專題02 因式分解（解析版）-2024年九年級數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

專題02因式分解目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一判斷是否是因式分解】 1【考點二已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】 3【考點三找公因式】 4【考點四判斷能否用公因式法分解因式】 5【考點五綜合提公因式和公式法分解因式】 6【考點六利用因式分解求代數(shù)式的值】 8【考點七十字相乘法】 9【考點八分組分解法】 13【考點九因式分解法的應(yīng)用】 16【過關(guān)檢測】 191.因式分解定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式.2.因式分解的方法：考點剖析【考點一判斷是否是因式分解】例題：（23-24八年級上·陜西渭南·期末）下面從左到右的變形，進(jìn)行因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義：把一個多項式在一個范圍化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式．本題考查了因式分解的定義，熟記定義是解本題的關(guān)鍵，【詳解】解：A、屬于整式的乘法計算，不符合題意；B、因式分解錯誤，不符合題意；C、屬于因式分解，符合題意；D、因式分解錯誤，不符合題意；；故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級上·新疆烏魯木齊·期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了因式分解的定義，因式分解是整式的變形，注意結(jié)果是整式的乘積的形式，并且變形前后值不變．把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式，根據(jù)定義即可判斷．【詳解】解：A、，結(jié)果不是整式的乘積的形式，不是因式分解，選項錯誤；B、是因式分解，選項正確；C、，左右兩邊不相等，選項錯誤；D、結(jié)果不是整式的乘積的形式，不是因式分解，選項錯誤．故選：B．2．（23-24八年級上·四川綿陽·期末）下列各式的變形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．根據(jù)定義逐項分析即可．【詳解】解：A．的右邊不是積的形式，不是因式分解；B．的右邊不是積的形式，不是因式分解；C．是因式分解；D．的右邊不是積的形式，不是因式分解；故選C．【考點二已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】例題：（23-24八年級上·福建泉州·期末）若多項式能分解成兩個一次因式的積，且其中一個一次因式為，則a的值為（

）A． B．5 C．1 D．【答案】C【分析】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，整式乘法與因式分解的關(guān)系，理解題意得出多項式的另一個因式為是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，則，∴，解得：，故選C．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·安徽蕪湖·期末）因式分解，其中m、n都為整數(shù)，則m的值是（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】本題主要考查了因式分解與多項式乘法之間的關(guān)系，根據(jù)多項式乘法把等式右邊展開得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．2．（22-23八年級上·河北張家口·期末）若，則、的值分別為（

）A．，2 B．4， C．， D．4，2【答案】B【分析】把式子展開，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等，列式求解即可得到、的值．【詳解】解：，，，，，，、的值分別為：4，．故選：B．【點睛】本題主要考查了因式分解的意義；根據(jù)多項式乘多項式的法則，再根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等求解是解本題的關(guān)鍵．【考點三找公因式】例題：（23-24八年級上·山東威?！て谀┰诙囗検街?，各項的公因式是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了多項式的公因式，根據(jù)多項式的公因式定義來進(jìn)行求解．【詳解】解：在多項式中，各項的公因式是，故選：A．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·貴州安順·期末）把分解因式，應(yīng)提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了提公因式法分解因式，根據(jù)即可得出答案，找出公因式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，把分解因式，應(yīng)提取的公因式是，故選：C．2．（23-24八年級上·山東濟(jì)寧·期末）下列各組中的兩個代數(shù)式，沒有公因式的一組是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】本題考查了公因式的概念，正確理解公因式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公因式的概念逐一判斷選項即可．【詳解】A、和的公因式是，不符合題意；B、和，沒有公因式，符合題意；

C、和的公因式是，不符合題意；D、和的公因式是5，不符合題意；故選B．【考點四判斷能否用公因式法分解因式】例題：（22-23七年級下·湖南益陽·期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式以及平方差公式的特征，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.，不是完全平方公式，故該選項不正確，不符合題意；

