人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)第17章 勾股定理（單元測(cè)試·基礎(chǔ)卷）

第17章勾股定理（單元測(cè)試·基礎(chǔ)卷）【要點(diǎn)回顧】【要點(diǎn)一】勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）2.勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；（3）求作長(zhǎng)度為的線段.【要點(diǎn)二】勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長(zhǎng)為；（2）驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系，若，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形.3.勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長(zhǎng)的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為，且，那么存在成立.【要點(diǎn)三】勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（

）A． B． C． D．2．消防云梯的長(zhǎng)度是13米，在一次執(zhí)行任務(wù)時(shí)，它只能停在離大樓5米遠(yuǎn)的地方（云梯底端離地面高度忽略不計(jì)），則云梯可以達(dá)到建筑物的高度是（）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米3．公園有一塊長(zhǎng)方形草坪，芳芳同學(xué)發(fā)現(xiàn)有極少數(shù)人為了走捷徑，踐踏草坪走出了一條路，為了倡導(dǎo)人們愛護(hù)花草，建議公園管理人員在處立一個(gè)標(biāo)牌：“小草青青，腳下留情”．經(jīng)過測(cè)量得知：兩處的距離為兩處的距離為則踐踏草坪少走的距離是（

）A． B． C． D．4．如圖：網(wǎng)格中每個(gè)正方形邊長(zhǎng)為1，表示長(zhǎng)的線段是（

）

A． B． C． D．5．如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，若將沿直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在軸正半軸上的點(diǎn)處，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．6．已知成比例的四條線段的長(zhǎng)度分別為，，，，且的三邊長(zhǎng)分別為，，，則是（

）A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形 D．無法判定7．如圖，點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱．甲、乙兩位同學(xué)各給出了自己的說法：甲：若，則是等邊三角形；乙：若，則．對(duì)于兩位同學(xué)的說法，下列判定正確的是（

）

A．甲正確 B．乙正確 C．甲、乙都正確 D．甲、乙都錯(cuò)誤8．如圖，在中，，，于點(diǎn)，以為直徑的半圓的面積為，那么的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．9．四個(gè)全等的直角三角形按如圖1所示的方式擺放，形成兩個(gè)正方形，大正方形的面積為，空白區(qū)域所示的小正方形面積為．將圖1中的直角三角形分別沿著斜邊往里翻折，形成如圖2所示的更小正方形，若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為，則代數(shù)式的值為（

）A．4 B．6 C．12 D．1810．如圖，一個(gè)無蓋的半圓柱形容器，它的高為，底面半圓直徑為，點(diǎn)A處有一只螞蟻沿如圖所示路線爬行，它想吃到上底面圓心B處的食物，則爬行的最短路程是多少（取3）（

）A． B．8 C． D．10填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．若，，之間滿足的等量關(guān)系是，則邊長(zhǎng)為，，的三角形是．12．小亮家有一個(gè)高3m、寬2m的大門框（如圖），為了防止其變形，他在對(duì)角線（圖中虛線）的兩端點(diǎn)間加固兩根木條，則其中一根木條的長(zhǎng)度為m．13．若Rt△ABC兩直角邊上的中線分別是AE和BD，則AE2+BD2與AB2的比值是．14．如圖，為一段斜坡，已知斜坡的高，水平長(zhǎng)度，現(xiàn)要在斜坡上鋪上紅地毯，則至少需要紅地毯的長(zhǎng)度（即的長(zhǎng)度）為．15．如圖，在原點(diǎn)為O的數(shù)軸上，作一個(gè)兩直角邊長(zhǎng)分別是1和2，斜邊為的直角三角形，點(diǎn)A在點(diǎn)O左邊的數(shù)軸上，且，則點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是．16．蕩秋千是中國(guó)古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運(yùn)動(dòng)．小亮想利用所學(xué)的勾股定理的知識(shí)測(cè)算公園里一架秋千的繩索AB的長(zhǎng)度．如圖．他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時(shí)，秋千踏板離地面的垂直高度，將踏板往前推送，使秋千繩索到達(dá)D的位置，測(cè)得推送的水平距離為6m，即．此時(shí)秋千踏板離地面的垂直高度．那么，繩索的長(zhǎng)度為m．17．如圖，在小正方形邊長(zhǎng)為1的方格中，以線段AB、BC、CD為邊的三角形的面積為．18．如圖，．

