高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：第四章 三角函數(shù)

高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：第四章三角函數(shù)目錄第1課時(shí)三角函數(shù)的基本概念第2課時(shí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式第3課時(shí)三角恒等變換第1學(xué)時(shí)基本公式第2學(xué)時(shí)基本公式的應(yīng)用第4課時(shí)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)第5課時(shí)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像及應(yīng)用專題研究三角函數(shù)的值域與最值第6課時(shí)正、余弦定理專題研究正、余弦定理應(yīng)用舉例第1課時(shí)三角函數(shù)的基本概念1．給出下列四個(gè)命題：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析①中－eq\f(3π,4)是第三象限角，故①錯(cuò)．②，eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，從而eq\f(4π,3)是第三象限角正確．③，－400°＝－360°－40°，從而③正確．④，－315°＝－360°＋45°，從而④正確．2．下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)答案C解析與eq\f(9π,4)的終邊相同的角可以寫成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確．3．集合{α|kπ＋eq\f(π,4)≤α≤kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}中的角所表示的范圍(陰影部分)是()答案C解析當(dāng)k＝2n時(shí)，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)(n∈Z)，此時(shí)α的終邊和eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)的終邊一樣．當(dāng)k＝2n＋1時(shí)，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)(n∈Z)，此時(shí)α的終邊和π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)的終邊一樣．4．若tanα>0，則()A．sin2α>0 B．cosα>0C．sinα>0 D．cos2α>0答案A解析∵tanα>0，∴角α終邊落在第一或第三象限，故B，C錯(cuò)；sin2α＝2sinαcosα>0，A正確；同理D錯(cuò)，故選A.5．若α是第三象限角，則下列各式中不成立的是()A．sinα＋cosα<0 B．tanα－sinα<0C．cosα－tanα<0 D．tanαsinα<0答案B解析在第三象限，sinα<0，cosα<0，tanα>0，則可排除A，C，D三項(xiàng)．6．已知sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，則角2α的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析由sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，知2kπ＋eq\f(π,4)<α<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴4kπ＋eq\f(π,2)<2α<4kπ＋π，k∈Z，∴角2α的終邊所在的象限是第二象限．故選B.7．已知角α的終邊過點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)答案C解析由點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)在角α的終邊上，且cosα＝－eq\f(4,5)，知角α的終邊在第三象限，則m>0，又cosα＝eq\f(－8m,\r(（－8m）2＋9))＝－eq\f(4,5)，所以m＝eq\f(1,2).8．已知圓O：x2＋y2＝4與y軸正半軸的交點(diǎn)為M，點(diǎn)M沿圓O順時(shí)針運(yùn)動(dòng)eq\f(π,2)弧長到達(dá)點(diǎn)N，以O(shè)N為終邊的角記為α，則tanα＝()A．－1 B．1C．－2 D．2答案B解析圓的半徑為2，eq\f(π,2)的弧長對應(yīng)的圓心角為eq\f(π,4)，故以O(shè)N為終邊的角為{α|α＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z}，故tanα＝1.9．已知角x的終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為(sineq\f(5π,6)，coseq\f(5π,6))，則角x的最小正值為()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(5π,3)C.eq\f(11π,6) D.eq\f(2π,3)答案B解析因?yàn)閟inx＝coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，cosx＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，所以x＝－eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，當(dāng)k＝1時(shí)，x＝eq\f(5π,3)，即角x的最小正值為eq\f(5π,3)，故選B.10．已知tanα＝eq\f(\r(3),3)，且α∈[0，3π]，則α的所有不同取值的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1答案B解析∵tanα＝eq\f(\r(3),3)，且α∈[0，3π]，∴α的可能取值分別是eq\f(π,6)，eq\f(7π,6)，eq\f(13π,6)，∴α的所有不同取值的個(gè)數(shù)為3.11．角α的終邊在第一象限，則eq\f(sin\f(α,2),|sin\f(α,2)|)＋eq\f(cos\f(α,2),|cos\f(α,2)|)的取值集合為()A．{－2，2} B．{0，2}C．{2} D．{0，－2，2}答案A解析因?yàn)榻铅恋慕K邊在第一象限，所以角eq\f(α,2)的終邊在第一象限或第三象限，所以eq\f(sin\f(α,2),|sin\f(α,2)|)＋eq\f(cos\f(α,2),|cos\f(α,2)|)＝±2.故選A.12．sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案A解析∵eq\f(π,2)<2<3<π<4<eq\f(3π,2)，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0，∴選A.13．若一段圓弧的長度等于其圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\r(3) D.eq\r(2)答案C解析設(shè)圓的半徑為R，由題意可知，圓內(nèi)接正三角形的邊長為eq\r(3)R，∴圓弧長為eq\r(3)R.∴該圓弧所對圓心角的弧度數(shù)為eq\f(\r(3)R,R)＝eq\r(3).14．已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案B解析由角θ的終邊在直線y＝2x上可得tanθ＝2，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝－eq\f(3,5).15．sin1，cos1，tan1的大小關(guān)系是()A．sin1<cos1<tan1 B．tan1<sin1<cos1C．cos1<tan1<sin1 D．cos1<sin1<tan1答案D解析如圖，單位圓中∠MOP＝1rad>eq\f(π,4)rad.因?yàn)镺M<eq\f(\r(2),2)<MP<AT，所以cos1<sin1<tan1.故選D.16．－2020°角是第________象限角，與－2020°角終邊相同的最小正角是________，最大負(fù)角是________．答案二，140°，－220°解析∵－2020°＝－6×360°＋140°，∴－2020°角的終邊與140°角的終邊相同．∴－2020°角是第二象限角，與－2020°角終邊相同的最小正角是140°.