2024貴州中考數(shù)學二輪復(fù)習貴州中考題型研究 類型一 線段問題（課件）

類型一線段問題函數(shù)微技能——動點坐標及線段表示一階例1

如圖，已知拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸交于點A、點B，與y軸交于點C，點P為拋物線y＝－x2＋2x＋3上一點．過點P作PQ∥y軸交直線BC于點Q.一題多設(shè)問例1題圖設(shè)點P的橫坐標為t，點P的坐標可表示為________________，點Q的坐標可表示為______________；用含t的代數(shù)式表示下面的距離：(1)點P到x軸的距離為______________；(2)點P到y(tǒng)軸的距離為______________；(3)點P到對稱軸的距離為___________；(4)線段PQ的長為______________；(5)點P到直線BC的距離為______________.(t，－t2＋2t＋3)(t，－t＋3)|－t2＋2t＋3||t||t－1||－t2＋3t|例1題圖【方法總結(jié)】①與x軸垂直的線段的長：縱坐標相減(上減下);_②與y軸垂直的線段的長：橫坐標相減(右減左);_③斜線段時，可過線段端點分別作x軸、y軸垂線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函數(shù)值或相似進行求解．設(shè)問突破二階考向一線段數(shù)量關(guān)系例2拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C.點P是拋物線上的一點，作PM⊥x軸于點M，交直線BC于點Q，設(shè)點P的橫坐標為m.(1)若PQ＝2QM，求點P的坐標一題多設(shè)問例2題圖①【思維教練】點P位置變化，PQ和QM的代數(shù)式表示不相同，需要分點P在BC上方和下方．分別用PQ、QM的代數(shù)式代入，構(gòu)建方程即可；解：(1)∵拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，將點B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，得

，解得

，

∴y＝－x＋3，∵PM⊥x軸于點M，交直線BC于點Q，且點P的橫坐標為m，∴P(m，－m2＋2m＋3)，Q(m，－m＋3)，M(m，0)，∵PQ＝2QM，當點P在直線BC的上方時，即0<m<3，例2題圖①PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，QM＝－m＋3，∴－m2＋3m＝2(－m＋3)，解得m＝2或m＝3(舍去)，∴點P的坐標為(2，3)；當點P在直線BC的下方且m>3時，PQ＝m2－3m，QM＝m－3，∴m2－3m＝2(m－3)，解得m＝2(舍去)或m＝3(舍去)，此時點P不存在；當點P在直線BC下方且m<0時，PQ＝m2－3m，QM＝－m＋3，∴m2－3m＝2(－m＋3)，解得m＝－2或m＝3(舍去)，例2題圖①∴點P的坐標為(－2，－5)．綜上所述，點P的坐標為(2，3)或(－2，－5)；例2題圖①(2)∵點P的橫坐標為m，

∴Q(m，3－m)，∵CQ∶QB＝2，C(0，3)，B(3，0)，

∴OM∶MB＝2，當點P在直線BC上方時，即0<m<3，m＝2(3－m)，解得m＝2，此時P(2，3)；當點P在直線BC下方且m>3時，m＝2(m－3)，解得m＝6，此時P(6，－21)；(2)若CQ∶QB＝2，求點P的坐標例2題圖②【思維教練】遇到比例線段，找相似，豎直看，水平看，按比例設(shè)未知數(shù)；當點P在直線BC下方且m<0時，∵BQ>CQ，∴此情況不存在．綜上所述，點P的坐標為(2，3)或(6，－21)；例2題圖②(3)∵PC＝PB，∴點P在直線BC的垂直平分線上，由(1)可知直線BC的解析式為y＝－x＋3，∴設(shè)直線BC的垂直平分線的解析式為y＝x＋b，將BC中點(，

)代入y＝x＋b中得b＝0，(3)連接PC，PB，若PC＝PB，求點P的坐標【思維教練】PC＝PB，則點P在BC的垂直平分線上，由兩垂直直線的解析式中k的關(guān)系，即可求得該垂直平分線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可求解；例2題圖③∴直線BC垂直平分線的解析式為y＝x，聯(lián)立得