（1）若，則；（2）若，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向，則點(diǎn)在點(diǎn)北偏東度的方向上．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）政府計(jì)劃將如圖所示的四邊形閑置地修建成市民休閑區(qū)．已知，，，，．政府計(jì)劃投入240萬元進(jìn)行打造，預(yù)計(jì)每平方米的費(fèi)用為100元．通過計(jì)算說明政府投入的費(fèi)用是否夠用．20．（8分）如圖，點(diǎn)B在上，，，，求的長(zhǎng)為多少？21．（10分）如圖，某校有一塊三角形空地，，為了更好的落實(shí)“雙減”政策，豐富孩子們的課業(yè)生活，學(xué)校計(jì)劃將該三角形空地改造成多功能區(qū)域，現(xiàn)要求將三角形區(qū)域設(shè)計(jì)成手工制作區(qū)，其余部分設(shè)計(jì)成健身區(qū)，經(jīng)測(cè)量：米，米，米，米.（1）求的度數(shù)；（2）求圖中健身區(qū)（陰影部分）的面積.22．（10分）如圖，在中，．延長(zhǎng)到點(diǎn)，使；過點(diǎn)作的垂線并在垂線上截取，連結(jié)和．求證：（1）．（2）利用此圖的面積表示式證明．23．（10分）如圖，將等邊放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在線段上，與分別交邊于點(diǎn)H、G，其中．

（1）證明：；（2）求的長(zhǎng)．24．（12分）已知等邊，點(diǎn)、點(diǎn)位于直線異側(cè)，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；②下列用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：I．；II．，其中正確的是________（填“I”或“II”）；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)不在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，判斷（1）②中線段，，之間的正確的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立．若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，說明理由．參考答案：1．D【分析】根據(jù)“勾股數(shù)”的定義，逐項(xiàng)判斷，即可求解．解：A、，不是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，不是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，不是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義：若滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．2．A【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再利用勾股定理求解即可．解：如圖，∵梯子的底端離建筑物5米，梯子長(zhǎng)為13米，∴（米）．答：云梯可以達(dá)到建筑物的高度是12米．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．3．D【分析】本題考查了勾股定理．熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．由勾股定理得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．解：由題意知，，由勾股定理得，，∵，∴則踐踏草坪少走的距離為，故選：D．4．B【分析】利用勾股定理求出每條線段的長(zhǎng)，再進(jìn)行判斷即可．解：由勾股定理得，，，，表示應(yīng)為線段．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查在網(wǎng)格中表示無理數(shù)的長(zhǎng)，掌握勾股定理求線段的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)勾股定理求得，設(shè)，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，在中，勾股定理即可求解．解：∵點(diǎn)，∴，∴，∵將沿直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在軸正半軸上的點(diǎn)處，∴∴，設(shè)，，∴在中，，∴解得：，∴的坐標(biāo)為故選B.【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理與折疊問題，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】本題考查了成比例線段和勾股定理的逆定理，掌握成比例線段定理是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意求出的值；然后再根據(jù)勾股定理的逆定理，確定三角形的形狀即可．解：四條線段成比例，解得：；的三邊長(zhǎng)分別為，，，，是直角三角形，故選：C．7．C【分析】連接，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)以及垂直平分線的判定和性質(zhì)可得，，，，推得，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求得；若，求得，根據(jù)等邊三角形的判定即可證明甲同學(xué)的說法正確；若，根據(jù)勾股定理的逆定理可推得，即可證明乙同學(xué)的說法正確．解：連接，如圖：

