2023屆云南省賓川縣第四高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)（或）的圖象大致是（）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，將向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．3．已知是空間中兩個(gè)不同的平面，是空間中兩條不同的直線(xiàn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，且，則B．若，且，則C．若，且，則D．若，且，則4．若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的周期是C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．函數(shù)在上最大值是15．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是D．函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是6．已知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最值，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在上單調(diào)遞增；②③在上沒(méi)有零點(diǎn)；④在上只有一個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④7．已知為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值是（）A． B．4 C．2 D．8．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則=（）A． B．C． D．9．復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．11．為研究語(yǔ)文成績(jī)和英語(yǔ)成績(jī)之間是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)兩科成績(jī)得到如圖所示的散點(diǎn)圖(兩坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度相同)，用回歸直線(xiàn)近似地刻畫(huà)其相關(guān)關(guān)系，根據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是()A．線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為1.25B．線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為0.83C．線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為－0.87D．線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系太弱，無(wú)研究?jī)r(jià)值12．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，則A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)______．14．某大學(xué)、、、四個(gè)不同的專(zhuān)業(yè)人數(shù)占本?？?cè)藬?shù)的比例依次為、、、，現(xiàn)欲采用分層抽樣的方法從這四個(gè)專(zhuān)業(yè)的總?cè)藬?shù)中抽取人調(diào)查畢業(yè)后的就業(yè)情況，則專(zhuān)業(yè)應(yīng)抽取_________人．15．如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點(diǎn)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，則________.16．函數(shù)的最大值與最小正周期相同，則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的參數(shù)方程；（2）設(shè)曲線(xiàn)與曲線(xiàn)在第二象限的交點(diǎn)為，曲線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)，求的周長(zhǎng)的最大值．18．（12分）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且.（1）若，，求的值；（2）若，求的值.19．（12分）已知函數(shù)，，且．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的減區(qū)間；（2）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（3）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，試比較，與的大小，并說(shuō)明理由．20．（12分）已知直線(xiàn)：與拋物線(xiàn)切于點(diǎn)，直線(xiàn)：過(guò)定點(diǎn)Q，且拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與其到準(zhǔn)線(xiàn)距離之和的最小值為.（1）求拋物線(xiàn)的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于(異于點(diǎn)P)兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，直線(xiàn)PA，PB的斜率分別為，那么是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.22．（10分）如圖所示，三棱柱中，平面，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上，且，，是線(xiàn)段的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

確定函數(shù)的奇偶性，排除兩個(gè)選項(xiàng)，再求時(shí)的函數(shù)值，再排除一個(gè)，得正確選項(xiàng)．【詳解】分析知，函數(shù)（或）為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，排除B，C，當(dāng)時(shí)，，排除D，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，解題時(shí)可通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等，研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負(fù)，以及函數(shù)值的變化趨勢(shì)，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得正確結(jié)論．2、A【解析】

由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo)，得到向量的坐標(biāo)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到向量的坐標(biāo)，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解：∵復(fù)數(shù)z=i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z（0，1），

∴＝(0，1)，將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

設(shè)＝(a，b)，，則，即，

又，解得：，∴，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.3、D【解析】

利用線(xiàn)面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對(duì)選項(xiàng)做出判斷，舉出反例排除.【詳解】解：對(duì)于，當(dāng)，且，則與的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，不能判定，故錯(cuò)；對(duì)于，若，且，則與的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對(duì)于，由可得，又，則故正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查空間線(xiàn)面位置關(guān)系.判斷線(xiàn)面位置位置關(guān)系利用好線(xiàn)面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型，以正方體為主線(xiàn)直觀感知并準(zhǔn)確判斷．4、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到解析式；利用整體對(duì)應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增，正確；關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，錯(cuò)誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯(cuò)誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無(wú)法取得，錯(cuò)誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，此時(shí)沒(méi)有最大值，錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對(duì)應(yīng)的方式，通過(guò)正弦函數(shù)的圖象來(lái)判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).5、B【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的周期，所以.將點(diǎn)代入中，得，解得，由，可得，所以.令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A正確；令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；令，得，故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是，故C正確；令，得，故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，故D正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式，同時(shí)也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性的判斷，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.6、A【解析】

先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最值求出或.再根據(jù)已知求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)情況得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，且，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).所以正確結(jié)論的編號(hào)②④故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7、B【解析】

設(shè)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為，由題意利用拋物線(xiàn)的定義可得，當(dāng)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，由此求得答案.【詳解】解：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)，過(guò)作交于點(diǎn)，連接由拋物線(xiàn)定義，

，

當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取“＝”號(hào)，∴的最小值為.

