2024成都中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)之第四章 第四節(jié) 解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用 課件

成都8年真題子母題21考點(diǎn)精講第四章

第四節(jié)解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用

課標(biāo)要求成都8年高頻點(diǎn)考情及趨勢(shì)分析命題點(diǎn)解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用(8年8考)1.能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；2.在平面上，能用方位角和距離刻畫(huà)兩個(gè)物體的相對(duì)位置．(2022版課標(biāo)將“能用”調(diào)整為“運(yùn)用”)

考情及趨勢(shì)分析考情分析考查類型年份題號(hào)題型分值問(wèn)題類型模型涉及角度考查設(shè)問(wèn)解一個(gè)直角三角形201617解答題8仰俯角問(wèn)題解一個(gè)直角三角形＋矩形32°求高度解兩個(gè)直角三角形2021188仰俯角問(wèn)題母子型＋矩形33°和45°求高度2020188仰俯角問(wèn)題背靠背型22°和45°求高度2019188仰俯角問(wèn)題母子型＋矩形35°和45°求高度2018188方向角問(wèn)題母子型70°和37°求距離2017188方向角問(wèn)題背靠背型60°和45°求距離考情分析考查類型年份題號(hào)題型分值問(wèn)題類型模型涉及角度考查設(shè)問(wèn)實(shí)物模型202316解答題8探究“太陽(yáng)光線照射遮陽(yáng)篷”實(shí)物16°和45°求光線照射到遮陽(yáng)篷上產(chǎn)生陰影的長(zhǎng)2022168探究“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”150°和108°求頂部邊緣距離桌面的高度【考情總結(jié)】考查特點(diǎn)：1.常考查解兩個(gè)直角三角形，且以母子型和背靠背型為主；2.問(wèn)題類型以俯仰角問(wèn)題居多，近兩年連續(xù)考查實(shí)物模型；3.考查角度以一個(gè)特殊角和一個(gè)非特殊角居多.銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用銳角三角函數(shù)解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用特殊角的三角函數(shù)值仰角、俯角坡角、坡度(坡比)方向角考點(diǎn)精講銳角三角函數(shù)定義：如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A為△ABC中的一銳角，則有∠A的正弦：sinA＝

＝______∠A的余弦：cosA＝

＝______∠A的正切：tanA＝

＝______圖①特殊角的三角函數(shù)值

α三角函數(shù)

30°45°60°

sinα________________cosα________________tanα________1銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.仰角、俯角：如圖②，圖中仰角是______，俯角是______2.坡角、坡度(坡比)：如圖③，坡角為_(kāi)_____，坡度(坡比)i＝tanα＝_____3.方向角：如圖④，A點(diǎn)位于O點(diǎn)的__________方向，B點(diǎn)位于O點(diǎn)的__________方向，C點(diǎn)位于O點(diǎn)的____________________方向圖②圖③圖④∠1∠2∠α

北偏東30°南偏東60°北偏西45°(或西北)成都8年真題子母題命題點(diǎn)解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用8年8考類型一解一個(gè)直角三角形1.在學(xué)習(xí)完“利用三角函數(shù)測(cè)高”這節(jié)內(nèi)容之后，某興趣小組開(kāi)展了測(cè)量操場(chǎng)上大樹(shù)高度的實(shí)踐活動(dòng)．如圖，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，量出高度AB＝1.5m，測(cè)得大樹(shù)頂端D的仰角∠DBE＝32°，量出測(cè)點(diǎn)A到大樹(shù)底部C的水平距離AC＝20m．根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，求大樹(shù)CD的高度．(參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)第1題圖

解：由題意得BE＝AC＝20m，在Rt△DBE中，∵tan∠DBE＝

，∴DE＝BE·tan∠DBE≈20×0.62＝12.4m.又∵CE＝AB＝1.5m，∴CD＝CE＋DE＝13.9(m).答：大樹(shù)CD的高度約為13.9m.第1題圖類型二解兩個(gè)直角三角形(8年7考)模型一背靠背型(8年2考)滿分技法模型模型分析背靠背型

基礎(chǔ)模型

通過(guò)在三角形內(nèi)部作高CD，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊CD是解題的關(guān)鍵模型演變

AD＋CE＋BF＝AB2.成都“339”電視塔作為成都市地標(biāo)性建筑之一，現(xiàn)已成為外地游客到成都旅游打卡的網(wǎng)紅地．如圖，為測(cè)量電視塔觀景臺(tái)A處的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在電視塔附近一建筑物樓頂D處測(cè)得塔A處的仰角為45°，塔底部B處的俯角為22°.已知建筑物的高CD約為61米，請(qǐng)計(jì)算觀景臺(tái)的高AB的值．(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)第2題圖第2題圖

