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文檔簡介
江西省鄱陽縣2023-2024學年中考四模數(shù)學試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1.若二次函數(shù)的圖象經過點(﹣1,0),則方程的解為()A., B., C., D.,2.已知圓心在原點O,半徑為5的⊙O,則點P(-3,4)與⊙O的位置關系是()A.在⊙O內B.在⊙O上C.在⊙O外D.不能確定3.如圖1,點E為矩形ABCD的邊AD上一點,點P從點B出發(fā)沿BE→ED→DC運動到點C停止,點Q從點B出發(fā)沿BC運動到點C停止,它們運動的速度都是1cm/s.若點P、Q同時開始運動,設運動時間為t(s),△BPQ的面積為y(cm2),已知y與t之間的函數(shù)圖象如圖2所示.給出下列結論:①當0<t≤10時,△BPQ是等腰三角形;②S△ABE=48cm2;③14<t<22時,y=110﹣1t;④在運動過程中,使得△ABP是等腰三角形的P點一共有3個;⑤當△BPQ與△BEA相似時,t=14.1.其中正確結論的序號是()A.①④⑤ B.①②④ C.①③④ D.①③⑤4.如圖,在扇形CAB中,CA=4,∠CAB=120°,D為CA的中點,P為弧BC上一動點(不與C,B重合),則2PD+PB的最小值為()A.4+23 B.435.如圖,⊙O的半徑為1,△ABC是⊙O的內接三角形,連接OB、OC,若∠BAC與∠BOC互補,則弦BC的長為()A. B.2 C.3 D.1.56.已知,C是線段AB的黃金分割點,AC<BC,若AB=2,則BC=()A.3﹣ B.(+1) C.﹣1 D.(﹣1)7.在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的大致圖象如圖所示,則下列結論正確的是()A.a<0,b<0,c>0B.﹣=1C.a+b+c<0D.關于x的方程ax2+bx+c=﹣1有兩個不相等的實數(shù)根8.在﹣3,0,4,這四個數(shù)中,最大的數(shù)是()A.﹣3 B.0 C.4 D.9.已知平面內不同的兩點A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x軸的距離相等,則a的值為(
)A.﹣3 B.﹣5 C.1或﹣3 D.1或﹣510.有五名射擊運動員,教練為了分析他們成績的波動程度,應選擇下列統(tǒng)計量中的()A.方差 B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.如圖,正方形ABCD中,E是BC邊上一點,以E為圓心,EC為半徑的半圓與以A為圓心,AB為半徑的圓弧外切,則sin∠EAB的值為.12.已知正比例函數(shù)的圖像經過點M(-2,1)、Ax1,y1、Bx2,y13.如圖,點A、B、C是⊙O上的點,且∠ACB=40°,陰影部分的面積為2π,則此扇形的半徑為______.14.因式分解:_________________.15.《孫子算經》是中國古代重要的數(shù)學著作,成書于約一千五百年前,其中有首歌謠:“今有竿不知其長,量得影長一丈五尺,立一標桿,長一尺五寸,影長五寸,問竿長幾何?”意思就是:有一根竹竿不知道有多長,量出它在太陽下的影子長一丈五尺,同時立一根一尺五寸的小標桿(如圖所示),它的影長五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),則竹竿的長為_____.16.如圖,在平面直角坐標系中,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交矩形OABC的邊AB于點D,交BC于點E,且BE=2EC,若四邊形ODBE的面積為8,則k=_____.17.若關于的一元二次方程有實數(shù)根,則的取值范圍是________.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)十八屆五中全會出臺了全面實施一對夫婦可生育兩個孩子的政策,這是黨中央站在中華民族長遠發(fā)展的戰(zhàn)略高度作出的促進人口長期均衡發(fā)展的重大舉措.二孩政策出臺后,某家庭積極響應政府號召,準備生育兩個小孩(假設生男生女機會均等,且與順序無關).(1)該家庭生育兩胎,假設每胎都生育一個小孩,求這兩個小孩恰好都是女孩的概率;(2)該家庭生育兩胎,假設第一胎生育一個小孩,且第二胎生育一對雙胞胎,求這三個小孩中恰好是2女1男的概率.19.(5分)桌面上放有4張卡片,正面分別標有數(shù)字1,2,3,4,這些卡片除數(shù)字外完全相同.把這些卡片反面朝上洗勻后放在桌面上,甲從中任意抽出一張,記下卡片上的數(shù)字后仍放反面朝上放回洗勻,乙從中任意抽出一張,記下卡片上的數(shù)字,然后將這兩數(shù)相加.(1)請用列表或畫樹狀圖的方法求兩數(shù)和為5的概率;(2)若甲與乙按上述方式做游戲,當兩數(shù)之和為5時,甲勝;反之則乙勝;若甲勝一次得12分,那么乙勝一次得多少分,才能使這個游戲對雙方公平?20.(8分)嘉淇在做家庭作業(yè)時,不小心將墨汁弄倒,恰好覆蓋了題目的一部分:計算:(﹣7)0+|1﹣|+()﹣1﹣□+(﹣1)2018,經詢問,王老師告訴題目的正確答案是1.(1)求被覆蓋的這個數(shù)是多少?(2)若這個數(shù)恰好等于2tan(α﹣15)°,其中α為三角形一內角,求α的值.21.