備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義第2講 函數(shù)與方程思想在解析幾何中（選填）的應(yīng)用

第2講函數(shù)與方程思想在解析幾何中（選填）的應(yīng)用函數(shù)的思想就是運用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)。運用函數(shù)的圖像性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題，測試問題，獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識?；蚝瘮?shù)觀點觀察分析解決問題。方程思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構(gòu)造方程來分析數(shù)學(xué)變量問的等量關(guān)系，通過解方程（組），或運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得以解決。孰練運用方程思想解決數(shù)學(xué)問題是高中階段重要的數(shù)學(xué)能力之一，也是歷年高考的重點。函數(shù)與方程思想，簡單的說，就是學(xué)會用函數(shù)和變量來思考，學(xué)會轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系。對函數(shù)和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函數(shù)和方程思想指導(dǎo)解題？一般情況下，凡是涉及到未知數(shù)，未知數(shù)問題都可以都可能用到函數(shù)與方程的思想。函數(shù)與方程思想方法的考察一直是高考的重點內(nèi)容之一。也是圓錐曲線中體現(xiàn)最多的一種思想方法。無論是選填還是解答題都是必考查的問題?！緫?yīng)用一】函數(shù)與方程思想在研究圓中的應(yīng)用與圓有關(guān)的知識點：圓的方程，包括標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方程圓的問題，畫圖是重點，圓的切線，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系是?？贾R點；直線與圓相切常用結(jié)論：圓心到直線距離等于半徑；直線與圓相交，弦長兩圓相交，公共弦方程，用兩圓方程作差，得到的就是公共弦方程；（6）與圓有關(guān)的最值問題，圓心是核心；【例1.1】【2022年全國乙卷】過四點(0,0),(4,0),(?1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為____________．【思維提升】圓中的函數(shù)與方程思想主要就是體現(xiàn)在設(shè)圓的半徑或者圓心以及圓的一般是所涉及的參數(shù)，根據(jù)題目中給出的條件建立方程或者方程組。分別解出方程或者方程組?！咀兪?.1】（2023年全國新高考Ⅱ卷）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值______．【變式1.2】（2023年全國新高考Ⅱ卷）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（）．A. B. C. D.【變式1.3】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）寫出與圓和都相切的一條直線方程____________．【應(yīng)用二】函數(shù)與方程思想在研究圓錐曲線的基本量的問題一、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2y2a2+x2圖形性質(zhì)范圍-a≤x≤a;-b≤y≤b-b≤x≤b;-a≤y≤a對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸;對稱中心:原點頂點坐標(biāo)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a;

短軸B1B2的長為2b

焦距|F1F2|=2c

離心率e=ca∈a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2

二、拋物線的定義拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點O(0,0)

對稱軸直線y=0直線x=0焦點Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2離心率e=1準(zhǔn)線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦半徑(其P(x0,y0))|PF|=x0+p|PF|=-x0+p|PF|=y0+p|PF|=-y0+p（1）雙曲線點集:.（2）橢圓點集.（3）等軸雙曲線（，）當(dāng)時稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；（4）雙曲線與漸近線的關(guān)系①若雙曲線方程為漸近線方程：②若雙曲線方程為（，）漸近線方程：③若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，④若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）【例2.1】【2022年全國甲卷】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為13，AA．x218+y216=1 B．【例2.2】【2021年新高考2卷】拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．4【例2.3】【2020年新課標(biāo)3卷理科】設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（

）A．1 B．2 C．4 D．8【思維提升】橢圓、雙曲線中涉及的基本量為a,b,c;拋物線中涉及到p等基本量。根據(jù)題目所給的條件分別建立方程或者方程組。【變式2.1】（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點為，準(zhǔn)線為，為上一點，，垂足為，與軸交點為，若，且的面積為，則的方程為（

）A． B． C． D．【變式2.2】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）2022年神舟接力騰飛，中國空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹.太空中飛船與空間站的對接，需要經(jīng)過多次變軌.某飛船升空后的初始運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，其遠(yuǎn)地點（長軸端點中離地面最遠(yuǎn)的點）距地面，近地點（長軸端點中離地面最近的點）距地面，地球的半徑為，則該橢圓的短軸長為（