B.，不是完全平方公式也不符和平方差公式，故該選項不正確，不符合題意；

C.，是完全平方公式，故該選項正確，符合題意；

D.，不能用完全平方公式或平方差公式因式分解，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了公式法因式分解，熟練掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·山東泰安·期末）下列多項式中，不能用公式法進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用平方差公式，以及完全平方公式判斷即可．【詳解】解：A、不能用公式法因式分解，故此選項符合題意；B、，故此選項不符合題意；C、，故此選項不符合題意；D、，故此選項不符合題意．故選：A．2．（22-23八年級上·浙江臺州·期末）下列各式能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平方差公式分析判斷即可．【詳解】解：A、不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項不符合題意；B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項不符合題意；C、不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項不符合題意；D、能用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項符合題意；故選：D．3．（22-23七年級下·山東聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行判斷，即可．【詳解】解：①，不能用完全平方公式分解因式；②；③，不能用完全平方公式分解因式；④；⑤．，所以能用完全平方公式分解因式的有3個．故選：C【點睛】本題考查了因式分解——運用公式法：如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：．【考點五綜合提公因式和公式法分解因式】例題：（23-24八年級上·新疆喀什·期末）分解因式：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先提取公因式，再利用平方差公式進(jìn)行分解即可；（2）首先提取公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行分解即可．本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．【詳解】（1）原式；（2）原式．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·河南南陽·期末）分解因式：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查因式分解．（1）先提公因式后，運用完全平方公式進(jìn)行分解；（2）先提公因式后，運用平方差公式進(jìn)行分解．【詳解】（1）；（2）．2．（23-24八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）分解因式：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用平方差公式分解即可；（2）利用完全平方公式分解即可；（3）整理后，利用完全平方公式分解即可；（4）整理后，利用提公因式法分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【考點六利用因式分解求代數(shù)式的值】例題：（22-23七年級下·湖南益陽·期末）若，則的值為．【答案】【分析】因式分解：先提公式，再運用公式法，將待求的代數(shù)式用已知的代數(shù)表示，代入求解．【詳解】解：∵，∴故答案為：【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，求代數(shù)式值，掌握因式分解的步驟，公式的運用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·安徽六安·期末）已知，則代數(shù)式．【答案】【分析】把所求式子因式分解為，再把已知條件整體代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，正確把所求式子因式分解為是解題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級上·四川成都·期末）已知，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】本題主要考查了因式分解、分母有理化、代數(shù)式求值等知識點，根據(jù)分母有理化化簡成為解題的關(guān)鍵．由分母有理化可得，然后再對因式分解，最后代入計算即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．【考點七十字相乘法】例題：（23-24八年級上·北京東城·期末）利用整式的乘法運算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數(shù)與常數(shù)項分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式的二項式系數(shù)2與常數(shù)項12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)結(jié)合本題知識，分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查多項式乘多項式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識的掌握與運用．（1）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；（2）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；（3）先分組，再利用十字相乘法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，；（3）解：，．【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·湖南岳陽·期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．第一步：二次項；第二步：常數(shù)項，畫“十字圖”驗算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項．即．像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運用結(jié)論：(1)將多項式進(jìn)行因式分解，可以表示為_______________；(2)若可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．【答案】(1)(2)圖見解析，，，，16【分析】（1）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可；（2）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可．【詳解】（1）解：，常數(shù)項，，，故答案為：；（2）解：，常數(shù)項，畫“十字圖”如下：

，，，16．【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級下·四川達(dá)州·期末）我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、添項拆項法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個多項式適當(dāng)分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項；4．觀察得出原二次三項式的兩個因式，并表示出分解結(jié)果．這種分解方法叫作十字相乘法．例如：

