步；對于高中新

知識，注重對概念、定理、公式的理解，避免死記硬背；在知識銜接的同時，注重學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)習(xí)慣的銜

接.[

課程結(jié)構(gòu)

講次內(nèi)容課時

第1講基本運(yùn)算問題2小時

第2講一元二次不等式的解法2小時

第3講集合2小時

第4講函數(shù)2小時

第5講函數(shù)的單調(diào)性與最值2小時

第6講函數(shù)的奇偶性2小時

第7講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)2小時

第8講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)2小時

第9講幕函數(shù)2小時

第10講函數(shù)與方程2小時

第1講基本運(yùn)算問題

【知識梳理】

運(yùn)算求解能力是高考要求的五大能力之一，但很多學(xué)生的計(jì)算能力都不過關(guān)，高考中因計(jì)算丟分的

例子屢見不鮮.高中數(shù)學(xué)比初中數(shù)學(xué)計(jì)算要復(fù)雜得多，因此加強(qiáng)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，是適應(yīng)高中學(xué)習(xí)的首要任務(wù).

本節(jié)主要包括以下內(nèi)容：絕對值的運(yùn)算，根式的運(yùn)算，多項(xiàng)式的運(yùn)算和累的運(yùn)算等.

初中數(shù)學(xué)已學(xué)知識局中數(shù)學(xué)需要補(bǔ)充的知識

絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)的概念及運(yùn)算絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)的應(yīng)用技巧及拓展

二次根式的概念、二次根式的運(yùn)算、最簡二次同類二次根式、二次根式的化簡、分母(分子)有理

根式化

整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算實(shí)數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算(補(bǔ)充分?jǐn)?shù)指數(shù)幕和負(fù)指數(shù)累)

【典例剖析】

1.實(shí)數(shù)

例1已知實(shí)數(shù)地互為相反數(shù)Gd互為倒數(shù)，加的絕對值為1,求

2012印-(?/嚴(yán)2+(°+㈤?的值.

h

思路分析：解決本題的關(guān)鍵是理解相反數(shù)、絕對值及倒數(shù)的概念，同時要有整體代換和九類討論的意識.

解：步互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，根的絕對值為1,?/=1,機(jī)=±1.

a

/.a+b-0—=T.

b

當(dāng)機(jī)=1時，2012型-(CJ)2012+(望機(jī))2=20120-12012+02=0；

b

當(dāng)機(jī)=-1時，2O12^-(d)2012+(a+^2=2012°-I2012+(-1-if=4.

b

例2化簡y=*T,葉3,|并求當(dāng)x=0,x=l,x=2,x=3,x=4時對應(yīng)的y的值，你能求出y的最小

值嗎？J

l|faa>0,

思路分析：解決本題首先要理解絕對值的概念，再根據(jù)去掉絕對值符號的方法(13=i0,a=0,)進(jìn)行

《-a,a<0.

化簡，也可以借助絕對值的幾何意義(卜常示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示a的點(diǎn)之間的距離)，利用數(shù)學(xué)

結(jié)合的方法進(jìn)行思考.

解：由x-1=0,得尤=1；由工一3二0,得工二3.

當(dāng)xv1時，y=$一18犬33=|-(%-1)-(%-3)=-2x+4;

當(dāng)1WxW3時，y=\x-l|+]v-3j=(x-1)-(x-3)=2；

當(dāng)尤>3時，x-l|+|x-31=(x-1)+(x-3)=2x-4.

f-2x+4,x<1,

綜上，y=*-1**3=|j2,1<x<3,

2x-4,x>3.

當(dāng)x=0,x=l,x=2,%=3,x=4時對應(yīng)的y的值如下表：

X01234

y42224

當(dāng)xv1時,y=-2x+4隨x的增大而減小，故此時y>-2xl+4=2;

當(dāng)1WXW3時，2,函數(shù)值不發(fā)生變化；

當(dāng)x>3時，y=2x-4隨x的增大而增大，故此時y>2x3-4=2.