又是140°－360°＝－220°，故與－2020°終邊相同的最大負(fù)角是－220°.17．(1)若0≤θ≤2π，則使tanθ≤1成立的角θ的取值范圍是________．答案[0，eq\f(π,4)]∪(eq\f(π,2)，eq\f(5,4)π]∪(eq\f(3,2)π，2π](2)求函數(shù)y＝lg(3－4sin2x)的定義域?yàn)開_______．答案(kπ－eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(π,3))(k∈Z)解析∵3－4sin2x>0，∴sin2x<eq\f(3,4).∴－eq\f(\r(3),2)<sinx<eq\f(\r(3),2).利用三角函數(shù)線畫出滿足條件的x終邊范圍(如圖陰影部分所示)，∴x∈(kπ－eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(π,3))(k∈Z)．18．在直角坐標(biāo)系xOy中，若角α的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊為射線l：y＝2eq\r(2)x(x≥0)，求sin(α＋eq\f(π,6))的值．答案eq\f(1＋2\r(6),6)解析由射線l的方程為y＝2eq\r(2)x，可得sinα＝eq\f(2\r(2),3)，cosα＝eq\f(1,3).故sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1＋2\r(6),6).第2課時(shí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式1．下列各數(shù)中與sin2019°的值最接近的是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(3),2)答案C解析2019°＝5×360°＋180°＋39°，∴sin2019°＝－sin39°和－sin30°接近，選C.2．已知角α是第二象限角，且滿足sin(eq\f(5π,2)＋α)＋3cos(α－π)＝1，則tan(π＋α)＝()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3) D．－1答案B解析方法一：由sin(eq\f(5π,2)＋α)＋3cos(α－π)＝1，得cosα－3cosα＝1，∴cosα＝－eq\f(1,2)，∵角α是第二象限角，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，∴tan(π＋α)＝tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\r(3)，故選B.方法二：由sin(eq\f(5π,2)＋α)＋3cos(α－π)＝1，得cosα－3cosα＝1，∴cosα＝－eq\f(1,2)，∵角α是第二象限角，∴可取α＝eq\f(2π,3)，∴tan(π＋α)＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3)，故選B.3．若tan(5π＋α)＝m，則eq\f(sin（α－3π）＋cos（π－α）,sin（－α）－cos（π＋a）)的值為()A.eq\f(m＋1,m－1) B.eq\f(m－1,m＋1)C．－1 D．1答案A解析∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m.原式＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(m＋1,m－1)，∴選A.4．已知cos31°＝a，則sin239°·tan149°的值為()A.eq\f(1－a2,a) B.eq\r(1－a2)C.eq\f(a2－1,a) D．－eq\r(1－a2)答案B解析sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－a2).5．記cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.eq\f(\r(1－k2),k) B．－eq\f(\r(1－k2),k)C.eq\f(k,\r(1－k2)) D．－eq\f(k,\r(1－k2))答案B解析cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝eq\r(1－k2)，tan80°＝eq\f(\r(1－k2),k)，tan100°＝－tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k).6．已知sinα＋cosα＝－eq\r(2)，則tanα＋eq\f(1,tanα)＝()A．2 B.eq\f(1,2)C．－2 D．－eq\f(1,2)答案A解析tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝eq\f(1,\f(1,2))＝2.故選A.7.eq\r(1＋2sin（π－3）cos（π＋3）)化簡的結(jié)果是()A．sin3－cos3 B．cos3－sin3C．±(sin3－cos3) D．以上都不對答案A解析sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，∴eq\r(1－2sin3·cos3)＝eq\r(（sin3－cos3）2)＝|sin3－cos3|.∵eq\f(π,2)<3<π，∴sin3>0，cos3<0.∴原式＝sin3－cos3，選A.8．已知A＝eq\f(sin（kπ＋α）,sinα)＋eq\f(cos（kπ＋α）,cosα)(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是()A．{1，－1，2，－2} B．{－1，1}C．{2，－2} D．{1，－1，0，2，－2}答案C解析當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝2；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，A＝eq\f(－sinα,sinα)－eq\f(cosα,cosα)＝－2.9．已知tanθ＝2，且θ∈(0，eq\f(π,2))，則cos2θ＝()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)答案C解析cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)，將tanθ＝2代入可得cos2θ＝－eq\f(3,5).故選C.10．已知2sinθ＝1＋cosθ，則tanθ＝()A．－eq\f(4,3)或0 B.eq\f(4,3)或0C．－eq\f(4,3) D.eq\f(4,3)答案B解析方法一：將2sinθ＝1＋cosθ兩邊平方并整理可得5cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得cosθ＝－1或eq\f(3,5).當(dāng)cosθ＝－1時(shí)，θ＝2kπ＋π，k∈Z，得tanθ＝0；當(dāng)cosθ＝eq\f(3,5)時(shí)，sinθ＝eq\f(1,2)(1＋cosθ)＝eq\f(4,5)，得tanθ＝eq\f(4,3).故選B.方法二：由已知4sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＝2cos2eq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)＝0或taneq\f(θ,2)＝eq\f(1,2).由coseq\f(θ,2)＝0可得sinθ＝0，從而tanθ＝0.由taneq\f(θ,2)＝eq\f(1,2)可得tanθ＝eq\f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq\f(4,3)，故選B.11．已知eq\f(1＋sinα,cosα)＝－eq\f(1,2)，則eq\f(cosα,sinα－1)的值是()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－2答案A解析因?yàn)?－sin2α＝cos2α，cosα≠0，1－sinα≠0，所以(1＋sinα)(1－sinα)＝cosαcosα，所以eq\f(1＋sinα,cosα)＝eq\f(cosα,1－sinα)，所以eq\f(cosα,1－sinα)＝－eq\f(1,2)，即eq\f(cosα,sinα－1)＝eq\f(1,2).故選A.12．若sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程4x2＋2mx＋m＝0的兩個(gè)根，則m的值為()A．1＋eq\r(5) B．1－eq\r(5)C．1±eq\r(5) D．－1－eq\r(5)答案B解析由題意知，sinθ＋cosθ＝－eq\f(m,2)，sinθcosθ＝eq\f(m,4).