）A． B．C． D．【變式2.3】（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┲本€與橢圓(m>0)有且僅有一個公共點P，則m＝_______，點P的坐標(biāo)是________.【應(yīng)用三】函數(shù)與方程思想在研究圓錐曲線的離心率的問題圓錐曲線中的離心率是這幾年高考的熱點，常考查離心率的值和范圍等問題?！纠?.1】（2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)全國Ⅰ卷））已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為________．【例3.2】【2021年乙卷理科】設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【思維提升】求離心率的值關(guān)鍵是找到等式關(guān)系，解出a與c的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率。常見的等式關(guān)系主要有：1、題目中給出等式關(guān)系；2、通過幾何關(guān)系如垂直或者夾角的關(guān)系得出等式關(guān)系；3、挖掘題目中的等式關(guān)系。體現(xiàn)方程的思想。求離心率的值關(guān)鍵是找到不等關(guān)系，解出a與c的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率的范圍。常見的等式關(guān)系主要有：1、若橢圓上的點，則根據(jù)范圍分布找到橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的范圍；2、若是橢圓上的點，則研究此點到焦點的范圍；要特別注意離心率的范圍。此類問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，求函數(shù)的最值問題【變式3.1】．【2022年全國甲卷】橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在A．32 B．22 C．12【變式3.2】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，點P，Q在橢圓C上，若，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【變式3.3】（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知，分別為橢圓的左右焦點，P是橢圓上一點，，，則橢圓離心率的取值范圍為______．【應(yīng)用四】函數(shù)與方程思想在研究圓錐曲線最值的問題平面解析幾何是高考解答題必考題型之一，常考橢圓和拋物線，第一問主要考查圓錐曲線方程；第二問考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常涉及到面積問題，定值，定點，定直線問題；一般以壓軸題出現(xiàn)；【例4】（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點，向圓作兩條切線和，切點分別為，，則的取值范圍是______．【思維提升】圓錐曲線中的最值及范圍問題，則是通過建立對于的目標(biāo)函數(shù)，求這個函數(shù)的最值問題。若函數(shù)是一元二次函數(shù)，根據(jù)具體的范圍求最值，若不是一元二次函數(shù)則可能用到基本不等式或者求導(dǎo)，求最值或者范圍。【變式4.1】【2021年乙卷文科】設(shè)B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【變式4.2】（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，過焦點的直線l與橢圓C相交于兩點，橢圓C在兩點處的切線交于點P，則點P的橫坐標(biāo)為______，若的垂心為點H，則的最小值是______．【變式4.3】（多選）（2023·山西運城·統(tǒng)考三模）已知點是橢圓上的動點，點且，則|PQ|最小時，m的值可能是（

）A．-1 B． C．a(chǎn) D．3a鞏固練習(xí)1、（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）已知拋物線，點在上，直線與坐標(biāo)軸交于兩點，若面積的最小值為1，則（

）A．1 B． C．1或 D．或2、【2019年新課標(biāo)1卷理科】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為A． B． C． D．3、【2020年新課標(biāo)1卷理科】已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．4、（2022·江蘇如皋·高三期末）已知雙曲線，過左焦點F作一條漸近線的垂線，記垂足為P，點Q在雙曲線上，且滿，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．25、（2023·江蘇南通·三模）拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，以為直徑的圓交軸于兩點，為坐標(biāo)原點，則的內(nèi)切圓直徑最小值為(