所以盧卜1十斗3的最小值為2.

求最小值時也可以用以下方法：

如圖，|x-l|表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)尸到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離1PA|,即

\PA\=\x-l\；|x—3|表示不軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為3,的點(diǎn)B之間的距離|P8|,即|PB|=|x-3|.

|x—3|

（,__________人____________>

PAB

|x—l|

由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P位于線段AB上時，到A,B兩點(diǎn)的距離之和01|+『牛2最小,

即y=卜-11+3的最小值為2.

2.二次根式

（1）二次根式廠7的意義

（2）分母（子）有理化

兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化

因式，例如、5與J5,32與aJ5+、落與4與-3應(yīng)與2、5+入5等.把分母（子）

中的根號化去，叫做分母（子）有理化.

（3）二次根式的化簡與運(yùn)算

二次根式的乘法：4ab（a>0,h>0）；

二次根式的除法：先把除法寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；

二次根式的加減法：合并同類二次根式.

⑵+J_2(x>1);

(4)4724-6后+3796-2^50?

解(1)J4x6y=2,1Jy.QXV0,二

1

⑵卜復(fù)2==L.

X

11

■:x>1,/.x>1>_J原式=%一

XX

(3)由J1有意義可知,尤>1,1-.K0..,.原式=-

=_A/X-1.

-V-1

(4)4V24-6<,54+3,.96-27150=186-126^To6、7=(8-18+12-10R7=-&不

例2(1)計(jì)算：悔+二^F；

2j34

(2)比較大小：K141-7405/40-^§7

無一y

（3）化簡:

0+Jy

解(1)\6+<6或+—X(3+。3)一、％3<3+3_<3+：：2+1

22

2J3-3忑2與x了(3-6)x6+而~6~3-Q3)2.

國-癡=（產(chǎn)-心）（產(chǎn)+心）=1

⑵QJ4I-V40=

1J41+V40、.西+V40

（八5-、,函（西+回）

癡一回=]

兩嚴(yán)740+J9-V40+39-

XQv4T+V40>V40+畫

.?.、71-回〈版一回.

⑶方法一元方就L以送聲言方

_“6+66、

一①歡（4-不）（而Q）（向春（向6）

,、2,0「

=(1-?----=2上

x-y

x_yJx_y=一4-J3)(、R6)+Q'G-UCQH\3)

方法二:

yfx-JyJx+JyJx-JyJx+Jy

=(x+Jy)+(-x-6=2上

3.指數(shù)累運(yùn)算

(i)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義

m___

a"=>Q,m,nEN*,且〃〉1)

-迪1

a"=—(a>(),，％〃€N*,n>1)

a"

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累無意義.

(2)指數(shù)幕的運(yùn)算規(guī)律好/")盧七網(wǎng)1網(wǎng)點(diǎn)R｝例R方")屣/€即

2_11164

例I求值：83,1002,(-F\(―)'4.

4o1

223x：

解：83=(23》《3?24；

100-1=(102H*=102X<-2)10_|=1；

10

T-2-3(-21X)6

(-)=(2)=2=2=64；

4

(吧。=(?)??=g=27

81338-

例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的形式表示下列各式(式中a>0)：

(1)cc-a\(2)a3?v?2;(3)

lL2+L2

解：⑴a2-v?=a2-a2=a2=a2;

j—23+2*

(2)o'-\!a2=o'."=q3=〃；

__LL3I3

(3)JaW=(a-a2)2=(a2)2=a4.

例3計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù))：

2I1II513_

(1)(2?3/72)(-66[2￡?3)+(-3〃加)；(2)(“〃8)8.

2I11152+111+15

解：(l)(2fi3/72)(-6?2^)+(—3“6於)=[2x(-6)4-(-3)]a326b2ib=4ab°=4a.

