新教材人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊 第五章單元測試卷（解析卷）

第五章三角函數(shù)（新高考）單元評估A卷（基礎(chǔ)）

一、單選題

1.若tana=],tan夕=§,則tan(a+￡)=()

\_

A.-1B.1C.D.

-77

1.B

【分析】

直接代入正切的兩角和公式即可得解.

【詳解】

115

----1---

/八、tana+tan￡73

tan(?+/)=-----------=z--A-1

1-tana-tan(3]_1.]一5'

2,36

故選：B.

2.下列各角中，與79°終邊相同的是（）

A.349°B.379°C.679°D.799°

2.D

【分析】

根據(jù)終邊角的定義表示出各角，即可判斷.

【詳解】

解：對A,349°=360°-11°，故A錯誤；

對B,3790=360"+19°，故B錯誤；

對C,679°=360°x2-41°,故C錯誤；

對D,799°=2x360°+79°,故D正確.

故選：D.

71

3.函數(shù)產(chǎn)tan（3x+-）的一個對稱中心是（）

6

A.(0,0)B.0）

6

4%

C.0)D.以上選項都不對

9

3.D

【分析】

根據(jù)正切函數(shù)y=tanx圖象的對稱中心是（紅，0）求出函數(shù)尸tan（3x+=）圖象的對稱中

26

心，即可得到選項.

【詳解】

k兀

解：因為正切函數(shù)產(chǎn)taiu圖象的對稱中心是（3，0）,&GZ；

7tkk7CTC

令f3x+一=,解得x=-------,k^Z；

62618

所以函數(shù)產(chǎn)tan（3x+J）的圖象的對稱中心為（"一土，0）,AWZ；

6618

選項ABC都不正確,

故選：D.

4.將函數(shù)y=2sin12x+q

的圖像向左平移一個最小正周期后，所得圖像對應(yīng)的函

4

數(shù)為()

(萬、

A.y-2cosl2x+—\

.(7l\

C.y=-2sin2x+—

\3)

4.A

【分析】

T7t

由題意知：圖象向左平移一二一個單位，即可寫出平移后的解析式.

44

【詳解】

T7T

由題意知：圖象平移一=一個單位，

44

/./(x)=2sin[2(x+—)+y]=2cos(2x+―).

故選：A

5.若cos(30°—a)—sina=g,則sin(30°-2a)=()

A.

5.D

【分析】

化簡cos（30°一a）-sina=；得cos（30。+a）=1,再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化

簡求解.

【詳解】

由cos（30°-a）—sina=g,得*cosa-；sina=；，即cos（30°+a）=；,

17

所以sin（30°-2a）-cos（600+2a）-2cos2（30°+?）-1=2x—-1=--.

故選：D.

【點睛】

方法點睛：三角恒等變換求值，常用的方法：三看（看角看名看式）三變（變角變名

變式）.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.

6.我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服號影算法”在《大衍歷》中建立了辱影長/與太陽

天頂距。（0’的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)

三角學(xué)知識可知，辱影長度/等于表高/?與太陽天頂距。正切值的乘積，即/=/7tan。.

若對同一“表高”兩次測量，“唇影長”分別是“表高”的2倍和3倍（所成角記4、

02）,則tan（G-g）=（）

5511

A.-B.——C.-D.一一

7777

6.D

【分析】

根據(jù)已知條件得出tan反、tan”的值，利用兩角差的正切公式可得結(jié)果.

【詳解】

由題意知tanq=2,tan%=3,所以

tan仇-tan02-3

tan（q-名）=2

1+tan4tan021+2x37

故選：D.

(7171\

7.已知1￡［-5，萬＞且3cos2a-8sina=5,則cosa的值為()

1

AR1c2血a

3333

7.C

【分析】

由已知等式結(jié)合二倍角余弦公式，可得(3sina+l)(sina+l)=0,根據(jù)a的范圍即

可求sina,進(jìn)而求cosar.

【詳解】

由已知等式得：3cos2a-8sina=3-6sin2a—8sina=5，

,|H

3sin-a+4sintz+l=(3sina+l)(sintz+1)=0,又［一］,萬卜

.?1Bnr.:~;-2V2

..sma=一§,即cosa="I-sirra=.

故選：C.

8.劉徽是中國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家，他提出“割圓求周”方法：當(dāng)"很大時，用圓內(nèi)

接正〃邊形的周長近似等于圓周長，并計算出精確度很高的圓周率萬a3.1416.在

《九章算術(shù)注》中總結(jié)出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周

合體而無所失矣”的極限思想.運用此思想，當(dāng)萬取3.1416時，可得sin20的近似值

A.0.00873B.0.01745C.0.02618D.0.03491

8.D

【分析】

由圓的垂徑定理，求得A8=2sin2°,根據(jù)扇形對應(yīng)的弦長之和近似于單位圓的周

長，列出方程，即可求解.

