高中數(shù)學(xué)人教版拋物線方程及其應(yīng)用習(xí)題及解析

拋物線方程及其應(yīng)用

1、下圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在/位置時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，則水

位下降2米后（水足夠深），水面寬（）米

A.2啦B.4夜C.4百D.2G

2、如圖，”是拋物線V=4x上一點(diǎn)（M在x軸上方），尸是拋物線的焦點(diǎn)，若

IFM\-4,則ZxFM-（）

A.30。B.45。c.60'D.7s

1、

y=—x

3、已知拋物線.8上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)產(chǎn)的距離為4,則△。刊7的面積為

（）

A.2B.4C.8D.16

4、已知產(chǎn)為拋物線丁=4x上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（*2）,

貝3P@+|尸耳的最小值為（）

A.4B.3C.2夜D.岳

5、拋物線-二8》的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)尸為

x軸正半軸上任意一點(diǎn)，則（評(píng)+行0）?（對(duì)一兩）=（）

A.-20B.12c.T2D.20

6、已知過(guò)拋物線y2=6x焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為12,則該弦所在直線的傾斜角是（）

7157r7137V

A.6或6B.4或4

TC27r71

C.3或3D.2

7、在平面直角坐標(biāo)系"S'中，直線/過(guò)拋物線）J=敘的焦點(diǎn)，交拋物線于A，8兩

點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則線段的長(zhǎng)為（）

A.6B.7C.8D.10

8、已知拋物線C"=4y’的焦點(diǎn)為F,若斜率為W的直線1過(guò)點(diǎn)F,且與拋物線C

交于A,B兩點(diǎn)，則線段A8的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

6565129129

A.8B.4C.16D.8

9、過(guò)拋物線V=2px（〃>0）的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦A6和8,則

11

-----------1-----------

|明|卬的值為（）

z1_L

A.2B.PC.2PD.2P

10、已知點(diǎn)M是拋物線V=4x上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A是圓

C：（x-4y+（y+l）2=l上一動(dòng)點(diǎn)，則阿1+1網(wǎng)的最小值為（）

A.4B.5C.6D.7

11、已知拋物線）'2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)口的直線與拋物線交于P,Q

兩點(diǎn)，P,。兩點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為M,N,若/1=46，

|N『I=4,貝卡（）.

A.百B.2C.26D.4

12、已知4（%'%），8區(qū)％）是拋物線），2=2。％（，〉。）上的兩點(diǎn)，若直線43過(guò)

拋物線的焦點(diǎn)廠且傾斜角為°.A',*是A,8在準(zhǔn)線上的射影.則下列命題正確

的是（）

x,-x7=IABl—x.+x2+p=—

A.?一4B/?si/。

11_2

c.忸HpD.夕產(chǎn)為銳角三角形.

13、已知產(chǎn)是拋物線C：y=2/的焦點(diǎn)，N是X軸上一點(diǎn)，線段FN與拋物線C相

交于點(diǎn)M,若2時(shí)=麗，則1敬|=（）

513

A.8B.2c.8D.1

3

14、已知拋物線C：V=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為萬(wàn)的直線/與C的交點(diǎn)為A、B,與

x軸的交點(diǎn)為P,若"=3而，求|/明.

15、已知拋物線）’=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M在拋物線上，且點(diǎn)M的橫坐

標(biāo)為4,叼=5.

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)/且傾斜角為45°的/交拋物線于48兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).

16、已知拋物線）’2=4x的焦點(diǎn)為F,直線1過(guò)點(diǎn)“（4,0）.

（D若點(diǎn)F到直線1的距離為由，求直線1的斜率；

（2）設(shè)A,B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過(guò)

點(diǎn)M,求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值

17、設(shè)拋物線C：V=2Px（〃>°）的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線/交拋物線C于

A（石，y）、Bg%）兩點(diǎn)，且,>2=_4.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，直線MF、MA、MB的斜率分別為勺、占、%

求證：當(dāng)自制時(shí)，%+質(zhì)為定值.

18、在平面直角坐標(biāo)系宜?中，已知拋物線丁=2〃x（p〉（））上一點(diǎn)

I八'到其焦點(diǎn)尸的距離為4.

（1）求拋物線的方程與準(zhǔn)線方程；

（2）直線/與拋物線相交于A8兩點(diǎn)（AB位于*軸的兩側(cè)），若宓°豆=3,求

證直線/恒過(guò)定點(diǎn).

19、已知直線/與拋物線＞2=4x相交于人，B兩點(diǎn)，且與圓（“一1尸+）'2=1相切.

（1）求直線/在x軸上截距,的取值范圍；

（2）設(shè)F是拋物線的焦點(diǎn)，福?麗=0,求宜線/的方程.