).A． B． C． D．6、（2022·湖南常德·高三期末）已知點M的坐標(biāo)為（2，0），AB是圓O：的一條直徑，則______．7、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知雙曲線E：的左、右焦點分別為、，若E上存在點P，滿足，（O為坐標(biāo)原點），且的內(nèi)切圓的半徑等于a，則E的離心率為____________．8、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）已知直線與圓相離，則整數(shù)的一個取值可以是______．9、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃┕畔ＥD數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點P滿足，設(shè)點P的軌跡為圓M，點M為圓心，若直線與圓M相交于D，G兩點，且，則____________．10、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）已知直線與橢圓交于兩點，線段中點在直線上，且線段的垂直平分線交軸于點，則橢圓的離心率是__________.第2講函數(shù)與方程思想在解析幾何中（選填）的應(yīng)用函數(shù)的思想就是運用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)。運用函數(shù)的圖像性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題，測試問題，獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識?；蚝瘮?shù)觀點觀察分析解決問題。方程思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構(gòu)造方程來分析數(shù)學(xué)變量問的等量關(guān)系，通過解方程（組），或運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得以解決。孰練運用方程思想解決數(shù)學(xué)問題是高中階段重要的數(shù)學(xué)能力之一，也是歷年高考的重點。函數(shù)與方程思想，簡單的說，就是學(xué)會用函數(shù)和變量來思考，學(xué)會轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系。對函數(shù)和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函數(shù)和方程思想指導(dǎo)解題？一般情況下，凡是涉及到未知數(shù)，未知數(shù)問題都可以都可能用到函數(shù)與方程的思想。函數(shù)與方程思想方法的考察一直是高考的重點內(nèi)容之一。也是圓錐曲線中體現(xiàn)最多的一種思想方法。無論是選填還是解答題都是必考查的問題?！緫?yīng)用一】函數(shù)與方程思想在研究圓中的應(yīng)用與圓有關(guān)的知識點：圓的方程，包括標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方程圓的問題，畫圖是重點，圓的切線，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系是常考知識點；直線與圓相切常用結(jié)論：圓心到直線距離等于半徑；直線與圓相交，弦長兩圓相交，公共弦方程，用兩圓方程作差，得到的就是公共弦方程；（6）與圓有關(guān)的最值問題，圓心是核心；【例1.1】【2022年全國乙卷】過四點(0,0),(4,0),(?1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為____________．【答案】x?22+y?32=13或x?2【解析】【分析】設(shè)圓的方程為x2【詳解】解：依題意設(shè)圓的方程為x2若過0,0，4,0，?1,1，則F=016+4D+F=01+1?D+E+F=0，解得所以圓的方程為x2+y若過0,0，4,0，4,2，則F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得所以圓的方程為x2+y若過0,0，4,2，?1,1，則F=01+1?D+E+F=016+4+4D+2E+F=0，解得所以圓的方程為x2+y若過?1,1，4,0，4,2，則1+1?D+E+F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得所以圓的方程為x2+y故答案為：x?22+y?32=13或x?2【思維提升】圓中的函數(shù)與方程思想主要就是體現(xiàn)在設(shè)圓的半徑或者圓心以及圓的一般是所涉及的參數(shù)，根據(jù)題目中給出的條件建立方程或者方程組。分別解出方程或者方程組。【變式1.1】（2023年全國新高考Ⅱ卷）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值______．【答案】（中任意一個皆可以）【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長，以及點到直線的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【詳解】設(shè)點到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個皆可以）【變式1.2】（2023年全國新高考Ⅱ卷）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因為直線與橢圓相交于點，則，解得，設(shè)到距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.【變式1.3】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）寫出與圓和都相切的一條直線方程____________．【答案】或中任何一個答案均可【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，所以兩圓外離，由兩圓的圓心都在軸上，則公切線的斜率一定存在，設(shè)公切線方程為，即，則有，解得或或或所以公切線方程為或.故答案為：.（答案不唯一，寫其它三條均可）【應(yīng)用二】函數(shù)與方程思想在研究圓錐曲線的基本量的問題一、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2y2a2+x2圖形性質(zhì)范圍-a≤x≤a;-b≤y≤b-b≤x≤b;-a≤y≤a對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸;對稱中心:原點頂點坐標(biāo)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a;

短軸B1B2的長為2b

焦距|F1F2|=2c

離心率e=ca∈a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2

二、拋物線的定義拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點O(0,0)

