2023年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)痛點(diǎn)問(wèn)題之概率統(tǒng)計(jì)經(jīng)典解答題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)痛點(diǎn)問(wèn)題之概率統(tǒng)計(jì)經(jīng)典解答題

【秒殺總結(jié)】

★我們用三條主線將高中數(shù)學(xué)概率、統(tǒng)計(jì)的有關(guān)概念串聯(lián)起來(lái)：

一是統(tǒng)計(jì)的基本研究過(guò)程:收集數(shù)據(jù)一整理數(shù)據(jù)-分析數(shù)據(jù)一統(tǒng)計(jì)推斷.

收集數(shù)據(jù)整理數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)推斷

三種抽樣方法：五種統(tǒng)計(jì)圖表：兩種數(shù)字特征：三種統(tǒng)計(jì)推斷：

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣頻率分布表，集中趨勢(shì)(眾數(shù)、中用樣本估計(jì)總體

(抽簽法、隨機(jī)法)，頻率分布直方圖，位數(shù)、平均數(shù))，(估計(jì)思想)，

系統(tǒng)抽樣，莖葉圖，散點(diǎn)圖，離散程度(極差、方回歸分析(擬合思想)，

分層抽樣.列聯(lián)表.差、標(biāo)準(zhǔn)差).獨(dú)立性檢驗(yàn)(檢驗(yàn)思想).

二是隨機(jī)事件的基本研究過(guò)程:隨機(jī)事件一事件概率一基本概型.

隨機(jī)事件事件概率基本概型

八種常見(jiàn)事件：三種常見(jiàn)求法：七種概率模型：

隨機(jī)事件，基本事件，用頻率估計(jì)概率，古典概型，幾何概型，

等可能事件,并事件，交事件，利用基本概型的概率公互斥事件概率，對(duì)立事件概率，

互斥事件，對(duì)立事件,相互獨(dú)立式，條件概率,相互獨(dú)立事件概率，

事件.轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率.

三是隨機(jī)變量的基本研究過(guò)程:隨機(jī)變量一概率分布模型一分布列及數(shù)字特征.

隨機(jī)變量概率分布模型分布列及數(shù)字特征

兩類隨機(jī)變量：四種分布模型：三個(gè)問(wèn)題：

離散型隨機(jī)變量，兩點(diǎn)分布,超幾何分布，概率分布列，數(shù)學(xué)期望，方

連續(xù)型隨機(jī)變量.二項(xiàng)分布，正態(tài)分布.差.

【典型例題】

例1.(2023-內(nèi)蒙古赤峰.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=x-ln(ax+1)(aW0,a€H).

(1)若求a的值;

(2)已知某班共有n人,記這n人生日至少有兩人相同的概率為P(n),nW365，將一年看作365天.

(i)求/(t1)的表達(dá)式；

(ii)估計(jì)P(50)的近似值(精確至U().01).

,,2V,i!Ml'.IO

參考數(shù)值：屋而=0.0348687,晨石七0.0304049,-0.00121583,e-Tr-0.000924459.

例2.(2023我?四川成鄢?高三樹稔中學(xué)校考期末)第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在

卡塔爾舉辦.在決賽中，阿根廷隊(duì)通過(guò)點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國(guó)隊(duì)獲得冠軍.名)

(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大,假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、

右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而W

且門將即使方向判斷正確也有春的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球￡也

oFIFAWORLDCUP

大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；GWR

(2)好成績(jī)的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)

練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向

另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第九次傳球之前球在甲腳下的概

率為pn,易知Pi=l,p2=0.

①試證明：｛外一方｝為等比數(shù)列；

②設(shè)第沱次傳球之前球在乙腳下的概率為斗，比較“。與電的大小.

例3.(2023?山西?統(tǒng)考一模)假設(shè)有兩個(gè)密閉的盒子，第一個(gè)盒子里裝有3個(gè)白球2個(gè)紅球，第二個(gè)盒子

里裝有2個(gè)白球1個(gè)紅球,這些小球除顏色外完全相同.

(1)每次從第一個(gè)盒子里隨機(jī)取出一個(gè)球，取出的球不再放回，經(jīng)過(guò)兩次取球,求取出的兩球中有紅

球的條件下，第二次取出的是紅球的概率；

(2)若先從第一個(gè)盒子里隨機(jī)取出一個(gè)球放入第二個(gè)盒子中，搖勻后，再?gòu)牡诙€(gè)盒子里隨機(jī)取出一

個(gè)球，求從第二個(gè)盒子里取出的球是紅球的概率.

例4.(2023秋?浙江?高三校聯(lián)考期末)抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子，其中2雙是一次性筷子，3雙是

非一次性筷子，每次使用筷子時(shí)，從抽屜中隨機(jī)取出1雙，若取出的是一次性筷子，則使用后直接丟

棄，若取出的是非一次性筷子，則使用后經(jīng)過(guò)清洗再次放入抽屜中，求：

(1)在第2次取出的是非一次性筷子的條件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；

(2)取了3次后，取出的一次性筷子的個(gè)數(shù)(雙)的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)取了n伍=2,3,4,…)次后，所有一次性筷子剛好全部取出的概率.