參考答案

1、【答案】B

2、【答案】C

3、【答案】B

4、【答案】A

5、【答案】B

6、【答案】B

7、【答案】C

8、【答案】A

9、【答案】D

10、【答案】IA

11、【答案】IC

12、【答案】IABC

13、【答案】IA

14、【答案】|A止警

試題分析：根據(jù)衣=3而得到A8兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系，聯(lián)立直線/的方程和拋物線的

方程，寫出韋達(dá)定理，從而求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得

3

詳解：設(shè)4（不弘）,3仁,%），/通，0），直線/的方程為y=]X+f.

由衣=3萬(wàn)，（而一％，一芳）=3（與一玉）,%）=（3%2―3%,3%），即一>|=3>2，可得

3

y=—x+/)

X=-3%，由■’2,可得y2-2y+2，=0.

y2=3x

所以X+%=2.從而-3y2+%=2,故%=T,y=3.

代入C的方程得石=3,々=；.故IA81=｛（分一%）2+（%—Xi=平

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查兩點(diǎn)間的距離公式，考查向量線性運(yùn)算

的坐標(biāo)表示，屬于中檔題.

15、【答案】（1）V=4%；（2）8.

試題分析：（1）先由題意得|吹|=4+5=5,求出p=2,即可得出拋物線方程;

（2）先由題意，得到直線/的方程為y=x-i,與拋物線聯(lián)立，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公

式，即可得出結(jié)果.

詳解：（1）由題意得=4+^=5,

P=2,故拋物線方程為V=4x.

(2)直線/的方程為y-0=tan45°-(x-l),即y=x-l.

y=x-\

與拋物線方程聯(lián)立，得

y2=4x

消y,整理得一—6工+1=0,其兩根為歷,毛，且玉+工2=6.

由拋物線的定義可知，+々+，=6+2=8.

所以，線段A8的長(zhǎng)是8.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查求拋物線的方程，以及拋物線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，熟記拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以

及拋物線的焦點(diǎn)弦公式即可，屬于常考題型.

16、【答案】（1）土=（2）證明見(jiàn)詳解.

2

2

17、【答案】(1)y=4x；(2)kt+k2=2.

試題分析：（1）設(shè)直線/方程為*=加y+日，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系,

即可求解；

（2）根據(jù)條件求出M點(diǎn)坐標(biāo)，匕+&用%，%表示，再利用根與系數(shù)關(guān)系，即可證明

結(jié)論.

【詳解】

⑴拋物線C：丁=2陽(yáng)〃＞（））的焦點(diǎn)嘴,0）,

設(shè)直線/方程為％”欄，

x=my+—.,

聯(lián)立彳2,消去工得，V—2〃2y—p2=0,

/=2px

222

A=4/7(1+m)>0,+y2=2pm,y1y2=-p=-4,

，=2,所以拋物線方程為丁=而；

（2）拋物線準(zhǔn)線方程為了=-2,設(shè)M（—l,%）,%=—&=1,；.%=-2,

2

直線I方程為x=my+l,yt+y2=4m,yty2=-p=-4

K+h=出匚+互吆=>+2+必+2

xl+1x2+1myx+2my2+2

2.22r2

yH-----F2乃4----F2

—_mm,?~mm

my]4-2my2+2

-21（22）皿y+%）+4

mm+2）（my2+2）

=2+（2_2）雙必+必）+4

mm加+2根（M+%）+4

202、4m2+4c

=—+（2——）------；------z—=2,

mm-4m+8/H+4

所以匕+履為定值.

【點(diǎn)睛】

本題考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，要注意根與系

數(shù)關(guān)系設(shè)而不求的應(yīng)用，屬于中檔題.

18、【答案】⑴y2=2x,x=-g；（2）見(jiàn)詳解

19、【答案】（1）（-oo,0）U[2,+oo）.（2）3x+V7y+l=0或3x-V7y+l=O.

試題分析：⑴設(shè)直線/的方程為x=，取+J根據(jù)與圓（X-+丁=1相切可得

加2=02_2c,再聯(lián)立拋物線的方程，根據(jù)判別式大于0可得c>l或c<0,再結(jié)合

機(jī)2=‘2-2c20求解C的取值范圍即可.

⑵設(shè)4%/）,8（%2，%），尸（1，°），聯(lián)立直線與拋物線的方程，代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)

FAFB=O,結(jié)合⑴中/=。2-2c可得關(guān)于c的方程求解即可.

詳解：（1）設(shè)直線/的方程為x=〃9'+c,

0-1）2+丁=1的圓心為（1,0）,半徑為1.

由直線/與圓相切得：耳鼻=1,化簡(jiǎn)得病=’2-左，

V1+m~

直線/的方程代入拋物線，消去X得：<一4/2一4°=0（*）,

由直線/與