1_31.3

(2)("〃8戶=(")8(n8)8=TM2-n3=---

輕松驛站

一個農(nóng)夫請了工程師、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家來,想用最少的籬笆圍出最大的面積.工程師用籬

笆圍出一個圓,宣稱這是最優(yōu)設(shè)計(jì).物理學(xué)家將籬笆拉開成一條長長的直線,假設(shè)籬笆有無限長，認(rèn)

為圍起半個地球總夠大了.數(shù)學(xué)家著實(shí)地嘲笑了他們一番.他用很少的籬笆把自己圍了起來?然后

說：“我現(xiàn)在是在外面

【課堂作業(yè)】

1.填空：

⑴若k|=5,則％=：若卜|=卜4|,則m.

⑵如果.|+##5,且a=-1,則匕=；若|l-c|=2,則,=

⑶如果有理數(shù)滿足O1)2+|x-12y+111=0,則幺+/.

⑷己知|a|=5,|例=3,且那么a+/?=.

2.己知數(shù)軸上的三點(diǎn)AB,C分別表示有理數(shù)a,1,-1,那么|a+l|表示()

A.兩點(diǎn)的距離B.A,C兩點(diǎn)的距離

C.A3兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和D.AC兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和

3.下列敘述正確的是(

A.若|a|=||則a=/?B.若[4>M，貝!]a>b

C.若a〈b,貝!I4VMiD.若M=N，貝ija=士

4.化簡:

(l)|2x-9|；

⑵-|4x+5|；

(3)|x-3|+|x+2|.

⑷|3x-2|+|2x+3|；

⑸||x-1|-3|+|3x+1|；

⑹|x+2|+|x—3|-|x+5|

5.已知AvBvC,化簡|A-8|+|3-C|+|C-AL.

6.已知|A|=-AJ也-1,|C|=C,化簡|A+8|+|A-C|+|8-C|.

B

7.如果。力,c為整數(shù)，且|a-娉9+|c-旬99=],^c-a\+la-b\+\b-c\

的值.

參考答案

1.(1)±5；+4；(2)±4；3或-1；(3)2；(4)-2或-8.

2.B3.D4.略5.2C-2A6.2C-2A-2B7.2

第2講一元二次不等式的解法

【知識梳理】

確定一元二次不等式的解集，關(guān)鍵要考慮以下兩點(diǎn)：

(1)二次函數(shù)y=ajr+bx+c與x軸的相關(guān)位置的情況，也就是一元二次方程ax2+笈+c=0的根的情

況；

(2)二次函數(shù)y=加+及+(?的開口方向，也就是a的符號.

具體有以下結(jié)論：

(1)二次函數(shù)y=ax1+bx+c(?>0)與x軸的相關(guān)位置，分為三種情況，這可以由一元二次方程

加+bx+c=O的判別式A=/?2-4ac三種取值情況(A>0,A=0,A<0)來確定，因此，要分三種情況討

論；

(2)a<0可以轉(zhuǎn)化為a>0.

歸納總結(jié)：一元二次不等式分2+bx+c>0或52+公+c<0(。=0)的解集：

設(shè)相應(yīng)的一元二次方程加+bx+c=oO(J)的兩根為x、x且X4X,△=IT-Aac,則不等式的解

12I2

的各種情況如下表：

判別式

△>0△=0△<0

△=Z?2-4ac

y-cue+bx+cy=ax1+bx+cy=cue+bx+c

二次函數(shù)

y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax2+bx+c=0b無實(shí)根.

4辦a〈為)x=x=

(a>0)的根122a

ax2+bx+c>0J

3>0)的解集i如R

兩根之外

｛格<x<x｝?

cue+bx+c<0

00

（。>0）的解集兩根之間

【典例剖析】

考點(diǎn)一解一元二次不等式

例1解下列一元二次不等式：

（1）r3-Sr<fl.（2）（3）-r^4-4r—Sf

分析：轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)，數(shù)形結(jié)合解決，或利用符號法則解答.

