第14講 應(yīng)用一元二次方程（原卷版）-2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

第14講應(yīng)用一元二次方程模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．通過(guò)分析具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實(shí)際問(wèn)題，總結(jié)運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟；2．通過(guò)列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；知識(shí)點(diǎn)一、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟1.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.2.解決應(yīng)用題的一般步驟：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）答(寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)).要點(diǎn)：列方程解實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.知識(shí)點(diǎn)二、一元二次方程應(yīng)用題的主要類(lèi)型1.平均變化率問(wèn)題列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.(1)增長(zhǎng)率問(wèn)題：平均增長(zhǎng)率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.)(2)降低率問(wèn)題：平均降低率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)2.數(shù)字問(wèn)題(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來(lái)表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1.幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2.3.利息問(wèn)題(1)概念：本金：顧客存入銀行的錢(qián)叫本金.利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù).利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期數(shù)利息稅=利息×稅率本金×(1+利率×期數(shù))=本息和本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時(shí))4.利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)5.形積問(wèn)題此類(lèi)問(wèn)題屬于幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.考點(diǎn)一：用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問(wèn)題例1．（2023上·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）受益于國(guó)家支持新能源汽車(chē)發(fā)展和“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略等多重利好因素，我市某汽車(chē)零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤(rùn)逐年提高，據(jù)統(tǒng)計(jì)，2020年利潤(rùn)為2億元，2022年利潤(rùn)為2.88億元．(1)求該企業(yè)從2020年到2022年利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率；(2)若2023年保持前兩年利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率不變，該企業(yè)2023年的利潤(rùn)能否超過(guò)3.4億元？為什么？【變式1-1】（2023上·廣東肇慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）新能源汽車(chē)節(jié)能、環(huán)保，越來(lái)越受消費(fèi)者喜愛(ài)，我國(guó)新能源汽車(chē)近幾年出口量逐年增加，2021年出口量為20萬(wàn)臺(tái)，2023年出口量增加到45萬(wàn)臺(tái)．(1)求2021年到2023年新能源汽車(chē)出口量的年平均增長(zhǎng)率是多少？(2)按照這個(gè)增長(zhǎng)速度，預(yù)計(jì)2024年我國(guó)新能源汽車(chē)出口量為多少？【變式1-2】（2023上·遼寧·九年級(jí)沈陽(yáng)市第七中學(xué)校聯(lián)考期末）隨著新能源技術(shù)的提高，新能源汽車(chē)節(jié)能、環(huán)保，越來(lái)越受消費(fèi)者喜愛(ài)．沈陽(yáng)某店新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量自2023年起逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，該店1月份銷(xiāo)售新能源汽車(chē)50輛，3月份銷(xiāo)售了72輛．(1)求該店這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率；(2)若月平均增長(zhǎng)率保持不變，求該店4月份賣(mài)出多少輛新能源汽車(chē)．（答案若含有小數(shù)則只取整數(shù)部分，不四舍五入）【變式1-3】（2023上·天津·九年級(jí)統(tǒng)考期末）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，某村委會(huì)干部帶領(lǐng)村民在網(wǎng)上直播推銷(xiāo)農(nóng)產(chǎn)品，八月份銷(xiāo)售蜂蜜400瓶，九、十兩月這種蜂蜜銷(xiāo)售量持續(xù)增加，十月份的銷(xiāo)售量達(dá)到576瓶．(1)設(shè)九、十兩月的銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率x，九月份銷(xiāo)售量為_(kāi)_____，十月份銷(xiāo)售量為_(kāi)______，（均用含x的式子表示）(2)列方程求九、十兩個(gè)月的銷(xiāo)售量月平均增長(zhǎng)率．考點(diǎn)二：用一元二次方程解決傳播問(wèn)題例2.（2023上·新疆昌吉·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）有一只雞患了某種傳染病，如果不加以控制，則經(jīng)過(guò)兩輪傳染后將有81只雞患上該種傳染?。?1)求平均一只雞傳染幾只雞？