又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，所以eq\f(m2,4)＝1＋eq\f(m,2)，解得m＝1±eq\r(5).又Δ＝4m2－16m≥0，所以m≤0或m≥4，所以m＝1－eq\r(5).故選B.13．化簡eq\f(1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα,1＋sinα＋cosα)的結(jié)果是()A．2sinα B．2cosαC．sinα＋cosα D．sinα－cosα答案C解析原式＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα,1＋sinα＋cosα)＝eq\f(（sinα＋cosα）2＋sinα＋cosα,1＋sinα＋cosα)＝eq\f(（sinα＋cosα）（sinα＋cosα＋1）,1＋sinα＋cosα)＝sinα＋cosα.故選C.14．若sinθ＋sin2θ＝1，則cos2θ＋cos6θ＋cos8θ的值等于()A．0 B．1C．－1 D.eq\f(\r(5)－1,2)答案B解析由sinθ＋sin2θ＝1，得sinθ＝1－sin2θ＝cos2θ，所以cos2θ＋cos6θ＋cos8θ＝sinθ＋sin3θ＋sin4θ＝sinθ＋sin2θ(sinθ＋sin2θ)＝sinθ＋sin2θ＝1.15．已知α為鈍角，sin(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(3,4)，則sin(eq\f(π,4)－α)＝________，cos(α－eq\f(π,4))＝________．答案－eq\f(\r(7),4)，eq\f(3,4)解析sin(eq\f(π,4)－α)＝cos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)－α)]＝cos(eq\f(π,4)＋α)，∵α為鈍角，∴eq\f(3,4)π<eq\f(π,4)＋α<eq\f(5,4)π.∴cos(eq\f(π,4)＋α)<0.∴cos(eq\f(π,4)＋α)＝－eq\r(1－（\f(3,4)）2)＝－eq\f(\r(7),4).cos(α－eq\f(π,4))＝sin[eq\f(π,2)＋(α－eq\f(π,4))]＝sin(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(3,4).16．已知sin(3π＋α)＝2sin(eq\f(3π,2)＋α)，則①eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)＝________；②sin2α＋sin2α＝________．答案①－eq\f(1,6)②eq\f(8,5)解析∵sin(3π＋α)＝2sin(eq\f(3π,2)＋α)，∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα.①原式＝eq\f(2cosα－4cosα,10cosα＋2cosα)＝eq\f(－2,12)＝－eq\f(1,6).②∵sinα＝2cosα，∴tanα＝2，∴原式＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(4＋4,4＋1)＝eq\f(8,5).17．已知－eq\f(π,2)<α<0，且函數(shù)f(α)＝cos(eq\f(3π,2)＋α)－sinα·eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))－1.(1)化簡f(α)；(2)若f(α)＝eq\f(1,5)，求sinαcosα和sinα－cosα的值．答案(1)f(α)＝sinα＋cosα(2)－eq\f(12,25)，－eq\f(7,5)解析(1)f(α)＝sinα－sinα·eq\r(\f(（1＋cosα）2,1－cos2α))－1＝sinα＋sinα·eq\f(1＋cosα,sinα)－1＝sinα＋cosα.(2)方法一：由f(α)＝sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，平方可得sin2α＋2sinα·cosα＋cos2α＝eq\f(1,25)，即2sinα·cosα＝－eq\f(24,25).∴sinα·cosα＝－eq\f(12,25).∵(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝eq\f(49,25)，又－eq\f(π,2)<α<0，∴sinα<0，cosα>0，∴sinα－cosα<0，∴sinα－cosα＝－eq\f(7,5).方法二：聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，,sin2α＋cos2α＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝－\f(3,5)，,cosα＝\f(4,5)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5).))∵－eq\f(π,2)<α<0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝－\f(3,5)，,cosα＝\f(4,5).))∴sinαcosα＝－eq\f(12,25)，sinα－cosα＝－eq\f(7,5).18．已知函數(shù)y＝eq\f(sinθcosθ,2＋sinθ＋cosθ).(1)設(shè)變量t＝sinθ＋cosθ，試用t表示y＝f(t)，并寫出t的取值范圍；(2)求函數(shù)y＝f(t)的值域．答案(1)y＝eq\f(t2－1,4＋2t)，t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)](2)[eq\r(3)－2，eq\f(2＋\r(2),4)]解析(1)∵t＝sinθ＋cosθ，∴t＝sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sin(θ＋eq\f(π,4))，∴t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，t2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝1＋2sinθcosθ，∴sinθcosθ＝eq\f(t2－1,2)，∴y＝f(t)＝eq\f(sinθcosθ,2＋sinθ＋cosθ)＝eq\f(t2－1,2（2＋t）)＝eq\f(t2－1,4＋2t)，t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．(2)f(t)＝eq\f(t2－1,4＋2t)＝eq\f(1,2)×[eq\f(（t＋2）2－4（t＋2）＋3,t＋2)]＝eq\f(1,2)[(t＋2)＋eq\f(3,t＋2)－4]．∵t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，∴t＋2∈[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)]．∵(t＋2)＋eq\f(3,t＋2)≥2eq\r(（t＋2）·\f(3,t＋2))＝2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)(t＋2)＝eq\f(3,t＋2)，即t＋2＝eq\r(3)時(shí)取等號，∴函數(shù)f(t)的最小值為eq\f(1,2)×(2eq\r(3)－4)＝eq\r(3)－2.當(dāng)t＝－eq\r(2)時(shí)，f(－eq\r(2))＝eq\f(2＋\r(2),4)，當(dāng)t＝eq\r(2)時(shí)，f(eq\r(2))＝eq\f(2－\r(2),4)，∴函數(shù)f(t)的最大值為eq\f(2＋\r(2),4).故函數(shù)y＝f(t)的值域?yàn)閇eq\r(3)－2，eq\f(2＋\r(2),4)]．第3課時(shí)三角恒等變換第1學(xué)時(shí)基本公式1．已知sin10°＝a，則sin70°等于()A．1－2a2 B．1＋2a2C．1－a2 D．a(chǎn)2－1答案A解析由題意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－2a2.故選A.2．已知cosα＝eq\f(\r(5),5)，則cos(α－eq\f(π,4))的值為()A.eq\f(3\r(10),10) B．