安徽省安慶一中2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）,定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若存在，且為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．“”是“，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．一個(gè)由兩個(gè)圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體，小圓柱底面半徑為，大圓柱底面半徑為，如圖1放置容器時(shí)，液面以上空余部分的高為，如圖2放置容器時(shí)，液面以上空余部分的高為，則（）A． B． C． D．5．某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個(gè)容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學(xué)有34人，則的值為（）A．100 B．1000 C．90 D．906．已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)（A在右支，B在左支）若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．已知集合，，且、都是全集（為實(shí)數(shù)集）的子集，則如圖所示韋恩圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B．或C． D．8．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點(diǎn)，則下列各直線中，不與平面平行的是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線9．若的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（）A．4 B．5 C．6 D．710．已知的面積是,,,則（）A．5 B．或1 C．5或1 D．11．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．12．在中，，，，為的外心，若，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)“是乙或丙獲獎(jiǎng).”乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng).”丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了”.丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng).”四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是__________．14．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.15．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，則球O的體積為_(kāi)_____.16．如圖，在一個(gè)倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為的水，再放入一個(gè)半徑為1的不銹鋼制的實(shí)心半球后，半球的大圓面、水面均與容器口相平，則的值為_(kāi)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知四棱錐，平面，底面為矩形，，為的中點(diǎn)，.（1）求線段的長(zhǎng).（2）若為線段上一點(diǎn)，且，求二面角的余弦值.18．（12分）為了解網(wǎng)絡(luò)外賣的發(fā)展情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從全國(guó)各城市中抽取了100個(gè)相同等級(jí)地城市，分別調(diào)查了甲乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)（以下簡(jiǎn)稱外賣甲、外賣乙）在今年3月的訂單情況，得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖，外賣乙該月訂單的頻數(shù)分布表，如下圖表所示.訂單：（單位：萬(wàn)件）頻數(shù)1223訂單：（單位：萬(wàn)件）頻數(shù)402020102（1）現(xiàn)規(guī)定，月訂單不低于13萬(wàn)件的城市為“業(yè)績(jī)突出城市”，填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)”有關(guān).業(yè)績(jī)突出城市業(yè)績(jī)不突出城市總計(jì)外賣甲外賣乙總計(jì)（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，外賣甲今年3月在全國(guó)各城市的訂單數(shù)（單位：萬(wàn)件）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），的值已求出，約為3.64，現(xiàn)把頻率視為概率，解決下列問(wèn)題：①?gòu)娜珖?guó)各城市中隨機(jī)抽取6個(gè)城市，記為外賣甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個(gè)數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；②外賣甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市開(kāi)展“訂外賣，搶紅包”的營(yíng)銷活動(dòng)來(lái)提升業(yè)績(jī)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，開(kāi)展此活動(dòng)后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬(wàn)件的水平，現(xiàn)從全國(guó)各月訂單數(shù)不超過(guò)7萬(wàn)件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個(gè)城市不開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)，若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤(rùn)5元，但每件外賣平均需送出紅包2元，則外賣甲在這100個(gè)城市中開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)將比不開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)每月多盈利多少萬(wàn)元？附：①參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若，則，.19．（12分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為，，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線與直線的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸．已知曲線的極坐標(biāo)方程為，是上一動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)的軌跡為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程，并化為直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），直線與曲線的交點(diǎn)為，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的普通方程．21．（12分）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，.（1）求拋物線的方程；（2）當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時(shí)，求直線的方程.22．（10分）某市計(jì)劃在一片空地上建一個(gè)集購(gòu)物、餐飲、娛樂(lè)為一體的大型綜合園區(qū)，如圖，已知兩個(gè)購(gòu)物廣場(chǎng)的占地都呈正方形，它們的面積分別為13公頃和8公頃；美食城和歡樂(lè)大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積為公頃和公頃；由購(gòu)物廣場(chǎng)、美食城和歡樂(lè)大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形，分別記它們的面積為公頃和公頃.（1）設(shè)，用關(guān)于的函數(shù)表示，并求在區(qū)間上的最大值的近似值（精確到0.001公頃）；（2）如果，并且，試分別求出、、、的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)分2段分析：當(dāng)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①，當(dāng)，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得，在上恒成立，變形可得②，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析可得③，聯(lián)立三個(gè)式子，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)，若為增函數(shù)，則①，

當(dāng)，若為增函數(shù)，必有在上恒成立，

變形可得：，

又由，可得在上單調(diào)遞減，則，

若在上恒成立，則有②，

若函數(shù)在上單調(diào)遞增，左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值，則需有，③

聯(lián)立①②③可得：.

