橢圓的常見題型及解法(一)

橢圓的常見題型及其解法(一)橢圓是圓錐曲線的內(nèi)容之一，也是高考的熱點和重點，橢圓學習的好壞還直接影響后面的雙曲線與拋物線的學習，筆者在這里就橢圓常見題型作簡要的探討，希望對學習橢圓的同學有所幫助.一、橢圓的焦半徑橢圓上的任意一點到焦點F的長稱為此曲線上該點的焦半徑，根據(jù)橢圓的定義，很容易推導(dǎo)出橢圓的焦半徑公式。在涉及到焦半徑或焦點弦的一些問題時，用焦半徑公式解題可以簡化運算過程。1.公式的推導(dǎo)設(shè)P〔，〕是橢圓上的任意一點，分別是橢圓的左、右焦點，橢圓，求證，。證法1：。因為，所以∴又因為，所以∴，證法2：設(shè)P到左、右準線的距離分別為，由橢圓的第二定義知，又，所以，而?！?，。2.公式的應(yīng)用例1橢圓上三個不同的點A〔〕、B〔〕、C〔〕到焦點F〔4，0〕的距離成等差數(shù)列，那么.解：在橢圓中，右準線方程為，設(shè)A、B、C到右準線的距離為，那么、、?！?，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列?！啵?，。例2.是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的動點，求的最大值和最小值。解：設(shè)，那么在橢圓上，，的最大值為4，最小值為1.變式練習1：.求過橢圓的左焦點，傾斜角為的弦AB的長度。解：由可得，所以直線AB的方程為，代入橢圓方程得設(shè)，那么，從而變式練習2.設(shè)Q是橢圓上任意一點，求證：以〔或〕為直徑的圓C與以長軸為直徑的圓相內(nèi)切。證明：設(shè)，圓C的半徑為r即也就是說：兩圓圓心距等于兩圓半徑之差。故兩圓相內(nèi)切同理可證以為直徑的圓與以長軸為直徑的圓相內(nèi)切。3.橢圓焦半徑公式的變式P是橢圓上一點，E、F是左、右焦點，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，那么〔1〕；〔2〕。P是橢圓上一點，E、F是上、下焦點，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，那么〔3〕；〔4〕。證明：〔1〕設(shè)P在x軸上的射影為Q，當不大于90°時，在三角形PEQ中，有由橢圓焦半徑公式〔1〕得。消去后，化簡即得〔1〕。而當大于90°時，在三角形PEQ中，有，以下與上述相同?！?〕、〔3〕、〔4〕的證明與〔1〕相仿，從略。4.變式的應(yīng)用對于橢圓的一些問題，應(yīng)用這幾個推論便可容易求解。例1.〔2005年全國高考題〕P是橢圓上一點，E、F是左右焦點，過P作x軸的垂線恰好通過焦點F，假設(shè)三角形PEF是等腰直角三角形，那么橢圓的離心率是___________。解：因為PF⊥EF，所以由〔2〕式得。再由題意得＋。注意到。例2.P是橢圓上且位于x軸上方的一點，E，F(xiàn)是左右焦點，直線PF的斜率為，求三角形PEF的面積。解：設(shè)PF的傾斜角為，那么：。因為a＝10，b＝8，c＝6，由變式〔2〕得所以三角形PEF的面積變式訓練1.經(jīng)過橢圓的左焦點F1作傾斜角為60°的直線和橢圓相交于A，B兩點，假設(shè)，求橢圓的離心率。解：由題意及變式〔2〕得化簡得。變式訓練2.設(shè)F是橢圓的上焦點，共線，共線，且＝0。求四邊形PMQN面積的最大值和最小值。解：設(shè)PF傾斜角為，那么由題意知PF⊥MF，所以MF傾斜角為90°＋α，而，由題意及〔3〕式得同理得。由題意知四邊形PMQN面積當時，；當時，＝。二橢圓的焦點弦設(shè)橢圓方程為過橢圓右焦點且傾斜角為的直線方程為，此直線交橢圓于兩點，求焦點弦的長.例1、橢圓的長軸長，焦距，過橢圓的焦點作一直線交橢圓于、兩點，設(shè)，當取什么值時，等于橢圓的短軸長？分析：由題意可知是橢圓的焦點弦，且，，從而，故由焦點弦長公式及題設(shè)可得：，解得，即或。例2、在直角坐標系中，橢圓E的一個焦點為F〔3，1〕，相應(yīng)于F的準線為Y軸，直線通過點F，且傾斜角為，又直線被橢圓E截得的線段的長度為，求橢圓E的方程。分析：由題意可設(shè)橢圓E的方程為，又橢圓E相應(yīng)于F的準線為Y軸，故有〔1〕，又由焦點弦長公式有〔2〕又〔3〕。解由〔1〕、〔2〕、〔3〕聯(lián)列的方程組得：，，，從而所求橢圓E的方程為。變式訓練1、橢圓C：〔〕，直線：被橢圓C截得的弦長為，過橢圓右焦點且斜率為的直線被橢圓C截得的弦長是它的長軸長的，求橢圓C的方程。分析：由題意可知直線過橢圓C的長、短軸的兩個端點，故有，〔1〕又由焦點弦長公式得=，〔2〕因=，得，〔3〕又