(2)按此傳播速度，經(jīng)過(guò)3輪傳染后共有多少只雞受到傳染？【變式2-1】（2023上·河北張家口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）“國(guó)慶”節(jié)老同學(xué)聚會(huì)，每?jī)蓚€(gè)人都握一次手，所有人共握手10次，則參加聚會(huì)的人數(shù)是人．【變式2-2】（2023上·湖南湘西·九年級(jí)?？计谥校╇S著人們生活水平的提高，節(jié)假日大家都喜歡游覽觀光祖國(guó)的大好河山，但一定要注意安全，特別要防止病毒的傳染．我們利用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決一個(gè)關(guān)于病毒傳染的問(wèn)題：一個(gè)游客在旅游時(shí)，因不意防范，患上了流感，回家后，經(jīng)兩輪傳染后有81人患上了流感，那么平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？經(jīng)過(guò)三輪傳染后共有多少人患上了流感？【變式2-3】（2023上·河南南陽(yáng)·六年級(jí)校考階段練習(xí)）今年秋冬季是支原體肺炎的感染高發(fā)期，多見(jiàn)于5歲及以上兒童，如果外出時(shí)能夠戴上口罩、做好防護(hù)，可以有效遏制支原體肺炎病毒的傳染，現(xiàn)在，有一個(gè)人患了支原體肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有49人患了支原體肺炎（假設(shè)每個(gè)人每輪傳染的人數(shù)同樣多）．(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？(2)某藥房最近售出了普通醫(yī)用口罩和醫(yī)用口罩共180盒，已知售出的普通醫(yī)用口罩的盒數(shù)不少于醫(yī)用口罩的5倍，每盒醫(yī)用口罩的價(jià)格為10元，每盒普通醫(yī)用口罩的價(jià)格為4元，則售出醫(yī)用口罩和普通醫(yī)用口罩各多少盒時(shí)，總銷(xiāo)售額最多？請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)三：用一元二次方程解決數(shù)字問(wèn)題例3.（2023上·河南信陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）讀詩(shī)詞解題：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符；哪位同學(xué)算得快，多少年華屬周瑜？則周瑜去世時(shí)的年齡是歲．【變式3-1】（2023上·四川瀘州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小明同學(xué)是一位古詩(shī)文的愛(ài)好者，在學(xué)習(xí)了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩(shī)詞《念奴嬌?赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同．哪位學(xué)子算得快，則可列方程為（）A． B．C． D．【變式3-2】（2023上·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）蘇軾在《念奴嬌－赤壁懷古》中寫(xiě)道：遙想公瑾當(dāng)年，小喬初嫁了，雄姿英發(fā)．羽扇綸巾，談笑間，檣櫓灰飛煙滅．根據(jù)資料，周瑜三十歲當(dāng)上了東吳都督，去世時(shí)年齡是兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)比十位數(shù)大3，個(gè)位數(shù)的平方等于去世時(shí)的年齡．若設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的十位數(shù)為，則根據(jù)題意可列出方程．【變式3-3】（2023上·遼寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和為11，并且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和為85，求這個(gè)兩位數(shù)．考點(diǎn)四：用一元二次方程解決營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題例4.（2023下·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）今年大德福超市以每件元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批商品，當(dāng)商品售價(jià)為元時(shí)，三月份銷(xiāo)售件，四、五月該商品十分暢銷(xiāo)，銷(xiāo)售量持續(xù)上漲，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，五月份的銷(xiāo)售量達(dá)到件．(1)求四、五這兩個(gè)月銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率．(2)從六月份起，商場(chǎng)為了減少庫(kù)存，從而采用降價(jià)促銷(xiāo)方式，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)元，月銷(xiāo)量增加件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)月獲利元？【變式4-1】（2023上·河南商丘·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）2023河南省消費(fèi)幫扶“土特產(chǎn)”產(chǎn)銷(xiāo)對(duì)接專(zhuān)項(xiàng)行動(dòng)在漯河市隆重開(kāi)幕，此次活動(dòng)以“打造‘土特產(chǎn)’名優(yōu)品牌，賦能鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振業(yè)”為主題，吸納全省各地市的商戶(hù)前來(lái)參展．某商場(chǎng)從展銷(xiāo)會(huì)簽訂合同購(gòu)進(jìn)某種特產(chǎn)商品，每件進(jìn)價(jià)為100元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每件售價(jià)為150元，平均每天售出60件；當(dāng)特產(chǎn)商品售價(jià)每降低1元時(shí)，商品平均每天可多售出3件．(1)當(dāng)特產(chǎn)商品售價(jià)降低5元時(shí)，每天銷(xiāo)售量可達(dá)到______件，每天盈利______元．(2)為了減少庫(kù)存，當(dāng)每件特產(chǎn)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)通過(guò)銷(xiāo)售這種特產(chǎn)商品每天可盈利3600元？