備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義第1講 轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用

第1講轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用轉(zhuǎn)化這種主要的思維策略在高中數(shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想是高中生必備的靈活性思維方式，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效途徑之一，其要點(diǎn)在于將陌生的問(wèn)題情形轉(zhuǎn)化為熟悉的情形，將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化、直觀化，或從不同角度切入以分析問(wèn)題，逐步探索出解決問(wèn)題的有效方法。立體幾何作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，這部分蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)中滲透有關(guān)的思想方法，有助于學(xué)生降低難度。轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中主要體現(xiàn)在將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，涉及到幾何體中的最值問(wèn)題、等積轉(zhuǎn)化問(wèn)題以及點(diǎn)線(xiàn)面的轉(zhuǎn)化等問(wèn)題【應(yīng)用一】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體中距離最值得應(yīng)用我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)及高考題中也常常遇見(jiàn)幾何中某兩點(diǎn)的最值問(wèn)題，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題可以采取的方式就是對(duì)幾何體進(jìn)行展開(kāi)。例如下面這道例題：【例1.1】（2022·廣東佛山·高三期末）長(zhǎng)方體中，，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于F，則四邊形的周長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C． D．【思維提升】把曲面上的最短距離問(wèn)題利用展開(kāi)圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決。這是求曲面上最短距離的一種常用方法。【變式1-1】（多選）（2022·山東青島·一模）已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，為母線(xiàn)中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓臺(tái)母線(xiàn)與底面所成角為60° B．圓臺(tái)的側(cè)面積為C．圓臺(tái)外接球半徑為2 D．在圓臺(tái)的側(cè)面上，從到的最短路徑的長(zhǎng)度為5【變式1-2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃ǘ噙x題）長(zhǎng)方體中，，，，則（

）A．到平面的距離為B．到平面的距離為C．沿長(zhǎng)方體的表面從到的最短距離為D．沿長(zhǎng)方體的表面從到的最短距離為【變式1-3】．如圖所示，在正三棱柱中，，，由頂點(diǎn)沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過(guò)棱)到達(dá)頂點(diǎn)，與的交點(diǎn)記為，則從點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為（

）A． B． C．4 D．【變式1-3】（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為2km，山高為，是山坡上一點(diǎn)，且.現(xiàn)要建設(shè)一條從到的環(huán)山觀光公路，這條公路從出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為_(kāi)_____.【應(yīng)用二】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體中線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角的應(yīng)用（1）異面直線(xiàn)所成角公式：設(shè)，分別為異面直線(xiàn)，上的方向向量，為異面直線(xiàn)所成角的大小，則．（2）線(xiàn)面角公式：設(shè)為平面的斜線(xiàn)，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中．空間幾何體中線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角通常由兩種處理方式，一是通過(guò)建系，轉(zhuǎn)化為向量進(jìn)行解決，二是運(yùn)用傳統(tǒng)的方式分別把角表示出來(lái)?！纠?-1】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體，，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正切值是（

）A． B． C． D．【例2-2】（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在四棱錐中，四邊形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，，E是PB的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面PBC；(2)若二面角的余弦值為，求a的值；(3)在（2）的條件下求直線(xiàn)PA與平面EAC所成角的正弦值．【思維提升】求角度的問(wèn)題我們有兩種方法：幾何法與向量法，在選擇方法的過(guò)程中我們一般有如下原則:（1）方便建系的題目適合向量法，如長(zhǎng)方體，底面容易找到垂直的錐體等（2）方便做“投影”的題目適合用幾何法，如幾何體高線(xiàn)上的點(diǎn)與底面連線(xiàn)等【變式2-1】．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）在正方體中，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、，當(dāng)平面分別截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面所成的銳二面角大小為（

）A． B． C． D．【變式2-2】．（多選）（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）（多選題）如圖所示，已知點(diǎn)A為圓臺(tái)下底面圓周上一點(diǎn)，S為上底面圓周上一點(diǎn)，且，則（