分析：

觀察得出：兩個因式分別為與解：原式③添項拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項法．例如：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）______；②（十字相乘法）______；(2)已知：a、b、c為的三條邊，，判斷的形狀．【答案】(1)①；②(2)是直角三角形【分析】（1）①把原式分組成，然后提公因式法分解因式即可；②直接利用十字相乘法分解即可；（2）把原式進(jìn)行因式分解得到，進(jìn)而求出，再利用勾股定理的逆定理求解即可．【詳解】（1）解：①，故答案為：；②，故答案為：；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是直角三角形．【點睛】本題考查因式分解的方法及其在幾何圖形問題中的應(yīng)用，讀懂題中的分解方法并熟練掌握整式乘法公式是解題的關(guān)鍵．【考點八分組分解法】例題：（23-24八年級上·陜西西安·期末）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細(xì)心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”．請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：(1)因式分解：；(2)因式分解：．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確分組分解是解題關(guān)鍵．（1）首先將前兩項組合提取公因式，后兩項組合提取公因式，然后提取新的公因式即可；（2）首先分別將與組合，利用完全平方公式分解因式，然后提取新的公因式即可．【詳解】（1）解：；（2）．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·山東濱州·期末）在“探究性學(xué)習(xí)”小組的甲、乙兩名同學(xué)所進(jìn)行的因式分解：甲：（分成兩組）（直接提公因式），乙：（分成兩組）（直接運用公式）請在他們的解法啟發(fā)下解答下面各題：(1)因式分解：；(2)若，求式子的值．【答案】(1)(2)，【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，巧妙的運用分組分解因式解答問題．（1）可先利用完全平方公式計算，再利用平方差公式因式分解；（2）的公因式是，再次提公因式后代入數(shù)值計算即可．【詳解】（1）解：（2）解：∵，∴，∴2．（23-24八年級上·陜西商洛·期末）閱讀材料，拓展知識．第一步：要把多項式分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，并提出公因式a，再把它的后兩項分成一組，提出公因式b，從而可得：，這種方法稱為分組法．第二步：理解知識，嘗試填空．（1）______．第三步：應(yīng)用知識，解決問題．（2）因式分解：①______．②______．第四步：提煉思想，拓展應(yīng)用．（3）已知三角形的三邊長分別是a、b、c，且滿足，試判斷這個三角形的形狀，并說明理由．【答案】（1）；（2）①；②；（3）這個三角形為等邊三角形，理由見解析【分析】本題考查了因式分解的分組分解方法，等邊三角形的判定，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．（1）仿照例題，先分組，再利用提取公因式法分解即可；（2）①先分組，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；②先分組，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；（3）移項后分解因式，可得出，則可得出答案．【詳解】解：（1）故答案為：；（2）①；②；（3）這個三角形為等邊三角形．理由如下：∵，∴∴∴，∵，∴∴，∴這個三角形是等邊三角形．【考點九因式分解法的應(yīng)用】例題：（22-23八年級上·北京朝陽·期末）在“整式乘法與因式分解”這一章的學(xué)習(xí)過程中，我們常采用構(gòu)造幾何圖形的方法對代數(shù)式的變形加以說明．例如，利用圖1中邊長分別為，的正方形，以及長為，寬為的長方形卡片若干張拼成圖2（卡片間不重疊、無縫隙），可以用來解釋完全平方公式：請你解答下面的問題：(1)利用圖1中的三種卡片若干張拼成圖3，可以解釋等式：；(2)利用圖1中三種卡片若干張拼出一個面積為的長方形，請你分析這個長方形的長和寬．【答案】(1)；(2)圖形見解析，長方形的長為，寬為．【分析】（1）本題考查多項式乘法的幾何形式，根據(jù)圖形，利用直接求和間接求兩種方法，列出等式即可；（2）本題考查考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)已知等式畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)圖形寫出長方形的長和寬即可．【詳解】（1）解：由圖知，；故答案為：．（2）解：，由圖知，長方形的長為，寬為．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·山東東營·期末）先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：．解：將“”看成整體，設(shè)，則原式．再將代入，得原式．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．請你完成下列各題：(1)因式分解：；(2)因式分解：．