2024成都中考數(shù)學第一輪專題復習之第四章 微專題 手拉手模型解決全等、相似問題 課件

手拉手模型解決全等、相似問題微專題一階

認識模型模型分析1.全等手拉手模型圖形特點：雙等腰：AB＝AC，AD＝AE，共頂點：線段AB，AC，AD，AE交于點A，頂角相等：∠BAC＝∠DAE，旋轉(zhuǎn)得全等：△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，連接CE，BD，則△ABD≌△ACE.2.相似手拉手模型圖形特點：非等腰：AB≠AC，AD≠AE，共頂點：線段AB，AC，AD，AE交于點A，頂角相等：∠BAC＝∠DAE，旋轉(zhuǎn)得相似：△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，連接BD，CE，則△ABD∽△ACE.例1如圖，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AB，AC為邊，分別向外作等邊△ABD，△ACE，連接BE，DC.(1)求證：△ABE≌△ADC；例1題圖(1)證明：∵△ABD和△ACE均為等邊三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC，即∠DAC＝∠BAE.在△ABE和△ADC中，

∴△ABE≌△ADC(SAS)例1題圖(2)若AB＝4，BC＝6，求BE的長．例1題圖(2)解：∵△ABD為等邊三角形，∴∠DBA＝60°，BD＝AB＝4.又∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝90°.在Rt△BDC中，CD＝

，由(1)得△ABE≌△ADC，∴BE＝CD＝2.例2如圖，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，連接AC，連接BD并延長，分別交AO于點E，交AC于點M.(1)求

的值；例2題圖(1)解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD，∴∠COD＋∠AOD＝∠AOB＋∠AOD，即∠AOC＝∠BOD.∵∠OAB＝∠OCD＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，∴tan∠OCD＝tan∠OAB＝

，∴，∴△AOC∽△BOD，∴.例2題圖(2)求證：AM⊥BM.例2題圖(2)證明：∵△AOC∽△BOD，∴∠CAO＝∠DBO.∵∠MEA＝∠OEB，∴∠AMB＝∠AOB＝90°，∴AM⊥BM.二階

應(yīng)用模型1.如圖，將正方形ABCD的邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AB′，旋轉(zhuǎn)角為α(0＜α＜180°)，連接BB′，過點D作DE垂直直線BB′，垂足為E，連接DB′，CE.求

的值．第1題圖

解：如圖，連接BD.∵AB＝AB′，∠BAB′＝α，∴∠AB′B＝90°－

.∵∠B′AD＝α－90°，AD＝AB′，∴∠AB′D＝135°－

，第1題圖∴∠EB′D＝∠AB′D－∠AB′B＝135°－

－(90°－

)＝45°.∵DE⊥BB′，∴∠EDB′＝∠EB′D＝45°，∴△DEB′是等腰直角三角形，∴.∵四邊形ABCD是正方形，∴

，∠BDC＝45°，∴.∵∠EDB′＝∠BDC，∴∠EDB′＋∠EDB＝∠BDC＋∠EDB，即∠B′DB＝∠EDC，∴△B′DB∽△EDC，∴.

解題關(guān)鍵點連接BD，構(gòu)造手拉手相似模型求解．2.【問題情境】數(shù)學探究課上，老師出示了這樣一個幾何問題背景：在四邊形ABCD中，已知E是四邊形ABCD內(nèi)部一點，BE⊥DE，連接BD，AE，CE，∠CBD＝∠ABE，∠ADB＝∠BCE＝60°.(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，小敏添加了兩個條件：“AB＝AD，∠AEB＝150°”，請你證明：CE＝

AE；第2題圖①(1)證明：∵AB＝AD，∠ADB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝60°，AB＝BD.∵∠CBD＝∠ABE，∴∠CBE＝∠CBD＋∠EBD＝∠ABE＋∠EBD＝∠ABD＝60°.第2題圖①又∵∠BCE＝60°，∴△BEC是等邊三角形，∴∠BCE＝∠BEC＝60°，BE＝BC＝CE.在△ABE和△DBC中，

∴△ABE≌△DBC(SAS)，∴AE＝CD，∠BCD＝∠BEA＝150°，∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝90°.第2題圖①又∵BE⊥DE，∴∠BED＝90°，∴∠CED＝∠BED－∠BEC＝30°，∴CE＝

CD，∴CE＝

AE；

解題關(guān)鍵點證明△ABE≌△DBC，利用手拉手全等模型求解；(2)【拓展遷移】在其他條件不變的情況下，老師將∠ABD定為90°，畫出新圖如圖②，若A，E，C三點共線，求

的值．第2題圖②(2)解：∵∠ABE＝∠CBD，∴∠ABE＋∠EBD＝∠DBC＋∠EBD，∴∠ABD＝∠EBC＝90°.又∵∠ADB＝∠BCE＝60°，∴，∠BEC＝30°.又∵∠ABE＝∠CBD，∴△ABE∽△DBC，第2題圖②∴∠AEB＝∠DCB＝180°－∠BEC＝150°，

，∴∠ECD＝∠BCD－∠BCE＝90°.∵BE⊥DE，∴∠BED＝90°，∴∠CED＝∠BED－∠BEC＝60°.設(shè)BC＝x，則CE＝2x，BE