例5.（2023-全國(guó)?方三專題練習(xí)）某公司為了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響，在若干地區(qū)各4投入萬(wàn)元

廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.由于工作人員操作失誤，橫軸

的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從0開始計(jì)數(shù)的.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度；

（2）估計(jì)該公司投入4萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值（以

各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值）：

（3）該公司按照類似的研究方法，測(cè)得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下

表：

廣告投入4（單位:萬(wàn)元）12345

銷售收益孤單位:萬(wàn)元）2327

表中的數(shù)據(jù)顯示，工與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)將（2）的結(jié)果填入空白欄，并計(jì)算夕關(guān)于工的回歸

方程.

夕的跖-nxy

回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為6=V-------------,a=y-bx.

￡力，一nx2

?=1

例6.(2023?全國(guó)?南三專題練習(xí))甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示,其中編

號(hào)為i的方框表示第i場(chǎng)比賽，方框中是進(jìn)行該場(chǎng)比賽的兩名棋手，第i場(chǎng)比賽的勝者稱為“勝者i”,

負(fù)者稱為“負(fù)者i”,第6場(chǎng)為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場(chǎng)比賽獲勝的概率均為:，而乙、丙、丁

相互之間勝負(fù)的可能性相同.

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(1)求乙僅參加兩場(chǎng)比賽且連負(fù)兩場(chǎng)的概率；

(2)求甲獲得冠軍的概率；

(3)求乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對(duì)手是第二次相遇的概率.

例7.(2023卷?浙江杭州?高三淅江看杭州第二中學(xué)校才開學(xué)考誠(chéng))中國(guó)在第75屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上承諾,

將采取更加有力的政策和措施,力爭(zhēng)于2030年之前使二氧化碳的排放達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取206()年之

前實(shí)現(xiàn)碳中和(簡(jiǎn)稱“雙碳目標(biāo)”)，此舉展現(xiàn)了我國(guó)應(yīng)對(duì)氣候變化的堅(jiān)定決心,預(yù)示著中國(guó)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)

和經(jīng)濟(jì)社會(huì)運(yùn)轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進(jìn)我國(guó)產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化.新能源汽車、電動(dòng)汽

車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用.為了解某一地區(qū)電動(dòng)汽車銷售情

況,一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動(dòng)汽車銷量0(單位:萬(wàn)臺(tái))關(guān)于雙年份)的線性回歸

方程為y=4.7工一9459.2,且銷量y的方差為sj=等，年份z的方差為s&=2.

(1)求y與z的相關(guān)系數(shù)r,并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車銷量V與年份工的相關(guān)性強(qiáng)弱；

(2)該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：

性別購(gòu)買非電動(dòng)汽車購(gòu)買電動(dòng)汽車總計(jì)

男性39645

女性301545

總計(jì)692190

依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)買電動(dòng)汽車與車主性別有關(guān);

（3）在購(gòu)買電動(dòng)汽車的車主中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取7人,再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人，記這3

人中，男性的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

①參考數(shù)據(jù)：V5x127=V635七25；

n

x）（y,：—y）

②參考公式：⑴線性回歸方程：g=6c+a,其中5=日〃—,a=y—bx；

￡（為-無(wú)產(chǎn)

t=i

Z（今一石）（然一歹）

（"相關(guān)系數(shù)：/=/「F，若/＞。9,則可判斷g與Z線性相關(guān)較強(qiáng).

（電一歷）2天（僅一。）2

Vt=li=l

n(ad—bcY

(m)z2=，其中?i=a+b+c+d,附表:

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.100.050.0100.001

&2.7063.8416.63510.828

例8.（2023?全國(guó)?南三專題練習(xí)）近期，某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置

了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期優(yōu)惠力度較大，吸引越來(lái)越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交

車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用之表示活動(dòng)推出的天數(shù)，沙表示每天使

用掃碼支付的人次（單位:十人次）,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示：

表1：

X1234567

y611213466101196

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖1所示的散點(diǎn)圖.

參考數(shù)據(jù)：

7100.51

yV

i=li=l

62.141.54253550.123.47

其中劭=1g然，V=

1=1

參考公式：

對(duì)于一組數(shù)據(jù)（孫小）,（如,s）,…，（詼其回歸直線u=a+%的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別

n

犯j—nwu

為8=V----------,a=v—^u.