【詳解】

將一個單位圓分成90個扇形，則每個扇形的圓心角度數(shù)均為4。

由圓的垂徑定理，可得每個圓心角所對的弦長AB=2AC=2xlxsin20=2sin20,

因為這90個扇形對應(yīng)的弦長之和近似于單位圓的周長，

所以90x2xlxsin20=180sin20a2萬,

2x3.1416

所以sin2°?—=?0.03491.

180180

故選：D.

二、多選題

9.下列等式成立的是（）

n

.7171V2

A.cos2150-sin215°=—B.sin—cos—=

2884

C.1sin400+—cos40°=sin70°D.tan150=2-V3

22

9.ABD

【分析】

利用輔助角公式以及二倍角公式即可求解.

【詳解】

對于A,cos2150-sin215°=cos（15°+15°）=cos30°=~~，故A正確;

對于B,sin—cos—=—sin—=>故B正確;

88244

對于C,—sin40°+—cos40°=sin40°cos60+sin60cos40°

22

=sin（40°+60°）=sin100°=sin80°,故C錯誤;

對于D,tanl5°=tan（450-30）

1.3

tan45-tan303=2_^,故口正確.

1+tan45tan30V3

1+—

3

故選：ABD

10.（多選題）如圖所示的是一質(zhì)點做簡諧運動的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）

B.該質(zhì)點的振幅為5

C.該質(zhì)點在0.1s和0.5s時運動速度為零

D.該質(zhì)點的運動周期為0.8s

10.BCD

【分析】

由題圖求得質(zhì)點的振動周期可判定A錯，D正確；由該質(zhì)點的振幅，可判定B正確；

由簡諧運動的特點，可判定C正確.

【詳解】

由題圖可知，質(zhì)點的振動周期為2x（0.7—0.3）=0.8s,所以A錯，D正確；

該質(zhì)點的振幅為5,所以B正確；

由簡諧運動的特點知，質(zhì)點處于平衡位置時的速度最大，即在0.3s和0.7s時運動速度

最大，在0.1s和0.5s時運動速度為零，故C正確.

綜上，BCD正確.

故選：BCD.

11.下列函數(shù)周期為乃的是（）

A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanx

D.y=2sin|^2x+—j

11.CD

【分析】

求出各函數(shù)的周期后可得.

【詳解】

丫=$也%和丁=（：05；1:的周期是2乃，y=tanx的周期是乃，y=2sin[2x+?）的周

期是T=M=萬.

2

故選：CD.

V*

12.已知函數(shù)/（x）=sinz，則以下結(jié)論恒成立的是（）

A./(-%)=-/(%)B./(-x)=/(x)

C./(2萬-x)=/(x)D.f(7T+X)=f(7T-X)

12.ACD

【分析】

利用誘導(dǎo)公式逐個驗證即可得答案

【詳解】

Yx

解：對于A,B,/(-%)=sin(-^-)=-sin-=-/(%),所以A正確，B錯誤；

j-i-—.2zr-x.xx

對于C,7(2萬一x)=sin---=sin(^-^)=sin-=/(x),所以C正確；

7T4-X.7X、X

對于D,因為/(?+%)=sin——=sin(一+-)=cos—，

222

Y

/("x)=sin2=sm(22)=cos-,所以/〃r+x)=/(萬一x),所以D正

確，

故選：ACD

三、填空題

13.已知tan(a+?)=g,貝ijtana

1

13.——

3

【分析】

結(jié)合兩角和的正切公式化簡已知條件，由此求得tana.

【詳解】

2「+斗，.tana+111

>?=9/.tana=——

I4}21-tana23

故答案為：—

3

14.已知角a的終邊過點尸(l,y),若sina=>則y―

3

14.272

【分析】

利用三角函數(shù)的定義可求兒

【詳解】

y2>/2

由三角函數(shù)的定義可得sina=-j=~T~故y=2\/2.

Vr+1

故答案為：2>/^.

15.若cos(a-￡)=好，cos2a=M^,并且a,￡均為銳角且a<￡,則a+夕的值為

510

3兀

15.—

4

【分析】

求得cos(a+尸)的值，由此求得

【詳解】

0<6z+/7<^,-^<a-^<0,0<2<z<.T,sin(a-/?)=~^^-,sin2a

cos(a+^)=cos[2a—(a—/?)]

=cos2acos(a-￡)+sin2asin(a-￡)

72

x+

lo-Tio―_F)2

3兀

所以。+尸=—.

4

故答案為：—

4

16.折扇是一種用竹木做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子.用時須展開，成扇

形，聚頭散尾.如圖，某折扇的扇骨長度。4=15cm,扇面長度AB=10cm,已知折

3

扇展開所對圓心角的弧度為二，則扇面的面積為.

2

16.150cm2

【分析】

由扇形面積公式即可求出.

【詳解】

13,13,,

由題可知，扇面的面積為一X-X15--一x-x5-=150cm-.