）A．該圓臺(tái)的體積為B．直線(xiàn)SA與直線(xiàn)所成角最大值為C．該圓臺(tái)有內(nèi)切球，且半徑為D．直線(xiàn)與平面所成角正切值的最大值為【變式2-3】．【2020年新課標(biāo)2卷理科】如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線(xiàn)B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：幾何法的核心在于找到線(xiàn)面角，本題中利用平行關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，構(gòu)造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直線(xiàn)的方向向量，然后利用向量法求解即可；方法四：基底法是立體幾何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其關(guān)鍵之處在于找到平面的法向量和直線(xiàn)的方向向量.【應(yīng)用三】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體中距離的應(yīng)用求解空間中的距離（1）異面直線(xiàn)間的距離：兩條異面直線(xiàn)間的距離也不必尋找公垂線(xiàn)段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算．如圖，設(shè)兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)的方向向量為，這時(shí)分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線(xiàn)的距離．則即兩異面直線(xiàn)間的距離，等于兩異面直線(xiàn)上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線(xiàn)方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線(xiàn)的方向向量模的比值．（2）點(diǎn)到平面的距離為平面外一點(diǎn)（如圖），為平面的法向量，過(guò)作平面的斜線(xiàn)及垂線(xiàn)．（3）、向量法求距離【例3】（2022·福建省高三模擬試卷）在三棱錐中，和都是邊長(zhǎng)為的正三角形，.若為三棱錐外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最大值為_(kāi)________.【思維提升】距離問(wèn)題問(wèn)題主要分為點(diǎn)線(xiàn)距離，點(diǎn)面距離以及面面距離。最?？疾榈氖屈c(diǎn)面距離。對(duì)于點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離可以考慮通過(guò)向量加以解決。對(duì)于點(diǎn)到面的距離，可以從傳統(tǒng)的方法以及向量法。傳統(tǒng)的方法體現(xiàn)在把距離做出來(lái)，若在特殊的體中如圓錐、正棱柱等，做垂線(xiàn)垂足在特殊的位置可以作出距離（定性），然后再三角形中求出。若不好定性則可以考慮運(yùn)用等積法。若建系分別用向量也比較簡(jiǎn)單。線(xiàn)面距和面面距，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距求解．【變式3-1】．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知四棱錐的底面為正方形，底面，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．【變式3-2】．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）四面體滿(mǎn)足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（

）A． B． C． D．【變式3-3】．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？既＃┤鐖D，一個(gè)由四根細(xì)鐵桿、、、組成的支架（、、、按照逆時(shí)針排布），若，一個(gè)半徑為1的球恰好放在支架上與四根細(xì)鐵桿均有接觸，則球心到點(diǎn)的距離是（

）A． B． C．2 D．【變式3-4】（2023·山西·統(tǒng)考一模）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，.(1)求到平面的距離；(2)線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【應(yīng)用四】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面位置關(guān)系的應(yīng)用線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行與垂直的位置關(guān)系既相互依存又存在，又在一定條件下不僅能縱向轉(zhuǎn)化：線(xiàn)線(xiàn)平行或垂直，線(xiàn)面平行或垂直，面面平行或垂直。而且還可以橫向轉(zhuǎn)化：線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平行，線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的垂直。這些轉(zhuǎn)化關(guān)系在平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理中得到充分體現(xiàn)。平行或垂直關(guān)系的證明大都可以利用上述結(jié)論關(guān)系去證明。如平行關(guān)系：【例4】（2022?浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；【思維提升】證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的位置關(guān)系時(shí)，若通過(guò)轉(zhuǎn)化為異面直線(xiàn)所成的角有困難，可以通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直以及面面垂直的之間的性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化。即線(xiàn)線(xiàn)垂直轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直，線(xiàn)面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直?！咀兪?-1】．（2022?甲卷（理））在四棱錐中，底面，，，，．（1）證明：；【變式4-2】．（2022?北京）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；【方法總結(jié)】1．判定面面平行的主要方法：(1)利用面面平行的判定定理；(2)利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)．2.