，喏-rvur

i=i

⑴根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，n=a+b①與y=c?d”（c,d均為大于零的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為

掃碼支付的人次"關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)力的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于c的回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支

付的人次；

例9.（2023-全國(guó)?高三專題練習(xí)）某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)

行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）經(jīng)計(jì)算第（1）問(wèn)中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為5（）,根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次

最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布用樣本平均數(shù)元和標(biāo)準(zhǔn)差s分別作為〃、。的近似值

），現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程XW[250,400]的概率；

（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X?N（〃,尸），則一（7&X<〃+a）七0.6827,WX&〃+2a）之

0.9545,-3（r《X<〃+3cr）、0.9973）

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根

據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上（方格圖上依次標(biāo)有數(shù)字0、1、2、3、……、20）移

動(dòng)，若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”（第19格）,則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券3萬(wàn)元;若遙控車最終停在“微

笑大本營(yíng)”（第20格），則沒(méi)有任何優(yōu)優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是遙控車開始在第

0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動(dòng)一次:若擲出正面,遙控車向前移動(dòng)一格（從到Z+1）;若

擲出反面,遙控車向前移動(dòng)兩格（從R到k+2）,直到遙控車移到“勝利大本營(yíng)”或“微笑大本營(yíng)”時(shí)，

游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移到第九（l&n&19）格的概率為R,試證明｛2-E-｝是等比數(shù)列，并求參與

游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券全額的期望值（精確到0/萬(wàn)元）.

【過(guò)關(guān)III試】

1.(2023-方三樂(lè)時(shí)練習(xí))設(shè)兩名象棋手約定誰(shuí)先贏>l,fc€N)局，誰(shuí)便贏得全部獎(jiǎng)金a元.已知每

局甲贏的概率為p(0Vp<l),乙贏的概率為1—P，且每局比賽相互獨(dú)立.在甲贏了局，乙

贏了n(n<fc)局時(shí)?，比賽意外終止.獎(jiǎng)金該怎么分才合理？請(qǐng)回答下面的問(wèn)題.

(1)規(guī)定如果出現(xiàn)無(wú)人先贏處局而比賽意外終止的情況，那么甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自

贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比進(jìn)行分配.若a=243,%=4,力=2,九=1,p=則甲應(yīng)分得多少獎(jiǎng)金？

(2)記事件A為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去且乙贏得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)k=4,m=2,n=1時(shí)比賽繼續(xù)進(jìn)

行下去且甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率/(p).規(guī)定:若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05,則稱該隨機(jī)事件為小

概率事件,請(qǐng)判斷當(dāng)0>,時(shí)，事件A是否為小概率事件，并說(shuō)明理由.

2.（2023?河北衡水?衡水市第二中學(xué)校才模擬預(yù)測(cè)）某游戲中的角色“突擊者”的攻擊有一段冷卻時(shí)間

（即發(fā)動(dòng)一次攻擊后需經(jīng)過(guò)一段時(shí)間才能再次發(fā)動(dòng)攻擊）.其擁有兩個(gè)技能，技能一是每次發(fā)動(dòng)攻擊

后有4■的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發(fā)動(dòng)，該技能可以連續(xù)觸發(fā),從而可能連續(xù)

多次跳過(guò)冷卻時(shí)間持續(xù)發(fā)動(dòng)攻擊;技能二是每次發(fā)動(dòng)攻擊時(shí)有義的概率使得本次攻擊以及接下來(lái)

的攻擊的傷害全部變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，但是多次觸發(fā)時(shí)效果不可疊加（相當(dāng)于多次觸發(fā)技能二時(shí)僅得

到第一次觸發(fā)帶來(lái)的2倍傷害加成）.每次攻擊發(fā)動(dòng)時(shí)先判定技能二是否觸發(fā)，再判定技能一是否觸

發(fā).發(fā)動(dòng)一次攻擊并連續(xù)多次觸發(fā)技能一而帶來(lái)的連續(xù)攻擊稱為一輪攻擊，造成的總傷害稱為一輪

攻擊的傷害.假設(shè)“突擊者”單次攻擊的傷害為1,技能一和技能二的各次觸發(fā)均彼此獨(dú)立：

（1）當(dāng)“突擊者”發(fā)動(dòng)一輪攻擊時(shí),記事件A為“技能一和技能二的觸發(fā)次數(shù)之和為2”,事件B為“技

能一和技能二各觸發(fā)1次”，求條件概率

（2）設(shè)n是正整數(shù)，“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為2n的概率記為P,?求P,,.

3.(2023-全國(guó)?it三專題練習(xí))現(xiàn)有一種射擊訓(xùn)練，每次訓(xùn)練都是由高射炮向目標(biāo)飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)

炮彈,每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物與否相互獨(dú)立.已知射擊訓(xùn)練有4,6兩種型號(hào)的炮彈，對(duì)于4型號(hào)

炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為漢0<p40.4),且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為

().6,擊中兩彈目標(biāo)飛行物必墜段;對(duì)子3型號(hào)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為g(()VqV

1),且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.4,擊中兩彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.8,擊中三彈目標(biāo)

飛行物必墜毀.

(1)在一次訓(xùn)練中，使用B型號(hào)炮彈，求q滿足什么條件時(shí)，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標(biāo)飛行

物的概率不低于0.936；

(2)若p+q=1,試判斷在一次訓(xùn)練中選用X型號(hào)炮彈還是B型號(hào)炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀的概率

更大？并說(shuō)明理由.