【答案】(1)；(2)．【分析】（）將看成整體，令代入原式即可求解；（）將看成整體，令代入原式即可求解；本題考查了整體代入的思想，運用完全平方公式因式分解，整體代入是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）設(shè)，則原式，，把代入得，原式，；（2）設(shè)，則原式，，，把代入得，原式，，．2．（23-24八年級上·四川南充·期末）閱讀下列材料：教科書中這樣寫道：“我們把和這樣的式子叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項式（b、c為常數(shù)）寫成（h、k為常數(shù)）的形式，配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題及求代數(shù)式最大、最小值等問題．例1：分解因式：；原式；例2：求代數(shù)式的最小值．原式，所以當(dāng)時，代數(shù)式有最小值，最小值是－6．請根據(jù)材料用配方法解決下列問題：(1)分解因式：______；(2)求多項式的最小值；(3)已知，求m，n的值．【答案】(1)(2)(3)m的值為，n的值為3【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式和平方差公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)完全平方公式即可得到結(jié)論；（3）把原式配方，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：；（2）解：原式，∵多項式有最小值，最小值是；（3）解：，，即，，，解得：，，的值為，的值為3．【過關(guān)檢測】過關(guān)檢測一、單選題1．（23-24八年級上·浙江臺州·期末）單項式與的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查公因式，熟練掌握如何去找公因式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公因式的概念分別求得系數(shù)的最大公因數(shù)，相同字母的次數(shù)的最低次數(shù)即可．【詳解】解：單項式與的公因式是．故選：C．2．（22-23八年級下·山東濟(jì)南·期末）下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了因式分解的意義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．直接利用因式分解的意義分析得出答案．【詳解】解：A、，從左到右是整式的乘法運算，不合題意；B、，右邊不是乘積形式，不合題意；C、，從左到右是整式的乘法運算，，不合題意；D、，從左到右是因式分解，符合題意．故選：D．3．（22-23八年級下·四川成都·期末）已知長方形的長和寬分別是a，b，周長是20，面積是15．則的值是（）A．35 B．150 C．300 D．600【答案】B【分析】本題主要考查了已知式子的值求代數(shù)式的值，提公因式分解因式，先根據(jù)長方形的周長和面積求出和的值，然后代入化簡后的代數(shù)值求解即可．【詳解】解：∵長方形周長為20，∴，∴．∵長方形的面積為15，∴，∴．故選：B．4．（23-24八年級上·湖北荊門·期末）下列因式分解：①；②；③；④．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題主要考查提公因式法，公式法，十字相乘法進(jìn)行因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)因式分解的方法一一判斷即可求解．【詳解】解：①，故原式錯誤；②，故原式正確；③，故原式錯誤；④，故原式錯誤；綜上所述，正確的有②，共個，故選：．5．（23-24八年級上·四川宜賓·期末）已知，直角三角形的兩直角邊為，斜邊為，滿足且，則此直角三角形的面積為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】此題考查了平方差公式的應(yīng)用、直角三角形的面積等知識，利用已知條件變形得到，，得到，，即可得到直角三角形的面積．【詳解】解：∵，∴，∴為直角三角形的兩直角邊，∴，∴，即，∵，，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，∴此直角三角形的面積為故選：A二、填空題6．（23-24八年級上·云南昆明·期末）分解因式：．【答案】/【分析】本題考查因式分解．先提公式后，再用平方差公式即可分解因式．【詳解】．故答案為：7．（23-24八年級上·吉林長春·期末）分解因式：．【答案】【分析】本題考查了分解因式，能熟記是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)十字相乘法分解因式即可．【詳解】解：．故答案為：．8．（23-24八年級上·山東日照·期末）若多項式分解因式的結(jié)果為，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了因式分解與多項式乘法之間的關(guān)系，根據(jù)題意可得，據(jù)此可推出，再代值計算即可．【詳解】解：∵多項式分解因式的結(jié)果為，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．9．（23-24八年級上·山東煙臺·期末）已知，，則多項式的值為．【答案】88【分析】本題考查因式分解和代數(shù)式求值，將多項式分解為含有，的式子，再將，代入整理后的式子求解，即可解題．【詳解】解：，，，上式，故答案為：88．