故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.8、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

設(shè),則,可得,即可得到,進(jìn)而找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】設(shè),則,,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限,考查復(fù)數(shù)的模,考查運(yùn)算能力.10、A【解析】

因?yàn)榻o出的解析式只適用于，所以利用周期性，將轉(zhuǎn)化為，再與一起代入解析式，利用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.11、B【解析】

根據(jù)散點(diǎn)圖呈現(xiàn)的特點(diǎn)可以看出，二者具有相關(guān)關(guān)系，且斜率小于1.【詳解】散點(diǎn)圖里變量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在一條直線(xiàn)附近，且比較密集，故可判斷語(yǔ)文成績(jī)和英語(yǔ)成績(jī)之間具有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，且直線(xiàn)斜率小于1，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查散點(diǎn)圖的理解，側(cè)重考查讀圖識(shí)圖能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).12、D【解析】

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合,再由集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榧?，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、40【解析】

根據(jù)二項(xiàng)定理展開(kāi)式，求得r的值，進(jìn)而求得系數(shù)．【詳解】根據(jù)二項(xiàng)定理展開(kāi)式的通項(xiàng)式得所以，解得所以系數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

求出專(zhuān)業(yè)人數(shù)在、、、四個(gè)專(zhuān)業(yè)總?cè)藬?shù)的比例后可得．【詳解】由題意、、、四個(gè)不同的專(zhuān)業(yè)人數(shù)的比例為，故專(zhuān)業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，根據(jù)分層抽樣的定義，在各層抽取樣本數(shù)量是按比例抽取的．15、【解析】

根據(jù)圖像歸納，根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】根據(jù)圖像：，，故，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.16、【解析】

利用三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【詳解】∵，則函數(shù)的最大值為2，周期，的最大值與最小正周期相同，，得，則，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，得，即函數(shù)在，上的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)區(qū)間，利用輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意單調(diào)區(qū)間為定義域的一個(gè)子區(qū)間．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)（2）【解析】

（1）將代入，可得，所以曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為．由可得，將，代入上式，可得，整理可得，所以曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)．（2）由題可設(shè)，，，所以，，，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，l取得最大值為，所以的周長(zhǎng)的最大值為．18、（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦定理得出關(guān)于的二次方程，結(jié)合，可求出的值；（2）利用兩角和的余弦公式以及誘導(dǎo)公式可求出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求出的值.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，，即，解得或（舍），所以；（2）由及得，，所以，又因?yàn)椋?，從而，所?【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角公式求值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19、（1）（2）詳見(jiàn)解析（3）【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，由得減區(qū)間；（2）因?yàn)椋?，因?yàn)樗?，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（3）因?yàn)?，，所以試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，由得減區(qū)間；（2）法1：，，，所以，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；法2：，，是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，所以，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（3）因?yàn)?，，又在和增，在減，所以．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)減區(qū)間，二次函數(shù)與二次方程關(guān)系20、（1），（1，2）；（2）存在，【解析】

（1）由直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)點(diǎn)及拋物線(xiàn)C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與到準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和的最小值為，求出拋物線(xiàn)的方程，再由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，即可求得切點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得直線(xiàn)PA，PB的斜率，求出斜率之和為定值，即存在實(shí)數(shù)使得斜率之和為定值.【詳解】（1）由題意，直線(xiàn)變?yōu)?x+1-m(2y+1)=0，所以定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由拋物線(xiàn)C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與到其焦點(diǎn)F的距離之和的最小值為，可得，解得或（舍去），故拋物線(xiàn)C的方程為又由消去y得，因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)C相切，所以，解得，此時(shí)，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2）（2）設(shè)存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)，點(diǎn)，聯(lián)立，消去x得，則，依題意，可得，解得m<-1或，由（1）知P（1，2），可得，同理可得，所以=，故存在實(shí)數(shù)=滿(mǎn)足條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)方程的求解、及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類(lèi)題目，通常聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類(lèi)問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（