4.(2023?全Bl?it三專題練習(xí))某公司在一種傳染病毒的檢測(cè)試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗(yàn)

試劑品a分為兩類不同劑型上和a2.現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，第一次檢測(cè)時(shí)兩類試劑?和的合格的概

率分別為；和1■，第二次檢測(cè)時(shí)兩類試劑?和電合格的概率分別為/和*已知兩次檢測(cè)過(guò)程相

互獨(dú)立，兩次檢測(cè)均合格,試劑品a才算合格.

(1)設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后兩類試劑0和矽合格的種類數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為''與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)

其家庭成員逐一使用試劑品a進(jìn)行檢測(cè),如果有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性,則檢測(cè)結(jié)束,并確定該家庭為“感

染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為p(0VpVI)且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了

3個(gè)人才確定為“感染高危戶”的概率為.f(p)，若當(dāng)p=p。時(shí),/(〃)最大,求的值.

5.(2023-全國(guó)?高三專題練習(xí))某中學(xué)2022年10月舉行了2022“翱翔杯”秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中有“夾球

跑”和“定點(diǎn)投籃”兩個(gè)項(xiàng)目，某班代表隊(duì)共派出1男(甲同學(xué))2女(乙同學(xué)和丙同學(xué))三人參加這兩

個(gè)項(xiàng)目，其中男生單獨(dú)完成“夾球跑”的概率為0.6,女生單獨(dú)完成“夾球跑”的概率為a(0<aV0.4).

假設(shè)每個(gè)同學(xué)能否完成“夾球跑”互不影響，記這三名同學(xué)能完成“夾球跑”的人數(shù)為3

(1)證明:在的概率分布中，P(§=1)最大.

(2)對(duì)于“定點(diǎn)投籃”項(xiàng)目，比賽規(guī)則如下:該代表隊(duì)先指派一人上場(chǎng)投籃,如果投中，則比賽終止,如

果沒(méi)有投中，則重新指派下一名同學(xué)繼續(xù)投籃，如果三名同學(xué)均未投中，比賽也終止.該班代表隊(duì)的

領(lǐng)隊(duì)了解后發(fā)現(xiàn)，甲、乙、丙三名同學(xué)投籃命中的概率依次為。=P(g=i)(i=l,2,3),每位同學(xué)能否

命中相互獨(dú)立.請(qǐng)幫領(lǐng)隊(duì)分析如何安排三名同學(xué)的出場(chǎng)順序，才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均

值最小？并給出證明.

6.(2023春?河南鄭州?高三鄭州四中校考階段練習(xí))在高考結(jié)束后，程浩同學(xué)回初中母?？赐麛?shù)學(xué)老

師，順便幫老師整理初三年級(jí)學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在整個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取了

200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，將成績(jī)分為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],共6組,

得到如圖所示的頻率分布直方圖，記分?jǐn)?shù)不低于9()分為優(yōu)t頻里

(1)從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，已知這名學(xué)生的分?jǐn)?shù)不低于

70分，問(wèn)這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率；

(2)在樣本中，采取分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)赱70,100]內(nèi)的學(xué)

0.010

生中抽取13名，再?gòu)倪@13名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，記這3名學(xué)

0.005

生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

5060708090100分?jǐn)?shù)

7.(2023-全國(guó)?三專題練習(xí))為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素

是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：

性別鍛煉

不經(jīng)常經(jīng)常

女生4060

男生2080

(1)依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；

(2)從這200人中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉,求他是男生的概率；

(3)為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，集團(tuán)設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神,塑造健康體魄”的主題活動(dòng)，在該

活動(dòng)的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者

都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人.求第71次傳球后球在甲手中的概率.

附.2=_______n(ad-bc)?________

,,,(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0100.0050.001

7.879

xa6.63510.828

8.（2023-全國(guó)?高三專題練習(xí)）汽車尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上升的重要因素.我國(guó)近幾年著

重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)

對(duì)某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：

年份t20172018201920202021

年份代碼±3=1-2016)12345

銷量夕/萬(wàn)輛1012172026

（1）統(tǒng)計(jì)表明銷量y與年份代碼/有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,利用計(jì)算器求y關(guān)于工的線性回歸方程，

并預(yù)測(cè)該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破5（）萬(wàn)輛；

（2）為了解購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)隨機(jī)調(diào)查

了該地區(qū)200位購(gòu)車車主的購(gòu)車情況作為樣本，其中男性車主中購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車的有仞名，購(gòu)置

新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車.

①若位=95,將樣本中購(gòu)置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計(jì)總體,試用⑴中的線性回

歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年購(gòu)置新能源汽車的女性車主的人數(shù)（假設(shè)每位車主只購(gòu)買一輛汽車，結(jié)果

精確到千人）；

②設(shè)男性車主中購(gòu)置新能源汽車的概率為p,將樣本中的頻率視為概率,從被調(diào)查的所有男性車主中

隨機(jī)抽取5人,記恰有3人購(gòu)置新能源汽車的概率為/⑺），求當(dāng)僅為何值時(shí)，〃p）最大.

