第五章有理數(shù)(基礎(chǔ)過關(guān))(原卷版+解析)

第五章有理數(shù)（基礎(chǔ)過關(guān)）考試時間：90分鐘一、選擇題（每小題4分，共24分）1.若a為有理數(shù)，則下列數(shù)中，一定是負數(shù)的是（）A．﹣a2 B．﹣|a| C．﹣|a|﹣1 D．a(chǎn)2﹣12.實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則代數(shù)式|c﹣a|﹣|a+b|的值等于（）A．c+b B．b﹣c C．c﹣2a+b D．c﹣2a﹣b3.冰箱冷藏室的溫度零上6℃，記作+6℃，冷凍室的溫度零下18℃，記作（）A．18℃ B．12℃ C．﹣18℃ D．﹣24℃4.2020年寶安區(qū)在教育方面的支出約為9870000000元人民幣，將9870000000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．987×107 B．98.7×108 C．9.87×109 D．0.987×10105.如圖，圓的周長為4個單位長度．在該圓的4等分點處分別標上0、1、2、3，先讓圓周上表示數(shù)字0的點與數(shù)軸上表示﹣1的點重合，再將數(shù)軸按逆時針方向環(huán)繞在該圓上．則數(shù)軸上表示2020的點與圓周上表示數(shù)字（）的點重合．A．0 B．1 C．2 D．36.將1，2，3，4，…，50這50個自然數(shù)，任意分成25組，每組兩個數(shù)，將每組的兩個數(shù)中的任意一個數(shù)記作a，另一個數(shù)記作b，代入代數(shù)式（|a﹣b|+a+b）中進行計算，求出其結(jié)果．25組分別代入可求出25個結(jié)果，則這25個值的和的最大值是（）A．325 B．650 C．950 D．1275二、填空題（每小題4分，共48分）7.已知下列各數(shù)：a，|a|，a2，a2﹣1，a2+1，其中一定不為負數(shù)的有個．8.計算：（π﹣2）0+|﹣4|＝．9.|a﹣5|+3的最小值是．10.實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡：|b﹣a|﹣|a|的結(jié)果為．11.已知|a|＝5，﹣b＝9，ab＜0，則a+b的值為．12.在方程3x+5y＝143的正整數(shù)解中，使|x﹣y|的值最小的解是．13.定義一種新運算：對任意有理數(shù)a，b都有a▽b＝﹣a﹣b2，例如：2▽3＝﹣2﹣32＝﹣11，則（2020▽1）▽2＝．14.一件衣服按300元出售，盈利率為20%，如果要將盈利率提到35%，那么每件售價應(yīng)提高到元．15.a，b，c，d為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種運算：＝ad﹣bc，那么當＝22時x的值是．16.已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，|m|是最小的正整數(shù)，則m+﹣cd的值為．17.如果a，b是任意兩個不等于零的數(shù)，定義運算⊕如下（其余符號意義如常）：a⊕b＝，那么[（1⊕2）⊕3]的值是．18.已知“!”是一種運算符號，并且1!＝1，2!＝1×2，3!＝1×2×3，4!＝1×2×3×4，…，則＝．三、解答題（共78分）19.計算：（1）3x2﹣2[x2﹣2（xy﹣x2）+2xy]；（2）﹣12020+（1﹣0.5）2×（﹣4）÷（﹣）．20.直接寫得數(shù)．（1）|+6|+|﹣5|＝；（2）＝；（3）﹣（﹣2.5）﹣4.5＝；（4）（a﹣1）﹣（2a﹣1）＝．21.一名足球守門員練習折返跑，從球門線出發(fā)，向前記為正數(shù)，返回記為負數(shù)，他的記錄如下（單位：米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10，（1）守門員最后是否回到了球門線的位置？（2）守門員全部練習結(jié)束后，共跑了多少米？（3）在練習過程中，守門員離開球門線的最遠距離是多少米？22.已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面：（1）若1表示的點與﹣1表示的點重合，則﹣2表示的點與數(shù)表示的點重合；（2）若﹣1表示的點與5表示的點重合，回答以下問題：①6表示的點與數(shù)表示的點重合；②若數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為11（A在B的左側(cè)），且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，求A、B兩點表示的數(shù)是多少？23.