面面平行條件的應(yīng)用：(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線(xiàn)平行；(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行．【變式4-3】．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱內(nèi)接于圓柱，，平面平面．(1)證明：為圓柱底面的直徑；【應(yīng)用五】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體中體積的應(yīng)用研究簡(jiǎn)單幾何體體積問(wèn)題的過(guò)程中，運(yùn)用等積轉(zhuǎn)化常見(jiàn)的思路為選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透?。體現(xiàn)在轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)法、轉(zhuǎn)化底面、根據(jù)比值進(jìn)行轉(zhuǎn)化。柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱(chēng)幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【例5】【2020年新課標(biāo)3卷理科】已知圓錐的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_(kāi)________．【思維點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于球的直徑.【變式5-1】．（2022·江蘇如皋·高三期末）已知三棱錐D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝，∠BAC＝，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為_(kāi)________，該三棱錐的外接球的體積為_(kāi)________.【變式5-2】．（2022·廣東·廣州市真光中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）端午佳節(jié)，人們有包粽子和吃粽子的習(xí)俗，粽子主要分為南北兩大派系，地方細(xì)分特色鮮明，且形狀各異，裹蒸粽是廣東肇慶地區(qū)最為出名的粽子，是用當(dāng)?shù)靥赜械亩~?水草包裹糯米?綠豆?豬肉?咸蛋黃等蒸制而成的金字塔形的粽子，現(xiàn)將裹蒸粽看作一個(gè)正四面體，其內(nèi)部的咸蛋黃看作一個(gè)球體，那么，當(dāng)咸蛋黃的體積為時(shí)，該裹蒸粽的高的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【變式5-3】．．【2022年新高考2卷】（多選題）如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED,AB=ED=2FB，記三棱錐E?ACD，F(xiàn)?ABC，F(xiàn)?ACE的體積分別為V1A．V3=2VC．V3=V鞏固練習(xí)1、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線(xiàn)折成直二面角，則三棱錐的外接球的球心到平面的距離為（

）A． B． C． D．2、（2023春·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習(xí)）（多選題）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)，AM⊥平面，下面說(shuō)法正確的是（

）A．若N為DD1中點(diǎn)，當(dāng)AM+MN最小時(shí)，CM=B．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C1重合時(shí)，若平面截正方體所得截面圖形的面積越大，則其周長(zhǎng)就越大C．若點(diǎn)M為CC1的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)B，則平面截正方體所得截面圖形的面積為D．直線(xiàn)AB與平面所成角的余弦值的取值范圍為3、【2022年新高考1卷】（多選題）已知正方體ABCD?AA．直線(xiàn)BC1與DA1所成的角為90° B．直線(xiàn)BC．直線(xiàn)BC1與平面BB1D1D所成的角為45°4、【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.5、（2022年廣東省佛山市高三模擬試卷）如圖，有一圓錐形糧堆，其軸截面是邊長(zhǎng)為的正，糧堆母線(xiàn)的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過(guò)的最短路程是__________m．6、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┤鐖D，三棱柱中，側(cè)面為矩形，是邊長(zhǎng)為2的菱形，，．(1)證明：平面平面；(2)若，求三棱柱的體積．7、（2022年福建省福州市高三模擬試卷）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．梯形ABCD滿(mǎn)足BC＝CD＝1，AB∥CD，AB⊥BC．（1）求證：PD⊥AB；（2）若PD＝2，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．8、（2022年廣東省佛山市高三模擬試卷）某校積極開(kāi)展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過(guò)程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻薨”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長(zhǎng)為4的正方形的三邊的中點(diǎn)，先沿著虛線(xiàn)段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線(xiàn)段EF折起，連接就得到了一個(gè)“芻甍”(如圖2)。（1）若O是四邊形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，求證：平面；（2）若二面角的大小為求平面與平面夾角的余弦值.第1講轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用轉(zhuǎn)化這種主要的思維策略在高中數(shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想是高中生必備的靈活性思維方式，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效途徑之一，其要點(diǎn)在于將陌生的問(wèn)題情形轉(zhuǎn)化為熟悉的情形，將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化、直觀化，或從不同角度切入以分析問(wèn)題，逐步探索出解決問(wèn)題的有效方法。