湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試題含解析

Page22湖北省重點(diǎn)中學(xué)智學(xué)聯(lián)盟2024年秋季高三年級(jí)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng).1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把集合和中的元素化為統(tǒng)一形式，再進(jìn)行比較分析即可.【詳解】對(duì)于集合，對(duì)于集合，又因?yàn)槭瞧鏀?shù)，是整數(shù)，所以，則有，故選：2.已知命題：，若為假命題，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用命題的關(guān)系、分別參數(shù)法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析運(yùn)算即可得解.【詳解】若命題為真命題，即：，設(shè)，則由二次函數(shù)圖象與性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，最小值為，所以.因?yàn)槊}為假命題，所以，即的取值范圍為.故選：A.3.已知且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題目條件得到，由和得到，由得到，從而得到答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，由得到，則，解得，由得，整理得，解得，由得，綜上，.故選：B4.已知函數(shù)滿意，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意在中分別令、即可得到關(guān)于的方程組，解方程組即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿意，所以在中分別令、，可得，解不等式組得.故選：A.5.已知角終邊上一點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由隨意角三角函數(shù)的定義求出，再由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)代入即可得出答案.【詳解】因?yàn)榻墙K邊上一點(diǎn)，所以.故選：B.6.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為及上兩點(diǎn)間距離的平方，求出直線與函數(shù)相切的切點(diǎn)，從而求出切點(diǎn)到的距離，得到，結(jié)合題干中得到，并求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，令，，可知的最小值即為上的點(diǎn)與上的點(diǎn)之間的距離平方的最小值，若直線與函數(shù)的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因?yàn)椋傻?，解得：，則切點(diǎn)為，且切點(diǎn)在上，故，點(diǎn)到直線的距離為，所以，又因?yàn)橛薪?，則，此時(shí)點(diǎn)P在上，也在直線在點(diǎn)P處的垂線即直線上，其中直線在點(diǎn)P處的垂線的斜率為，所以直線在點(diǎn)P處的垂線方程為：即點(diǎn)坐標(biāo)滿意，解得，即故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由不等式求參數(shù)范圍常用方法和思路：1.干脆法：干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；2.分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；3.數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同始終角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.7.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理及三角恒等變換可得，又因?yàn)?，所以，即可得，再依?jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因，所以，即,，所以，，又因?yàn)?，所以，即，，所以，又因?yàn)椋?，所以，解?故選：D.8.已知定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.設(shè)，若，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，可得函數(shù)的周期性，結(jié)合題意，求得函數(shù)的值，可得答案.【詳解】由題意可知，且，所以，則，所以是以4為周期的周期函數(shù).由可知，，則，所以，由得，，所以，則，所以，，…，，所以.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)．該函數(shù)由世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷提出，在高等數(shù)學(xué)的探討中應(yīng)用廣泛．下列有關(guān)狄利克雷函數(shù)的說(shuō)法中正確的是（）A.的值域?yàn)?B.是偶函數(shù)C.存無(wú)理數(shù)，使 D.對(duì)隨意有理數(shù)，有【答案】ABD【解析】【分析】由分段函數(shù)的解析式求得函數(shù)的值域，可判定選項(xiàng);由偶函數(shù)的定義，可判定選項(xiàng);由函數(shù)的解析式可驗(yàn)證選項(xiàng)【詳解】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的值域?yàn)?，故正確；若為有理數(shù),則為有理數(shù)，可得；若為無(wú)理數(shù),則為無(wú)理數(shù)，可得，所以函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，故正確；當(dāng)為無(wú)理數(shù)，若為有理數(shù)，則為無(wú)理數(shù)，若為無(wú)理數(shù)，則可能為有理數(shù)，也有可能是無(wú)理數(shù)，不滿意，所以錯(cuò)誤；對(duì)隨意有理數(shù)，若為有理數(shù)，則為有理數(shù)，若為無(wú)理數(shù)，則為無(wú)理數(shù)，所以，則正確.故選：10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若的最小正周期是，則B.當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為C.當(dāng)時(shí)，D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于利用函數(shù)周期公式求解即可；對(duì)于，求出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱中心，即可判定；對(duì)于，，求出，利用函數(shù)的單調(diào)性即可比較大?。粚?duì)于，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合題中條件列出不等式組，解出結(jié)果，再結(jié)合周期范圍及，即可求出的范圍.【詳解】對(duì)于當(dāng)?shù)淖钚≌芷谑?，即則，故正確；對(duì)于,當(dāng)時(shí)，，所以令,解得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，，由于正切函數(shù)在單調(diào)遞增，故，故正確；對(duì)于,令解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以解得:，另一方面，所以又因?yàn)樗怨剩收_.故選：11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，假如?duì)隨意的，存在，使得(為常數(shù))，則稱函數(shù)在上的均值為，下列函數(shù)中在其定義域上的均值為的有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)題中條件，依次分析選項(xiàng)中的函數(shù)是否滿意條件，即可得到答案.【詳解】對(duì)于,函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?，?duì)隨意的,方程，即必有解，則在其定義域上的均值為2，符合題意；對(duì)于,函數(shù)的值域?yàn)?對(duì)隨意的,方程，即必定有解，則在其定義域上的均值為2，符合題意；對(duì)于,函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，若，可得，方程無(wú)解，不符合題意；對(duì)于,函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，方程化為，方程無(wú)解，不符合題意.故選：12.已知函數(shù)，若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的值可以為（）A. B.4 C. D.22【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，然后得到，求出函數(shù)的值域，即可得到的范圍.【詳解】因?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)為，