9.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起同一年級(jí)兩個(gè)級(jí)部A、

3進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比賽，由y1部、B部爭(zhēng)奪最后的綜合冠軍.決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三

局兩勝制，即先贏兩局的級(jí)部獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束.若4部、B部中的一方能連續(xù)兩天

勝利，則其為最終冠軍；若前兩天4部、5部各贏一天,則第三天只進(jìn)行一局附加賽,該附加賽的獲勝

方為最終冠軍.設(shè)每局比賽A部獲勝的概率為p(0VpV1),每局比賽的結(jié)果沒(méi)有平局且結(jié)果互相

獨(dú)立.

(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X,求￡(X),并求當(dāng)E(X)取最大值時(shí)p的值；

(2)當(dāng)p=時(shí)，記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為匕求P(Y45).

10.(2023-全國(guó)?南三專題練習(xí))學(xué)?；@球隊(duì)30名同學(xué)按照1,2,…，30號(hào)站成一列做傳球投籃練習(xí)，籃

球首先由1號(hào)傳出，訓(xùn)練規(guī)則要求:第小(14m&28,mCN)號(hào)同學(xué)得到球后傳給館+1號(hào)同學(xué)的概

率為4,傳給m+2號(hào)同學(xué)的概率為4，直到傳到第29號(hào)(投籃練習(xí))或第30號(hào)(投籃練習(xí))時(shí),認(rèn)

OO

定一輪訓(xùn)練結(jié)束，已知29號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為1,30號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為設(shè)傳球傳到

JI

第n(230,neN)號(hào)的概率為

⑴求R的值；

(2)證明：{8+LR}(2<n<28)是等比數(shù)列；

(3)比較29號(hào)和30號(hào)投籃命中的概率大小.

H.(2023秋?浙江杭州?南三淅江省犧戶中學(xué)期末)核電站某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的工作需要工作人員去

完成，每次只派一人,每人只派一次，工作時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)15分鐘，若某人15分鐘內(nèi)不能完成該工作，則

撤出，再派下一人，現(xiàn)有小胡、小邱、小鄧三人可派，且他們各自完成工作的概率分別為,也，蟲.假

設(shè)初，g,小互不相等，且假定三人能否完成工作是相互獨(dú)立.

(1)任務(wù)能被完成的概率是否與三個(gè)人被派出的先后順序有關(guān)？試說(shuō)明理由；

(2)若按某指定順序派出，這三人各自能完成任務(wù)的概率依次為5,桃，公,其中彷，生，公是功,P2,03的

一個(gè)排列.

①求所需派出人員數(shù)目X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

②假定1＞“＞?。究?為使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小，應(yīng)以怎么樣的順序派出？

12.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))為考查某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn),得到如下丟失數(shù)據(jù)的

列聯(lián)表：

患病未患病總計(jì)

沒(méi)服用藥203050

服用藥Xy50

總計(jì)MN100

設(shè)從沒(méi)服用藥的動(dòng)物中任取2只，未患病數(shù)為生從服用藥物的動(dòng)物中任取2只，未患病數(shù)為人工作

人員曾計(jì)算過(guò)P患=0)=筆=0)

⑴求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)x,y,M,N的值：

(2)求￡與〃的均值(期望)并比較大小,請(qǐng)解釋所得結(jié)論的實(shí)際含義：

(3)能夠以99%的把握認(rèn)為藥物有效嗎？

n{ad—bc)2

(參考公式，其中n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>卜)0.100.050.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）隨著時(shí)代的不斷發(fā)展，社會(huì)對(duì)高素質(zhì)人才的需求不斷擴(kuò)大，我國(guó)本科畢

業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，2020年的考研人數(shù)是341萬(wàn)人，2021年考研人數(shù)是377萬(wàn)人.某省統(tǒng)

計(jì)了該省其中四所大學(xué)2022年的畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位:千人），得到如下表格：

大學(xué)A大學(xué)B大學(xué)。大學(xué)。大學(xué)

2022年畢業(yè)人數(shù)H千人）7654

2022年考研人數(shù)y（千人）0.50.40.30.2

⑴已知"與%具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求：y關(guān)于C的線性回歸方程y=bx+a；

（2）假設(shè)該省對(duì)選擇考研的大學(xué)生每人發(fā)放0.5萬(wàn)元的補(bǔ)貼.

①若該省大學(xué)2022年畢業(yè)生人數(shù)為8千人，估計(jì)該省要發(fā)放補(bǔ)貼的總?cè)~：

②若人大學(xué)的畢業(yè)生中小浙、小江選擇考研的概率分別為p,3p-l,該省對(duì)小浙、小江兩人的考研補(bǔ)

貼總金額的期望不超過(guò)075萬(wàn)元，求p的取值范圍.

_n.__n_

Z（g一元）（僅一切ZXiVi-T畫

參考公式：B------------=V----------,a=y-bx.

