高中數(shù)學(xué)課堂講義-直線與直線平行

高中數(shù)學(xué)課堂講義——直線與直線平行

目錄

1.教學(xué)大綱....................................................................1

2.知識點一基本事實4................................................................................................................1

3.知識點二等角定理.........................................................1

4.練習(xí)........................................................................1

5.探究點一基本事實4的應(yīng)用.................................................2

6.探究點二等角定理的應(yīng)用...................................................4

7.課堂作業(yè)....................................................................5

8.課時作業(yè)（二十六）直線與直線平行...........................................7

1.教學(xué)大綱

新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求

1.能從教材實例中歸納出基本事實4.（直觀想象）

水平一

1.了解基本事實.2.能從實際問題中歸納出等角定理.（邏輯推理）

2了.解等角定理.能利用基本事實4證明空間中的線線平行，會利用等角定

水平二

理證明空間中兩角之間的關(guān)系邏輯推理）

2.知識點一基本事實4

平行于同一條直線的兩條直線壬立.

［點撥］基本事實4表述的性質(zhì)通常叫做空間平行線的傳遞性.

3.知識點二等角定理

如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

［點撥］（1）空間等角定理表明把空間中的一個角平移后角的大小不變.

（2）由空間等角定理可得，如果兩條相交直線與另兩條相交直線對應(yīng)平行,

那么這兩組直線所成的角相等.

4.練習(xí)

1.判斷正誤（正確的打“J”，錯誤的打“義”）

（1）分別和兩條異面直線平行的兩條直線平行.（）

第1頁共13頁

(2)如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的

銳角(或直角)相等.()

(3)分別平行于兩條異面直線的兩條直線一定是異面直線.()

(4)如果空間中的兩個角相等或互補，那么這兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平

行.()

答案：(1)X(2)V(3)X(4)X

2.兩等角的一組對應(yīng)邊平行，則()

A.另一組對應(yīng)邊平行B.另一組對應(yīng)邊不平行

C.另一組對應(yīng)邊不可能垂直D.以上都不對

D[另一組對應(yīng)邊可能平行，也可能不平行，也可能垂直.]

3.已知BC//QR,若NA8C=30°,則NPQH等于()

A.30°B.30°或150°

C.150°D.以上結(jié)論都不對

B[NABC的兩邊與NPQR的兩邊分別平行，但方向不能確定是否相同，

：.ZPQR=30°或150°.故選B.]

4.已知棱長為a的正方體A8CD-A'B'CD'中，M,N分別為CD,

AO的中點，則MN與4c的位置關(guān)系是.

解析：如圖所示，MN%AC,

DM

因為所以

答案：平行

5.探究點一基本事實4的應(yīng)用

例如圖，空間四邊形A8CO中，E,尸分別是AB,AO邊上的中點，G,

第2頁共13頁

“分別是BC,CD邊上的點，且宮=碧4?求證：四邊形GH心是梯形?

證明：因為空間四邊形A3CD中，E,尸分別是A3,AO邊上的中點,

所以￡尸〃8。，且EF=gBD,

因為G,H分別是BC,。邊上的點,

且說~~HD~2，

所以HG〃BD,且HG=；BD,

所以EF〃HG,且EFWHG,

所以四邊形GHFE是梯形.

方法技巧

關(guān)于空間中兩直線平行的證明

(1)輔助線：常見的輔助線作法是構(gòu)造三角形中位線，平行四邊形的對邊.

(2)證明依據(jù)：三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理的逆定理，基

本事實4,幾何體中相對的棱、對角線等的平行關(guān)系.

［對點訓(xùn)練］

如圖，在長方體ABCD-AIBIGDI中，點E,尸分別是棱AB,的中點,

點、Ei,為分別是棱Ai?,CIDI的中點.

求證：EE\//FF\.

證明：連接EF,EiFi,AiCi,AC,由長方體

ABCD-AiBCiOi知，ACAiCi,

第3頁共13頁

因為點E,尸分別是棱AB,8c的中點，

所以由三角形中位線定理得：EF^AC,

同理EiQ統(tǒng);AICI,

所以政統(tǒng)臼則四邊形E/EEi為平行四邊形，故EEi〃FFi.