解：（1）方法一：因?yàn)锳=（-5）、4xlx0=25>0,所以方程°的兩個實(shí)數(shù)根為：甬=°,

苑=七函數(shù)y=『一"的簡圖為：

IT

因而不等式的解集是｛x|0<x<5｝

x>0[x<0

AQ<<

方法二：-54<00x（x-5）<。卜一5<0或[工一5>0」■<,,

\>0（x<0

解得卜<5或lx>5,即C-vE或xwd

*.-.,.??1,1

因而不等式廣受…的解集是｛x[0<x<5）「廠.....????V.??<

（2）方法一：因?yàn)锳=「，方程--4x+4=Q的解為％』XV=,2?.?,■i

函數(shù)y=9-4x+4的簡圖為：;:'***,'***'''.y'?'

所以，原不等式的解集是（xixwm.

方法二：x'-4x+4=（x-2），N0（當(dāng)x=2時’（*2尸=。），所以原不等式的解集是門「HT（3）

A

方法一：原不等式整理得r-4丫上'，「

因?yàn)锳<C,方程無實(shí)數(shù)解，函數(shù)y=/-4/+5的簡圖為:

所以不等式/_4x+5V?的解集是6.

所以原不等式的解集是K.

方法二：?.._/+4x_5=_5_2,-10_]<C,.?.原不等式的解集是力.

總結(jié)升華：

1.初學(xué)二次不等式的解法應(yīng)盡量結(jié)合二次函數(shù)圖象來解決，培養(yǎng)并提高數(shù)形結(jié)合的分析能力;

2.當(dāng)A時，用配方法，結(jié)合符號法則解答比較簡潔（如第2、3小題）；當(dāng)A、C且是一個完全平方數(shù)

時，利用因式分解和符號法則比較快捷，（如第1小題）.

3.當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)小于0時，一般都轉(zhuǎn)化為大于0后，再解答.

【變式訓(xùn)練1】解下列不等式：

⑴-2丫-2>C；⑵-3/+6X-2>0

⑶“-4Ti〈n；⑷-x'+2x-3、0.

解：（1）?.?原不等式等價于⑵+1）。-2）50,原不等式的解集是:-了”>2）

.?x】曲,

（2）整理，原不等式可化為3--6x+2<0,因?yàn)锳>0,方程3/-6x+2=0的解1=.3<

x7也

"-T,函數(shù)y=3/-6i+2的簡圖為：

(3)???原不等式等價于：(2>-19SO,.?.原不等式的的解集是15'.

(4)?.?-x'+2x-3=-(x-D，-2W-2<C,原不等式解集為仍.

【變式訓(xùn)練2】解不等式：-。〈/一一心育

xa-x-6<6?-x-12<Cf(x-4)(x+3)<C

解：原不等式可化為不等式組：YW/-X-6,即/-X三0,ap|x(x-])>u,

-3<x<4

解得kzl或x￡C,...原不等式的解集為｛x|-3<xw°或lWx<4｝

考點(diǎn)二：已知一元二次不等式的解集求待定系數(shù)

例2不等式X,+皿一力<(的解集為xe(4.5,求關(guān)于X的不等式■痛X_1>c的解集.

分析：由二次不等式的解集為(4.5)可知：4、5是方程=n的二根，故由根與系數(shù)的關(guān)系可求

出次、M的值，從而解得.

解：由題意可知方程^*M1一”=。的兩根為丫=4和丫=5,由根與系數(shù)的關(guān)系有=4xS=-x

:.w=-Q,”=—7>0.

3

二WP+JMX_1>C化為-20/—9彳一1>。，即20*+9*+1<0,(4X+1)(5工十。<0.,：“

_j<<_i,:..:

解得=門一：故不等式儲+血-]>0的解篥為廠彳「?.?

總結(jié)升華：二次方程的根是二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn).根據(jù)不等式的解集的端點(diǎn)恰為

相應(yīng)的方程的根，我們可以利用根與系數(shù)的關(guān)系,找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系，這一點(diǎn)是解此類

題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練11不等式ax2+bx+12>0的解集為｛x卜3Vx<2｝,則a=,b=.