－eq\f(\r(10),10)C.eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(3\r(10),10)或－eq\f(\r(10),10)答案D解析∵cosα＝eq\f(\r(5),5)，∴sinα＝±eq\r(1－cos2α)＝±eq\f(2\r(5),5)，∴cos(α－eq\f(π,4))＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(5),5)·eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)·(±eq\f(2\r(5),5))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(10),10)，,－\f(\r(10),10).))有兩解，應(yīng)選D.3．滿足cosαcosβ＝eq\f(\r(3),2)－sinαsinβ的一組α，β的值是()A．α＝eq\f(13π,12)，β＝eq\f(5,4)π B．α＝eq\f(13π,12)，β＝eq\f(3,4)πC．α＝eq\f(π,2)，β＝eq\f(π,6) D．α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,6)答案A解析∵cosαcosβ＝eq\f(\r(3),2)－sinαsinβ，∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(\r(3),2).即cos(α－β)＝eq\f(\r(3),2).當(dāng)α＝eq\f(13π,12)，β＝eq\f(5π,4)時(shí)，α－β＝eq\f(13π,12)－eq\f(5π,4)＝－eq\f(π,6)，此時(shí)，cos(－eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),2)，∴α＝eq\f(13π,12)，β＝eq\f(5π,4)適合，應(yīng)選A.4．cosα＋sinα不等于()A.eq\r(2)cos(α－eq\f(π,4)) B.eq\r(2)cos(eq\f(π,4)－α)C.eq\r(2)cos(α＋eq\f(π,4)) D.eq\r(2)cos(α＋eq\f(7π,4))答案C解析eq\r(2)cos(α－eq\f(π,4))＝eq\r(2)(cosαcoseq\f(π,4)＋sinαsineq\f(π,4))＝eq\r(2)(eq\f(\r(2),2)cosα＋eq\f(\r(2),2)sinα)＝cosα＋sinα.eq\r(2)cos(α＋eq\f(7π,4))＝eq\r(2)cos[2π－(α＋eq\f(7π,4))]＝eq\r(2)cos(eq\f(π,4)－α)＝eq\r(2)cos(α－eq\f(π,4))＝cosα＋sinα.5．化簡eq\r(2＋cos2－sin21)的結(jié)果是()A．－cos1 B．cos1C.eq\r(3)cos1 D．－eq\r(3)cos1答案C解析eq\r(2＋cos2－sin21)＝eq\r(2＋cos2－\f(1－cos2,2))＝eq\r(\f(3＋3cos2,2))＝eq\r(3cos21)＝eq\r(3)cos1.6．若sineq\f(θ,2)＝eq\f(3,5)，coseq\f(θ,2)＝－eq\f(4,5)，則θ在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析cosθ＝2cos2eq\f(θ,2)－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(7,25)>0，sinθ＝2sineq\f(θ,2)·coseq\f(θ,2)＝2×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(24,25)<0，∴θ在第四象限．7．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－eq\f(1,3)，則cos2α等于()A.eq\f(\r(17),9) B．±eq\f(\r(17),9)C．－eq\f(\r(17),9) D.eq\f(\r(17),3)答案A解析將cosα＋sinα＝－eq\f(1,3)平方整理，得2sinα·cosα＝－eq\f(8,9).∵α∈(0，π)，∴cosα<0，sinα>0.∴cosα－sinα＝－eq\r(（cosα－sinα）2)＝－eq\r(1－2sinαcosα)＝－eq\f(\r(17),3).∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝(－eq\f(1,3))×(－eq\f(\r(17),3))＝eq\f(\r(17),9).8.eq\r(1＋cos100°)－eq\r(1－cos100°)等于()A．－2cos5° B．2cos5°C．2sin5° D．－2sin5°答案D解析原式＝eq\r(2cos250°)－eq\r(2sin250°)＝eq\r(2)(cos50°－sin50°)＝2(eq\f(\r(2),2)cos50°－eq\f(\r(2),2)sin50°)＝2sin(45°－50°)＝2sin(－5°)＝－2sin5°.9．已知等腰三角形底角的余弦值為eq\f(2,3)，則頂角的正弦值是()A.eq\f(2\r(5),9) B.eq\f(4\r(5),9)C．－eq\f(4\r(5),9) D．－eq\f(2\r(5),9)答案B解析設(shè)底角為α，則sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\r(1－（\f(2,3)）2)×eq\f(2,3)＝eq\f(4\r(5),9).10．若△ABC的內(nèi)角A滿足sin2A＝eq\f(2,3)，則sinA＋cosA的值為()A.eq\f(\r(15),3) B．－eq\f(\r(15),3)C.eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)答案A解析方法一：∵sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(2,3)，∴1＋2sinAcosA＝eq\f(5,3)，即sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝eq\f(5,3).∴|sinA＋cosA|＝eq\f(\r(15),3).又∵A為銳角，∴sinA＋cosA＝eq\f(\r(15),3)，故選A.方法二：∵A為銳角，∴sinA＋cosA>0.∴B，D不合題意．若sinA＋cosA＝eq\f(\r(15),3)，則(sinA＋cosA)2＝eq\f(5,3)＝1＋2sinAcosA＝1＋sin2A.∴sin2A＝eq\f(2,3)，滿足題意，故選A.11．計(jì)算tan15°＋eq\f(1,tan15°)的值為()A.eq\r(2) B．2C．4 D．2eq\r(2)答案C解析tan15°＋eq\f(1,tan15°)＝eq\f(sin15°,cos15°)＋eq\f(cos15°,sin15°)＝eq\f(sin215°＋cos215°,sin15°cos15°)＝eq\f(2,sin30°)＝4.故選C.12．(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)答案C解析(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°·(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.13．在△ABC中，tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB，則C等于()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,4)答案A解析由已知得tanA＋tanB＝－eq\r(3)(1－tanAtanB)，∴eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\r(3)，即tan(A＋B)＝－eq\r(3).又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝eq\r(3)，0<C<π，∴C＝eq\f(π,3).14.eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)＝()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)答案C解析sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝eq\f(sin30°cos17°,cos17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).15．已知tan(α＋eq\f(π,5))＝2，tan(β－eq\f(4π,5))＝－3，則tan(α－β)＝()A．1 B．－eq\f(5,7)C.eq\f(5,7) D．－1答案D解析∵tan(β－eq\f(4π,5))＝－3，∴tan(β＋eq\f(π,5))＝－3.