新教材高中數(shù)學第1章空間向量與立體幾何12空間向量在立體幾何中的應用12

1.2.3直線與平面的夾角

團課圖新日閏(教師獨具內(nèi)容)

課程標準：1.理解斜線和平面所成角的定義，體會夾角定義的唯一性、合理性.2.會求直

線與平面所成的角.3.會利用公式cos0=cos火cos外解決一些問題.

學法指導：斜線與平面所成角轉化為斜線與其在平面內(nèi)射影所成的銳角來求解，關鍵是

利用已知垂直關系得出線面垂直，確定斜線的射影.

教學重點：求線面角的常用方法.

教學難點：能利用幾何關系確定斜線的射影以及公式cos°=cos/cos02中各角的含

核心概念.掌握

HEXINGAINIANZHANGWO

11號是我國古代利用日影測量時刻的一種計時儀器，通常由銅制的指針與石制的圓盤組

成，銅制的指針稱為“唇針”，垂直地穿過圓盤中心，石制的圓盤稱為“劈面”，把日?放

在水平面，當太陽光照在日號上時，愚針的影子就會投向唇面，太陽由東向西移動，投向辱

面的唇針的影子也慢慢地由西向東移動，以此計時.試問當唇面所在平面與桌面成50°角時,

辱針所在直線的方向向量與桌面所在平面的法向量所成的角是多少呢？

「知識｝導學

知識點一直線與平面的夾角

(D定義

引進了平面的斜線與平面所成的角之后，空間中任意一條直線與任意一個平面所成的角

的大小都是確定的，直線與平面所成的角也稱為它們的夾角.

⑵直線與平面所成角0的范圍：小畫.

知識點二最小角定理

(1)線線角、線面角的關系式

關系式：如圖，ABLa,則圖中0,%,%之間的關系是畫cose=cos%cos%.

(2)最小角定理

平面的斜線與畫平面所成的角,是斜線和這個平面內(nèi)所有直線所成角中國最小的角.

知識點三直線與平面所成的角與直線的方向向量和平面的法向量夾角的關系

如圖，如果r是直線，的一個方向向量，〃是平面。的一個法向量，設直線/與平面。

所成角的大小為0,則

0=回1年一〈%加或。=畫〈V,〃〉—W

特別地，cos〃=|03|sin〈c加或sin〃=|04||cos〈乙〃〉|.

'新知I拓展

1.對直線與平面所成角的理解

直線與平面所成的角是指這條直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角，其范圍是

0,y,斜線與平面所成的角是它與平面內(nèi)的一切直線所成角中最小的角.直線與平面所成

的角可以通過直線的方向向量與平面的法向量求得，若設直線與平面所成的角為0,直線的

方向向量與平面的法向量的夾角為0，則有sin|cos。.

2.直線與平面所成角的求法

(1)幾何法：找出斜線在平面上的射影，則斜線與射影所成的角就是線面角，可通過解由

斜線段、垂線段和射影線段構成的直角三角形獲解.

(2)向量法：設直線/的方向向量為a,平面a的一個法向量為〃，直線/與平面。所

成的角為0,a與A的夾角為則有cos〃=sin?；騭in〃=|cos0|幺.

3.對公式cos，=cos/cos夕2的理解

由OWcos82WI,/.cos夕Wcos%,從而eW夕.

在公式中，令夕2=90°,則cos8=cos%cos90°=0.

，=90°.此即三垂線定理，反之若《=90°,可知生=90°,即為三垂線定理的逆

定理，即三垂線定理及逆定理可看成此公式的特例.

±1評價自測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)直線與平面所成的角。與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角￡互余.()

(2)線面角和異面直線所成角的范圍都是0,y,()

(3)如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面的夾角為90°.()

(4)如果一條直線與一個平面平行或在平面內(nèi)，那么這條直線與平面的夾角為

0°.()

答案⑴X(2)X(3)J(4)V

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

(1)正四面體4—6繆中，棱46與底面6切所成角的余弦值為.

(2)在矩形/及力中，AB=\,BC=y［2,必_L平面/靦，為=1,則A7與平面/時所成

的角是.