解析：由不等式的解集為｛x13Vx<2｝知a<0,且方程ax?+bx+12=0的兩根為-3,2.由根與系數(shù)關(guān)系得

—=-3+2=-1

a

12

匕=(-3).2=-6

a，解得a=-2,b=-2.

_11

【變式訓(xùn)練2】已知的解為一3<'<?,試求々、已并解不等式-'/人)》-〃、。

11=211=c

解析：由根與系數(shù)的關(guān)系有：一5+5二-7,一5弓二1.?.，=-V,e=2.

二代入不等式得-3:4""上12、0,即/—-A，(1-3々+2)",解

得故不等式、r的解集為：(一2.5

【變式訓(xùn)練3】已知關(guān)于T的不等式"〕的解集為①,，求關(guān)于r的不等式、「的

解集.

'一。=1+2fa=-3

解析：由根與系數(shù)的關(guān)系有：6=1x2,解幻=,2代入不等式3/得

gpf2x-B(x-D>0,解得“<5或*>1,小0+々"1>c的解集為：

(-oo.1)U(l-Ko)

考點(diǎn)三：二次項(xiàng)系數(shù)含有字母的不等式恒成立恒不成立問題.,

例3已知關(guān)于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-l)x+3>0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

J-?,14：-!*4.

分析：不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，即不等式的解集為R,要解決這個問題還需要討論二次項(xiàng)的系數(shù).

解：⑴當(dāng)m2+4m-5=0時，m=l或m=-5若m=l,則不等式化為3>0,府一切實(shí)數(shù)x成立，符合題意.

若m=-5,則不等式為24x+3>0,不滿足對一切實(shí)數(shù)x均成立，所以m=5舍去.

⑵當(dāng)m2+4m-5#)即mrl且m，-5時，由此一元二次不等式的解集為R知，拋物線y=(m2+4m-5)x2-4(m-l)x+3

m+4m-5>0

開口向上，且與X軸無交點(diǎn)，所以.△=16(m-D2-12(m2+4m-5)<0,

m>[或tn<-5

I"*'A'?

即1<m<19,lVm<19.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m]lSm<19}.

總結(jié)升華：情況(1)是容易忽略的，所以當(dāng)我們遇到二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時,一般需討論.

【變式訓(xùn)練1】若關(guān)于T的不等式加--(冽+1)*+附_12。的解集為空集，求“再取值范圍.

解析：關(guān)于'的不等式mxL(2m+l)x+腳720的解集為空集，即唧￡-(2?+1)X+第7<0的解集.

為R.當(dāng)》**=「時，原不等式為：即rV-1,不符合題意，舍去.

(2m+I)3-4m(m-1)<0

當(dāng)陽壬°時，原不等式為一元二次不等式，只需次vC且即切〈°,

1

m<—

解得匕

,1、

綜上，程的取值范圍為：R.

【變式訓(xùn)練2】若關(guān)于T的不等式忱V-(2用+1)X+附-12。的解為一切實(shí)數(shù)，求刑的取值范圍.

解析：當(dāng)次二n時，原不等式為：即rv-1,不符合題意，舍去.

(2m+1)2-4m(m-1)N0

當(dāng)次W°時，原不等式為一元二次不等式，只需次>0且A>°,即|，"0,

解得3>C

綜上，小的取值范圍為：

【變式訓(xùn)練3】若關(guān)于丫的不等式僧/-(加+Dx+附-120的解集為非空集，求物的取值范圍.

解析：當(dāng)m=C時，原不等式為：-x-lNO,即x￡-l，符合題意.

當(dāng)陽、。時，原不等式為一元二次不等式，顯然也符合題意；

Y..,<*\.'t'f.,,,,..