22（x,-x）2-nx2

i=lt=l

14.(2023-全國(guó)?高三專題練習(xí))隨機(jī)變量的概念是俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫在十九世紀(jì)中葉建立和提倡使

用的.切比雪夫在數(shù)論、概率論、函數(shù)逼近論、積分學(xué)等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名

的離散型切比雪夫不等式:設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，則P(|X—學(xué)，其中才為任意

A

大于0的實(shí)數(shù).切比雪夫不等式可以使人們?cè)陔S機(jī)變量X的分布未知的情況下，對(duì)事件IX—川W/1

的概率作出估計(jì).

(1)證明離散型切比雪夫不等式；

(2)應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問(wèn)題：已知正整數(shù)n>5.在一次抽獎(jiǎng)游戲中，有n個(gè)不透明的箱子依次

編號(hào)為1,2,…山,編號(hào)為i(lWiVn)的箱子中裝有編號(hào)為0,1,…,i的i+1個(gè)大小、質(zhì)地均相同的小

球.主持人邀請(qǐng)n位嘉賓從每個(gè)箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，記從編號(hào)為i的箱子中抽取的小球號(hào)碼為

X，并記X=f圣.對(duì)任意的人是否總能保證P(XWO.E)>0.01(假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多)？

1=1

并證明你的結(jié)論.

附:可能用到的公式(數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)):對(duì)于離散型隨機(jī)變量x,x,x?,…,X.滿足x=fx,,

1=1

則有E(X)=fE(X,).

i=l

15.(2023.全國(guó)?南三壽題練習(xí))甲、乙兩人參加一個(gè)游戲，該游戲設(shè)有獎(jiǎng)金25G元,誰(shuí)先贏滿5局，誰(shuí)便

贏得全部的獎(jiǎng)金，已知每局游戲乙贏的概率為漢Ovpv1),甲贏的概率為1-0每局游戲相互獨(dú)立,

在乙贏了3局甲贏了1局的情況下,游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障,游戲被迫終止，則獎(jiǎng)金應(yīng)該如何分配才為

合理？有專家提出如下的獎(jiǎng)金分配方案:如果出現(xiàn)無(wú)人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲、乙按

照游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比乙分配獎(jiǎng)金.

(1)若p，則乙應(yīng)該得多少獎(jiǎng)金；

(2)記事件A為“游戲繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)游戲繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎(jiǎng)金的

概率/(A),并判斷當(dāng)目二得時(shí)，事件4是否為小概率事件，并說(shuō)明理由.(注:若隨機(jī)事件發(fā)生的概率

小于0.05,則稱隨機(jī)事件為小概率事件)

16.(2023-全國(guó)?高三專題練習(xí))某大型養(yǎng)雞場(chǎng)流行一種傳染病,雞的感染率為p.

(1)若p=0.9,從中隨機(jī)取出2只雞，記取到病雞的只數(shù)為&求￡的概率分布及數(shù)學(xué)期望；

(2)對(duì)該養(yǎng)雞場(chǎng)所有雞進(jìn)行抽血化驗(yàn)，以期查出所有病雞.方案如下:按每eN*)只雞一組分組,

并把同組的k只雞的血混合在一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)有問(wèn)題，再分別對(duì)該組卜只雞逐只化驗(yàn).設(shè)每只雞的

化驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量〃，當(dāng)且僅當(dāng)248時(shí)，〃的數(shù)學(xué)期望E⑺V1,求p的取值范圍

17.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高

一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了50()名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)

生的日平均閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))，并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],

(12,14],(14,16],(16,18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，日平均閱讀

時(shí)間在(10,12]內(nèi)的概率；

(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間

和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況,從日平均閱讀

時(shí)間在(12,14],(14,16],(16,18]三組內(nèi)的學(xué)生

中,采用分層抽樣的方法抽取了10人,現(xiàn)從這10

人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在(14,16]

024681012141618日平均閱讀時(shí)間/小時(shí)

內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)以樣本的頻率估計(jì)概率,從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生

中恰有足名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在(8,12]內(nèi)的概率，其中k=0,1,2,…，10.當(dāng)P(fc)最大時(shí),寫出

k的值.(只需寫出結(jié)論)

18.(2023-全國(guó)?高三專題練習(xí))某學(xué)校開展投籃活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則是:每名選手投籃n次(n>3,neN*

)，每次投籃，若投進(jìn)，則下一次站在三分線處投籃；若沒(méi)有投進(jìn)，則下一次站在兩分線處投籃.規(guī)定

每名選手第一次站在兩分線處投籃.站在兩分線處投進(jìn)得2分,否則得。分;站在三分線處投進(jìn)得3

分，否則得0分.已知小明站在兩分線處投籃投進(jìn)的概率為07,站在三分線處投籃投進(jìn)的概率為

0.5,且每次投籃相互獨(dú)立.

(1)記小明前2次投籃累計(jì)得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)記第k次投籃時(shí)，小明站在三分線處投籃的概率為痣，k=1,2,…,求曲的表達(dá)式.