(10分)如圖1,已知直線y=kx與拋物線y=交于點A(3,6).(1)求直線y=kx的解析式和線段OA的長度;(2)點P為拋物線第一象限內的動點,過點P作直線PM,交x軸于點M(點M、O不重合),交直線OA于點Q,再過點Q作直線PM的垂線,交y軸于點N.試探究:線段QM與線段QN的長度之比是否為定值?如果是,求出這個定值;如果不是,說明理由;(3)如圖2,若點B為拋物線上對稱軸右側的點,點E在線段OA上(與點O、A不重合),點D(m,0)是x軸正半軸上的動點,且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD.繼續(xù)探究:m在什么范圍時,符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個?22.(10分)如圖是根據(jù)對某區(qū)初中三個年級學生課外閱讀的“漫畫叢書”、“科普常識”、“名人傳記”、“其它”中,最喜歡閱讀的一種讀物進行隨機抽樣調查,并繪制了下面不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖(每人必選一種讀物,并且只能選一種),根據(jù)提供的信息,解答下列問題:(1)求該區(qū)抽樣調查人數(shù);(2)補全條形統(tǒng)計圖,并求出最喜歡“其它”讀物的人數(shù)在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角度數(shù);(3)若該區(qū)有初中生14400人,估計該區(qū)有初中生最喜歡讀“名人傳記”的學生是多少人?23.(12分)如圖,在矩形ABCD中,AD=4,點E在邊AD上,連接CE,以CE為邊向右上方作正方形CEFG,作FH⊥AD,垂足為H,連接AF.(1)求證:FH=ED;(2)當AE為何值時,△AEF的面積最大?24.(14分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC為直徑作⊙O交AB于點D,取AC的中點E,邊結DE,OE、OD,求證:DE是⊙O的切線.
參考答案一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1、C【解析】
∵二次函數(shù)的圖象經過點(﹣1,0),∴方程一定有一個解為:x=﹣1,∵拋物線的對稱軸為:直線x=1,∴二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為:(3,0),∴方程的解為:,.故選C.考點:拋物線與x軸的交點.2、B.【解析】試題解析:∵OP=5,∴根據(jù)點到圓心的距離等于半徑,則知點在圓上.故選B.考點:1.點與圓的位置關系;2.坐標與圖形性質.3、D【解析】
根據(jù)題意,得到P、Q分別同時到達D、C可判斷①②,分段討論PQ位置后可以判斷③,再由等腰三角形的分類討論方法確定④,根據(jù)兩個點的相對位置判斷點P在DC上時,存在△BPQ與△BEA相似的可能性,分類討論計算即可.【詳解】解:由圖象可知,點Q到達C時,點P到E則BE=BC=10,ED=4故①正確則AE=10﹣4=6t=10時,△BPQ的面積等于∴AB=DC=8故故②錯誤當14<t<22時,故③正確;分別以A、B為圓心,AB為半徑畫圓,將兩圓交點連接即為AB垂直平分線則⊙A、⊙B及AB垂直平分線與點P運行路徑的交點是P,滿足△ABP是等腰三角形此時,滿足條件的點有4個,故④錯誤.∵△BEA為直角三角形∴只有點P在DC邊上時,有△BPQ與△BEA相似由已知,PQ=22﹣t∴當或時,△BPQ與△BEA相似分別將數(shù)值代入或,解得t=(舍去)或t=14.1故⑤正確故選:D.【點睛】本題是動點問題的函數(shù)圖象探究題,考查了三角形相似判定、等腰三角形判定,應用了分類討論和數(shù)形結合的數(shù)學思想.4、D【解析】
如圖,作∥∠PAP′=120°,則AP′=2AB=8,連接PP′,BP′,則∠1=∠2,推出△APD∽△ABP′,得到BP′=2PD,于是得到2PD+PB=BP′+PB≥PP′,根據(jù)勾股定理得到PP′=2+82+(2【詳解】如圖,作∥∠PAP′=120°,則AP′=2AB=8,連接PP′,BP′,則∠1=∠2,∵AP'AB∴△APD∽△ABP′,∴BP′=2PD,∴2PD+PB=BP′+PB≥PP′,∴PP′=2+82∴2PD+PB≥47,∴2PD+PB的最小值為47,故選D.【點睛】本題考查了軸對稱-最短距離問題,相似三角形的判定和性質,勾股定理,正確的作出輔助線是解題的關鍵.5、A【解析】分析:作OH⊥BC于H,首先證明∠BOC=120,在Rt△BOH中,BH=OB?sin60°=1×,即可推出BC=2BH=,詳解:作OH⊥BC于H.∵∠BOC=2∠BAC,∠BOC+∠BAC=180°,∴∠BOC=120°,∵OH⊥BC,OB=OC,∴BH=HC,∠BOH=∠HOC=60°,在Rt△BOH中,BH=OB?sin60°=1×=,∴BC=2BH=.故選A.點睛:本題考查三角形的外接圓與外心、銳角三角函數(shù)、垂徑定理等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線.6、C【解析】
根據(jù)黃金分割點的定義,知BC為較長線段;則BC=AB,代入數(shù)據(jù)即可得出BC的值.【詳解】解:由于C為線段AB=2的黃金分割點,且AC<BC,BC為較長線段;
則BC=2×=-1.