對稱軸直線y=0直線x=0焦點Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2離心率e=1準(zhǔn)線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦半徑(其P(x0,y0))|PF|=x0+p|PF|=-x0+p|PF|=y0+p|PF|=-y0+p（1）雙曲線點集:.（2）橢圓點集.（3）等軸雙曲線（，）當(dāng)時稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；（4）雙曲線與漸近線的關(guān)系①若雙曲線方程為漸近線方程：②若雙曲線方程為（，）漸近線方程：③若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，④若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）【例2.1】【2022年全國甲卷】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為13，AA．x218+y216=1 B．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)離心率及BA1?【詳解】解：因為離心率e=ca=1?bA1,A2分別為B為上頂點，所以B(0,b).所以BA1所以?a2+b2故橢圓的方程為x2故選：B.【例2.2】【2021年新高考2卷】拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】【分析】首先確定拋物線的焦點坐標(biāo)，然后結(jié)合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.【例2.3】【2020年新課標(biāo)3卷理科】設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.【詳解】，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選：A.【思維提升】橢圓、雙曲線中涉及的基本量為a,b,c;拋物線中涉及到p等基本量。根據(jù)題目所給的條件分別建立方程或者方程組。【變式2.1】（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點為，準(zhǔn)線為，為上一點，，垂足為，與軸交點為，若，且的面積為，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由拋物線定義知，所以為等邊三角形，為的中點，所以，，的面積，所以的方程為.故選：A.【變式2.2】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）2022年神舟接力騰飛，中國空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹.太空中飛船與空間站的對接，需要經(jīng)過多次變軌.某飛船升空后的初始運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，其遠(yuǎn)地點（長軸端點中離地面最遠(yuǎn)的點）距地面，近地點（長軸端點中離地面最近的點）距地面，地球的半徑為，則該橢圓的短軸長為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的遠(yuǎn)地點和近地點的距離可得，進(jìn)而可求得，求得b，可得答案.【詳解】由題意得，故，故選：D.【變式2.3】（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┲本€與橢圓(m>0)有且僅有一個公共點P，則m＝_______，點P的坐標(biāo)是________.【答案】【詳解】法1：聯(lián)立方程得，得，所以，得，所以.法2：設(shè)，則處切線，可化為，比對得，代入橢圓方程得：，得.得，所以，得，所以.【應(yīng)用三】函數(shù)與方程思想在研究圓錐曲線的離心率的問題圓錐曲線中的離心率是這幾年高考的熱點，?？疾殡x心率的值和范圍等問題?！纠?.1】（2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)全國Ⅰ卷））已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為________．【命題意圖】本題考查雙曲線的離心率問題，綜合考查了向量，正余弦定理的應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度：中等.【答案】/【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.方法二：依題意設(shè)出各點坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運算求得，，將點代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.【點評】圓錐曲線是每年必考知識，小題中一般考1-2題，常涉及到離心率（范圍），圓錐曲線方程，焦點三角形中的問題，面積等；難度一般較大；【例3.2】【2021年乙卷理科】設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因為，，所以，因為，當(dāng)，即時，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值【思維提升】求離心率的值關(guān)鍵是找到等式關(guān)系，解出a與c的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率。常見的等式關(guān)系主要有：1、題目中給出等式關(guān)系；2、通過幾何關(guān)系如垂直或者夾角的關(guān)系得出等式關(guān)系；3、挖掘題目中的等式關(guān)系。體現(xiàn)方程的思想。求離心率的值關(guān)鍵是找到不等關(guān)系，解出a與c的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率的范圍。常見的等式關(guān)系主要有：1、若橢圓上的點，則根據(jù)范圍分布找到橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的范圍；2、若是橢圓上的點，則研究此點到焦點的范圍；要特別注意離心率的范圍。此類問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，求函數(shù)的最值問題【變式3.1】．