⑶已知圓錐的底面半徑為1cm,側面積為2ncm2,則母線與底面所成的角是.

答案⑴坐(2)30°⑶孑

核心素養(yǎng).形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一用定義法求線面角

例1在正四面體1一85中，￡為棱/〃的中點，連接磔；求〃和平面靦所成角的正

弦值.

［解］如圖所示，過4￡分別作4aL平面靦，

EG工平面8c0,0,G為垂足.

為的中點，.?.40^2附AO,而確定平面/勿，連接/,則為宓和平面

時所成的角.

連接OB,OC,OD,

'：AB=AC=AD,

：.OB=OC=OD.

?.?△時是正三角形，

為徵的中心，延長〃。交at于R則尸為a'的中點.

設正四面體的棱長為1,

可求得g乎，以=乎，加乎，

1

＜。=、9一切=1I——-—-近—

93

."G=坐

0

在?口八△.中，-nZ^=E-G=書f.

—［思傕品質(zhì)條成反思感悟］-------------------

在求解斜線和平面所成的角的過程中，確定點在平面上的射影的位置是一個既基本又重

要的問題，確定點在平面上的射影的位置有以下幾種方法：

(1)斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線的射影上；

(2)利用已知的垂直關系得出線面垂直，確定射影.

［跟蹤訓練1］如圖所示，在長方體相切一48K4中，AB=BC=2,加尸1,則因與平

面880〃所成角的正弦值為()

A亞

4

C亞1

L,5

答案D

解析如圖所示，在平面ABQB內(nèi)過點G作&【人的垂線，垂足為E,連接BE.

GE工BR

CxELBBx}=G￡_L平面BB\%D.

，NG原就是8G與平面做?！ㄋ傻慕?

*：C、EXB\及=C\IXX&C\,

：.C、E=^^=@,8G=聲樂=#.

題型二用向量法求線面角

例2正三棱柱四C—4由G的底面邊長為a,側棱長為求”;與側面1班M所成的

［解］解法一:建立如圖所示的空間直角坐標系,則4(0,0,0),6(0,a,0),4(0,0,小

a),C\

取4笈的中點M,則?0,*V2A連接4機MG,

有該=

AB=(0,a,0),44=(0,0,\[2a).

.?.施?90,該?荔=0,

J.MCxLA'B,MC,1.AAX,

即加；_L48,也」44,又力例144=4

.,.園_L平面ABByAx.

NG4"是AQ與側面44陽所成的角.

由于尼=(—當a,1,/a),前/=(0,-\[2a

：.ACx?前U0+：+2a2=^,

(ACx,M=30°,即/1G與側面心汨M所成的角為30°.

解法二：由解法一得，葩=(0,&0),就=(0,0,也)，花='坐a,陋).

設側面ABBiAi的一個法向量n—(x,y,z),

:.n?森=0且n?44=0.

.?.孫=0且鏡az=0..??y=z=0.

取x=l,得〃=(1,0,0).

???尼=(—平a，f，業(yè))，

/.cos{ACi,ri)=——

IHI宿2

Icos(尼，n)|=；..../fG與側面4仍M所成的角為30°.

——［思推區(qū)皮養(yǎng)成反思感悟］-------------------

用向量法求線面角的一般步驟是先利用圖形的幾何特征建立適當?shù)目臻g直角坐標系，再

用向量的有關知識求解線面角.解法二給出了用向量法求線面角的常用方法，即先求平面法

向量與斜線夾角，再進行換算.

［跟蹤訓練2］己知三棱錐尸一/8。中，平面484ABLAC,PA=AC^AB,N為AB

上一點，AB=4AN,M,S分別為陽，比的中點.

(1)證明：CM1SN；

(2)求SV與平面盤肉所成角的大小.

解設為=1,以/為坐標原點，~AB,AC,前的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空

間直角坐標系如圖.

則一(0,0,1),C(0,1,0),8(2,0,0),0,；

(1)證明：^=(1,—1,0,

W°)

一一11

因為?以?-5+5+0=0,所以C￥_L覘

(2)正=卜/,1,0),設a=(x,y,z)為平面CW的一個法向量，由a=0,a?應三

0,

得＜]令x=2,得a=(2,1,—2).