6.探究點二等角定理的應(yīng)用

例因《在正方體ABCD-Ai8cIOI中，E,F,G分別為

棱CG,BB\,。。的中點，試證明：/BGC=NFDiE.

證明：因為F為的中點,

1

-5

2BI因為G為DDi的中點,

所以。iG=：DOi.又BB\=DD\,

所以BF〃DiG,BF=D\G.

所以四邊形。iGB尸為平行四邊形.

所以DiF〃GB,同理。歸〃GC

所以N3GC與NF01E的對應(yīng)邊平行且方向相同，

所以出￡

方法技巧

空間角相等的證明方法

(1)等角定理法，“等角”定理的結(jié)論是相等或互補，在實際應(yīng)用時，一般

是借助于圖形判斷是相等還是互補，還是兩種情況都有可能.

(2)轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為平面圖形中的三角形全等或相似來證明.

［對點訓(xùn)練］

如圖，在三棱柱ABC-4BC1中，M,N,P分別為A4i,BB\,CG的中點.

求證：4MC\N=/APB.

第4頁共13頁

￡

B

證明：因為N,P分別是CCi的中點，

所以BN統(tǒng)GP,所以四邊形BPCiN為平行四邊形，所以GN〃BP.

同理可證GM〃AP.

又NMCiN與NAPB方向相同，

所以NMGN=NAPB.

7.課堂作業(yè)

1.空間中有三條直線AB,BC,CD,且NA8C=N8C0,那么直線A3與

CD的位置關(guān)系是（）

A.平行B.異面

C.相交或平行D.平行、異面、相交均有可能

D[由圖可知直線A3與CD有相交、平行、異面三種情況，故選D.]

2.如圖所示，在三棱錐S-MNP中，E,F,G,"分別是棱

SN,SP,MN,MP的中點，則E/與HG的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.平行或異面

A['：E,尸分別是SN和SP的中點，...EEaPN.同理可證”G〃尸N,...E/7

〃HG故選A.]

3.在正方體中，與ADi平行的面對角線有條.

解析：連接正方體各面上的對角線.

第5頁共13頁

過點Di和A點的對角線和直線AOi是相交.

A\B,AiCi,C\D,OB分別與ADi是異面直線，夾角為60°,B\C,Ai。和

ADi是垂直的.

故只有直線BC\//AD\.

故滿足條件的直線只有1條.

答案：1

4.如圖，在正方體ABCD-AIBICIDI中,M,Mi分別是棱AD和AQ的中

點.求證：

(1)四邊形BBiMiM為平行四邊形；

(2)NBMC=NBiM6.

證明：(l)：A8CD-A]BGDi為正方體,

：.AD=AiDi,且AO〃AiDi.

又M,Mi分別為棱AO,AiDi的中點，

：.AM=A\M\且AM//A\M\.

二四邊形AMM1A1為平行四邊形.

：.MM\=AA\且MM\//AA\.

又A4i=BBi且A4i〃38i,

：.四邊形為平行四邊形.

(2)由(1)知四邊形BBiMiM為平行四邊形,

同理可得四邊形CCiMiM為平行四邊形.

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'?/BMC和NBMiG方向相同,

：.ZBMC=ZB\M\C\.

8.課時作業(yè)（二十六）直線與直線平行

（本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂?。?/p>

［A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.空間中兩個角a,4的兩邊分別對應(yīng)平行，且a=60°,則夕為（）

A.60°B.120°

C.30°D.60°或120°

D［由定理可知，4為60°或120°」

2.若NA08=N40i8i,且。A〃OIAI,射線OA與射線014的方向相同,

則下列說法中正確的是（）

A.OB//O\B\,且方向相同

B.。8〃0歸1,且方向不同

C.08與。山?不平行

D.08與Oi8i不一定平行

D［如圖，當(dāng)NA08=N40iB,且。4〃04,射線0A與射線。Ai的方

向相同時，。8與031不一定平行.故選D.］

3.如圖，在三棱錐P-A8C中，E,F,G,H,I,J分別為線段PB,

PC,AB,BC,C4的中點，則下列說法正確的是（）

A.PH//BGB.IE//CP

第7頁共13頁

C.FH//GJD.GI//JH

C［如圖，因為E,F,G,H,I,J分別為線段以，PB,PC,AB,BC,

C4的中點，

所以尸”〃如，GJ//PA,所以bH〃G7.故C正確.]