立體幾何作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，這部分蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)中滲透有關(guān)的思想方法，有助于學(xué)生降低難度。轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中主要體現(xiàn)在將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，涉及到幾何體中的最值問(wèn)題、等積轉(zhuǎn)化問(wèn)題以及點(diǎn)線(xiàn)面的轉(zhuǎn)化等問(wèn)題【應(yīng)用一】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體中距離最值得應(yīng)用我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)及高考題中也常常遇見(jiàn)幾何中某兩點(diǎn)的最值問(wèn)題，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題可以采取的方式就是對(duì)幾何體進(jìn)行展開(kāi)。例如下面這道例題：【例1.1】（2022·廣東佛山·高三期末）長(zhǎng)方體中，，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于F，則四邊形的周長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將幾何體展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間直線(xiàn)段最短即可求得截面最短周長(zhǎng)．【詳解】解：將長(zhǎng)方體展開(kāi)，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)時(shí)，截面四邊形的周長(zhǎng)最小，最小值為．故選：B．【思維提升】把曲面上的最短距離問(wèn)題利用展開(kāi)圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決。這是求曲面上最短距離的一種常用方法?！咀兪?-1】（多選）（2022·山東青島·一模）已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，為母線(xiàn)中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓臺(tái)母線(xiàn)與底面所成角為60° B．圓臺(tái)的側(cè)面積為C．圓臺(tái)外接球半徑為2 D．在圓臺(tái)的側(cè)面上，從到的最短路徑的長(zhǎng)度為5【答案】ACD【分析】將幾何體展開(kāi)，通過(guò)研究展開(kāi)圖的解決上述問(wèn)題。【解析】對(duì)于A：過(guò)A作交底面于F，則底面，所以即為母線(xiàn)與底面所成角.在等腰梯形ABCD中，,所以.因?yàn)闉殇J角，所以.故A正確；對(duì)于B：由題意，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓環(huán)，其面積為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)圓臺(tái)外接球的球心為O，半徑R.由題意可得：.設(shè)，則，由，即，解得：a=0.即OO1重合，所以.故C正確；對(duì)于D：如圖示，在在圓臺(tái)的側(cè)面上，從到的最短路徑的長(zhǎng)度為CE.由題意可得：.由為中點(diǎn)，所以，所以.故D正確.故選：ACD【變式1-2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃╅L(zhǎng)方體中，，，，則（

）A．到平面的距離為B．到平面的距離為C．沿長(zhǎng)方體的表面從到的最短距離為D．沿長(zhǎng)方體的表面從到的最短距離為【答案】AC【分析】利用體積相等求出點(diǎn)到平面的距離即可判斷選項(xiàng)和；求點(diǎn)到的最短距離，由兩點(diǎn)之間直線(xiàn)段最短，想到需要把長(zhǎng)方體剪開(kāi)再展開(kāi)，把到的最短距離轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，根據(jù)實(shí)際圖形，應(yīng)該有三種展法，展開(kāi)后利用勾股定理求出每一種情況中的長(zhǎng)度，比較三個(gè)值的大小后即可得到結(jié)論，進(jìn)而判斷和.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椋?，，所以，，，在中，由余弦定理可得：，所以，則，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由體積相等可得：，即，所以，解得：，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)錯(cuò)誤；長(zhǎng)方體的表面可能有三種不同的方法展開(kāi)，如圖所示：，，，表面展開(kāi)后，依第一個(gè)圖形展開(kāi)，則；依第二個(gè)圖形展開(kāi)，則；依第三個(gè)圖形展開(kāi)，則；三者比較得：點(diǎn)沿長(zhǎng)方形表面到的最短距離為，故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：.【變式1-3】．如圖所示，在正三棱柱中，，，由頂點(diǎn)沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過(guò)棱)到達(dá)頂點(diǎn)，與的交點(diǎn)記為，則從點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】將幾何體展開(kāi)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，從點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到的路線(xiàn)最短?！驹斀狻咳鐖D，沿側(cè)棱將正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)由側(cè)面展開(kāi)圖可知，當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，從點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到的路線(xiàn)最短．所以最短路線(xiàn)長(zhǎng)為.【變式1-3】（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為2km，山高為，是山坡上一點(diǎn)，且.現(xiàn)要建設(shè)一條從到的環(huán)山觀光公路，這條公路從出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】【分析】通過(guò)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖，做出距離。