點A，B，C為數(shù)軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離的3倍，即CA＝3CB，我們就稱點C是【A，B】的三倍點．（1）如圖，若點A表示的數(shù)為﹣1，點B表示的數(shù)為3，點C表示的數(shù)為2，可得CA＝3，CB＝1，即CA＝3CB，則點C是【A，B】的三倍點．①若點D表示的數(shù)為5，請說明點D是【A，B】的三倍點；②若點E表示的數(shù)為0，則點E是【】的三倍點（數(shù)軸上不再添加其它點）；（2）點M，N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為﹣4，點N所表示的數(shù)為1，若點P是【M，N】的三倍點，設(shè)點P表示的數(shù)為x，請直接寫出x的值，并在數(shù)軸上表示出來．24.閱讀材料：求1+2+22+23+…+22019+22020的值．解：設(shè)S＝1+2+22+23+…+22019+22020①，將等式①的兩邊同乘以2，得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，用②﹣①得，2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．即1+2+22+23+…+22019+22020＝22021﹣1．請仿照此法計算：（1）請直接填寫1+2+22+23的值為；（2）求1+5+52+53+…+510的值；（3）請直接寫出1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020﹣的值．25.觀察下列等式：＝1，＝，＝．將以上三個等式的兩邊分別相加，得：+＝1＝1＝．（1）直接寫出計算結(jié)果：＝．（2）計算：．（3）猜想并直接寫出：＝．（n為正整數(shù)）第五章有理數(shù)（基礎(chǔ)過關(guān)）考試時間：90分鐘一、選擇題（每小題4分，共24分）1.若a為有理數(shù)，則下列數(shù)中，一定是負數(shù)的是（）A．﹣a2 B．﹣|a| C．﹣|a|﹣1 D．a(chǎn)2﹣1【答案】C【分析】根據(jù)字母表示數(shù)的任意性即可求解．【解答】解：若a是有理數(shù)，則a可能是正數(shù)、負數(shù)、0．觀察選項，只有選項C符合題意．故選：C．【知識點】非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方、正數(shù)和負數(shù)、非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值2.實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則代數(shù)式|c﹣a|﹣|a+b|的值等于（）A．c+b B．b﹣c C．c﹣2a+b D．c﹣2a﹣b【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸得到b＜a＜0＜c，根據(jù)有理數(shù)的加法法則，減法法則得到c﹣a＞0，a+b＜0，根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡計算．【解答】解：由數(shù)軸可知，b＜a＜0＜c，∴c﹣a＞0，a+b＜0，則|c﹣a|﹣|a+b|＝c﹣a+a+b＝c+b，故選：A．【知識點】實數(shù)與數(shù)軸、絕對值3.冰箱冷藏室的溫度零上6℃，記作+6℃，冷凍室的溫度零下18℃，記作（）A．18℃ B．12℃ C．﹣18℃ D．﹣24℃【答案】C【分析】用正數(shù)表示零上，則負數(shù)表示零下，【解答】解：溫度零上6℃，記作+6℃，冷凍室的溫度零下18℃，記作﹣18℃，故選：C．【知識點】正數(shù)和負數(shù)4.2020年寶安區(qū)在教育方面的支出約為9870000000元人民幣，將9870000000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．987×107 B．98.7×108 C．9.87×109 D．0.987×1010【答案】C【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：將9870000000用科學(xué)記數(shù)法表示為：9.87×109．故選：C．【知識點】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)5.如圖，圓的周長為4個單位長度．在該圓的4等分點處分別標上0、1、2、3，先讓圓周上表示數(shù)字0的點與數(shù)軸上表示﹣1的點重合，再將數(shù)軸按逆時針方向環(huán)繞在該圓上．