故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).2、D【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，由題意判斷出函數(shù)的奇偶性，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖?，所以，所以，化?jiǎn)得，所以，即令，因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，由選項(xiàng)知，，又因?yàn)?，所以要使在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題，難度較大.3、B【解析】

先求出滿足的值，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ)．解題時(shí)可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷．4、B【解析】

根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中，液面以上空余部分的體積為；在圖2中，液面以上空余部分的體積為.因?yàn)?，所?故選：B【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

利用頻率分布直方圖得到支出在的同學(xué)的頻率，再結(jié)合支出在（單位：元）的同學(xué)有34人，即得解【詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學(xué)有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學(xué)的頻率為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長(zhǎng)為，然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式，從而求得離心率．【詳解】由題意，，又，∴，∴，在中，即，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點(diǎn)距離用表示，然后用余弦定理建立關(guān)系式．7、C【解析】

根據(jù)韋恩圖可確定所表示集合為，根據(jù)一元二次不等式解法和定義域的求法可求得集合，根據(jù)補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】由韋恩圖可知：陰影部分表示，，，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算，涉及到一元二次不等式和函數(shù)定義域的求解；關(guān)鍵是能夠根據(jù)韋恩圖確定所求集合.8、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因?yàn)?，所以平面，故A正確.因?yàn)?，所以，所以平面故B正確.因?yàn)?，所以平面，故D正確.因?yàn)榕c相交，所以與平面相交，故C錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.9、B【解析】

先化簡(jiǎn)的二項(xiàng)展開(kāi)式中第項(xiàng)，然后直接求解即可【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中第項(xiàng).令，則，∴，∴（舍）或.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題10、B【解析】∵，,∴①若為鈍角，則，由余弦定理得，解得；②若為銳角，則，同理得.故選B.11、A【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【詳解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12、B【解析】

首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出，，即可求出的值.【詳解】如圖所示過(guò)做三角形三邊的垂線，垂足分別為，，，過(guò)分別做，的平行線，，由題知，則外接圓半徑，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，，由題可知，所以，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì)，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、丙【解析】若甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁說(shuō)的都是錯(cuò)的，同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況，可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙．考點(diǎn)：反證法在推理中的應(yīng)用.14、【解析】

變換得到，計(jì)算焦點(diǎn)得到答案.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題.15、【解析】

可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【詳解】解：，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的外心，因?yàn)椋渣c(diǎn)在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．16、【解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，體積為，半球的體積為，水（小圓錐）的體積為，如圖則，所以，，解得，所以，，，由，得，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計(jì)算，考查學(xué)生空間想象能力與計(jì)算能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）的長(zhǎng)為4（2）【解析】

（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)向量垂直關(guān)系計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算平面的法向量為，為平面的一個(gè)法向量，再計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，所以.，因?yàn)?，所以，即，解得，所以的長(zhǎng)為4.（2）因?yàn)?，所以，又，?設(shè)為平面的法向量，則即取，解得，所以為平面的一個(gè)法向量.顯然，為平面的一個(gè)法向量，則，據(jù)圖可知，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線段長(zhǎng)度，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.18、（1）見(jiàn)解析，有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)”有關(guān).（2）①4.911②100萬(wàn)元.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表，易得兩個(gè)外賣平臺(tái)中月訂單不低于13萬(wàn)件的城市數(shù)量，即可完善列聯(lián)表.通過(guò)計(jì)算的觀測(cè)值，即可結(jié)合臨界值作出判斷.（2）①先根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得樣本平均值，根據(jù)所給今年3月訂單數(shù)區(qū)間，并由及求得，.結(jié)合正態(tài)分布曲線性質(zhì)可求得，再由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望求法求解.②訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市有和兩組，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可確定各組抽取樣本數(shù).分別計(jì)算出開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)與不開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)的利潤(rùn)，比較即可得解.【詳解】（1）對(duì)于外賣甲：月訂單不低于13萬(wàn)件的城市數(shù)量為，對(duì)于外賣乙：月訂單不低于13萬(wàn)件的城市數(shù)量為.由以上數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表如下圖，業(yè)績(jī)突出城市業(yè)績(jī)不突出城市總計(jì)外賣甲4060100外賣乙5248100總計(jì)92108200且的觀測(cè)值為，∴有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)”有關(guān).（2）①樣本平均數(shù)，故==，，的數(shù)學(xué)期望，②由分層抽樣知，則100個(gè)城市中每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有（個(gè)），每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有（個(gè)），若不開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)，則一個(gè)月的利潤(rùn)為（萬(wàn)元），若開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)，則一個(gè)月的利潤(rùn)為（萬(wàn)元），這100個(gè)城市中開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)比不開(kāi)展每月多盈利100萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖與頻率分布表的應(yīng)用，完善列聯(lián)表并計(jì)算的觀測(cè)值作出判斷，分層抽樣的簡(jiǎn)單應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題.19、（1）（2）直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【解析】

（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以①，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以②，將①②?lián)立解得（負(fù)值舍去），所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知，設(shè)，．將代入，消去可得，則，，，所以，所以，此時(shí)，所以，此時(shí)直線的方程為，即，令，可得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為．20、（1），；（2）.【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為,，由可得,整理即可得到極坐標(biāo)方程,進(jìn)而求得直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，，將直線的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程中,再利用韋達(dá)定理可得，，則，求得取最小值時(shí)符合的條件,進(jìn)而求得直線的普通方程.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為，，因?yàn)?則，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，兩邊同乘,得，所以的直角坐標(biāo)方程為,即.（2）設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則,，將直線的參數(shù)方程（參數(shù)），代入的直角坐標(biāo)方程中，整理得.由韋達(dá)定理得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的普通方程為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,考查利用直線的參數(shù)方程研究直線與圓的位置關(guān)系．21、（1）；（2）或【解析】試題分析：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的相交問(wèn)題、直線與圓相切問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)