高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)與例題

數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和方法歸納

知識(shí)點(diǎn):

(一)數(shù)列的該概念和表示法、

(1)數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)記

作。，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，……，序號(hào)

n

為〃的項(xiàng)叫第〃項(xiàng)(也叫通項(xiàng))記作。；

n

數(shù)列的一般形式：a,a,a,……，a,……，簡(jiǎn)記作｛。｝。

123nn

<2)通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列｛4｝的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那

n

么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

說(shuō)明：①｛a｝表示數(shù)列，。表示數(shù)列中的第〃項(xiàng)，a=/(〃)表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；

nnn

②同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。

③不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1,,,……

(3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：

序號(hào)：123456

項(xiàng)：456789

上面每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函

數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依

次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值……，，…….通常用來(lái)代替，其圖象是一群孤立的點(diǎn)

(4)數(shù)列分類：

①按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；

②按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動(dòng)

數(shù)列。

(5)遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)。(或

n-1

前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。

(6)數(shù)列通項(xiàng)。與前“項(xiàng)和S的關(guān)系

nn

1.S=。+。+a+A+?2.。'=1

n123ninIS-S

r=1n?-1

fs(〃=1)

題型一應(yīng)用。=1。1,c\求數(shù)列通項(xiàng)

nIo-S(n>2)

n

【例1】已知數(shù)列L｝的前〃項(xiàng)和S=3,-2,求其通項(xiàng)公式.

nn

解析：當(dāng)〃=1時(shí),a=S=3i—2=1,

11

當(dāng)〃22i^,a=S-S=(3“-2)-(3?-i-2)=2-3?-i

nnZT-1

又。=1不適合上式，故a=''

1"［2-3?-i(/i>2)

題型二、利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)

［例2］根據(jù)數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，a=1,a=?+_1_

〃12"+1〃4/22—1

求其通項(xiàng)公式

解析：因?yàn)閍=。+,所以a—a=1

"+i"4〃2-1"+1”4Z?2-122n-12n+1

所以a-a

21213

43257

111

a-a=—(----------)

?i22〃-32/7-1

以上(〃-1)個(gè)式相加得

11

即：a=1-1=4〃-3

"4〃一24〃一2

【點(diǎn)撥】：在遞推關(guān)系中若。=a+/(〃)，求。用累加法，若二=/(〃),求。用

"+1nn&

nn

累乘法，若。=pa+q,求a用待定系數(shù)法或迭代法。

/j+1nn

課外練習(xí)

11A1

1、設(shè)a=一++A+,(〃eN?)，則a與。的大小關(guān)系是

”〃+1〃+22/1+1〃+1n

(C)

A.a>aB.a=a

?+1n"+1n

C.a<aD.不能確定

?+i

解：因?yàn)?/p>

"+i〃2〃+22〃+3n+1

=1-1<0

2〃+32/i+2

所以a<a,選C.

n+1n

2.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S=〃2—4〃+1,則4=<「

nnn2/?-5,(n>2)

3.已知數(shù)列3｝的通項(xiàng)”一"(〃￡N*),則數(shù)列右｝的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最

〃H--J99〃

小項(xiàng)分別是。，a

109

解：構(gòu)造函數(shù)丁=上必=1+迤誓

x—J99x—J99

由函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在(-00,廊)上遞減，且y<1;函數(shù)在(屈，+oo)上遞增

且>〉1

又回e(9,10)

a>a>a>\>a>1>?>a>A

1011123012

>a

9

a最大，。最小

109

(~)數(shù)列

1.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：(為常數(shù))，

等差中項(xiàng)：成等差數(shù)列

前項(xiàng)和

性質(zhì)：是等差數(shù)列

(1)若，則

(2)數(shù)列&｝,｛a｝,｛a｝仍為等差數(shù)列，仍為等差數(shù)列，公差為〃2d；

2?i-12n2/r+1

(3)若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為

(4)若是等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為，則

(5)為等差數(shù)列(為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù))

的最值可求二次函數(shù)的最值；或者求出中的正、負(fù)分界項(xiàng)，

即：當(dāng)，解不等式組可得達(dá)到最大值時(shí)的值.