，解得

或

.∴點P坐標為

或

；例2題圖③創(chuàng)新考法(4)是否存在點P，使點

P到直線

BC的距離是點

M到直線

BC的距離的3倍？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【思維教練】通過相似將斜線段的比值轉(zhuǎn)化為豎直線段的比值，表示出線段長，分情況列比例式求解即可．(4)存在．如解圖，過點P作直線BC的垂線，垂足為點E，過點M作直線BC的垂線，垂足為點F，例2題解圖∵∠PEQ＝∠MFQ＝90°，∠PQE＝∠MQF，∴△PEQ∽△MFQ，∵點P到直線BC的距離是點M到直線BC的距離的3倍，∴＝3，∵P(m，－m2＋2m＋3)，Q(m，－m＋3)，M(m，0)，∴當點P在直線BC的上方即0<m<3時，PQ＝－m2＋3m，MQ＝－m＋3，∴－m2＋3m＝3(－m＋3)，解得m＝3(舍去)；同理，當點P在點C左側(cè)拋物線上即m<0時，例2題解圖創(chuàng)新考法PQ＝m2－3m，MQ＝－m＋3，∴m2－3m＝3(－m＋3)，解得m＝3(舍去)或m＝－3，∴點P的坐標為(－3，－12)；同理，當點P在點B右側(cè)拋物線上即m>3時，PQ＝m2－3m，MQ＝m－3，∴m2－3m＝3(m－3)，解得m＝3(舍去)．綜上所述，點P的坐標為(－3，－12)．例2題解圖創(chuàng)新考法考向二線段最值問題例3題圖①例3拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，作直線BC.(1)點P在直線BC上方的拋物線上，作PM⊥x軸于點M，交直線BC于點Q，設(shè)點P的橫坐標為m.①求線段PQ的最大值；一題多設(shè)問解：(1)①∵拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，將點B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，得

，解得

，∴y＝－x＋3，∴P(m，－m2＋2m＋3)，Q(m，3－m)(0<m<3)．∴dPQ＝－m2＋2m＋3－(3－m)＝－m2＋3m＝－(m－

)2＋

，∵－1＜0，∴當m＝

時，PQ值最大，最大值為

；例3題圖①∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵PE∥y軸，PH⊥BC，∴∠HEP＝45°，∠EHP＝90°，②作PH⊥BC于點H，求PH的最大值；斜線段最值【思維教練】過點P作x軸的垂線交直線BC于點E，易證∠HEP＝45°，要求PH的最大值，可先求得PE的最大值，再結(jié)合三角函數(shù)即可求解；②解：如解圖①，過點P作y軸的平行線交BC于點E，例3題圖②E∴PH＝PE·sin∠HEP＝

PE，∴要求PH的最大值，即求PE的最大值，由①可得PE的最大值為

，∴PH的最大值為

PE＝

；例3題圖②E(2)在拋物線對稱軸

l上是否存在一點

F，使得△ACF的周長最小，若存在，求出點F的坐標及△ACF周長的最小值；若不存在，請說明理由；將軍飲馬求最值【思維教練】因為AC長為定值，

要使△ACF周長最小，即要使CF＋AF的值最小，由點

A、B關(guān)于對稱軸l對稱，可知直線BC與對稱軸l的交點即為點F，即可使

CF＋AF最??；例3題圖③(2)解：存在．如解圖②，連接BC交對稱軸l于點F，連接AF，例3題圖③F∵C△ACF＝AC＋CF＋AF，AC為定值，∴當CF＋AF的值最小時，△ACF的周長最小，∵點A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

∴AF＝BF，∴當B、C、F三點共線時，BF＋CF的值最小，即CF＋AF的值最小，∴C△ACF＝AC＋CF＋AF＝AC＋CF＋BF＝AC＋BC，由①知直線BC的解析式為y＝－x＋3，∵點F在直線BC上，拋物線對稱軸l為直線x＝1，∴令x＝1，則y＝2，