∵tan(α＋eq\f(π,5))＝2，∴tan(α－β)＝tan[(α＋eq\f(π,5))－(β＋eq\f(π,5))]＝eq\f(tan（α＋\f(π,5)）－tan（β＋\f(π,5)）,1＋tan（α＋\f(π,5)）tan（β＋\f(π,5)）)＝eq\f(2－（－3）,1＋2×（－3）)＝－1.故選D.16．若cosα＝eq\f(3,5)，0<α<π，則eq\f(1＋\r(2)cos（2α－\f(π,4)）,sin（α＋\f(π,2)）)＝()A.eq\f(2,5) B.eq\f(7,5)C.eq\f(14,5) D．－eq\f(2,5)答案C解析因?yàn)?<α<π且cosα＝eq\f(3,5)，所以sinα＝eq\f(4,5)，所以eq\f(1＋\r(2)cos（2α－\f(π,4)）,sin（α＋\f(π,2)）)＝eq\f(1＋cos2α＋sin2α,cosα)＝2cosα＋2sinα＝eq\f(14,5)，故選C.17．已知cos(eq\f(π,4)－x)＝eq\f(3,5)，則sin2x的值為()A.eq\f(18,25) B.eq\f(7,25)C．－eq\f(7,25) D．－eq\f(16,25)答案C解析因?yàn)閟in2x＝cos(eq\f(π,2)－2x)＝cos2(eq\f(π,4)－x)＝2cos2(eq\f(π,4)－x)－1，所以sin2x＝2×(eq\f(3,5))2－1＝eq\f(18,25)－1＝－eq\f(7,25).18．已知α是第三象限角，且tanα＝2，則sin(α＋eq\f(π,4))＝()A．－eq\f(3\r(10),10) B.eq\f(3\r(10),10)C．－eq\f(\r(10),10) D.eq\f(\r(10),10)答案A解析由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2，sin2α＋cos2α＝1，且α是第三象限角，得sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，所以sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)(sinα＋cosα)＝－eq\f(3\r(10),10)，故選A.19．對于銳角α，若sin(α－eq\f(π,12))＝eq\f(3,5)，則cos(2α＋eq\f(π,3))＝()A.eq\f(24,25) B.eq\f(3,8)C.eq\f(\r(2),8) D．－eq\f(24,25)答案D解析由α為銳角，且sin(α－eq\f(π,12))＝eq\f(3,5)，可得cos(α－eq\f(π,12))＝eq\f(4,5)，則cos(α＋eq\f(π,6))＝cos[(α－eq\f(π,12))＋eq\f(π,4)]＝cos(α－eq\f(π,12))coseq\f(π,4)－sin(α－eq\f(π,12))sineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10)，于是cos(2α＋eq\f(π,3))＝2cos2(α＋eq\f(π,6))－1＝2×(eq\f(\r(2),10))2－1＝－eq\f(24,25)，故選D.20．計(jì)算：eq\f(sin250°,1＋sin10°)＝________．答案eq\f(1,2)解析eq\f(sin250°,1＋sin10°)＝eq\f(1－cos100°,2（1＋sin10°）)＝eq\f(1＋sin10°,2（1＋sin10°）)＝eq\f(1,2).21．化簡：eq\f(sin（α＋β）－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cos（α＋β）)＝________．答案－tan(α－β)解析原式＝eq\f(sinα·cosβ＋cosα·sinβ－2sinα·cosβ,2sinα·sinβ＋cosα·cosβ－sinα·sinβ)＝eq\f(－（sinα·cosβ－cosα·sinβ）,cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝－eq\f(sin（α－β）,cos（α－β）)＝－tan(α－β)．22．計(jì)算：eq\f(1－tan17°,1＋tan17°)＋eq\f(cos146°,1＋sin34°)＝________．答案0解析原式＝eq\f(cos17°－sin17°,cos17°＋sin17°)＋eq\f(－cos34°,1＋sin34°)＝eq\f(cos17°－sin17°,cos17°＋sin17°)－eq\f(cos217°－sin217°,（cos17°＋sin17°）2)＝eq\f(cos17°－sin17°,cos17°＋sin17°)－eq\f(cos17°－sin17°,cos17°＋sin17°)＝0.第3課時(shí)三角恒等變換第2學(xué)時(shí)基本公式的應(yīng)用1．設(shè)sinαcosβ＝1，則cos(α＋β)的值為()A．0 B．1C．±1 D．－1答案A解析∵sinα·cosβ＝1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|sinα|＝1，,|cosβ|＝1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα＝0，,sinβ＝0.))∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝0.2．4cos50°－tan40°＝()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(2)＋\r(3),2)C.eq\r(3) D．2eq\r(2)－1答案C解析4cos50°－tan40°＝eq\f(4sin40°cos40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin80°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin100°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin（60°＋40°）－sin40°,cos40°)＝eq\f(2×\f(\r(3),2)cos40°＋2×\f(1,2)sin40°－sin40°,cos40°)＝eq\r(3).故選C.3．計(jì)算eq\f(tan（\f(π,4)＋α）·cos2α,2cos2（\f(π,4)－α）)的值為()A．－2 B．2C．－1 D．1答案D解析eq\f(tan（\f(π,4)＋α）·cos2α,2cos2（\f(π,4)－α）)＝eq\f(sin（\f(π,4)＋α）·cos2α,2sin2（\f(π,4)＋α）cos（\f(π,4)＋α）)＝eq\f(cos2α,2sin（\f(π,4)＋α）cos（\f(π,4)＋α）)＝eq\f(cos2α,sin2（\f(π,4)＋α）)＝eq\f(cos2α,sin（\f(π,2)＋2α）)＝eq\f(cos2α,cos2α)＝1，選D.4．若θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)，則sinθ等于()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(\r(7),4) D.eq\f(3,4)答案D解析因?yàn)棣取蔥eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，所以2θ∈[eq\f(π,2)，π]，cos2θ≤0，所以cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ)＝－eq\f(1,8).又因?yàn)閏os2θ＝1－2sin2θ＝－eq\f(1,8)，所以sin2θ＝eq\f(9,16)，sinθ＝eq\f(3,4).故選D.5．若eq\f(cos2α,sin（α＋\f(π,4)）)＝eq\f(1,2)，則sin2α的值為()A．－eq\f(7,8) B.eq\f(7,8)C．－eq\f(4,7) D.eq\f(4,7)答案B解析eq\f(cos2α,sin（α＋\f(π,4)）)＝eq\f(cos2α－sin2α,sinαcos\f(π,4)＋cosαsin\f(π,4))＝eq\r(2)(cosα－sinα)＝eq\f(1,2)，即cosα－sinα＝eq\f(\r(2),4)，等式兩邊分別平方得cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－sin2α＝eq\f(1,8)，解得sin2α＝eq\f(7,8).6．