【詳解】由題意，半徑為2km，山高為，則母線(xiàn),底面圓周長(zhǎng)，所以展開(kāi)圖的圓心角，如圖，是圓錐側(cè)面展開(kāi)圖，結(jié)合題意，,由點(diǎn)向引垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，此時(shí)為點(diǎn)和線(xiàn)段上的點(diǎn)連線(xiàn)的最小值，即點(diǎn)為公路的最高點(diǎn)，段即為下坡路段，則，即，得下坡路段長(zhǎng)度為.故答案為：【應(yīng)用二】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體中線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角的應(yīng)用（1）異面直線(xiàn)所成角公式：設(shè)，分別為異面直線(xiàn)，上的方向向量，為異面直線(xiàn)所成角的大小，則．（2）線(xiàn)面角公式：設(shè)為平面的斜線(xiàn)，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中．空間幾何體中線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角通常由兩種處理方式，一是通過(guò)建系，轉(zhuǎn)化為向量進(jìn)行解決，二是運(yùn)用傳統(tǒng)的方式分別把角表示出來(lái)?！纠?-1】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體，，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正切值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖形，找出直線(xiàn)與平面所成角的平面角，在三角形內(nèi)即可求解.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)向底面作垂線(xiàn)，垂足為，連接，過(guò)點(diǎn)作于G，連接，由題意可知：且，因?yàn)槠矫妫云矫?，則即為直線(xiàn)與平面所成角的平面角，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則，，所以，則，在中，由余弦定理可得：，在中，，所以，所以直線(xiàn)與平面所成角的正切值是，故選：.【例2-2】（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在四棱錐中，四邊形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，，E是PB的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面PBC；(2)若二面角的余弦值為，求a的值；(3)在（2）的條件下求直線(xiàn)PA與平面EAC所成角的正弦值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)4；(3)【分析】（1）由線(xiàn)線(xiàn)垂直證平面PBC，再證平面平面PBC；（2）以C為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由向量法求平面與平面的夾角余弦值，進(jìn)而由二面角的余弦值建立方程，解得a的值；（3）由向量法求得，即可求得直線(xiàn)PA與平面EAC所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：由題意得，直角梯形ABCD中，，，由得.底面ABCD，平面ABCD，∴.∵平面PBC，∴平面PBC，∵平面，∴平面平面PBC；（2）由（1）得，以C為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有，設(shè)平面的法向量為，，則有，令有；平面的其中一個(gè)法向量為.故.由二面角的余弦值為得，解得；（3）由（2）得，，∴，∴直線(xiàn)PA與平面EAC所成角的正弦值為.【思維提升】求角度的問(wèn)題我們有兩種方法：幾何法與向量法，在選擇方法的過(guò)程中我們一般有如下原則:（1）方便建系的題目適合向量法，如長(zhǎng)方體，底面容易找到垂直的錐體等（2）方便做“投影”的題目適合用幾何法，如幾何體高線(xiàn)上的點(diǎn)與底面連線(xiàn)等【變式2-1】．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）在正方體中，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、，當(dāng)平面分別截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面所成的銳二面角大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D且截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面與面重合，證明：設(shè)平面與面所成的二面角為，二面角為，當(dāng)時(shí)，記平面截正方體所得截面為面，，則，令，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，顯然平面截正方體所得截面面積最大時(shí)，截面為面，當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得截面為，所以平面截正方體所得截面面積最大時(shí)截面為面，同理平面過(guò)時(shí)，截正方體所得截面面積最大時(shí)截面為面，連接，面與面所成銳二面角為，因?yàn)槊婷?，所以的所成角大小為二面角大小，因?yàn)?，所以面與面所成銳二面角大小為.故選：C．【變式2-2】．（多選）（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖所示，已知點(diǎn)A為圓臺(tái)下底面圓周上一點(diǎn)，S為上底面圓周上一點(diǎn)，且，則（

）A．該圓臺(tái)的體積為B．直線(xiàn)SA與直線(xiàn)所成角最大值為C．該圓臺(tái)有內(nèi)切球，且半徑為D．直線(xiàn)與平面所成角正切值的最大值為【答案】ACD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，則A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，如圖（1），過(guò)作垂直于下底面于點(diǎn)，則，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角即為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角，即為所求，而，由圓的性質(zhì)得，，所以，因?yàn)?，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)上底面半徑為，下底面半徑為，若圓臺(tái)存在內(nèi)切球，則必有軸截面的等腰梯形存在內(nèi)切圓，如圖（2）所示，梯形的上底和下底分別為2，4，高為，易得等腰梯形的腰為，假設(shè)等腰梯形有內(nèi)切圓，由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線(xiàn)長(zhǎng)定理，可得腰長(zhǎng)為，所以圓臺(tái)存在內(nèi)切球，且內(nèi)切球的半徑為，則C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖（3），平面即平面，過(guò)點(diǎn)做交于點(diǎn)，因?yàn)榇怪庇谙碌酌妫谙碌酌?