4.過直線/外一點可以作/的平行線條數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.0或1

A[直線/和/外的一點，設(shè)此點為P確定一個平面，在這個平面內(nèi)過P

與/平行的直線只有一條.]

5.（多選）下列結(jié)論中正確的是（）

A.在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行

B.平行于同一條直線的兩條直線平行

C.一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交

D.空間中有四條直線a,b,c,d,如果a〃。，c〃d,且?！?,那么8〃c

BD[A錯，可以異面.B正確.C錯誤，和另一條可以異面.D正確，由

平行線的傳遞性可知.]

6.如圖是正方體的表面展開圖，E,F,G,"分別是棱的中點，則Eb與

GH在原正方體中的位置關(guān)系為.

解析：將正方體的表面展開圖還原構(gòu)造成正方體如圖所示:

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分別取AB,A4i的中點。，P,連接EP,FQ,PQ,AiB,由正方體的結(jié)構(gòu)

特征可得族〃尸。.又因為點Q,P,H,G分別是AB,44i,A\B\,88的中點,

故PQ〃Ai3,HG//A\B,故PQ//HG際以EF//GH.

答案：平行

7.已知E,F,G,”分別是三棱錐A-8c。棱AB,BC,CD,0A的中點,

AC與B。所成角為60°,且AC=8O=2,則EG=.

解析：因為E,F,G,H分別是三棱錐A-8C。棱A3,BC,CD,D4的

中點，

所以￡尸為△A3C的中位線，

故EF//AC且EF=gAC,

同理GH為△AC。的中位線，

故GH//AC且GH=；AC,

所以收平行且等于G",所以四邊形EFG”是平行四邊形且所AC=\,

同理FG〃8。且BD=1,

因為AC與8。所成角為60°,

所以NEFG=60°或120°,

當(dāng)NEFGuGO。時，EG=1.

當(dāng)NEFGulZO。時，EG=^/12+12-2X1X1XCOS120°=小.

答案：1或小

8.一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：

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①A3〃CM；②。與MN是異面直線;

③MN〃CD.

以上結(jié)論中正確的序號為

解析：把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，EF與MN

是異面直線.AB//CM,MNLCD,只有①②正確.

答案：①②

9.如圖，正方形ABED,直角梯形EFGD,直角梯形ADGC,AC//DG//

EF且0A=DE=DG,AC=EF,EF=^DG.

求證：B,F,C,G四點共面.

證明：取。G的中點M,連接AM,FM,

因為EF//DG,￡F=|DG,

所以EF〃DM,EF=DM.

所以四邊形EFMD為平行四邊形，所以FM//ED,FM=ED.因為四邊形

ABED為正方形,

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所以45〃尸加，AB=FM.

所以四邊形為平行四邊形，所以

因為AC=EE=3DG,MG=；DG,AC//DG,

所以四邊形ACGM為平行四邊形，所以AM〃CG.

所以8F〃CG,所以8,F,C,G四點共面.

10.如圖，在四棱錐P-A3CO中，底面A8CD是平行四邊形，點、M,N分

13

別在AC,PB上,且MC,BNyBP,作出直線MN與確定的平面

與平面必。的交線/,直線/與MN是否平行，如果平行，請給出證明；如果不

平行，請說明理由.

"二、可C

解析：連接8M并延長交A。于E,連接PE,

///f

/t1!

E您.

a--m、、、_y

AB

則E在MN,PB確定的平面內(nèi)，且￡在AO上，所以E在平面孫。上，則

PE即為直線MN與尸8確定的平面與平面而。的交線I.

因為底面ABC。是平行四邊形，所以AE〃BC

FMAM

所以△AEMS/XCBM,所以前=方方.

DMCM

因為點M,N分別在AC,P8上，

日13

且MC,BN,BP,

訴I"迪