【2022年全國甲卷】橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在A．32 B．22 C．12【答案】A【解析】【分析】設(shè)Px1,y1，則Q?x1,【詳解】解：A?a,0設(shè)Px1,則kAP故kAP又x12a所以b2a2所以橢圓C的離心率e=c故選：A【變式3.2】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，點P，Q在橢圓C上，若，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用數(shù)量積知識得，然后利用第一定義及勾股定理得到a、c關(guān)系，即可求出離心率【詳解】由，得，則點P是以為直徑的圓與橢圓C的交點，不妨設(shè)和點P在第一象限，如圖連接，令，則，，．因為，所以，即，得，又，所以，將代入，得．故選：A.【變式3.3】（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知，分別為橢圓的左右焦點，P是橢圓上一點，，，則橢圓離心率的取值范圍為______．【答案】【詳解】設(shè)，則，.由正弦定理可得，，所以，.根據(jù)橢圓的定義可知，，所以有，所以有.因為，，所以，令，則，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，，所以，，即.故答案為：.【應(yīng)用四】函數(shù)與方程思想在研究圓錐曲線最值的問題平面解析幾何是高考解答題必考題型之一，?？紮E圓和拋物線，第一問主要考查圓錐曲線方程；第二問考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常涉及到面積問題，定值，定點，定直線問題；一般以壓軸題出現(xiàn)；【例4】（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點，向圓作兩條切線和，切點分別為，，則的取值范圍是______．【答案】【分析】設(shè)點，由已知關(guān)系，可用點坐標(biāo)表示出.在，有，進(jìn)而可推出，根據(jù)的范圍，即可得到結(jié)果.【詳解】由已知，，.如圖，設(shè)點，則，，在中，有，易知，則，則，因為，，所以當(dāng)時，取得最大值，又，所以，.所以，的取值范圍是.故答案為：.【思維提升】圓錐曲線中的最值及范圍問題，則是通過建立對于的目標(biāo)函數(shù)，求這個函數(shù)的最值問題。若函數(shù)是一元二次函數(shù)，根據(jù)具體的范圍求最值，若不是一元二次函數(shù)則可能用到基本不等式或者求導(dǎo)，求最值或者范圍?！咀兪?.1】【2021年乙卷文科】設(shè)B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】【分析】設(shè)點，由依題意可知，，，再根據(jù)兩點間的距離公式得到，然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【詳解】設(shè)點，因為，，所以，而，所以當(dāng)時，的最大值為．故選：A．【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟悉橢圓的簡單幾何性質(zhì)，由兩點間的距離公式，并利用消元思想以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．易錯點是容易誤認(rèn)為短軸的相對端點是橢圓上到上定點B最遠(yuǎn)的點，或者認(rèn)為是橢圓的長軸的端點到短軸的端點距離最大，這些認(rèn)識是錯誤的，要注意將距離的平方表示為二次函數(shù)后，自變量的取值范圍是一個閉區(qū)間，而不是全體實數(shù)上求最值.【變式4.2】（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，過焦點的直線l與橢圓C相交于兩點，橢圓C在兩點處的切線交于點P，則點P的橫坐標(biāo)為______，若的垂心為點H，則的最小值是______．【答案】4【詳解】由橢圓C：可知，，設(shè)的方程為，設(shè)，則由題意可得切線的方程為，同理切線的方程為，即，則，即，所以P點的橫坐標(biāo)為4；又，故的垂心為點H，則，故的方程為，的方程為，將兩方程聯(lián)立解得，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號，故的最小值為，故答案為：4；【變式4.3】（多選）（2023·山西運城·統(tǒng)考三模）已知點是橢圓上的動點，點且，則|PQ|最小時，m的值可能是（

）A．-1 B． C．a(chǎn) D．3a【答案】BD【詳解】因為點在橢圓上，所以，所以，若，當(dāng)時，最小，若，當(dāng)時，最小.故選：BD.鞏固練習(xí)1、（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）已知拋物線，點在上，直線與坐標(biāo)軸交于兩點，若面積的最小值為1，則（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【詳解】不妨設(shè)，由題可得無解，否則若直線和拋物線有交點時，當(dāng)時，面積將趨近，故，解得.由圖可知，當(dāng)恰好為斜率為的直線和拋物線的切點時，的面積最小.令，不妨，則，又點到直線的距離為，則，解得（舍去）.故選：B2、【2019年新課標(biāo)1卷理科】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．3、【2020年新課標(biāo)1卷理科】已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識可知，四點共圓，且，根據(jù)可知，當(dāng)直線時，最小，求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識即可求出直線的方程．【詳解】圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時，，，此時最?。嗉矗山獾?，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：D.4、（2022·江蘇如皋·高三期末）已知雙曲線，過左焦點F作一條漸近線的垂線，記垂足為P，點Q在雙曲線上，且滿，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】設(shè)在漸近線上，直線的方程