【變式4-2】（2023上·廣東東莞·九年級(jí)校聯(lián)考期中）海戰(zhàn)博物館在2021年共接待游客達(dá)10萬(wàn)人次，預(yù)計(jì)在2023年將接待游客達(dá)12.1萬(wàn)人次．(1)求海戰(zhàn)博物館2021至2023年接待游客人次的平均增長(zhǎng)率．(2)海戰(zhàn)博物館銷(xiāo)售一款水果茶，每杯成本價(jià)為6元，若每杯定價(jià)25元，則平均每天可銷(xiāo)售300杯，若每杯價(jià)格降低1元，則平均每天可多銷(xiāo)售30杯，設(shè)每杯降價(jià)a元，為了每天利潤(rùn)達(dá)到6300元，又能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，求每杯水果茶的定價(jià)．【變式4-3】（2023上·河北張家口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商場(chǎng)一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，售價(jià)為每件40元時(shí)，每天可以銷(xiāo)售48件，為盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定降價(jià)促銷(xiāo)．(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件32.4元，求兩次下降的百分率；(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價(jià)0.5元，每天可多銷(xiāo)售4件．①每天要想獲得504元的利潤(rùn)，每件應(yīng)降價(jià)多少元？②能不能一天獲得520元的利潤(rùn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)五：用一元二次方程解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題例5.（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)B為止，點(diǎn)Q以的速度向D移動(dòng)．(1)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到幾秒時(shí)，四邊形的面積為；(2)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是．【變式5-1】（2023上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)．如果點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，那么出發(fā)后秒時(shí)，線段的長(zhǎng)度等于．【變式5-2】（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以的速度向C點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．請(qǐng)回答：(1)經(jīng)過(guò)幾秒后的面積等于？(2)的面積能否等于，并說(shuō)明理由？【變式5-3】（2023上·內(nèi)蒙古包頭·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，中，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，為等腰三角形？(2)t為何值時(shí)，的面積等于面積的？(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的長(zhǎng)度能否為？試說(shuō)明理由．考點(diǎn)六：用一元二次方程解決與圖形有關(guān)的問(wèn)題例6.（2023上·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在長(zhǎng)40m、寬22m的矩形地塊，修筑兩條等寬且互相垂直的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積是，道路的寬應(yīng)為多少？【變式6-1】（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，為美化庭院，某小區(qū)要利用一面墻（墻足夠長(zhǎng)），用30米長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形綠地，設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為x米和y米，且(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(2)根據(jù)小區(qū)的規(guī)劃要求，所修建的矩形綠地面積必須是100平方米，求矩形的兩條邊長(zhǎng)各為多少米？【變式6-2】（2023上·黑龍江雞西·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）社區(qū)利用一塊矩形空地建了一個(gè)小型停車(chē)場(chǎng)，其布局如圖所示．已知，，陰影部分設(shè)計(jì)為停車(chē)位，要鋪花磚，其余部分均為寬度為米的道路．已知鋪花磚的面積為．(1)求道路的寬是多少米？(2)該停車(chē)場(chǎng)共有車(chē)位個(gè)，據(jù)調(diào)查分析，當(dāng)每個(gè)車(chē)位的月租金為元時(shí)；可全部租出；若每個(gè)車(chē)位的月租金每上漲元，就會(huì)少租出個(gè)車(chē)位．當(dāng)每個(gè)車(chē)位的月租金上漲多少元時(shí)，停車(chē)場(chǎng)的月租金收入為元【變式6-3】（2023上·云南昆明·九年級(jí)?？计谥校?025年起，云南省新高考將采用“”新模式，改革對(duì)生物學(xué)科提出了更高的要求．云大附中星耀學(xué)校高中生物組為培養(yǎng)同學(xué)們觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，歸納實(shí)驗(yàn)規(guī)律的能力，在新校區(qū)內(nèi)建立了一塊矩形的生物實(shí)驗(yàn)田，一面利用學(xué)校的墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為16米），其余部分需要用總長(zhǎng)為28米的柵欄圍成，且矩形中間需用柵欄隔開(kāi)，柵欄因?qū)嶒?yàn)需要，有兩個(gè)寬為1米的門(mén)（門(mén)無(wú)需柵欄，如下圖所示）．設(shè)實(shí)驗(yàn)田的寬為x米．(1)該實(shí)驗(yàn)田的長(zhǎng)為多少米（用含x的式子表示）？(2)若實(shí)驗(yàn)田的面積為72平方米（柵欄的占地面積忽略不計(jì)），則該實(shí)驗(yàn)田的寬是多少米？考點(diǎn)七：用一元二次方程解決工程問(wèn)題例7.