∴點F的坐標為(1，2)．∵A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，

∴OA＝1，OB＝3，OC＝3，由勾股定理得AC＝

，BC＝

，∴點F的坐標為(1，2)時，△ACF的周長最小，最小值為

；例3題圖③F(3)若拋物線的頂點為D，點N為拋物線的對稱軸上一點，求BN＋

DN的最小值．胡不歸求最值【思維教練】要求BN＋

DN的最小值，首先構(gòu)造直角三角形將

DN轉(zhuǎn)化為一直角邊，通過“化折為直”將問題轉(zhuǎn)化為求點B到AD的距離即可求解．例3題圖④例3題解圖③(3)解：如解圖③，拋物線的對稱軸交x軸于點E，連接AD，過點N作AD的垂線，垂足為點K，過點B作AD的垂線，垂足為點T，交對稱軸于點N′，∵拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴點D的坐標為(1，4)，∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AE＝EB＝2，AB＝4，由勾股定理得AD＝

，∴sin∠ADE＝

，∵NK⊥AD，∴sin∠NDK＝

，

∴NK＝

DN，∴BN＋

DN＝BN＋NK，∴當B、N、K三點共線時，BN＋

DN取得最小值，即線段BT，例3題解圖③∵S△ABD＝

AB·DE＝

AD·BT，∴×4×4＝

×2BT，∴BT＝

，∴BN＋

DN的最小值為

.例3題解圖③綜合訓練三階1.(2023黔西南州26題16分)已知拋物線y＝ax2＋bx＋6(a≠0)交x軸于點A(6，0)和點B(－1，0)，交y軸于點C.(1)求拋物線的解析式和頂點坐標；第1題圖(1)解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋6經(jīng)過點A(6，0)，B(－1，0)，將點A、B的坐標代入拋物線的解析式中，

得

，

解得

.∴拋物線的解析式為y＝－x2＋5x＋6.(3分)第1題圖∴y＝－x2＋5x＋6＝－(x－

)2＋

，∴拋物線的頂點坐標為(，

)；

(4分)第1題圖(2)由拋物線解析式可求得點C坐標為(0，6)，∴OC＝OA＝6，∠OAC＝45°.∵PD∥x軸，PE∥y軸，∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，∴∠PED＝45°，∴∠PDE＝∠PED，PD＝PE,(5分)(2)如圖①，點P是拋物線上位于直線AC上方的動點，過點P分別作x軸，y軸的平行線，交直線AC于點D，E，當PD＋PE取最大值時，求點P的坐標；第1題圖∴PD＋PE＝2PE.∴當PE的長度最大時，PE＋PD取最大值．(6分)設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋m，將A(6，0)、C(0，6)兩點代入，得

，解得

.∴y＝－x＋6.(7分)設(shè)E點坐標為(t，－t＋6)，則P點坐標為(t，－t2＋5t＋6)，且0<t<6,

(8分)則PE＝(－t2＋5t＋6)－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9，第1題圖∴PE是關(guān)于t的二次函數(shù)，－1<0，∴當t＝3時，PE有最大值，最大值為9.當t＝3時，－t2＋5t＋6＝12.∴當PD＋PE取最大值時，點P的坐標為(3，12)；(10分)第1題圖(3)如圖②，點M為拋物線對稱軸l上一點，點N為拋物線上一點，當直線AC垂直平分△AMN的邊MN時，求點N的坐標．∵∠HAC＝45°，∴∠QAC＝∠OCA＝45°，∵AC垂直平分線段MN，∴AM＝AN，∠NAC＝∠MAC，∴∠HAN＝∠MAQ，∴Rt△ANH≌Rt△AMQ，(12分)(3)解：如解圖①，過點A，M分別作y軸、x軸的平行線交于點Q，過點N作x軸的垂線，垂足為點