-p+y=O.

設SV與平面以外所成的角為0,

則sin?=|cosa,SN\.

故&V與平面6階所成角的大小為45°.

題型三公式COSe=COS%COS。2的應用

例3已知平行六面體｛8徵一484〃1的底面是邊長為a的菱形，。為菱形4靦的中心,

3

N為P=N胡4=N/W4=60°,求證：4。_1_平面力比〃

［證明］??,菱形力靦的邊長為a,且N物〃=60°,

?"C為/為〃的平分線，且42=當a

又N4/8=N449,

???直線4力在平面4%/上的射影為直線“；記/4然=0,

1

cos600__2__#

則coscos30。=近=3?

2

3J3J3

^iJcos0=-ax-=--a=AOf

；.40J_平面ABCD.

——［思惟國質(zhì)表成反思感悟］-------------------

(1)公式cos，=cos%cos即在解題時經(jīng)常用到，可用來求線面角出，在應用公式時，

一定要分清0,%，氏分別對應圖形中的哪個角，否則極易出錯.

(2)常用的一個結論：若/AOB=/AOC,且40為平面80c的一條斜線，則10在平面60c

內(nèi)的射影平分N6比'及其對頂角.

［跟蹤訓練3］如圖所示，/60C在平面a內(nèi)，處是平面a的一條斜線，若NA0B=N

43=60°,0A=0B=0C=a,BC=?,求物與平面。所成角的度數(shù).

解?:NA0B=NA0C=6Q°,

如在a內(nèi)的射影為/敗'的平分線.

作的平分線加交a'于點H,

又0B=0C=a,BC=-^2a,

:.NB0C=9Q°,故NB0H=45°.

由公式COS0=cos夕iCOS夕2,得

/…，cosZAOB2y/2

COS0H=/nnir^―尸=Q

cos/BOHA/22

2

：.ZAOH=45°,

即以與平面a所成的角為45°.

隨堂水平,達標

SUITANGSHUIPINGDABIAO

1.若平面a的一個法向量刀=（2,1,1）,直線/的一個方向向量為a=（1,2,3）,則/

與。所成角的正弦值為（）

&近恒

B.

66

通叵

C.D.

63

答案B

a-n1X2+2X1+3X1

解析1與。所成角的正弦值為Icos(a,n)

~an-^1+4+9X^F+T+l

2+2+3

■.故選B.

\14X6-6

2.如圖，/①L平面a于氏BC為AC在a內(nèi)的射影，在a內(nèi),若N/6?=60°,Z

BCA45°,則4C和平面。所成的角為（)

A.15°B.30°

C.45°D.60°

答案C

解析,??平面4%_L平面BCD,:?cos/ACD=cos/AC氏os/BCD,Acos60°=cosZ

、也

/CB?os45°,：.cosNACB=^~,即4。和平面a所成的角為45°.

3.（多選）如圖，在四棱錐，一/靦中，底面為直角梯形，AD//BC,NBAD=90°,PAL

底面小口，旦PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,陽的中點，則（）

p

A.CDLAN

B.BDA.PC

C.陽_L平面/AM

D.劭與平面4切加所成的角為30°

答案CD

解析由題意，易知9AD,小兩兩垂直，以/瓦A~D,4戶的方向分別為x軸、了軸、

z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.設PA=AD=AB=2BC=2,則4(0,0,0),

8(2,0,0),以2,1,0),〃(0,2,0),0(0,0,2),Ml,0,1).對于A,YC方=(-2,1,0),AN=

(1,0,1),C方?1予=-2#0,.?.W與4V不垂直，A錯誤；對于B,方=(-2,2,0),PC

=(2,1,-2),6萬?)干=-2W0,.,.初與AC不垂直，B錯誤；對于C,:戶萬=(2,0,一

2),4萬=(0,2,0),｛了=(1,0,1),；.戶萬萬=0,P7?A飛=0,B|JPBYAD,PBLAN,又

ADCyAN=A,...必_L平面4A陟，C正確；對于D,?.,即_L平面加"，:.屈=(2,0,一2)是平

面4VM的一個法向量，：6方=(-2,2,0),Acos<PB,BD)：.BD

PBBD|

與平面4物9所成的角為30°,D正確.故選CD.