已知α為銳角，β為第二象限角，且cos(α－β)＝eq\f(1,2)，sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，則sin(3α－β)＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)答案B解析方法一：因?yàn)棣翞殇J角，β為第二象限角，cos(α－β)>0，sin(α＋β)>0，所以α－β為第四象限角，α＋β為第二象限角，所以sin(α－β)＝－eq\f(\r(3),2)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(3),2)，所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝－eq\f(\r(3),2)×(－eq\f(\r(3),2))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.因?yàn)棣翞殇J角，所以2α＝eq\f(π,2)，所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝eq\f(1,2)，故選B.方法二：同方法一可得，sin(α－β)＝－eq\f(\r(3),2)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(3),2).所以cos2(α－β)＝2cos2(α－β)－1＝2×(eq\f(1,2))2－1＝－eq\f(1,2)，sin2(α－β)＝2sin(α－β)cos(α－β)＝2×(－eq\f(\r(3),2))×eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(3),2).所以sin(3α－β)＝sin[2(α－β)＋(α＋β)]＝sin2(α－β)cos(α＋β)＋cos2(α－β)sin(α＋β)＝(－eq\f(\r(3),2))×(－eq\f(\r(3),2))＋(－eq\f(1,2))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).故選B.7．若α∈(0，π)，且eq\r(3)sinα＋2cosα＝2，則taneq\f(α,2)＝()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\f(4\r(3),3)答案A解析方法一：由已知得cosα＝1－eq\f(\r(3),2)sinα.代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋(1－eq\f(\r(3),2)sinα)2＝1，整理得eq\f(7,4)sin2α－eq\r(3)sinα＝0，解得sinα＝0或sinα＝eq\f(4\r(3),7).因?yàn)棣痢?0，π)，所以sinα＝eq\f(4\r(3),7)，故cosα＝1－eq\f(\r(3),2)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(1,7).所以taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(\f(4\r(3),7),1＋\f(1,7))＝eq\f(\r(3),2).故選A.方法二：因?yàn)閟inα＝2sineq\f(α,2)·coseq\f(α,2)，cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)，所以eq\r(3)sinα＋2cosα＝2可以化為2eq\r(3)sineq\f(α,2)·coseq\f(α,2)＋2(1－2sin2eq\f(α,2))＝2，化簡可得2eq\r(3)sineq\f(α,2)·coseq\f(α,2)＝4sin2eq\f(α,2).①因?yàn)棣痢?0，π)，所以eq\f(α,2)∈(0，eq\f(π,2))，所以sineq\f(α,2)≠0.所以①式可化為2eq\r(3)coseq\f(α,2)＝4sineq\f(α,2)，即taneq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),2).故選A.8．已知tan(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(1,2)，且eq\f(π,2)<α<π，則eq\f(sin2α－2cos2α,sin（α－\f(π,4)）)的值等于()A.eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(3\r(5),10)C．－eq\f(2\r(5),5) D．－eq\f(3\r(10),10)答案C解析eq\f(sin2α－2cos2α,sin（α－\f(π,4)）)＝eq\f(2sinαcosα－2cos2α,\f(\r(2),2)（sinα－cosα）)＝2eq\r(2)cosα，由tan(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(1,2)，得eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝－eq\f(1,2)，解得tanα＝－3.因?yàn)閑q\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\r(\f(1,tan2α＋1))＝－eq\f(\r(10),10).所以原式＝2eq\r(2)cosα＝2eq\r(2)×(－eq\f(\r(10),10))＝－eq\f(2\r(5),5).故選C.9．計(jì)算：(1)eq\f(\r(3)tan10°－1,sin10°)＝________．(2)eq\f(3－sin70°,2－cos210°)＝________．(3)eq\f(\r(3)tan12°－3,（4cos212°－2）sin12°)＝________．答案(1)－4(2)2(3)－4eq\r(3)解析(1)原式＝eq\f(\f(\r(3)sin10°,cos10°)－1,sin10°)＝eq\f(\r(3)sin10°－cos10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2sin（10°－30°）,\f(1,2)sin20°)＝eq\f(－2sin20°,\f(1,2)sin20°)＝－4.(2)eq\f(3－sin70°,2－cos210°)＝eq\f(3－cos20°,2－cos210°)＝eq\f(3－（2cos210°－1）,2－cos210°)＝2.(3)原式＝eq\f(\f(\r(3)sin12°,cos12°)－3,2（2cos212°－1）sin12°)＝eq\f(\f(2\r(3)（\f(1,2)sin12°－\f(\r(3),2)cos12°）,cos12°),2cos24°sin12°)＝eq\f(2\r(3)sin（－48°）,2cos24°sin12°cos12°)＝eq\f(－2\r(3)sin48°,sin24°cos24°)＝eq\f(－2\r(3)sin48°,\f(1,2)sin48°)＝－4eq\r(3).10．化簡：eq\f(1－tan2（\f(π,4)－α）,1＋tan2（\f(π,4)－α）)＝________．答案sin2α11．設(shè)α為第四象限的角，若eq\f(sin3α,sinα)＝eq\f(13,5)，則tan2α＝________．答案－eq\f(3,4)解析eq\f(sin3α,sinα)＝eq\f(sin（2α＋α）,sinα)＝eq\f(sin2αcosα＋cos2αsinα,sinα)＝eq\f(13,5).∴2cos2α＋cos2α＝eq\f(13,5)，2cos2α－1＋cos2α＝eq\f(8,5).∴cos2α＝eq\f(4,5).∵2kπ－eq\f(π,2)<α<2kπ，∴4kπ－π<2α<4kπ(k∈Z)．又∵cos2α＝eq\f(4,5)>0，∴2α為第四象限的角．sin2α＝－eq\r(1－cos22α)＝－eq\f(3,5)，∴tan2α＝－eq\f(3,4).12．已知sinα＝cos2α，α∈(eq\f(π,2)，π)，則tanα＝________．答案－eq\f(\r(3),3)解析sinα＝1－2sin2α，∴2sin2α＋sinα－1＝0.∴(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈(eq\f(π,2)，π)，∴2sinα－1＝0.∴sinα＝eq\f(1,2)，cosα＝－eq\f(\r(3),2).∴tanα＝－eq\f(\r(3),3).13．在△ABC中，tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanA·tanB，且sinA·cosA＝eq\f(\r(3),4)，則此三角形為________．答案等邊三角形解析∵tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB，∴tan(A＋B)＝－eq\r(3)，得A＋B＝120°.又由sinAcosA＝eq\f(\r(3),4)，得sin2A＝eq\f(\r(3),2).∴A＝60°(A＝30°舍去)，∴△ABC為等邊三角形．14．若θ∈[0，π)且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，則θ＝________．