則數(shù)軸上表示2020的點與圓周上表示數(shù)字（）的點重合．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由于圓的周長為4個單位長度，所以只需先求出此圓在數(shù)軸上環(huán)繞的距離，再用這個距離除以4，如果余數(shù)分別是0，1，2，3，則分別與圓周上表示數(shù)字0，1，2，3的點重合．【解答】解：∵﹣1﹣2020＝﹣2021，2021÷4＝505…1，∴數(shù)軸上表示數(shù)2020的點與圓周上表示數(shù)字1重合．故選：B．【知識點】數(shù)軸6.將1，2，3，4，…，50這50個自然數(shù)，任意分成25組，每組兩個數(shù)，將每組的兩個數(shù)中的任意一個數(shù)記作a，另一個數(shù)記作b，代入代數(shù)式（|a﹣b|+a+b）中進行計算，求出其結(jié)果．25組分別代入可求出25個結(jié)果，則這25個值的和的最大值是（）A．325 B．650 C．950 D．1275【答案】C【分析】不妨設(shè)各組中的數(shù)的a比b大，然后去掉絕對值號化簡為a，所以當25組中的較大的數(shù)a恰好是26到50時．這25個值的和最大，再根據(jù)求和公式列式計算即可得解．【解答】解：假設(shè)a＞b，則（|a﹣b|+a+b）＝（a﹣b+a+b）＝a，所以，當25組中的較大的數(shù)a恰好是26到50時．這25個值的和最大．最大值為26+27+28+…+50＝＝950，故選：C．【知識點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類、絕對值二、填空題（每小題4分，共48分）7.已知下列各數(shù)：a，|a|，a2，a2﹣1，a2+1，其中一定不為負數(shù)的有個．【答案】3【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)進行判斷．【解答】解：a可以為正數(shù)、負數(shù)、0；|a|≥0，一定不是負數(shù)；a2≥0，一定不是負數(shù)；a2﹣1，可以為正數(shù)、負數(shù)、0；a2+1一定為正數(shù)；所以一定不為負數(shù)的有3個．故答案為：3．【知識點】絕對值、正數(shù)和負數(shù)8.計算：（π﹣2）0+|﹣4|＝．【答案】5【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：原式＝1+4＝5．故答案為：5．【知識點】絕對值、零指數(shù)冪9.|a﹣5|+3的最小值是．【答案】3【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：∵|a﹣5|≥0，∴|a﹣5|+3的最小值是：3．故答案為：3．【知識點】非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值10.實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡：|b﹣a|﹣|a|的結(jié)果為．【答案】b【分析】依據(jù)實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置，即可得到b﹣a＞0，進而利用絕對值的性質(zhì)進行化簡計算．【解答】解：由題可得，a＜0＜b，∴b﹣a＞0，∴|b﹣a|﹣|a|＝b﹣a﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b，故答案為：b．【知識點】絕對值、實數(shù)與數(shù)軸11.已知|a|＝5，﹣b＝9，ab＜0，則a+b的值為．【答案】-4【分析】先根據(jù)題意求出a與b的值，然后代入原式即可求出答案．【解答】解：由題意可知：a＝±5，b＝﹣9，∵ab＜0，∴a＝5，∴a+b＝5﹣9＝﹣4，故答案為：﹣4．【知識點】有理數(shù)的加法、絕對值、有理數(shù)的乘法12.在方程3x+5y＝143的正整數(shù)解中，使|x﹣y|的值最小的解是．【分析】要求方程3x+5y＝143的正整數(shù)解，就要先將方程做適當變形，確定其中一組解，進一步得到通解，然后確定出所有的解，即可求得使|x﹣y|的值最小的解．【解答】解：由3x+5y＝143，得y＝28+，∴是方程組的一個解，其通解為（t為整數(shù)），∵x，y都是正整數(shù)，∴，，，，，，，，，，∴使|x﹣y|的值最小的解是故答案為．【知識點】絕對值、二元一次方程的解13.定義一種新運算：對任意有理數(shù)a，b都有a▽b＝﹣a﹣b2，例如：2▽3＝﹣2﹣32＝﹣11，則（2020▽1）▽2＝．【答案】2017【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值．