，所以，又，且平面，所以平面，所以直線(xiàn)與平面所成角即為，且.設(shè)，則，所以，其中，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【變式2-3】．【2020年新課標(biāo)2卷理科】如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線(xiàn)B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【解析】【分析】（1）由分別為，的中點(diǎn)，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；（2）連接，先求證四邊形是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系求得，在截取，由（1）平面，可得為與平面所成角，即可求得答案.【詳解】（1）分別為，的中點(diǎn)，，又，，在中，為中點(diǎn)，則，又側(cè)面為矩形，，，，由，平面，平面，又，且平面，平面，平面，又平面，且平面平面，，又平面，平面，平面，平面平面.(2)[方法一]：幾何法如圖，過(guò)O作的平行線(xiàn)分別交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，由于平面，平面，，平面，平面，所以平面平面．又因平面平面，平面平面，所以．因?yàn)?，，，所以面．又因，所以面，所以與平面所成的角為．令，則，由于O為的中心，故．在中，，由勾股定理得．所以．由于，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值也為．[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法因?yàn)槠矫?，平面平面，所以．因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形．由（Ⅰ）知平面，則為平面的垂線(xiàn)．所以在平面的射影為．從而與所成角的正弦值即為所求．在梯形中，設(shè)，過(guò)E作，垂足為G，則．在直角三角形中，．[方法三]：向量法由（Ⅰ）知，平面，則為平面的法向量．因?yàn)槠矫?，平面，且平面平面，所以．由（Ⅰ）知，即四邊形為平行四邊形，則．因?yàn)镺為正的中心，故．由面面平行的性質(zhì)得，所以四邊形為等腰梯形．由P，N為等腰梯形兩底的中點(diǎn)，得，則．設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，，則．所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．[方法四]：基底法不妨設(shè)，則在直角中，．以向量為基底，從而，，．，，則，．所以．由（Ⅰ）知平面，所以向量為平面的法向量．設(shè)直線(xiàn)與平面所成角，則．故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：幾何法的核心在于找到線(xiàn)面角，本題中利用平行關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，構(gòu)造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直線(xiàn)的方向向量，然后利用向量法求解即可；方法四：基底法是立體幾何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其關(guān)鍵之處在于找到平面的法向量和直線(xiàn)的方向向量.【應(yīng)用三】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體中距離的應(yīng)用求解空間中的距離（1）異面直線(xiàn)間的距離：兩條異面直線(xiàn)間的距離也不必尋找公垂線(xiàn)段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算．如圖，設(shè)兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)的方向向量為，這時(shí)分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線(xiàn)的距離．則即兩異面直線(xiàn)間的距離，等于兩異面直線(xiàn)上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線(xiàn)方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線(xiàn)的方向向量模的比值．（2）點(diǎn)到平面的距離為平面外一點(diǎn)（如圖），為平面的法向量，過(guò)作平面的斜線(xiàn)及垂線(xiàn)．（3）、向量法求距離【例3】（2022·福建省高三模擬試卷）在三棱錐中，和都是邊長(zhǎng)為的正三角形，.若為三棱錐外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最大值為_(kāi)________.【答案】【解析】【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，的外心為，的外心為，過(guò)點(diǎn)作面的垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)面的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心，因?yàn)楹投际沁呴L(zhǎng)為的正三角形，可得，又，所以，所以，又因?yàn)?，，所以面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，且，所以四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，所以外接球半徑，到平面的距離，故答案為：.【思維提升】距離問(wèn)題問(wèn)題主要分為點(diǎn)線(xiàn)距離，點(diǎn)面距離以及面面距離。最常考查的是點(diǎn)面距離。對(duì)于點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離可以考慮通過(guò)向量加以解決。對(duì)于點(diǎn)到面的距離，可以從傳統(tǒng)的方法以及向量法。傳統(tǒng)的方法體現(xiàn)在把距離做出來(lái)，若在特殊的體中如圓錐、正棱柱等，做垂線(xiàn)垂足在特殊的位置可以作出距離（定性），然后再三角形中求出。若不好定性則可以考慮運(yùn)用等積法。若建系分別用向量也比較簡(jiǎn)單。線(xiàn)面距和面面距，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距求解．【變式3-1】．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知四棱錐的底面為正方形，底面，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，因?yàn)闉檎叫危业酌?