則切線方程為，

將，代入得，，

令，則，

或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故函數(shù)的單增區(qū)間為和，的單減區(qū)間為，

的極大值為，微小值為，

由題意知，，又為整數(shù)，，，，20，21故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知,則函數(shù)的最大值與最小值的和為_(kāi)_________．【答案】16【解析】【分析】依據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，，所以，所?故答案為：14.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，由正弦型函數(shù)的周期計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)的最小正周期為.故答案為：15.若函數(shù)且在是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的單調(diào)性性質(zhì)，分，兩種狀況探討，即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，令，則，①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，則對(duì)稱軸且，解得，與沖突，故此時(shí)無(wú)解；②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，則對(duì)稱軸且，解得，綜上，的取值范圍為.故答案：.16.有這樣一個(gè)事實(shí):函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，，在直線上.一般地，我們有結(jié)論:對(duì)于函數(shù)與的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，借助導(dǎo)數(shù)可以推導(dǎo):當(dāng)時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)，先推導(dǎo)出的值，并且求：關(guān)于的方程在上只有一個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】當(dāng)（）時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，由題意可知切點(diǎn)在直線上，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知又，即可求出與，則可轉(zhuǎn)化為，令，結(jié)合已知信息求出的取值范圍.【詳解】由與，所以與，當(dāng)時(shí)，先求？的值，有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，由題意可知切點(diǎn)在直線上，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知又，，，則；即當(dāng)時(shí)與有一個(gè)交點(diǎn)，由，則，可得，令，則（且），由供應(yīng)的信息可得，或，解得或，即的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是求出當(dāng)時(shí)與有一個(gè)交點(diǎn)，再將目標(biāo)式子轉(zhuǎn)化為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.設(shè)，，，．（1）分別求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)集合，再利用集合間的基本運(yùn)算求解即可.（2）由，可得，然后依據(jù)不等式的范圍即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，，又由，得且，，；因，.【小問(wèn)2詳解】，，又，，，解得，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.18.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）推斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)隨意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性求解即可；（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)單調(diào)性定義證明即可；（3）利用函數(shù)單調(diào)性分別求出在區(qū)間上的值域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，建立不等式組求解即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，，即，整理可得，對(duì)于，解得：.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：，設(shè)，且，則=，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】設(shè)，由題意可知，，由（2）問(wèn)可知，在時(shí)單調(diào)遞增，所以即集合，又，，.19.求值：（1）（2）+【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，由幫助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦的二倍角公式，即可得到結(jié)果；（2）依據(jù)題意，利用降冪公式化簡(jiǎn)，結(jié)合余弦的和差角公式，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】

====【小問(wèn)2詳解】+=++=20.現(xiàn)有大小相同的7個(gè)紅球和8個(gè)黑球，一次取出4個(gè).（1）求恰有一個(gè)黑球的概率；（2）取出紅球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）取出4個(gè)球同色，求全為紅球的概率.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，（3）【解析】【分析】（1）由古典概率的公式求解即可；（2）求出X的可能取值，及其對(duì)應(yīng)的概率，即可求出X的分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式即可求出X的數(shù)學(xué)期望；（3）由條件概率公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】記事務(wù)A="求恰有一個(gè)黑球"，則由古典概型公式可得；【小問(wèn)2詳解】X的可能取值為0，1，2，3，4，P，P，P，P，P，X的分布列如下：X01234P0+1+2+3+4==【小問(wèn)3詳解】記事務(wù)"取出4個(gè)球同色，求全為紅球"，則由條件概率公式有.21.在中，，點(diǎn)D在邊上，且（1）若的面積為，求邊的長(zhǎng)；（2）若，求.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由三角形面積公式首先可以求得的長(zhǎng)度，然后在中，運(yùn)用余弦定理即可求解.（2）設(shè)所求角，依據(jù)已知條件把圖中全部角都用含有的式子表示出來(lái)，再設(shè)，在和分別運(yùn)用正弦定理，對(duì)比即可得到關(guān)于的三角方程，從而即可得解.【小問(wèn)1詳解】在中，由題意有,且留意到，，所以有，解得，如圖所示：在中，由余弦定理有，代入數(shù)據(jù)得，所以.【小問(wèn)2詳解】由題意，所以設(shè)，則，設(shè)，在中，由正弦定理有，代入數(shù)據(jù)得，在中，由正弦定理有，代入數(shù)據(jù)得，又，所以以上兩式相比得，即，所以有，所以，所以，或又，且，所以，所以解得或.22.已知：函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：；(參考數(shù)據(jù)：，（3）若不等式的解集中恰有三個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（三問(wèn)干脆寫(xiě)出答案，不須要具體解答，參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，微小值為，無(wú)極大值（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到極值狀況；（2）解法1：轉(zhuǎn)化為只需證，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出，結(jié)合，，得到最小值大于0，證明出結(jié)論；解法2：轉(zhuǎn)化為只需證，構(gòu)造，，求導(dǎo)后得到其單調(diào)性，得到，證明出結(jié)論；（3）數(shù)形結(jié)合可得不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)椋?，令，可得，列表如下：x0+微小值的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，微小值為，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】解法1：要證，只需證，設(shè)，，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成