(2m+1)2-Am(m-1)i07

當(dāng)“"時，只需A>。，即[加<0，?解得■薩””；

綜上，雨的取值范圍為："9

考點(diǎn)四：含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法

例4解下列關(guān)于x的不等式

**??,-?:.

(.1)x2-2ax<-a2+l；(2)x2-ax+l>0；(3)x2-(a+l)x+a<0.

*,4

解析：(1)X2-2ax+?a-1S0[(x-?)-l][(x-a)+1]S0a-1SxSa-??1，.

原不等式的解集為(x|a-lMxSa+1)?:

(2)A=aM.

a+-Ja2-4-a--4、

(x|X>-----------或x<

當(dāng)△>(),即a>2或a<-2時，原不等式的解集為*>-----------9

(X|X*—)

當(dāng)A=0,即e2或-2時，原不等式的解集為'>.

當(dāng)AV。，即-2Vo<2時，原不等式的解集為R.

⑶(x-l)(x-a)<0.

當(dāng)時，原不等式的解集為{x[l<x<a};

當(dāng)“VI時，原不等式的解集為{x|a〈x<l};

當(dāng)a=\時，原不等式的解集為0.

總結(jié)升華：對含字母的二元一次不等式，一般有這樣幾步：

①定號：對二次項(xiàng)系數(shù)大于零和小于零分類，確定了二次曲線的開口方向；

②求根：求相應(yīng)方程的根.當(dāng)無法判斷判別式與0的關(guān)系時，要引入討論，分類求解;

③定解：根據(jù)根的情況寫出不等式的解集；當(dāng)無法判斷兩根的大小時，引入討論.

,1

X3-3+—)x+1<0(a*0)

【變式訓(xùn)練1】解關(guān)于X的不等式：a

解析：原不等式化為4

或許1時，解集為0;

1

2<一(,x\a<x<―)

②當(dāng)OVa<l或aV-l時，c解集為：1.a

2>—(x—<x<a)

③當(dāng)a>l或-l<a<0時，〃，解集為：a.

J3

【變式訓(xùn)練2】解關(guān)于x的不等式：?-(a+a)x+a>0(a€7?)

解析:x2-(a+a2)x+a'>0=>(x-a)(x-a2)>0

當(dāng)a〈O或a>l時，解集為(萬|彳或彳>a'|；

當(dāng)a=O時,解集為此|1工。為

當(dāng)0<a<l時，解集為"lx或X>0；

當(dāng)a=l時，解集為

例5解關(guān)于無的不等式：ax2—(a+l)x+l<0.

解析：若e0,原不等式一—x+l<01x>l；

--(1+—)x+—>0=(x--)(x-1)>0ox<—

若a<0,原不等式㈡aaa々或x>l；

x3-(l+i)x+-<0?>(x-i)(x-1)<0

若a>0,原不等式S〃”々，

其解的情況應(yīng)由4與1的大小關(guān)系決定，故(1)當(dāng)a=l時，原不等式心rrU；(2)當(dāng)a>l時，原不

一<xvl1<X<一

等式0a；(3)當(dāng)0<a<l時，原不等式0a.

X或X>D

綜上所述：當(dāng)a<0,解集為c；當(dāng)a=0時，解集為｛x|x>l｝；當(dāng)0<a<l時，解集為

(x|l<X<-](x|-<x<l)

”;當(dāng)a=l時，解集為夕；當(dāng)a>l時，解集為a

總結(jié)升華：熟練掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基礎(chǔ)，對最高項(xiàng)含有字母系數(shù)的不等長,要注密按

字母的取值情況進(jìn)行分類討論，分類時要“不重不漏”.

【變式訓(xùn)練1】解關(guān)于x的不等式：(ax-l)(x-2)X)：

解析：當(dāng)a=0時,x￡(?oo,2].

_L-9'一.「11，

當(dāng)a對時，方程(ax-l)(x-2)=0兩根為七一[“一'

[,'v■?'

