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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知是邊長為1的等邊三角形,點,分別是邊,的中點,連接并延長到點,使得,則的值為()A. B. C. D.2.已知點(m,8)在冪函數(shù)的圖象上,設(shè),則()A.b<a<c B.a(chǎn)<b<c C.b<c<a D.a(chǎn)<c<b3.函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.從拋物線上一點(點在軸上方)引拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為,且,設(shè)拋物線的焦點為,則直線的斜率為()A. B. C. D.5.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點,是它們的-一個公共點,且,設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為,則的關(guān)系為()A. B.C. D.6.()A. B. C. D.7.在中,,則=()A. B.C. D.8.《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù):“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長與高,計算其體積的近似公式.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A. B. C. D.9.已知棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,則該三棱錐的四個面中,最大面積為()A. B. C. D.10.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈[﹣3,﹣2]時,f(x)=﹣x﹣2,則()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)11.已知集合,,則等于()A. B. C. D.12.已知盒中有3個紅球,3個黃球,3個白球,且每種顏色的三個球均按,,編號,現(xiàn)從中摸出3個球(除顏色與編號外球沒有區(qū)別),則恰好不同時包含字母,,的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,為其前項和,若,且,則公比的值為_____.14.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則的取值范圍是__________.15.?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_____.16.二項式的展開式中項的系數(shù)為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,其短半軸長為,一個焦點坐標(biāo)為,點在橢圓上,點在直線上的點,且.證明:直線與圓相切;求面積的最小值.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點在上,點在上,求的最小值以及此時的直角坐標(biāo).19.(12分)(1)求曲線和曲線圍成圖形的面積;(2)化簡求值:.20.(12分)某保險公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險,現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費如下表所示.據(jù)統(tǒng)計,該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用為一百萬元.年齡(單位:歲)保費(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計總體分布,為使公司不虧本,求精確到整數(shù)時的最小值;(2)經(jīng)調(diào)查,年齡在之間的老人每人中有人患該項疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費為元,如果參保,保險公司補(bǔ)貼治療費元.某老人年齡歲,若購買該項保險(取中的).針對此疾病所支付的費用為元;若沒有購買該項保險,針對此疾病所支付的費用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購買此項保險是否劃算?21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若射線與和分別交于點,求.22.(10分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F(xiàn),G分別是棱AA1,AC和A1C1的中點,以為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.(1)求異面直線AC與BE所成角的余弦值;(2)求二面角F-BC1-C的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
設(shè),,作為一個基底,表示向量,,,然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設(shè),,所以,,,所以.故選:D【點睛】本題主要考查平面向量的基本運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
先利用冪函數(shù)的定義求出m的值,得到冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,再利用冪函數(shù)f(x)的單調(diào)性,即可得到a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知,m﹣1=1,∴m=2,∴點(2,8)在冪函數(shù)f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故選:B.【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì),以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小,屬于中檔題.3、B【解析】
對分類討論,當(dāng),函數(shù)在單調(diào)遞減,當(dāng),根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì),求出單調(diào)遞增區(qū)間,即可求解.【詳解】當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,的遞增區(qū)間是,所以,即.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性,熟練掌握簡單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點坐標(biāo)和焦點坐標(biāo),進(jìn)而求出點的坐標(biāo),代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為,由題意知,焦點,準(zhǔn)線方程,所以,解得,把點代入拋物線方程可得,,因為,所以,所以點坐標(biāo)為,代入斜率公式可得,.故選:A【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì),考查運算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
設(shè)橢圓的半長軸長為,雙曲線的半長軸長為,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:,解得,然后在中,由余弦定理得:,化簡求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的長半軸長為,由橢圓和雙曲線的定義得:,解得,設(shè),在中,由余弦定理得:,化簡得,即.故選:A【點睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.6、B【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】.故選B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.7、B【解析】