10．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）的三邊a，b，c為互不相同的整數(shù)，且，則的周長為．【答案】13【分析】將原式變形后進(jìn)行因式分解可得到，再利用三角形的三邊關(guān)系以及三邊都是互不相同的整數(shù)這兩個條件加以分析即可得出答案．【詳解】解：∴，，為互不相同的整數(shù)，且是的三邊，，也是互不相同的正整數(shù)，且都大于1．故可分為以下3種情況：（1），即的三邊長分別為1，6，8；由三角形的三邊關(guān)系可知不合題意，舍去．（2），即的三邊長分別為2，5，6；由三角形的三邊關(guān)系可知符合題意．（3），即的三邊長分別為1，2，20；由三角形的三邊關(guān)系可知不合題意，舍去．∴綜上所述：的周長為綜上可知，的周長為13．故答案為13．【點睛】本題是一道結(jié)合因式分解和三角形三邊關(guān)系的綜合性題目，有一定難度，能將原式變形后進(jìn)行因式分解是解出此題的關(guān)鍵．考生們也應(yīng)該多加練習(xí)這種形式的因式分解習(xí)題，做到熟能生巧．三、解答題11．（23-24八年級上·山東威海·期末）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解；（1）先提公因式，然后根據(jù)平方差公式因式分解即可求解；（2）將看作整體，根據(jù)完全平方公式因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：原式=．（2）解：原式．12．（23-24八年級上·河南安陽·期末）因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查了因式分解,掌握運用提取公因式法、公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．（1）先寫出完全平方的形式，然后運用完全平方公式分解即可；（2）先提取公因式，然后再運用平方差公式因式分解即可．【詳解】（1）解：，，．（2）解：，，．13．（23-24八年級上·遼寧盤錦·期末）因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用提取公因式法以及公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．（1）利用提取公因式法分解因式解答即可；（2）利用公式法分解因式解答即可；【詳解】（1）原式（2）原式14．（23-24八年級上·天津和平·期末）分解因式：(1)___________；(2)___________；(3)（要求寫過程）．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)十字相乘法進(jìn)行因式分解；（2）先去括號，再根據(jù)公式法進(jìn)行因式分解；（3）提公因式，再根據(jù)公式法進(jìn)行因式分解．【詳解】（1）解：根據(jù)十字相乘法，得原式；（2）解：原式；（3）解：原式．15．（23-24八年級上·黑龍江綏化·期末）因式分解：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題主要考查的就是因式分解．如果有公因式，我們首先都需要進(jìn)行提取公因式，然后再利用別的方法進(jìn)行因式分解．（1）先分組，再利用提取公因式進(jìn)行因式分解；（2）先提取公因式，然后利用平方差公式分解即可；（3）先運用完全平方公式因式分解，然后再利用平方差公式進(jìn)行分解解題即可．【詳解】（1）（2）（3）16．（22-23八年級上·河南洛陽·期末）閱讀以下材料材料：因式分解：解：將“”看成整體，令，則原式再將“A”還原，得原式上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：(1)因式分解：______；(2)因式分解：；【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．（1）將“”看成整體，得原式，利用完全平方公式因式分解即可；（2）將“”看成整體，令，則原式，再將“A”還原，得：原式．【詳解】（1）解：＝＝；故答案為：；（2）解：設(shè)，原式，將A還原，則原式．17．（23-24八年級上·北京東城·期末）利用整式的乘法運算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數(shù)與常數(shù)項分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式的二項式系數(shù)2與常數(shù)項12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)結(jié)合本題知識，分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查多項式乘多項式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識的掌握與運用．（1）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；（2）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；（3）先分組，再利用十字相乘法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，；（3）解：，．18．（23-24八年級上·河南商丘·期末）【材料閱讀】若，求m和n的值．解：由題意得．．解得，．【問題解決】