（2023·重慶開(kāi)州·校聯(lián)考一模）某工程隊(duì)采用A，B兩種設(shè)備同時(shí)對(duì)長(zhǎng)度為3600米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度；(2)通過(guò)勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的3600米多了750米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了小時(shí)，同時(shí)，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了3m米，而使用時(shí)間增加了m小時(shí)，求m的值．【變式7-1】（2023上·重慶合川·九年級(jí)統(tǒng)考期末）2022年暑期，我區(qū)遭遇連續(xù)高溫和干旱，一居民小區(qū)的部分綠化樹(shù)枯死．小區(qū)物業(yè)管理公司決定補(bǔ)種綠化樹(shù)，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)小葉榕和香樟共50棵進(jìn)行栽種．其中小葉榕每棵680元，香樟每棵1000元，經(jīng)測(cè)算，購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)共需38800元．(1)原計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)小葉榕、香樟各多少棵？(2)實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí)，經(jīng)物業(yè)管理公司與商家協(xié)商，每棵小葉榕和香樟的售價(jià)均下降元（），且兩種樹(shù)的售價(jià)每降低10元，物業(yè)管理公司將在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上多購(gòu)買(mǎi)小葉榕2棵，香樟1棵．物業(yè)管理公司實(shí)際購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用比原計(jì)劃多3600元，求物業(yè)管理公司實(shí)際購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)共多少棵？【變式7-2】（2023下·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）由于疫情反彈，某地區(qū)開(kāi)展了連續(xù)全員核酸檢測(cè)，9月7日，醫(yī)院派出13名醫(yī)護(hù)人員到一個(gè)大型小區(qū)設(shè)置了、兩個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行核酸采樣，當(dāng)天共采樣9220份，已知點(diǎn)平均每人采樣720份，點(diǎn)平均每人采樣700份．(1)求、兩點(diǎn)各有多少名醫(yī)護(hù)人員？(2)9月8日，醫(yī)院繼續(xù)派出這13名醫(yī)護(hù)人員前往這個(gè)小區(qū)進(jìn)行核酸采樣，這天，社區(qū)組織者將附近數(shù)個(gè)商戶(hù)也納入這個(gè)小區(qū)采樣范圍，同時(shí)重新規(guī)劃，決定從點(diǎn)抽調(diào)部分醫(yī)護(hù)人員到點(diǎn)經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)每減少1名醫(yī)護(hù)人員，人均采樣量增加10份，點(diǎn)人均采樣量不變，最后當(dāng)天共采樣9360份，求從點(diǎn)抽調(diào)了多少名醫(yī)護(hù)人員到點(diǎn)？【變式7-3】（2023下·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）為了提升干線公路美化度，相關(guān)部門(mén)擬定派一個(gè)工程隊(duì)對(duì)39000米的公路進(jìn)行路面“白改黑”工程．該工程隊(duì)計(jì)劃使用一大一小兩種型號(hào)設(shè)備交替的方式施工，原計(jì)劃小型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面30米，大型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面60米．(1)由于小型設(shè)備工作效率較低，該工程隊(duì)計(jì)劃使用大型設(shè)備的時(shí)間比使用小型設(shè)備的時(shí)間多，當(dāng)這個(gè)工程完工時(shí)，小型設(shè)備的使用時(shí)間為多少小時(shí)？(2)通過(guò)勘察、又新增了部分支線公路美化，結(jié)果此工程的實(shí)際施工里程比最初擬定的里程39000米多了9000米，于是在實(shí)際施工中，小型設(shè)備在鋪設(shè)公路效率不變的情況下，使用時(shí)間比原計(jì)劃增加了18m小時(shí)，同時(shí)，因?yàn)樾略龅墓と瞬僮鞔笮驮O(shè)備不夠熟練，使得比原計(jì)劃每小時(shí)下降了m米，使用時(shí)間增加了小時(shí)，求m的值．考點(diǎn)八：用一元二次方程解決行程問(wèn)題例8.（2023上·山東棗莊·九年級(jí)校聯(lián)考期中）小明設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)動(dòng)畫(huà)游戲，如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)A、B以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng)，甲運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間滿(mǎn)足關(guān)系：，乙以的速度勻速運(yùn)動(dòng)，半圓的長(zhǎng)度為．(1)甲運(yùn)動(dòng)后的路程是多少？(2)甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第三次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？【變式8-1】（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級(jí)呼和浩特市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰谖锢碇校刂粭l直線且加速度不變的運(yùn)動(dòng)，叫做勻變速直線運(yùn)動(dòng)．在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，每個(gè)時(shí)間段的平均速度為初速度和末速度的算術(shù)平均數(shù)，路程等于時(shí)間與平均速度的乘積．若一個(gè)小球以5米/秒的速度開(kāi)始向前滾動(dòng)，并且均勻減速，4秒后小球停止運(yùn)動(dòng)．(1)小球的滾動(dòng)速度平均每秒減少多少？(2)小球滾動(dòng)5米用了多少秒？（精確到0.1，，）【變式8-2】（2023上·重慶·九年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）為鼓勵(lì)廣大鳳中學(xué)子走向操場(chǎng)、走進(jìn)大自然、走到陽(yáng)光下，積極參加體育鍛煉，初三年級(jí)某班組織同學(xué)們周末共跑沙濱路，其中，小鳳和小鳴兩人同時(shí)從A地出發(fā)，勻速跑向距離處的B地，小鳳的跑步速度是小鳴跑步速度的1.2倍，那么小鳳比小鳴早5分鐘到達(dá)B地．