19.(2023-全國(guó)?高三專題練習(xí))2022年4月23日是第27個(gè)“世界讀書日”，某校組織“讀書使青春展翅，

知識(shí)讓生命飛翔”主題知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)定參賽同學(xué)每答對(duì)一題得2分,答錯(cuò)得1分，不限制答題次數(shù).已

知小明能正確回答每題的概率都為且每次回答問(wèn)題是相互獨(dú)立的，記小明得幾分的概率為

p(n)，nEN*.

⑴求p(2),0(3)的值；

⑵求p(n).

20.（2023秋?湖南長(zhǎng)沙?商三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)的答題競(jìng)賽包括三項(xiàng)活動(dòng),

分別為“四人賽”“雙人對(duì)戰(zhàn)”和“挑戰(zhàn)答題”.在一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，每局第一名積3分,第二、

三名各積2分，第四名積1分,每局比賽相互獨(dú)立.在一天內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，每局比賽有積分,

獲勝者得2分，失敗者得1分，每局比賽相互獨(dú)立.已知甲參加“四人賽”活動(dòng)，每局比賽獲得第一名、

第二名的概率均為獲得第四名的概率為《；甲參加"雙人對(duì)戰(zhàn)''活動(dòng)，每局比賽獲勝的概率為:.

（1）記甲在一天中參加“四人賽”和“雙人對(duì)戰(zhàn)”兩項(xiàng)活動(dòng)（兩項(xiàng)活動(dòng)均只參加一局）的總得分為X,

求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

⑵“挑戰(zhàn)答題”比賽規(guī)則如下:每位參賽者每次連續(xù)回答5道題，在答對(duì)的情況下可以持續(xù)答題，若

第一次答錯(cuò)時(shí)，答題結(jié)束,積分為0分，只有全部答對(duì)5道題可以獲得5個(gè)積分.某市某部門為了吸引

更多職工參與答題，設(shè)置了一個(gè)“得積分進(jìn)階”活動(dòng)，從1階到九10）階，規(guī)定每輪答題獲得5個(gè)

積分進(jìn)2階,沒(méi)有獲得積分進(jìn)1階，按照獲得的階級(jí)給予相應(yīng)的獎(jiǎng)品,記乙每次獲得5個(gè)積分的概率

互不影響，均為得,記乙進(jìn)到n階的概率為,求p12.

21.(2023-全國(guó)?高三專題練習(xí))2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名

高山滑雪愛(ài)好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼賽.約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)

行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝:若比賽三場(chǎng)還沒(méi)有決出勝

負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束.已知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù),且甲與乙比賽，乙贏概率

為4；甲與丙比賽,丙贏的概率為P，其中1Vp

(1)若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽.請(qǐng)分別計(jì)算兩種

安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率;若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問(wèn):業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)

行比賽？

(2)為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì),賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬(wàn)元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金1.5萬(wàn)元；

若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金L8萬(wàn)元.在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了⑴中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽

事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬(wàn)元，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)的取值范圍.

22.(2023春?史慶?南三統(tǒng)考開學(xué)考試)某企業(yè)從生產(chǎn)的一批零件中抽取100件產(chǎn)品作為樣本,檢測(cè)其

質(zhì)量指標(biāo)值小(其中：1()()400)，得到頻率分布直方圖，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級(jí)如表所示：

質(zhì)量指標(biāo)值150&mV1004SV150或350&館

m350<400

等級(jí)A級(jí)B級(jí)

(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的(50%分位

數(shù)；

(2)從樣本的B級(jí)零件中隨機(jī)抽3件,記其中質(zhì)量指標(biāo)值在

[350,400]的零件的件數(shù)為異求《的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)該企業(yè)為節(jié)省檢測(cè)成本，采用混裝的方式將所有的零件按5()()個(gè)一箱包裝，已知一個(gè)月級(jí)零件的

利潤(rùn)是10元，一個(gè)4級(jí)零件的利潤(rùn)是5元，以樣本分布的頻率作為總體分布的概率，試估計(jì)每箱零件

的利潤(rùn).

痛點(diǎn)問(wèn)題之概率統(tǒng)計(jì)經(jīng)典解答題

【秒殺總結(jié)】

★我們用三條主線將高中數(shù)學(xué)概率、統(tǒng)計(jì)的有關(guān)概念串聯(lián)起來(lái)：

一是統(tǒng)計(jì)的基本研究過(guò)程：收集數(shù)據(jù)一整理數(shù)據(jù)-分析數(shù)據(jù)一統(tǒng)計(jì)推斷.

收集數(shù)據(jù)整理數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)推斷

三種抽樣方法：五種統(tǒng)計(jì)圖表：兩種數(shù)字特征：三種統(tǒng)計(jì)推斷：

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣頻率分布表，集中趨勢(shì)(眾數(shù)、中用樣本估計(jì)總體

(抽簽法、隨機(jī)法)，頻率分布直方圖，位數(shù)、平均數(shù))，(估計(jì)思想)，

系統(tǒng)抽樣，莖葉圖，散點(diǎn)圖，離散程度(極差、方回歸分析(擬合思想)，

分層抽樣.列聯(lián)表.差、標(biāo)準(zhǔn)差).獨(dú)立性檢驗(yàn)(檢驗(yàn)思想).