4.如圖，正三角形力回與正三角形靦所在的平面互相垂直，則直線徵與平面力物所

成角的正弦值為.

B>C

I)

答案手

解析取回的中點。，連接/。，DO,建立如圖所示的空間直角坐標系。燈z.設比‘=1,

(0,0,坐),電，(0,I'0)d坐,所以或=(0,平),BD=

則/

1\

O為-一看0).設平面ABD的一個法向量為n=1x,y,z),則

7

n,近1=0,

n,BD=0,

’1,y3

2]+2Z=0f

所以《廠取x=l,則尸一m，z=l,

⑤A/3+,51a

所以27=(1,—^3,1),所以COS〈A,C0)

因此直線切與平面4劭所成角的正弦值為變.

5

5.如圖，已知正方體區(qū)G〃，求46與平面做〃〃所成的角.

解以。為坐標原點，DA,DC,應的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐

標系Dxyz.

設正方體的棱長為1,則6(1,1,0),〃(0,0,1),

:.麗=(1,1⑼,應=(0,0,1).

設平面能〃〃的一個法向量為A=(X,V,Z),

[x+y=O,

則取x=l,得〃=(1,-1,0).

〔z=0,

又4(1,0,1),.*.^5=(0,1,-1),

/一、n,A\B1

/.cos〈〃，A\B)=----------

\n\\A^B\"

〈〃，而)=120°,

即48與平面即所成的角為30°.

課后課時,精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級：“四基”鞏固訓練

一、選擇題

1.直線/與平面。所成角為《，直線力在平面a內(nèi)且與直線/異面，則直線/與加

6

所成角的取值范圍為（）

-nji~|rn'

A.r—B.0,—

_62J6_

JIJI一Ji5冗一

D.7

_o6

答案A

JTrJIJI

解析勿與/異面，故其夾角最大為了，最小即為線面角，故范圍為了，萬，故選A.

2.若平面。的一個法向量為〃=（4,1,1）,直線/的一個方向向量a=（-2,-3,3）,

則/與。所成角的正弦值為（）

4?

B.

3333

2汨2y[Ti

D.

3333

答案A

解析a，5,a）=滋養(yǎng)=就=二*.故正弦值為噂'故選A.

3.已知乙仍?在平面a內(nèi)，大小為60°,射線R7與序，外所成的角均為135°,則

和與平面。所成角的余弦值是（）

A-必B花

A.3次3

C.*D.-4

答案B

解析設％與平面a所成的角為夕，則cos45°=cos。?cos30°,所以cos0=--.

o

4.如圖，在矩形4?切中，已知46=，〃，“是的中點，沿鹿將△儂■折起到△/'BE

的位置，使/C=A'D,則"。與平面題7所成角的正切值是（）

答案B

解析如圖，以6為坐標原點，BA,應的方向分別為x軸、y軸的正方向建立空間直角

坐標系取緲的中點也切的中點應連接"MMN,A1N,CM,由題意可證得""

LBE,A'MVCD,得/'ML平面頗區(qū)

則N/T）是4'C與平面6劭C所成的角.

令腦=1,則/。=2,g，/.2/r(0,26則罰=9一|，

疝是平面戚C的一個法向量且麻=0,0,岬，所以sin/4G）/=|cos（M,cF）

1

-

麻

2邛

麻r所以tanN/'

X

5.（多選）正三棱柱中，AAx=y^>AB,則（）

A.4G與底面4外'所成角的正弦值為T

B.4G與底面46。所成角的正弦值為手

C.陽與側面加㈤8所成角的正弦值為中

D.4G與側面448歸所成角的正弦值為華

答案BC

解析如圖，取4G的中點反〃'的中點用連接跖即，則能，EC、,跖三條直線兩

兩垂直，則以￡為坐標原點，直線￡笈，EG,)為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直

角坐標系.設46=2,則44=24，.?.4(0,-1,0),6(0,1,0),4(0,-1,2^3),<7(0,1,

2^3),A(木,0,0),...尼=(0,2,-2^3).設底面/比'的一個法向量為0=(0,0,2小)，

."G與底面4%所成角的正弦值為|cos〈血AC.)I，?伍?=一二之：.A錯誤，B

w|尼|4X2W2

正確；的中點人的坐標為像，一；，0),...側面出的一個法向量為應1=

AG'KQ\3

.?JG與側面加歸8所成角的正弦值為|cos(花，應)=■

I尼||闔-4X市

=乎，:.C正確，D錯誤.故選BC.