答案0或eq\f(π,4)15．化簡：eq\f(sin（3α－π）,sinα)＋eq\f(cos（3α－π）,cosα)＝________.答案－4cos2α解析原式＝eq\f(－sin3α,sinα)＋eq\f(－cos3α,cosα)＝－eq\f(sin3αcosα＋cos3αsinα,sinαcosα)＝－eq\f(sin4α,sinαcosα)＝－eq\f(4sinαcosα·cos2α,sinαcosα)＝－4cos2α.16．已知tan(eq\f(π,4)＋θ)＝3，則sin2θ－2cos2θ＝__________．答案－eq\f(4,5)解析方法一：sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1，sin2θ＝－cos2(θ＋eq\f(π,4))＝－eq\f(1－tan2（θ＋\f(π,4)）,1＋tan2（θ＋\f(π,4)）)＝eq\f(4,5)，cos2θ＝sin2(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(2tan（θ＋\f(π,4)）,1＋tan2（θ＋\f(π,4)）)＝eq\f(3,5)，∴原式＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)－1＝－eq\f(4,5).方法二：tan(eq\f(π,4)＋θ)＝3，eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)＝3，解得tanθ＝eq\f(1,2)，sin2θ－2cos2θ＝eq\f(2sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(2tanθ－2,tan2θ＋1)＝－eq\f(4,5).17．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝eq\f(1,3)，則cos2α－sin2β＝________．答案eq\f(1,3)解析∵(cosαcosβ－sinαsinβ)(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(1,3)，∴cos2αcos2β－sin2αsin2β＝eq\f(1,3).∴cos2α(1－sin2β)－(1－cos2α)sin2β＝eq\f(1,3).∴cos2α－sin2β＝eq\f(1,3).18．已知0<α<eq\f(π,2)<β<π，且sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2).(1)求cosα的值；(2)證明：sinβ>eq\f(5,13).答案(1)eq\f(3,5)(2)略解析(1)∵taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，∴tanα＝eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq\f(2×\f(1,2),1－（\f(1,2)）2)＝eq\f(4,3).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝\f(4,3)，,sin2α＋cos2α＝1.))又α∈(0，eq\f(π,2))，解得cosα＝eq\f(3,5).(2)證明：由已知得eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3π,2).∵sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，∴cos(α＋β)＝－eq\f(12,13).由(1)可得sinα＝eq\f(4,5)，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)－(－eq\f(12,13))×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65)>eq\f(5,13).第4課時(shí)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1．函數(shù)y＝tan(eq\f(π,4)－x)的定義域是()A．{x|x≠eq\f(π,4)} B．{x|x≠－eq\f(π,4)}C．{x|x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z} D．{x|x≠kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z}答案D解析y＝tan(eq\f(π,4)－x)＝－tan(x－eq\f(π,4))，由x－eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.故選D.2．函數(shù)f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)·cosx的最小正周期為()A．2π B.eq\f(3π,2)C．π D.eq\f(π,2)答案A解析f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx＝eq\f(cosx＋\r(3)sinx,cosx)·cosx＝2cos(x－eq\f(π,3))，則T＝2π.3．函數(shù)f(x)＝(1＋cos2x)sin2x是()A．周期為π的奇函數(shù) B．周期為π的偶函數(shù)C．周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù) D．周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)答案D解析f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝eq\f(1,2)sin22x＝eq\f(1－cos4x,4)，則T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2)且為偶函數(shù)．4．下列函數(shù)中，最小正周期是π且在區(qū)間(eq\f(π,2)，π)上是增函數(shù)的是()A．y＝sin2x B．y＝sinxC．y＝taneq\f(x,2) D．y＝cos2x答案D解析y＝sin2x在區(qū)間(eq\f(π,2)，π)上的單調(diào)性是先減后增；y＝sinx的最小正周期是T＝eq\f(2π,ω)＝2π；y＝taneq\f(x,2)的最小正周期是T＝eq\f(π,ω)＝2π；y＝cos2x滿足條件．故選D.5．函數(shù)y＝2sin(eq\f(π,6)－2x)(x∈[0，π])的增區(qū)間是()A．[0，eq\f(π,3)] B．[eq\f(π,12)，eq\f(7π,12)]C．[eq\f(π,3)，eq\f(5π,6)] D．[eq\f(5π,6)，π]答案C解析∵y＝2sin(eq\f(π,6)－2x)＝－2sin(2x－eq\f(π,6))，由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq\f(π,3)＋kπ≤x≤eq\f(5π,6)＋kπ，k∈Z，即函數(shù)的增區(qū)間為[eq\f(π,3)＋kπ，eq\f(5π,6)＋kπ]，k∈Z，∴當(dāng)k＝0時(shí)，增區(qū)間為[eq\f(π,3)，eq\f(5π,6)]．6．已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則()A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3 B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4答案B解析易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝eq\f(3,2)(2cos2x－1)＋eq\f(3,2)＋1＝eq\f(3,2)cos2x＋eq\f(5,2)，則f(x)的最小正周期為π，當(dāng)x＝kπ(k∈Z)時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為4.7．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(x＋eq\f(π,3))，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．f(x)的一個(gè)周期為－2π B．y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝eq\f(8π,3)對稱C．f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝eq\f(π,6) D．