在上分別取點,使得,可知為平行四邊形,從而可得到,即可得到答案.【詳解】如下圖,,在上分別取點,使得,則為平行四邊形,故,故答案為B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算,考查了學(xué)生邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
將圓錐的體積用兩種方式表達(dá),即,解出即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,則,又,故,所以,.故選:C.【點睛】本題利用古代數(shù)學(xué)問題考查圓錐體積計算的實際應(yīng)用,考查學(xué)生的運算求解能力、創(chuàng)新能力.9、B【解析】
由三視圖可知,該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形,平面,結(jié)合三視圖求出每個面的面積即可.【詳解】由三視圖可知,該三棱錐如圖所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三視圖知,因為,,所以,所以,因為為等邊三角形,所以,所以該三棱錐的四個面中,最大面積為.故選:B【點睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.10、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函數(shù)f(x)在定義域上的圖象,由此結(jié)合選項判斷即可.【詳解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函數(shù)且周期為2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]時的圖象,然后根據(jù)周期為2依次平移,并結(jié)合f(x)是偶函數(shù)作出f(x)在R上的圖象如下,選項A,,所以,選項A錯誤;選項B,因為,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),選項B正確;選項C,,所以,即,選項C錯誤;選項D,,選項D錯誤.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用,考查函數(shù)值的大小比較,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.11、B【解析】
解不等式確定集合,然后由補(bǔ)集、并集定義求解.【詳解】由題意或,∴,.故選:B.【點睛】本題考查集合的綜合運算,以及一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題型.12、B【解析】
首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時包含字母,,”為,利用對立事件的概率公式計算可得;【詳解】解:從9個球中摸出3個球,則基本事件總數(shù)為(個),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”記事件“恰好不同時包含字母,,”為,則.故選:B【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式,考查了排列組合的知識,解答的關(guān)鍵在于正確理解題意,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
將已知由前n項和定義整理為,再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比,最后由數(shù)列各項均為正數(shù),舍根得解.【詳解】因為即又等比數(shù)列各項均為正數(shù),故故答案為:【點睛】本題考查在等比數(shù)列中由前n項和關(guān)系求公比,屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】
配方求出頂點,作出圖像,求出對應(yīng)的自變量,結(jié)合函數(shù)圖像,即可求解.【詳解】,頂點為因為函數(shù)的值域是,令,可得或.又因為函數(shù)圖象的對稱軸為,且,所以的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)值域,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
先計算平均數(shù)再求解方差與標(biāo)準(zhǔn)差即可.【詳解】解:樣本的平均數(shù),這組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差,故答案為:【點睛】本題主要考查了標(biāo)準(zhǔn)差的計算,屬于基礎(chǔ)題.16、15【解析】
由題得,,令,解得,代入可得展開式中含x6項的系數(shù).【詳解】由題得,,令,解得,所以二項式的展開式中項的系數(shù)為.故答案為:15【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了利用通項公式去求展開式中某項的系數(shù)問題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析;1.【解析】
由題意可得橢圓的方程為,由點在直線上,且知的斜率必定存在,分類討論當(dāng)?shù)男甭蕿闀r和斜率不為時的情況列出相應(yīng)式子,即可得出直線與圓相切;由知,的面積為【詳解】解:由題意,橢圓的焦點在軸上,且,所以.所以橢圓的方程為.由點在直線上,且知的斜率必定存在,當(dāng)?shù)男甭蕿闀r,,,于是,到的距離為,直線與圓相切.當(dāng)?shù)男甭什粸闀r,設(shè)的方程為,與聯(lián)立得,所以,,從而.而,故的方程為,而在上,故,從而,于是.此時,到的距離為,直線與圓相切.綜上,直線與圓相切.由知,的面積為,上式中,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?,所以面積的最小值為1.【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.18、(1):,:;(2),此時.【解析】試題分析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(2)由題意,可設(shè)點的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標(biāo)為.試題解析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意,可設(shè)點的直角坐標(biāo)為,因為是直線,所以的最小值即為到的距離的最小值,.當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標(biāo)為.考點:坐標(biāo)系與參數(shù)方程.【方法點睛】參數(shù)方程與普通方程的互化:把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?,常見的消參方法有:代入消參法;加減消參法;平方和(差)消參法;乘法消參法;混合消參法等.把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵:一是適當(dāng)選取參數(shù);二是確?;セ昂蠓匠痰牡葍r性.注意方程中的參數(shù)的變化范圍.19、(1)(2)【解析】
(1)求曲線和曲線圍成的圖形面積,首先求出兩曲線交點的橫坐標(biāo)0、1,然后求在區(qū)間上的定積分.(2)首先利用二倍角公式及兩角差的余弦公式計算出,然后再整體代入可得;【詳解】解:(1)聯(lián)立解得,,所以曲線和曲線圍成的圖形面積.(2)∴【點睛】本題考查定積分求曲邊形的面積以及三角恒等變換的應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1)30;(2),比較劃算.【解析】
(1)由頻率和為1求出,根據(jù)的值求出保費的平均值,然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果,最后取近似值即可;(2)分別計算參保與不參保時的期望,,比較大小即可.【詳解】解:(1)由,解得.保險公司每年收取的保費為:∴要使公司不虧本,則,即解得∴.(2)①若該老人購買了此項保險,則的取值為∴(元).②若該老人沒有購買此項保險,則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購買此項保險比較劃算.【點睛】本題考查學(xué)生利用相關(guān)統(tǒng)計圖表知識處理實
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