當(dāng)，由可得達(dá)到最小值時(shí)的值.

(6)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃的等差數(shù)列有

S=n(a+a)=n(a+a)=A=n(a+a)(〃,a為中間兩項(xiàng))

2n12n22/?-1nn+1n/?+1

Sa

S-S=nd,奇=_?

偶奇Sa

偶

（7）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃-1的等差數(shù)列有

S=(2”-1)。(a為中間項(xiàng))，S-S=a，型_=___-

2"Tnn奇偶〃§〃一1

偶

1.等差數(shù)列3｝中，a+。+。+。+。=120，則〃一1。的值為(C)

11

n468101293

A.14B.15C.16D.17

)j22

解：a-_a=a-_(a+2d)=_(〃-d)=_a一212()二」

93H93939383~

2.等差數(shù)列％｝中，a>0,S=S，則前項(xiàng)的和最大。

n1912---------------

解：OS=S,S-S=0

912129

a+Q+Q=0,.?.3。=0,

10II)211

a=0,又。>0

iii

...L｝為遞減等差數(shù)列S=S為最大。

n1011

3.已知等差數(shù)列｛a｝的前10項(xiàng)和為100,前100項(xiàng)和為10,則前110項(xiàng)和為

n

W：vs,S-S,S-S,A,S-5,A成等差數(shù)列，公差為D其首項(xiàng)為

1020103020IIO100

S=100,前10項(xiàng)的和為S=10

10100

10x9

.-.100xl0+xD=10,/.D=-22

2

又S-S=S+10DAS=100+10+10,(-22)=-110

11010010IIO

>=50〃-98-「12〃+〃(〃-1)J=一2〃2+40〃-98=-2(〃-1())2+102

所以當(dāng)〃=10時(shí)，y=102

max

4.設(shè)等差數(shù)列L｝的前〃項(xiàng)和為S,已知。=12,S>0,S<0

nn31213

①求出公差〃的范圍，

②指出S,S,A,S中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由。

1212

da=f(n)naS\a｝"n>2"

nnnn

解：①S=6(。+a)=6(。+a)=6(2。+7d)>()

121123103

24

/.24+7d>0z.d>-_

T

13（。+〃）1313

又S=113=—（〃+。）=_（2a+8d）<0

132231123

24+8d<0/.d<-3

24

從而一--<d<-3

7

②。S=6(a+a)>0S=13a<0a<0,a>0■.S最大。

1267137766

5.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其前10項(xiàng)的和，則其公差等于(D）

1

A二B二

23

6.已知等差數(shù)列｛4｝中，a+a=16,a=1,貝必等于（A）

?79412

A.15B.30C.31D.64

解：。Q+a=a+a

79412

a=15

12

7.設(shè)S為等差數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和，S=14,S-S=30,則S=54

nn4107

8.等差數(shù)列M｝的前〃項(xiàng)和記為S，已知a=30,a=50

nn1020

①求通項(xiàng)。；②若S=242,求〃

解：a=a+

n1

a=30,a=50

20

解方程組］a+9d=30

1

Ia+19d=50

121

Jv/.a=2〃+10

[d=2

由S=w+&二止，s=242

n

n12

.-.12z7+n（n-1）-2=242

2

解得〃=11或〃=-22（舍去）

9.已知數(shù)列%｝中，a=3前〃和S=1(?+1)(?+1)-1

“1〃2〃

①求證：數(shù)列｛。｝是等差數(shù)列

n

②求數(shù)列｛。｝的通項(xiàng)公式

③設(shè)數(shù)列1的前幾項(xiàng)和為T，是否存在實(shí)數(shù)M,使得T對(duì)一切正

\aaJ〃〃

l〃n+1J

整數(shù)〃都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，試說(shuō)明理由。

解：①：S=_(〃+1)(a+1)-1

n2〃

?.a=S-S

n+1n+1n

=—[(n+2)(67+1)—(〃+1)(。+1)]

2n+1n

整理得，na|=仇+1)。-1

M+1n

??.("+1),2=(〃+2)%一1

5+1)。-na=(〃+2)a

n+2n+1〃+1n

.??2(〃+1%=(〃+D(%+?！?