二是隨機(jī)事件的基本研究過(guò)程:隨機(jī)事件一事件概率一基本概型.

隨機(jī)事件事件概率基本概型

八種常見(jiàn)事件：三種常見(jiàn)求法：七種概率模型：

隨機(jī)事件，基本事件，用頻率估計(jì)概率，古典概型，幾何概型，

等可能事件,并事件，交事件，利用基本概型的概率公互斥事件概率，對(duì)立事件概率，

互斥事件，對(duì)立事件,相互獨(dú)立式，條件概率,相互獨(dú)立事件概率，

事件.轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率.

三是隨機(jī)變量的基本研究過(guò)程:隨機(jī)變量一概率分布模型一分布列及數(shù)字特征.

隨機(jī)變量概率分布模型分布列及數(shù)字特征

兩類隨機(jī)變量：四種分布模型：三個(gè)問(wèn)題：

離散型隨機(jī)變量，兩點(diǎn)分布,超幾何分布，概率分布列，數(shù)學(xué)期望，方

連續(xù)型隨機(jī)變量.二項(xiàng)分布，正態(tài)分布.差.

【典型例題】

例1.(2023-內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考模擬fl測(cè))已知函數(shù)/(2)=x-ln(ax+1)(aW(),a€H).

⑴若/3)20,求a的值;

(2)已知某班共有n人,記這n人生日至少有兩人相同的概率為P(n),nW365，將一年看作365天.

(i)求/(t1)的表達(dá)式；

(ii)估計(jì)P(50)的近似值(精確至U0.01).

,,,,2V,i!Ml'.IO

參考數(shù)值：e下?0.0348687,屋司70.0304049,-0.00121583,e-Tr-0.000924459.

【解析】⑴由題意得，當(dāng)a>0時(shí)，/3)的定義域?yàn)?一!，+8)；當(dāng)a<0時(shí)，/㈤的定義域?yàn)?一8,—￡),

又/(o)=(),且f3)又o,所以心=o是/3)的極小值點(diǎn)，故/'(o)=o.

而于是l-a=0,解得a=l.

下面證明當(dāng)a=l時(shí)，/(rr)>0.

當(dāng)a=1時(shí),/(c)=.-r-ln(x+1),/'(z)=1-.；]=Ui,n>-1,

所以當(dāng)rr>0時(shí)，/'(工)>0,/(2：)在(0,+8)單調(diào)遞增；

當(dāng)一1cHV0時(shí)J'(z)<0,f(x)在(-1,0)單調(diào)遞減,

所以/(工)>/(0)=0,即a=l符合題意.

綜上,a=1.

365x364x363x-x(365-n+1)

(2)(i)由于"人生日都不相同的概率為

365”

365x364X363x-x(366-n)

故n人生日至少有兩人相同的概率為P(n)=1-

365”

(ii)由(1)可得當(dāng)rr>—1時(shí)，工一ln(z+1)>0,即ln(l+x)<a;,當(dāng)且僅當(dāng)z=0時(shí)取等號(hào),

由(i)得

記力=(一+…(—噩)，

則Int=ln(l-套)+ln(l-+…+足(1-溫)

__1____2__49=1+2+…+49=49x50=245

—醞―W365-365-2x365---7T，

245245

即CVe-H,由參考數(shù)值得■g0.0348687,

于是P(50)=1->1-0.0348687=0.9651313,故P(50)=0.97.

例2.(2023秋?四川成都?方三樹檐中學(xué)?？计谀?第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在

卡塔爾舉辦.在決賽中，阿根廷隊(duì)通過(guò)點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國(guó)隊(duì)獲得冠軍.

(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、

右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而

且門將即使方向判斷正確也有系的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球

OFIFAWORLDCUP

大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；Q/W

(2)好成績(jī)的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)

練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向

另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第八次傳球之前球在甲腳下的概

率為叩，易知Pl=1邛2=。?

①試證明：上一5｝為等比數(shù)列；

②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較pw與qw的大小.

【解析】(1)方法一：X的所有可能取值為0,1,2,3,

在一次撲球中，撲到點(diǎn)球的概率P=[x

JJ?

所以P(X=0)=或借):爵,P(X=1)=竭?借)匕粽,

P(X=2)=C?.(5x,=色,P(x=3)=c；(t丫=忐，

所以X的分布列如下：

X0123

P24

尸(丫、=192241243=1

E(X)-729*1+729*~+7293-729-3

方法二:依題意可得，門將每次可以撲到點(diǎn)球的概率為p=Jx[■=],

JJJ

門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0,1,2,3,易知X?B(3,。),

所以P(X=k)=5x(g)x(―),A;=0,l,2,3,

故X的分布列為：

X0123

P5126481

729243243729

所以X的期望E(X)=3x[=q.

(2)①第n次傳球之前球在甲腳下的概率為p”，

則當(dāng)打，2時(shí)，第九一1次傳球之前球在甲腳下的概率為p,i,