2222

故答案為：150cmL

四、解答題

17.已知tana=』，求下列各式的值:

12

4sine-3cosa

(1)--------------；

5cosa+3sintz

(2)4sin2a-3cos2a

16、332

17.(1)——(2)-------

75169

【分析】

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切，即可求解（1）（2）的值，得到答案.

【詳解】

（1）由題意，知tana=2，則

“5°

4x---3

4sina—3cos。4tan?-31216

5cosa+3sina5+3tancz5+3x—75

12

(2)由

4sin2a-3cos2a_4tan2a-3332

4sin12(z-3cos2a=

sin2a+cos2atan2a+1769

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，著重考

查了推理與運算能力.

18.已知sina=|,

cos/?=-=，△是第三象限角，求

(1)cosa與sin￡的值；

(2)cos(a—耳).

,、4.〃533

18.(1)cos6z=—,sin(3—---；(2)—

51365

【分析】

（1）根據(jù)平方關(guān)系計算即可得出cosa,sin/?；

（2）由（1）的結(jié)果，結(jié)合兩角差的余弦公式求解即可.

【詳解】

1O

又由cosb=-g/是第三象限角得sin，=—y1-cos2P5

B

（2）由（1）得

cos(or一萬)=cosacos/?+sinasin/3=

19.已知函數(shù)/(x)=Zsinxcosx+cos?x-sin,x,求

(1)/(用的最小正周期；

7T

(2)當(dāng)xeQ,-時，求f(x)的最小值以及取得最小值時x的集合.

19.(1)71；⑵/(%=-1,此時X的集合為圖.

【分析】

27r

(1)利用倍角公式化簡整理函數(shù)/(X)的表達(dá)式，由周期丁=同.

冗54

(2)先求解2x+：e,由正弦函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.

4144_

【詳解】

(1)/(%)=2sinxcosx+cos2x-sin2x=sin2x+cos2x=v2sin2x+-J.

工函數(shù)/(x)的最小正周期T=夸二4.

(2)Vxe,/(%)=&sin(2x+C),/.2x+—G—f(x\.=-l.

2444,

..?.7C547C

此時2.XH—=—,??X=一.

442

/(x)取最小值時X的集合為

20.已知函數(shù)/(x)=sin0x+gcos<yx?>O)的最小正周期是7.

(1)求。值；

(2)求/(X)的對稱中心；

(3)將/(x)的圖象向右平移？個單位后，再將所得圖象所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來

的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

(k兀?454

20.(1)2；(2)—----,0,kGZ；(3)2k/r——,2k7r+——,kGZ.

I2666

【分析】

24

(1)由/(x)=2si:n69X+工|且T=—2=乃，即可求①值;

<3co

(2)由(1)知〃x)=2sin2x+2,結(jié)合正弦函數(shù)的對稱中心即可求〃x)的對

稱中心;

(3)由函數(shù)平移知g(x)=2sin,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求g(x)的單

調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】

(1)/(x)=sin69x+5/3cosft>x=2sina)x+—,又0>0,

I3J

??T2乃k

?I=---=71,

CD

???。=2.

(2)由(1)知，/(x)=2sin(2x+y._TC_AR.,kl7C

9令2xH—=k兀9解得x=--------

326

kjr兀

???/(x)的對稱中心是fceZ.

(3)將/(x)的圖像向右平移9個單位后可得：y=2sin2x-g,再將所得圖像

3\JJ

7t

橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變得到：g(x)=2sinx~~

TTITTTjTE

由2%〃一生<x—j42Qr+」，解得2%萬一上<x<2Qr+—,IceZ.

23266

jr57r

???g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2k*22k4+號,kwZ.

66

【點睛】

關(guān)鍵點點睛:

(1)應(yīng)用輔助角公式求三角函數(shù)解析式，結(jié)合最小正周期求參數(shù).

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的對稱中心，應(yīng)用整體代入求/(X)的對稱中心.

(3)由函數(shù)圖像平移得g(x)解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，應(yīng)用整體代入求

g(x)的單調(diào)增區(qū)間.

21.已知函數(shù)/(x)=2cos?x-l,xeR.

(i)求了(%")的值；

(2)求函數(shù)，a)的最小正周期；

⑶設(shè)g(x)=/([-x+V3cos2xf求g(x)在0,y上的值域.

\JL，_

21.(1)y；(2)]；(3)[-73,21；

【分析】

(1)由二倍角公式得/(x)=cos2x,代入即可求/閨的值；

(2)由(1)所得三角函數(shù)式即可求/(x)的最小正周期；

JT7TITIT47r

(3)由已知有g(shù)(x)=2sin(2x+—),0,-上有jW2尤+24——即可求值域.

3_2_333

【詳解】

(1)/(x)=2cos2x-1=cos2x

-2乃

(2)由(1)知：T=---=--=71；

⑷