2a=a+a

n+1n+2n

數(shù)列M｝為等差數(shù)列。

n

②a=3,na=(n+1)a-1

1n+1n

a=2a-1=5

21

a.a=2

即凄差成列ZM公差為2

n

/.a=q+-1)d=3+(〃-1).2

=2〃+1

(§)0---=-------------------

a。(2〃+1)(2〃+3)

nn+1

=「_[

212〃+12〃+3>

11

：.T=1(1_1+1_1+A+-)

“235572/7+12〃+3

232/7+3

1

又當(dāng)〃eN*時(shí)，T<_

"6

要使得T4M對(duì)一切正整數(shù)〃恒成立，只要M2_,所以存在實(shí)數(shù)加使得

，，6

對(duì)一切正整數(shù)〃

Tn

都成立，M的最小值為o

6

2.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：（為常數(shù)，），

等比中項(xiàng)：成等比數(shù)列，或.

前項(xiàng)和：（要注意！）

性質(zhì)：是等比數(shù)列

（1）若，則

（2）仍為等比數(shù)列，公比為”.

注意：由求時(shí)應(yīng)注意什么？

時(shí)，；

時(shí)，.

例：⑴在等比數(shù)列｛〃｝中，a+a=33,cici=32,a>4

n1634nn+1

①求a,

n

②若T=Iga+lga+A+lga，求T

n12nn

⑵在等比數(shù)列｛a｝中，若a=0,則有等式

n15

a+a+A+Q=a+a+A+a（〃<29,〃EN*）成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)

12n1229Tl

的在等比數(shù)列"｝中，若b=1則有等式成立。

n19

解：⑴①由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：

a32

l

又4>

解

=1

即1

所

以a

6-1454=

---

a,2

1

32d

所以a-321

2-)I-

巾-

②由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，｛1g。｝是等差數(shù)列，因?yàn)?/p>

Iga=lg2e-n=(6-n)lg2,Iga=51g2

所以T=,

"22

⑵由題設(shè)可知，如果。0在等差數(shù)列中有

m

ci+a+A+。=a+a+A+a

12〃122/W-1-W

（H<2m-1,〃EN*）成立，我們知道，如果若〃2+"=p+q,則a+a=a+a，

tnnpq

而對(duì)于等比數(shù)列"｝，則有若〃z+〃=p+q,則a-a=a.a所以可以得出結(jié)

nmnP

論，若

h=1,則有Z?/?Ab=bbNb［n<2m-1,〃wN*）成立，在本題中

ni12n122w-1-n

則有（〃<37,

12n1237f

3.求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

（1）求差（商）法

例

1：數(shù)列，，求

解：時(shí)，，二①

時(shí)

①,②

一②得,

［練習(xí)］數(shù)列滿足，求

解：注意到，代入得又，...是等比數(shù)列，

時(shí)，’

（2）疊乘法

例2：數(shù)列中，，求

解：，，又，，

（3）等差型遞推公式

例3：由，求（用迭加法）

解：時(shí)，兩邊相加得

［練習(xí)］數(shù)列中，，求（）

（4）等比型遞推公式

例4：（為常數(shù)，）

解：可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)

令，.?.是首項(xiàng)為為公比的等比數(shù)列

???，???

（5）倒數(shù)法

例5：,求

解：由已知得：，工

...為等差數(shù)列，，公差為，,，

a=，4（"=1）

（附：公式法、利用nS-S（*2）、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比

n1

a=pa+q或a=pa+/（"）、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸

w+1n”+1n

納法、換元法）

4.求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法

（1）裂項(xiàng)法

把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng).

例6：是公差為的等差數(shù)列，求

解：由

［練習(xí)］求和：

（2）錯(cuò)位相減法

若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求