解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.E∵DE⊥AB，AB⊥BC，CD⊥BC，∴四邊形DCBE是矩形，∴DE＝BC，BE＝CD＝61米．在Rt△BDE中，∠BDE＝22°，∵tan∠BDE＝

，∴DE＝

≈＝152.5米．在Rt△ADE中，∵∠ADE＝45°，∴AE＝DE＝152.5米，∴AB＝AE＋BE＝152.5＋61≈214(米).答：觀景臺(tái)的高AB的值約為214米．模型二母子型(8年3考)滿分技法模型模型分析母子型

基礎(chǔ)模型通過(guò)在三角形外部作高BC，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵模型演變

AD＋DC＝FE，BC＋AF＝BE3.如圖，航母由西向東航行，到達(dá)A處時(shí)，測(cè)得小島C位于它的北偏東70°方向，且與航母相距80海里，再航行一段時(shí)間后到達(dá)B處，測(cè)得小島C位于它的北偏東37°方向．如果航母繼續(xù)航行至小島C的正南方向的D處，求還需航行的距離BD的長(zhǎng)．(參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第3題圖解：由題可知∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80，在Rt△ACD中，∵cos∠ACD＝

，∴CD＝AC·cos70°≈80×0.34＝27.2海里．在Rt△BCD中，∵tan∠BCD＝

，∴BD＝CD·tan37°≈27.2×0.75＝20.4(海里).答：還需航行的距離BD的長(zhǎng)約為20.4海里．第3題圖4.越來(lái)越多太陽(yáng)能路燈的使用，既點(diǎn)亮了城市的風(fēng)景，也是我市積極落實(shí)節(jié)能環(huán)保的舉措．某校學(xué)生開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量太陽(yáng)能路燈電池板離地面的高度．如圖，已知測(cè)傾器的高度為1.6米，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MBC＝33°，在與點(diǎn)A相距3.5米的測(cè)點(diǎn)D處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MEC＝45°(點(diǎn)A，D與N在一條直線上)，求電池板離地面的高度MN的長(zhǎng).(結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)第4題圖第4題圖

解：如圖，延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)F.F由題意得AD＝BE＝3.5米，AB＝DE＝FN＝1.6米，∠MBF＝33°.在Rt△MFE中，∵∠MEF＝45°，∴MF＝EF.在Rt△MFB中，∵tan∠MBF＝

，∴MF＝BF·tan33°＝(MF＋3.5)·tan33°，∴MF＝

≈6.5米，∴MN＝MF＋FN＝6.5＋1.6≈8(米).答：電池板離地面的高度MN的長(zhǎng)約為8米．模型三實(shí)物模型(8年2考)5.2022年6月6日是第27個(gè)全國(guó)“愛(ài)眼日”，某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，當(dāng)張角∠AOB＝150°時(shí)，頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長(zhǎng)為10cm，此時(shí)用眼舒適度不太理想．小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后聯(lián)系黃金比知識(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角∠A′OB＝108°時(shí)(點(diǎn)A′是A的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，用眼舒適度較為理想．求此時(shí)頂部邊緣A′處離桌面的高度A′D的長(zhǎng)．(結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08)第5題圖

解：∵∠AOB＝150°，∴∠AOC＝180°－∠AOB＝30°，∴在Rt△AOC中，OA＝2AC＝20cm，∴OA′＝OA＝20cm.∵∠A′OB＝108°，∴∠A′OD＝180°－∠A′OB＝72°，∴在Rt△A′OD中，A′D＝OA′·sin∠A′OD≈20×0.95＝19(cm).答：此時(shí)頂部邊緣A′處離桌面的高度A′D的長(zhǎng)約為19cm.第5題圖6.(2023成都16題8分)為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外安裝遮陽(yáng)篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽(yáng)篷AB長(zhǎng)為5米，與水平面的夾角為16°，且靠墻端離地高BC為4米，當(dāng)太陽(yáng)光線AD與地面CE的夾角為45°時(shí)，求陰影CD的長(zhǎng)．(結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29)第6題圖解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，AF⊥CE于點(diǎn)F，第6題圖GF則四邊形AFCG是矩形．由題可知，∠BAG＝16°，AB＝5米，在Rt△ABG中，GB＝AB·sin∠BAG＝5·sin16°≈5×0.28＝1.