_a>0?—>2o<a<—*e(-00+oo)

①a>0時，若。，即ua2時，"15不用\

-'V■-?

a>0,—=2a=-

若々，即'2時，xGR;

若°>°'1<2叩°>彳葉x€(-a>,-]U[2,-K?)、

若"，叩2時，a「.

-<2xe[-.2]

②a<0時，則有："，二c.

【變式訓(xùn)練2】解關(guān)于x的不等式：ax2+2x-l<0；

、

X€,(-00,—11

解析：當(dāng)a=0時，

當(dāng)a#0時，A=4+4a=4(a+l),

尸1-S+a-1+Jl+a、

X€(-------------------,---------------------)

①a>0時，則A>0,〃c

(3)aVO時，若a<0,△<0,即a<-l時，x￡R；若a<0,△=0,即a=-l時，xGR且x#l；若a<0,

,-1+力+。.1-VT+tf.

Xe(-00,--------------------)U(--------------------,-KO)

△>0,即-l<a〈o時，de.

輕松驛站

一天?一個數(shù)學(xué)家跑到消防隊(duì)想當(dāng)消防員.消防隊(duì)長說：“您看上去不錯?可是我得先測試

您一下于是消防隊(duì)長帶數(shù)學(xué)家到了一個小巷,巷子里有一個貨棧、一只消防栓和一卷軟管.消

防隊(duì)長問：“假設(shè)貨棧起火,您怎么辦？“數(shù)學(xué)家回答："我把消防栓接到軟管上，打開水龍頭，把

火澆滅.”消防隊(duì)長說：“完全正確！假設(shè)您走進(jìn)小巷，而貨棧沒有起火，您又怎么辦？”數(shù)學(xué)

家思索了一下答道：“我就把貨棧點(diǎn)著消防隊(duì)長大叫起來：“太可怕了！您為什么要這樣

做？”數(shù)學(xué)家回答：“這樣我就把問題化簡為一個我已經(jīng)解決過的問題了

【課堂作業(yè)】

1.若16一表0,則（）

A.0<x<4B.—4<x<0C.-4<x<4D.把一4或x%

答案：C

2.不等式(x—2)(2x+l)>0的解集是()

A.2)B.(-2,3

2i2i

C.(-oo,-2)U(ioo)D.(-ooX)U(2,+oo)

，+,—

22

答案：D

3.二次函數(shù)y=3—4r+3在><0時x的取值范圍是_

答案：{卻《3}

4.解不等式OSr2-%—2<4,

r2-x-2>0,

解：原不等式等價于

X2—%—2<4,

解x2—x—2>0,得x<—1或x>2；解x2—x~2<4,2<x<3.

所以原不等式的解集為㈤區(qū)—1或x>2}C1{A1-2<X<3}={A|-2<r<-1或

2<x<3}.5.下面所給關(guān)于x的幾個不等式：①3x+4<0；②E+儂-1>0；③狂+以-7>0；④啟<0.其

中一定為一元二次不等式的有（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案：B

6.不等式M2—x）>3的解集是（)

A.{x|-l<x<3}B.{衛(wèi)―3<彳<1}

C.{由<一3或x>l}D.0

解析：選D.將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式x2—2x+3<0,由于對應(yīng)方程的判別式△<（）,所以不等式x（2—x）>3

的解集為0.

7.若集合A={R(2r+l)(x—3)<0},B={正GN*,把5},則APB是0A.{1,2,3}

B.{1,2}C.{4,5}D.{123,4,5}

解析：選B4={X—;<x<3},B={1,2,3,4,5},.?.AnB={l,2},故選B.

x2—1<0

8.不等式組?的解集是（）

X2—3x<0

A.{JI|—l<r<l}B.{鄧）4<3}

C.{MO<r<l}D.{x|-l<x<3}

答案：C

9.二次方程加+加+c=O的兩根為一2,3,〃VO,那么加+hr+c>0的解集為（）

A.{市>3或無V-2}B.{水>2或xV-3}

C.{x|-2<x<3}D.{R一3Vx<2}

解析：選C.二次函數(shù)的圖象開口向下，故不等式以2+公+c>0的解集為3—2V3}.