二、填空題

6.等腰Rt△絲C的斜邊形在平面。內(nèi)，若然與。成30°角，則斜邊上的中線制與

平面。所成角的大小為.

答案45°

解析如圖，設"=勿=1,：.AB=y[29作連接。1,0M,則/。430°,?1

1

11、歷2、歷

oc=-Vat=-AB=為-，：.sinN0MC=/+，又/麻T為銳角，；./Q，￡'=45°.

2

/AMB/

7.在四棱錐尸一4%力中，如，底面ABCO,四邊形4?⑦是正方形，且加=49=1,G為

△46C的重心，則如與底面1以力所成的角《的正弦值為.

答案卡"

解析以〃為坐標原點，M,應、，南I勺方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直

角坐標系，由已知，得P(O,O,D,4(1,0,o),8(1,1,0),r(o,1,0),則重心0),

因而我=(0,0,1),談/一,，—r)1\那么sin。=|cos(DP,~GP)=~"晅

I33'\'DPWGP\17

8.如右圖所示，在棱長為1的正方體中，尸是棱CG上的一點，CP^m,若

直線與平面腿氐所成角的正弦值為女招，則用=,此時異面直線力。與4出

所成角的余弦值為.

M案1處

口樂319

解析如圖，連接4G以加，DC,〃〃所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐

標系.貝I]4(1,0,0),(7(0,1,0),PS,1,向,4(1,0,1),A(1,1,1),易證下是平面BDDiBy

的一個法向量.

AC=(—1,1,0),AP=(—1,1,/n),48=(0,l,0).

內(nèi)在,\AP-AC\2幽.1

,cos{AP,AO=--------,、---產(chǎn)="：八，勿＞0,..m=-

\AP\\AC\=好i帝193

蘇?初13皿

cos{AP,45〉

一I利油「、得J19,

三、解答題

9.在長方體力比少一4844中，45=5,AD=3,44=4,V為84上一點，且5M=2,點

/V在線段4〃上，K^DVAN.

(1)求cos{A\D,AM)；

(2)求直線4〃與平面"八財夾角的正弦值.

解(1)以/為坐標原點，血,AD,茄?的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空

間直角坐標系Axyz.

由已知,得4由,0,4),〃(0,8,0),"(5,2,4),

所以施=(0,8,-4),AM=(5,2,4),

所以|弱1=4鄧,|詢=3鄧.

—?,-*,-A\D?AM

所以cos〈4〃，岫=---------=0.

勵【|詢

⑵由⑴知了加L施又彳力_1就AM^AN=A,

所以1加L平面AMN,

所以平面4腳的一個法向量為疝=(0,8,-4).

又和(0,8,0),

設直線力〃與平面4VV的夾角為8,則sinO=

、而?箴、642擊

Icos(AD,森〉|=

|研沏「8X4郎一5

即直線4〃與平面4,的夾角的正弦值為譽

10.如右圖所示，正方形4。陽所在的平面與平面四C垂直，材是應'與皿的交點，ACL

BC,^.AC=BC.

R

(1)求證：4吐平面豌

(2)求直線與平面誠所成角的大小.

解；四邊形4a應是正方形，

J.EAVAC,AMYEC.

?.?平面平面四C,平面巾平面4比'=/，，4代平面“施，1因平面/a

平面力比：

以點A為坐標原點，以過A點平行于此的直線為x軸，癰口前的方向分別為y軸和z

軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Aryz.

設EA=AC=BC=2,

則4(0,0,0),8(2,2,0),<7(0,2,0),鳳0,0,2).

是正方形/期的對角線的交點，1,1).

(1)證明：：為/=(0,1,1),辰(0,2,-2),CB=(2,0,0),：.AM-EC=Q,疝/?游=0.