【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：2020▽1＝﹣2020﹣1＝﹣2021，則原式＝（﹣2021）▽2＝2021﹣4＝2017．故答案為：2017．【知識點】有理數(shù)的混合運算14.一件衣服按300元出售，盈利率為20%，如果要將盈利率提到35%，那么每件售價應(yīng)提高到元．【答案】337.5【分析】先利用售價除以（1+盈利率），算出成本，再利用售價等于成本乘以（1+盈利率）計算出提價后的售價即可．【解答】解：每件衣服的成本為：300÷（1+20%）＝300÷1.2＝250（元），要將盈利率提到35%，那么每件售價為：250×（1+35%）＝250×1.35＝337.5（元）．故答案為：337.5．【知識點】有理數(shù)的混合運算15.a，b，c，d為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種運算：＝ad﹣bc，那么當＝22時x的值是．【答案】4【分析】根據(jù)新定義的運算即可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意可得：2×5﹣4（1﹣x）＝22，10﹣4+4x＝22，4x＝22﹣10+4，4x＝16，x＝4，故答案為：4．【知識點】有理數(shù)的混合運算、解一元一次方程16.已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，|m|是最小的正整數(shù)，則m+﹣cd的值為．【答案】1或-1【分析】根據(jù)a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，|m|是最小的正整數(shù)，可以得到a+b＝0，cd＝1，m＝±1，從而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，|m|是最小的正整數(shù)，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±1，當m＝1時，m+﹣cd＝1+﹣1＝1+0﹣1＝0；當m＝﹣1時，m+﹣cd＝﹣1+﹣1＝﹣1+0﹣1＝﹣2；故答案為：0或﹣2．【知識點】有理數(shù)的混合運算17.如果a，b是任意兩個不等于零的數(shù)，定義運算⊕如下（其余符號意義如常）：a⊕b＝，那么[（1⊕2）⊕3]的值是．【分析】按照定義運算⊕的計算法則代入求值即可．【解答】解：根據(jù)題意，得[（1⊕2）⊕3]＝⊕3＝＝．故答案是：．【知識點】分式有意義的條件、有理數(shù)的混合運算18.已知“!”是一種運算符號，并且1!＝1，2!＝1×2，3!＝1×2×3，4!＝1×2×3×4，…，則＝．【答案】2021【分析】根據(jù)題意，可以計算出所求式子的值．【解答】解：由題意可得，＝＝2021，故答案為：2021．【知識點】有理數(shù)的混合運算三、解答題（共78分）19.計算：（1）3x2﹣2[x2﹣2（xy﹣x2）+2xy]；（2）﹣12020+（1﹣0.5）2×（﹣4）÷（﹣）．【分析】（1）根據(jù)整式的運算法則即可求出答案．（2）根據(jù)有理數(shù)的運算法則即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝3x2﹣2（x2﹣2xy+2x2+2xy）＝3x2﹣2×3x2＝﹣3x2．（2）原式＝﹣1+×（﹣4）×（﹣2）＝﹣1﹣1×（﹣2）＝﹣1+2＝1．【知識點】整式的加減、有理數(shù)的混合運算20.直接寫得數(shù)．（1）|+6|+|﹣5|＝；（2）＝；（3）﹣（﹣2.5）﹣4.5＝；（4）（a﹣1）﹣（2a﹣1）＝．【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求出答案．（2）根據(jù)有理數(shù)的除法法則即可求出答案．（3）根據(jù)有理數(shù)的減法運算法則即可求出答案．（4）根據(jù)去括號法則以及整式的運算法則即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝6+5＝11．（2）原式＝﹣．（3）原式＝2.5﹣4.5＝﹣2．（4）原式＝a﹣1﹣2a+1＝﹣a．故答案為：（1）11．（2）．（3）﹣2﹣a．（4）﹣a．【知識點】絕對值、有理數(shù)的加減混合運算、整式的加減21.一名足球守門員練習折返跑，從球門線出發(fā)，向前記為正數(shù)，返回記為負數(shù)，他的記錄如下（單位：米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10，（1）守門員最后是否回到了球門線的位置？（2）守門員全部練習結(jié)束后，共跑了多少米？