10.若0WL則不等式（r—儂1）V0的解集為（）

11.函數(shù)y=卡-2r—8的定義域?yàn)?

解析：由題意知心一注一8沙，???定4或爛一2,J定義域?yàn)閧幅4或立一

2）.答案：{g4或爛一2}

12.當(dāng)6/<0時，關(guān)于x的不等式（x—的解集是—

解析：.\5a<—a,由（￥—54"+。）>。得xV5。或x>—a

答案：{x|x<5?；騲>-a]

13.已知x=l是不等式而一6斷+及0（岫））的解，則人的取值范圍是—

解析：由題意，F(xiàn)—6A+/0,解得Q4或七2.

又存0,???%的取值范圍是Q4或仁2且胖0.

答案：（一8,0）U（0,2]U[4,+oo）

14.求下列關(guān)于x的不等式的解集：（1）一

x2+7x>6；（2）x2—（2m+l）x+ni2+fn<0.

解：(l)；-/+7x>6,：.-^+7x-6>0,：.x2~lx+6<0,：.(x~1)(%-6)<0.1<x<6,

即不等式的解集是｛x|1Vx<6｝.

12

(2)x—(2tn+\)x+rn+m<Of因式分解得(x—機(jī))[x—(/%+1)]<0.,.?〃7<加+1,+1.

即不等式的解集為｛川川〈無<：m+1).

1

15.已知方程ax2+bx+2=02.

的兩根為一和

2

⑴求〃、(的值;

⑵解不等式ax2+bx—\>0.

解：⑴..?方程加+阮+2=0的兩根為一；和2,

2a

由根與系數(shù)的關(guān)系，得“12，解得。=一2，6=3.

—1x2=-

.2a

(2)由(1)知，加+加一1>0變?yōu)橐?^+3］一1>0,即改一3x+l<0,解得-<X<1.

2

，不等式底+加一1>0的解集為｛x|'<xV1｝.

2

16.求不等式?+1V足+M〃￡R)的解

集.解：將原不等式化為(。一加<〃一1.

①當(dāng)。一1>0,即。>1時，x<a+l.

②當(dāng)a-lVO,即a〈l時,x>a+l.

③當(dāng)4—1=0,即4=1時，不等式無

解.綜上所述，

當(dāng)時，不等式的解集為｛也<a+1｝；當(dāng)

4V1時，不等式的解集為｛小>。+1｝；

當(dāng)0=1時，不等式的解集為0.

I/

17.若a2——a+l<0,求使不等式x2+ax+l>2x+a成立的x的取值范圍.

4

171

解析,：由a2__a+l<0得ag(_,4),由x2+ax+1>2x+aWx<l-a或x>l.,.xf—3或x>l.

T4

18.設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=O,f(0)>0,f(1)>0

b

求證：(1)a>0,—2<—<—1

a

(2)函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn).

解析：(1)：f(O)>O,f⑴>0c>0,3a+2b+c>0再由a+b+c=0,消去b,得a>c>0；消去c,得a+b<0,2a+b>0.故

b

一2<一<一1

a

b3ac-trb

(2)拋物線f(x)=3ax?+2bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-一,------------).：-2<_<一1

3。3。a

.?」<)<3.由于"2)=3訛-」_3ac-(a+c)2a2+c2-ac

------------------<0而f(0)>0,f(l)>0,所以函

33a33a3a3。3a

bb

數(shù)f(x)在(0,和1)內(nèi)各有一個零點(diǎn)

3a3a

19.已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a,且不等式f(x)＞一2x的解集為(1,3).

(1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍.

解析：(1)依題意可設(shè)f(x)+2x=a(x-l)(x-3),且a<0；.f(x)=a(x-l)(x-3)-2x

由f(x)+6a=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，即