【新步步高】2018版高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)第九章解析幾何9.9第2課時(shí)

§9.9

圓錐曲線的綜合問題第2課時(shí)范圍、最值問題課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引題型分類深度剖析例1(2015·天津)橢圓＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F(－c,0)，離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2＋y2＝截得的線段的長為c，|FM|＝.題型一范圍問題解答(1)求直線FM的斜率；幾何畫板展示又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.設(shè)直線FM的斜率為k(k＞0)，F(xiàn)(－c,0)，那么直線FM的方程為y＝k(x＋c).(2)求橢圓的方程；解答幾何畫板展示(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，假設(shè)直線FP的斜率大于，求直線OP(O為原點(diǎn))的斜率的取值范圍.解答幾何畫板展示設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，直線FP的斜率為t，②當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，有y＝t(x＋1)＞0.思維升華解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個(gè)方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練1(2016·黃岡模擬)橢圓C：＝1(a>b>0)與雙曲線－y2＝1的離心率互為倒數(shù)，且直線x－y－2＝0經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；解答又∵直線x－y－2＝0經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)，(2)設(shè)不過原點(diǎn)O的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列，求△OMN面積的取值范圍.解答由題意可設(shè)直線的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.又直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列，又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0，得0<m2<2，顯然m2≠1(否那么x1x2＝0，x1，x2中至少有一個(gè)為0，直線OM，ON中至少有一個(gè)斜率不存在，與矛盾).設(shè)原點(diǎn)O到直線的距離為d，故由m的取值范圍可得△OMN面積的取值范圍為(0,1).

題型二最值問題例2(2016·錦州模擬)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|AF|·|BF|的最小值是命題點(diǎn)1利用三角函數(shù)有界性求最值答案解析幾何畫板展示例3(2015·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x2－y2＝1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).假設(shè)點(diǎn)P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，那么實(shí)數(shù)c的最大值為____.命題點(diǎn)2數(shù)形結(jié)合利用幾何性質(zhì)求最值答案解析幾何畫板展示例4(2016·山東)如圖，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的長軸長為4，焦距為2.命題點(diǎn)3轉(zhuǎn)化為函數(shù)利用根本不等式或二次函數(shù)求最值解答(1)求橢圓C的方程；設(shè)橢圓的半焦距為c.證明設(shè)P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0).由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，－2m).解答②求直線AB的斜率的最小值.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).直線PA的方程為y＝kx＋m.直線QB的方程為y＝－3kx＋m.整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，思維升華處理圓錐曲線最值問題的求解方法圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練2(2017·開封月考)圓(x－a)2＋(y＋1－r)2＝r2(r>0)過點(diǎn)F(0,1)，圓心M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；解答依題意，由圓過定點(diǎn)F可知軌跡C的方程為x2＝4y.幾何畫板展示(2)設(shè)P為直線l：x－y－2＝0上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的兩條切線PA，PB，當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；解答幾何畫板展示同理可得切線PB的方程為x2x－2y－2y2＝0.因?yàn)榍芯€PA，PB均過點(diǎn)P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x－2y0－2y＝0的兩組解.所以直線AB的方程為x0x－2y－2y0＝0.(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求|AF|·|BF|的最小值.解答由拋物線定義可知|AF|＝y(tǒng)1＋1，|BF|＝y(tǒng)2＋1，所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y(tǒng)1y2＋(y1＋y2)＋1，又點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，所以x0＝y(tǒng)0＋2，課時(shí)作業(yè)1.(2016·昆明兩區(qū)七校調(diào)研)過拋物線y2＝x的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且直線l的傾斜角θ≥，點(diǎn)A在x軸上方，那么|FA|的取值范圍是答案解析√123456789123456789√答案解析123456789根據(jù)勾股定理，求|MP|的最小值可以轉(zhuǎn)化為求|OP|的最小值，當(dāng)|OP|取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的位置為雙曲線的頂點(diǎn)(±3,0)，而雙曲線的漸近線為4x±3y＝0，1234567893.F1，F(xiàn)2分別是雙曲線＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)，對于左支上任意一點(diǎn)P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a為實(shí)半軸長)，那么此雙曲線的離心率e的取值范圍是√答案解析A.(1，＋∞) B.(2,3]

C.(1,3]

D.(1,2]123456789由P是雙曲線左支上任意一點(diǎn)及雙曲線的定義，所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，又e>1，所以1<e≤3.應(yīng)選C.1234567894.(2016·成都質(zhì)檢)假設(shè)點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＝1的中點(diǎn)和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，那么的最小值為_____.答案解析6123456789123456789123456789答案解析123456789∴由條件知m＋2＋n＝m－n，那么n＝－1，1234567891234567896.雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2,0)，雙曲線C上一點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于2.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；解答依題意，得雙曲線C的實(shí)半軸長為a＝1，又其焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為123456789(2)經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)作直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，求直線l的方程；解答123456789設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，兩式相減，得3(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因?yàn)镸(2,1)為AB的中點(diǎn)，所以12(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，123456789故AB所在直線l的方程為y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.123456789(3)定點(diǎn)G(1,2)，點(diǎn)D是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，求|DF1|＋|DG|的最小值.解答123456789由，得|DF1|－|DF2|＝2，即|DF1|＝|DF2|＋2，所以|DF1|＋|DG|＝|DF2|＋|DG|＋2≥|GF2|＋2，當(dāng)且僅當(dāng)G，D，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)取等號，1234567897.中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為(，0).(1)求雙曲線C的方程；解答又a2＋b2＝c2，得b2＝1，123456789(2)假設(shè)直線：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線過點(diǎn)A(0，－1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.123456789解答整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，123456789設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為B(x0，y0)，由題意，AB⊥MN，123456789整理得3k2＝4m＋1，

②將②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4.123456789(1)求橢圓C1的方程；解答123456789(2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在點(diǎn)P處的切線與C1交于點(diǎn)M，N.當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求h的最小值.123456789解答如圖，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)，直線MN的方程為y＝2tx－t2＋h.將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，即4(1＋t2)x2－4t(t2－h(huán))x＋(t2－h(huán))2－4＝0.①因?yàn)橹本€MN與橢圓C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，123456789所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h(huán)2＋4]>0.②設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3，

由題意，得x3＝x4，即t2＋(1＋h)t＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1或h≤－3.123456789當(dāng)h≤－3時(shí)，h＋2<0,4－h(huán)2<0，那么不等式②不成立，所以h≥1.當(dāng)h＝1時(shí)，代入方程③得t＝－1，將h＝1，t＝－1代入不等式②，檢驗(yàn)成立.所以，h的最小值為1.12345