（3）在練習過程中，守門員離開球門線的最遠距離是多少米？【分析】（1）將所有記錄數(shù)據(jù)相加，即可求出守門員離球門線的位置；（2）將所有記錄數(shù)據(jù)取絕對值，再相加即可；（3）觀察記錄的數(shù)據(jù)，取絕對值最大的作為守門員離開球門線最遠距離．【解答】解：（1）（+5）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（﹣6）+（+12）+（﹣10）＝（5+10+12）﹣（3+8+6+10）＝27﹣27＝0，答：守門員最后回到了球門線的位置；（2）|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54；答：守門員全部練習結(jié)束后，他共跑了54米；（3）由觀察可知：在練習過程中，守門員離開球門線最遠距離是12米．【知識點】正數(shù)和負數(shù)、有理數(shù)的加減混合運算22.已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面：（1）若1表示的點與﹣1表示的點重合，則﹣2表示的點與數(shù)表示的點重合；（2）若﹣1表示的點與5表示的點重合，回答以下問題：①6表示的點與數(shù)表示的點重合；②若數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為11（A在B的左側(cè)），且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，求A、B兩點表示的數(shù)是多少？【答案】【第1空】2

【第2空】-2【分析】（1）依題意可知兩數(shù)關(guān)于原點對稱，所以可求出與﹣2重合的點；（2）①依題意若﹣1表示的點與5表示的點重合，可知兩數(shù)關(guān)于與2表示的點對稱，即可求出6表示的點的對稱點；②由①條件可知A、B關(guān)于2表示的點對稱，即可求出答案．【解答】解：（1）∵1表示的點與﹣1表示的點重合，∴與表示﹣2表示的點表示的數(shù)為2．故答案為：2；（2）①∵﹣1表示的點與5表示的點重合，∴與表示6表示的點表示的數(shù)為﹣2．故答案為：﹣2；②∵A、B兩點之間的距離為11經(jīng)折疊后重合，∴A、B距離對稱點的距離為11÷2＝5.5，又∵且關(guān)于點2表示的點對稱，∴點A表示的數(shù)為2+5.5＝7.5，點B表示的數(shù)為2﹣5.5＝﹣3.5．【知識點】數(shù)軸23.點A，B，C為數(shù)軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離的3倍，即CA＝3CB，我們就稱點C是【A，B】的三倍點．（1）如圖，若點A表示的數(shù)為﹣1，點B表示的數(shù)為3，點C表示的數(shù)為2，可得CA＝3，CB＝1，即CA＝3CB，則點C是【A，B】的三倍點．①若點D表示的數(shù)為5，請說明點D是【A，B】的三倍點；②若點E表示的數(shù)為0，則點E是【】的三倍點（數(shù)軸上不再添加其它點）；（2）點M，N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為﹣4，點N所表示的數(shù)為1，若點P是【M，N】的三倍點，設(shè)點P表示的數(shù)為x，請直接寫出x的值，并在數(shù)軸上表示出來．【答案】B，A【分析】（1）①根據(jù)題意求得DA＝5﹣（﹣1）＝6，DB＝5﹣3＝2，于是得到DA＝3DB，根據(jù)三倍點的定義即可得到結(jié)論；②根據(jù)題意得到AE＝0﹣（﹣1）＝1，BE＝3﹣0＝3，求得EB＝3EA，于是得到結(jié)論；（2）由于點P是【M，N】的三倍點，得到PM＝3PN，解方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）①∵DA＝5﹣（﹣1）＝6，DB＝5﹣3＝2，∴DA＝3DB，∴點D是【A，B】的三倍點；②∵點E表示的數(shù)為0，∴AE＝0﹣（﹣1）＝1，BE＝3﹣0＝3，∴EB＝3EA，∴點E是【B，A】的三倍點，故答案為：B，A；（2）∵點P是【M，N】的三倍點，∴PM＝3PN，即|x﹣（﹣4）|＝3|x﹣1|，解得：x＝或x＝﹣，在數(shù)軸上表示如圖所示．【知識點】數(shù)軸24.閱讀材料：求1+2+22+23+…+22019+22020的值．解：設(shè)S＝1+2+22+23+…+22019+22020①，將等式①的兩邊同乘以2，得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，用②﹣①得，2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．即1+2+22+23+…+22019