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，即是的垂直平分線，是的垂直平分線，∴，，，，∴，又∵，∴，在等腰三角形中，，在等腰三角形中，，則；若，則，又∵，∴為等邊三角形，故甲同學(xué)的說法正確；若，∵，即，則，，滿足，∴為直角三角形，∴，則，故乙同學(xué)的說法正確；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定，勾股定理的逆定理，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】根據(jù)以為直徑的半圓的面積為，可求得，再由勾股定理的逆定理確定為直角三角形，然后借助的面積求解即可．解：根據(jù)題意，以為直徑的半圓的面積為，則有，解得，又∵，，∴，∴為直角三角形，∵，∴，即，解得．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理、半圓的面積等知識(shí)，利用勾股定理的逆定理證明為直角三角形是解題關(guān)鍵．9．B【分析】本題考查勾股定理以及完全平方公式，注意觀察圖形：發(fā)現(xiàn)各個(gè)圖形的面積和a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理，結(jié)合圖形進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)：圖1中：大正方形的面積為，小正方形的面積為，則四個(gè)直角三角形的面積和是大正方形的面積減去小正方形的面積為．在圖2中，最中間的正方形面積為，也可以用圖1中的小正方形面積減去四個(gè)直角三角形的面積，即，即可求解．解：根據(jù)題意，得，∴，∴，∴．故選：B．10．D【分析】此題考查平面展開-最短路徑問題．要求螞蟻爬行的最短距離，需將半圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”通過勾股定理得出結(jié)果．解：將圓柱的側(cè)面展開為矩形，其中為半圓的弧長(zhǎng)，為半徑的長(zhǎng)，，根據(jù)勾股定理可得，故爬行的最短路程為．故選：D11．直角三角形【分析】根據(jù)勾股定理逆定理判斷即可．解：因?yàn)?，所以邊長(zhǎng)為6，8，10的三角形是直角三角形．故答案為：直角三角形．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理，理解勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．12．【解析】略13．5：4【分析】由勾股定理可得AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②，AC2+BC2=AB2，再將等式變形為：AE2+BD2=AB2+CD2+CE2，結(jié)合三角形中線的性質(zhì)可得CD2+CE2=AB2，進(jìn)而可求解．解：如圖，∠C=90°，由勾股定理可得：AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②，AC2+BC2=AB2，①+②得AE2+BD2=AC2+CE2+BC2+CD2=AB2+CD2+CE2，∵AE，BD是△ABC的中線，∴CD=AC，CE=BC，∴CD2+CE2=（AC）2+（BC）2=AB2，∴AE2+BD2=AB2+AB2=AB2，即AE2+BD2與AB2的比值是5：4．故答案為：5：4．【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理，三角形的中線，靈活運(yùn)用勾股定理解題是求解的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)勾股定理直接求解即可．解：∵，，∴在直角三角形ABC中，m，故答案為：7．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，比較簡(jiǎn)單，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形斜邊的長(zhǎng)度，也就求出了的長(zhǎng)，結(jié)合圖中點(diǎn)A的位置確定點(diǎn)A表示的數(shù)．解：由題知，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得，直角三角形的斜邊，則，∵如圖，點(diǎn)A是以原點(diǎn)O為圓心為半徑作弧與數(shù)軸的交點(diǎn)，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)勾股定理確定斜邊的長(zhǎng)度，即確定的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵．16．10【分析】先根據(jù)題意得出，，在設(shè)，得到，最后根據(jù)勾股定理求解即可．解：由題意可知：，，，，設(shè)，則，在中，，∴，解得，∴，故答案為：10．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意并熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．【分析】結(jié)合圖形根據(jù)勾股定理求得線段AB、BC、CD的長(zhǎng)度，從而得出BC2+DC2＝AB2，推出以線段AB、BC、CD為邊的三角形是以線段AB為斜邊的直角三角形，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的面積公式求解即可．解：在Rt△ABD中，AB，同理，BC，DC2，∵（）2+（2）2＝（）2，即BC2+DC2＝AB2，∴以線段AB、BC、CD為邊的三角形是以線段AB為斜邊的直角三角形，∴該直角三角形的面積為：BC×DC2．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是由三角形三邊滿足得出該三角形是個(gè)直角三角形，從而利用直角三角形的面積公式求解．18．40【分析】（1）根據(jù)勾股定理直接求解即可得到答案；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理得到，再由方向角定義，互余定義列式求解即可得到答案．解：（1）在中，，，則由勾股定理可得，故答案為：；（2）如圖所示：

在中，，，則，，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向，，，點(diǎn)在點(diǎn)北偏東度的方向上，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理求線段長(zhǎng)、勾股定理的逆定理及方向角，熟記勾股定理、勾股定理的逆定理及方向角定義是解決問題的關(guān)鍵．19．夠用，理由見分析【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解：連接．，，，．∵，是直角三角形，且．∴四邊形的面積為：．所以所需費(fèi)用為：（萬元）．，∴投入的費(fèi)用夠用．20．【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．解：∵，，，∴，即，得，即，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．21．（1）；（2）平方米【分析】本題考查勾股定理定理和逆定理，三角形的面積，掌握勾股定理和逆定理是解題的關(guān)鍵．（1）先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，然后再利用狗狗股定理的逆定理得到是直角