，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，設(shè)，，則，所以，即，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，即直線(xiàn)與平面所成角的最大值為.故選:C【變式3-2】．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）四面體滿(mǎn)足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】四面體滿(mǎn)足，即兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以射線(xiàn)的正方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)?，，則，于是，，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.故選：A【變式3-3】．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？既＃┤鐖D，一個(gè)由四根細(xì)鐵桿、、、組成的支架（、、、按照逆時(shí)針排布），若，一個(gè)半徑為1的球恰好放在支架上與四根細(xì)鐵桿均有接觸，則球心到點(diǎn)的距離是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【詳解】如上圖正四棱錐，為底面中心，為球心，為球體與的切點(diǎn)，又，故各側(cè)面均為等邊三角形，若側(cè)面三角形邊長(zhǎng)為，則，，，顯然△△，故，則.故選：B.【變式3-4】（2023·山西·統(tǒng)考一模）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，.(1)求到平面的距離；(2)線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)法求得點(diǎn)到平面的距離；（2）設(shè)，利用坐標(biāo)法結(jié)合兩平面夾角余弦值列方程，解得即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，為等邊三角形，，又平面平面，平面平面，平面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，即，令，則，又，故到平面的距離；（2）設(shè)，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，又平面的法向量為，于是，化簡(jiǎn)得，又，得，即，故存在點(diǎn)，此時(shí).【應(yīng)用四】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面位置關(guān)系的應(yīng)用線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行與垂直的位置關(guān)系既相互依存又存在，又在一定條件下不僅能縱向轉(zhuǎn)化：線(xiàn)線(xiàn)平行或垂直，線(xiàn)面平行或垂直，面面平行或垂直。而且還可以橫向轉(zhuǎn)化：線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平行，線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的垂直。這些轉(zhuǎn)化關(guān)系在平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理中得到充分體現(xiàn)。平行或垂直關(guān)系的證明大都可以利用上述結(jié)論關(guān)系去證明。如平行關(guān)系：【例4】（2022?浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；【解析】證明：由于，，平面平面，平面，平面，所以為二面角的平面角，則，平面，則．又，則是等邊三角形，則，因?yàn)?，，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，故；【思維提升】證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的位置關(guān)系時(shí)，若通過(guò)轉(zhuǎn)化為異面直線(xiàn)所成的角有困難，可以通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直以及面面垂直的之間的性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化。即線(xiàn)線(xiàn)垂直轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直，線(xiàn)面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直?！咀兪?-1】．（2022?甲卷（理））在四棱錐中，底面，，，，．（1）證明：；【分析】通過(guò)線(xiàn)面垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化【解析】（1）證明：底面，面，，取中點(diǎn)，連接，，，，又，，，為直角三角形，且為斜邊，，又，面，面，面，又面，；【變式4-2】．（2022?北京）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；【分析】通過(guò)面面進(jìn)行轉(zhuǎn)化【解析】證明：取中點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)．，且，四邊形是平行四邊形，故，平面；平面，平面，是中點(diǎn)，是的點(diǎn)，，平面；平面，平面，又，平面平面，又平面，平面；【方法總結(jié)】1．判定面面平行的主要方法：(1)利用面面平行的判定定理；(2)利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)．2.面面平行條件的應(yīng)用：(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線(xiàn)平行；(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行．【變式4-3】．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱內(nèi)接于圓柱，，平面平面．(1)證明：為圓柱底面的直徑；【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，繼而證明平面，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理證明，即可證明結(jié)論；【詳解】（1）證明：連接，在直三棱柱中，，∴四邊形為正方形，∴又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴又平面，平面，∴．又，,平面，∴平面，又平面，∴，∴為圓柱底面的直徑．