f(x)在(eq\f(π,2)，π)上單調(diào)遞減答案D解析由三角函數(shù)的周期公式可得T＝eq\f(2π,1)＝2π，所以周期是－2π也正確，所以A正確；由于三角函數(shù)在對稱軸上取得最值，所以把對稱軸x＝eq\f(8π,3)代入函數(shù)f(x)＝cos(eq\f(8π,3)＋eq\f(π,3))＝cos3π＝－1，所以B正確；f(x＋π)＝cos(x＋π＋eq\f(π,3))＝－cos(x＋eq\f(π,3))＝0，解得其中一個(gè)解是x＝eq\f(π,6)，所以C正確；函數(shù)f(x)在區(qū)間(eq\f(π,2)，π)有增有減，D不正確，所以選擇D.8．函數(shù)y＝sinx2的圖像是()答案D解析由于函數(shù)y＝sinx2是一個(gè)偶函數(shù)，選項(xiàng)A，C的圖像都關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不正確；選項(xiàng)B與選項(xiàng)D的圖像都關(guān)于y軸對稱，在選項(xiàng)B中，當(dāng)x＝±eq\f(π,2)時(shí)，函數(shù)y＝sinx2<1，顯然不正確，當(dāng)x＝±eq\r(\f(π,2))，y＝sinx2＝1，而eq\r(\f(π,2))<eq\f(π,2)，故選D.9．函數(shù)g(x)＝sin22x的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．[eq\f(kπ,2)，eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)](k∈Z) B．[kπ，kπ＋eq\f(π,4)](k∈Z)C．[eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,2)](k∈Z) D．[kπ＋eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)答案A10．若方程2sin(2x＋eq\f(π,6))＝m在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上有兩個(gè)不相等實(shí)根，則m的取值范圍是()A．(1，eq\r(3)) B．[0，2]C．[1，2) D．[1，eq\r(3)]答案C解析因?yàn)閤∈[0，eq\f(π,2)]，所以2x＋eq\f(π,6)∈[eq\f(π,6)，eq\f(7π,6)]．當(dāng)2x＋eq\f(π,6)∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,2)]時(shí)，函數(shù)m＝2sin(2x＋eq\f(π,6))單調(diào)遞增，此時(shí)，m∈[1，2]；當(dāng)2x＋eq\f(π,6)∈[eq\f(π,2)，eq\f(7π,6)]時(shí)，函數(shù)m＝2sin(2x＋eq\f(π,6))單調(diào)遞減，此時(shí)，m∈[－1，2]，因此要有兩個(gè)不相等實(shí)根，則m的取值范圍是[1，2)．故選C.11．若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是減函數(shù)，則a的最大值是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4) D．π答案A解析方法一：f(x)＝cosx－sinx＝eq\r(2)cos(x＋eq\f(π,4))，且函數(shù)y＝cosx在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞減，則由0≤x＋eq\f(π,4)≤π，得－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(3π,4).因?yàn)閒(x)在[－a，a]上是減函數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a≥－\f(π,4)，,a≤\f(3π,4)，))解得a≤eq\f(π,4)，所以0<a≤eq\f(π,4)，所以a的最大值是eq\f(π,4)，故選A.方法二：因?yàn)閒(x)＝cosx－sinx，所以f′(x)＝－sinx－cosx，則由題意，知f′(x)＝－sinx－cosx≤0在[－a，a]上恒成立，即sinx＋cosx≥0，即eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))≥0在[－a，a]上恒成立，結(jié)合函數(shù)y＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))的圖像可知有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(π,4)≥0，,a＋\f(π,4)≤π，))解得a≤eq\f(π,4)，所以0<a≤eq\f(π,4)，所以a的最大值是eq\f(π,4)，選A.12．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x＋π)＝f(x)＋sinx.當(dāng)0≤x<π時(shí)，f(x)＝0，則f(eq\f(23π,6))＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．0 D．－eq\f(1,2)答案A解析由題意得f(eq\f(23π,6))＝f(eq\f(17π,6))＋sineq\f(17π,6)＝f(eq\f(11π,6))＋sineq\f(11π,6)＋sineq\f(17π,6)＝f(eq\f(5π,6))＋sineq\f(5π,6)＋sineq\f(11π,6)＋sineq\f(17π,6)＝0＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).13．若y＝cosx在區(qū)間[－π，α]上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)α的取值范圍是________．答案－π<α≤014．已知函數(shù)f(x)＝sinx＋acosx的圖像的一條對稱軸是x＝eq\f(5π,3)，則函數(shù)g(x)＝asinx＋cosx的初相是________．答案eq\f(2,3)π解析f′(x)＝cosx－asinx，∵x＝eq\f(5π,3)為函數(shù)f(x)＝sinx＋acosx的一條對稱軸，∴f′(eq\f(5π,3))＝coseq\f(5π,3)－asineq\f(5π,3)＝0，解得a＝－eq\f(\r(3),3).∴g(x)＝－eq\f(\r(3),3)sinx＋cosx＝eq\f(2\r(3),3)(－eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx)＝eq\f(2\r(3),3)sin(x＋eq\f(2π,3))．15．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(ωx－eq\f(π,6))(ω>0)．若f(x)≤f(eq\f(π,4))對任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的最小值為________．答案eq\f(2,3)解析由于對任意的實(shí)數(shù)都有f(x)≤f(eq\f(π,4))成立，故當(dāng)x＝eq\f(π,4)時(shí)，函數(shù)f(x)有最大值，故f(eq\f(π,4))＝1，eq\f(πω,4)－eq\f(π,6)＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋eq\f(2,3)(k∈Z)，又ω>0，∴ωmin＝eq\f(2,3).16．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(（sinx－cosx）sin2x,sinx).(1)求f(x)的定義域及最小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．答案(1){x∈R|x≠kπ，k∈Z}T＝π(2)[kπ＋eq\f(3π,8)，kπ＋eq\f(7π,8)](k∈Z)解析(1)由sinx≠0，得x≠kπ(k∈Z)．故f(x)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因?yàn)閒(x)＝(sinx－cosx)eq\f(sin2x,sinx)＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))－1，所以f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)函數(shù)y＝sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ＋eq\f(π,2)，