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)小鳳每分鐘跑多少米？(2)若從A地到達(dá)B地后，小鳳以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個(gè)過(guò)程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開(kāi)始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過(guò)30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過(guò)程中，小鳳共消耗2300卡路里的熱量，小鳳從A地到C地鍛煉共用多少分鐘？【變式8-3】（2023下·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，一輛汽車(chē)在筆直的公路上剎車(chē)后，該車(chē)的速度米秒與時(shí)間秒之間滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示；

(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知汽車(chē)在該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，一段時(shí)間內(nèi)向前滑行的距離等于這段時(shí)間內(nèi)的平均速度乘以時(shí)間該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的平均速度，表示這段時(shí)間起始時(shí)刻的速度，表示這段時(shí)間結(jié)束時(shí)刻的速度．若該車(chē)剎車(chē)后秒內(nèi)向前滑行了米，求的值．一、單選題1．（2024·云南昭通·二模）兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積為783，若設(shè)較小的奇數(shù)為x，則可列方程為（）A． B．C． D．2．（23-24八年級(jí)下·浙江衢州·期中）《2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)》節(jié)目統(tǒng)計(jì)，截至2月10日2時(shí)，總臺(tái)春晚全媒體累計(jì)觸達(dá)142億人次，其中“豎屏看春晚”直播播放量4.2億次．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2022年首次推出的“豎屏看春晚”累計(jì)觀看2億次，設(shè)“豎屏看春晚”次數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列出關(guān)于x的方程為（

）A． B． C． D．3．（2024·浙江溫州·三模）某品牌店銷(xiāo)售一款進(jìn)價(jià)為每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可銷(xiāo)售200件．值此父親節(jié)來(lái)臨之際，該店實(shí)行降價(jià)促銷(xiāo)．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這款男士短袖的售價(jià)每下降1元，其銷(xiāo)售數(shù)量就增加20件．當(dāng)每件男士短袖降價(jià)多少元時(shí)，該店銷(xiāo)售這款男士短袖的利潤(rùn)為8000元？設(shè)每件男士短袖降價(jià)x元，可列出方程為（

）A． B．C． D．4．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)的美感，世界各國(guó)許多著名建筑為取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．已知四邊形是黃金矩形．，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，則滿(mǎn)足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、填空題5．（2024八年級(jí)下·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）某數(shù)學(xué)競(jìng)賽組，每人都必須與其他任何一位同學(xué)合照一張雙人照，共照相片45張，則該組的人數(shù)是．6．（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）將一些棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，若在某個(gè)圖中棋子的個(gè)數(shù)恰好為160個(gè)，則這個(gè)圖的序號(hào)是．7．（23-24八年級(jí)下·浙江湖州·階段練習(xí)）“趙爽弦圖”由四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是小正方形（圖1）．在此圖形中連結(jié)四條線段得到圖2，記陰影部分的面積為，空白部分的面積為，大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，若，則的值為．圖1

圖28．（23-24九年級(jí)下·江西贛州·期中）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，若，，則每個(gè)直角三角形的面積為．三、解答題9．（23-24八年級(jí)下·浙江金華·期中）某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加利潤(rùn)，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．(1)若每件襯衫降價(jià)5元，則商場(chǎng)平均每天可售出襯衫______件，每天獲得的利潤(rùn)為_(kāi)_____元．(2)若商場(chǎng)每天要獲得利潤(rùn)1200元，請(qǐng)計(jì)算出每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？(3)商場(chǎng)每天要獲得利潤(rùn)有可能達(dá)到1400元嗎？若能，請(qǐng)求出此時(shí)每件襯衫的利潤(rùn)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（23-24八年級(jí)下·福建福州·階段練習(xí)）公安部門(mén)提醒市民，騎車(chē)出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷(xiāo)商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷(xiāo)量，該品牌頭盔4月份銷(xiāo)售1500個(gè)，6月份銷(xiāo)售2160個(gè)，且從4月份到6月份銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率相