【應(yīng)用五】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體中體積的應(yīng)用研究簡(jiǎn)單幾何體體積問(wèn)題的過(guò)程中，運(yùn)用等積轉(zhuǎn)化常見(jiàn)的思路為選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透?。體現(xiàn)在轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)法、轉(zhuǎn)化底面、根據(jù)比值進(jìn)行轉(zhuǎn)化。柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱(chēng)幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【例5】【2020年新課標(biāo)3卷理科】已知圓錐的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問(wèn)題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.【思維點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于球的直徑.【變式5-1】．（2022·江蘇如皋·高三期末）已知三棱錐D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝，∠BAC＝，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為_(kāi)________，該三棱錐的外接球的體積為_(kāi)________.【答案】【分析】①，等積法計(jì)算頂點(diǎn)到底面的距離；②求三棱錐外接球球心，然后再求體積.【詳解】①如下圖所示，設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為h，取BC中點(diǎn)E，連AE、DE，因?yàn)锳B=AC=AD=1，，所以BC=1，，，所以②取AB中點(diǎn)F，連CF交AE于G，則G是的外心，過(guò)G作，O為三棱錐外接球的球心，過(guò)O作，所以設(shè)球的半徑為R，則，所以，所以故答案為：①；②【變式5-2】．（2022·廣東·廣州市真光中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）端午佳節(jié)，人們有包粽子和吃粽子的習(xí)俗，粽子主要分為南北兩大派系，地方細(xì)分特色鮮明，且形狀各異，裹蒸粽是廣東肇慶地區(qū)最為出名的粽子，是用當(dāng)?shù)靥赜械亩~?水草包裹糯米?綠豆?豬肉?咸蛋黃等蒸制而成的金字塔形的粽子，現(xiàn)將裹蒸粽看作一個(gè)正四面體，其內(nèi)部的咸蛋黃看作一個(gè)球體，那么，當(dāng)咸蛋黃的體積為時(shí)，該裹蒸粽的高的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】要使正四面體的高最小，當(dāng)且僅當(dāng)球與正四面體相內(nèi)切，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，高為，內(nèi)切球的半徑為，則，解得，如圖正四面體中，令為的中點(diǎn)，為底面三角形的中心，則底面所以，即.故選：A【變式5-3】．．【2022年新高考2卷】如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED,AB=ED=2FB，記三棱錐E?ACD，F(xiàn)?ABC，F(xiàn)?ACE的體積分別為V1A．V3=2VC．V3=V【答案】CD【解析】【分析】直接由體積公式計(jì)算V1,V2，連接BD交AC于點(diǎn)M，連接EM,FM，由【詳解】設(shè)AB=ED=2FB=2a，因?yàn)镋D⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，則V1V2=13?FB?S△ABC=13?a?又ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則ED⊥AC，又ED∩BD=D，ED,BD?平面BDEF，則AC⊥平面BDEF，又BM=DM=12BD=2a，過(guò)F作FG⊥DE于G則EM=2a2+EM2+FM2=EF則V3=VA?EFM+VC?EFM故選：CD.鞏固練習(xí)1、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線(xiàn)折成直二面角，則三棱錐的外接球的球心到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由圖所示，易知三棱錐D-ABC的外接球球心為AC的中點(diǎn)O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC，計(jì)算可得BC=CD=BD=，設(shè)球心到平面的距離為，則.故選：A2、（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考階段練習(xí)）（多選題）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)，AM⊥平面，下面說(shuō)法正確的是（

）A．若N為DD1中點(diǎn)，當(dāng)AM+MN最小時(shí)，CM=B．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C1重合時(shí)，若平面截正方體所得截面圖形的面積越大，則其周長(zhǎng)就越大C．若點(diǎn)M為CC1的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)B，則平面截正方體所得截面圖形的面積為D．直線(xiàn)AB與平面所成角的余弦值的取值范圍為【答案】AC【解析】對(duì)于A，由展開(kāi)圖如下，當(dāng)最小時(shí)，，得，故A正確對(duì)于B，如圖，取各邊中點(diǎn)連接成六邊形，由立體幾何知平面，平面，截面周長(zhǎng)為，面積為，截面的周長(zhǎng)為，面積為，故B錯(cuò)誤對(duì)于C，取中點(diǎn)分別為，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，，，由數(shù)量積可知，而，故平面，截面為等腰梯形，面積為，故C正確對(duì)于D，設(shè)，平面的一個(gè)法向量為故直線(xiàn)AB與平面所成角的正弦值則，故D錯(cuò)誤故選：AC3、【2022年新高考1卷】（多選題）已知正方體ABCD?AA．直線(xiàn)BC1與DA1所成的角為90° B．直線(xiàn)BC．直線(xiàn)BC1與平面BB1D1D所成的角為45°【答案】ABD【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接B1C、BC1，因?yàn)镈A1//B1因?yàn)樗倪呅蜝B1C1C為正方形，則B1C⊥B連接A1C，因?yàn)锳1B1⊥平面BB因?yàn)锽1C⊥BC1，A1又A1C?平面A1連接A1C1，設(shè)A因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C因?yàn)镃1O⊥B1D1，所以∠C1BO為直線(xiàn)B設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則C1O=22，所以，直線(xiàn)BC1與平面BB因?yàn)镃1C⊥