故答案為:-1.【點睛】本題考查了黃金分割,應該識記黃金分割的公式:較短的線段=原線段的倍,較長的線段=原線段的倍.7、D【解析】試題分析:根據(jù)圖像可得:a<0,b>0,c<0,則A錯誤;,則B錯誤;當x=1時,y=0,即a+b+c=0,則C錯誤;當y=-1時有兩個交點,即有兩個不相等的實數(shù)根,則正確,故選D.8、C【解析】試題分析:根據(jù)實數(shù)的大小比較法則,正數(shù)大于0,0大于負數(shù),兩個負數(shù)相比,絕對值大的反而?。虼?,在﹣3,0,1,這四個數(shù)中,﹣3<0<<1,最大的數(shù)是1.故選C.9、A【解析】分析:根據(jù)點A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x軸的距離相等,得到4=|2a+2|,即可解答.詳解:∵點A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x軸的距離相等,∴4=|2a+2|,a+2≠3,解得:a=?3,故選A.點睛:考查點的坐標的相關知識;用到的知識點為:到x軸和y軸的距離相等的點的橫縱坐標相等或互為相反數(shù).10、A【解析】試題分析:方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量,體現(xiàn)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性,集中程度;方差越大,即波動越大,數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定;反之,方差越小,數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.故教練要分析射擊運動員成績的波動程度,只需要知道訓練成績的方差即可.故選A.考點:1、計算器-平均數(shù),2、中位數(shù),3、眾數(shù),4、方差二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、.【解析】試題分析:設正方形的邊長為y,EC=x,由題意知,AE2=AB2+BE2,即(x+y)2=y2+(y-x)2,由于y≠0,化簡得y=4x,∴sin∠EAB=.考點:1.相切兩圓的性質;2.勾股定理;3.銳角三角函數(shù)的定義12、>【解析】分析:根據(jù)正比例函數(shù)的圖象經過點M(﹣1,1)可以求得該函數(shù)的解析式,然后根據(jù)正比例函數(shù)的性質即可解答本題.詳解:設該正比例函數(shù)的解析式為y=kx,則1=﹣1k,得:k=﹣0.5,∴y=﹣0.5x.∵正比例函數(shù)的圖象經過點A(x1,y1)、B(x1,y1),x1<x1,∴y1>y1.故答案為>.點睛:本題考查了正比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,解答本題的關鍵是明確題意,利用正比例函數(shù)的性質解答.13、3【解析】
根據(jù)圓周角定理可求出∠AOB的度數(shù),設扇形半徑為x,從而列出關于x的方程,求出答案.【詳解】由題意可知:∠AOB=2∠ACB=2×40°=80°,設扇形半徑為x,故陰影部分的面積為πx2×=×πx2=2π,故解得:x1=3,x2=-3(不合題意,舍去),故答案為3.【點睛】本題主要考查了圓周角定理以及扇形的面積求解,解本題的要點在于根據(jù)題意列出關于x的方程,從而得到答案.14、【解析】
提公因式法和應用公式法因式分解.【詳解】解:.故答案為:【點睛】本題考查因式分解,要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式,若有公因式,則把它提取出來,之后再觀察是否是完全平方式或平方差式,若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式.15、四丈五尺【解析】
根據(jù)同一時刻物高與影長成正比可得出結論.【詳解】解:設竹竿的長度為x尺,∵竹竿的影長=一丈五尺=15尺,標桿長=一尺五寸=1.5尺,影長五寸=0.5尺,∴=,解得x=45(尺).故答案為:四丈五尺.【點睛】本題考查的是相似三角形的應用,熟知同一時刻物髙與影長成正比是解答此題的關鍵.16、1【解析】
連接OB,由矩形的性質和已知條件得出△OBD的面積=△OBE的面積=四邊形ODBE的面積,再求出△OCE的面積為2,即可得出k的值.【詳解】連接OB,如圖所示:∵四邊形OABC是矩形,∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°,△OAB的面積=△OBC的面積,∵D、E在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,∴△OAD的面積=△OCE的面積,∴△OBD的面積=△OBE的面積=四邊形ODBE的面積=1,∵BE=2EC,∴△OCE的面積=△OBE的面積=2,∴k=1.故答案為:1.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義:在反比例函數(shù)y=xk圖象中任取一點,過這一個點向x軸和y軸分別作垂線,與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|.在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線,這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是|k|,且保持不變.17、【解析】
由題意可得,△=9-4m≥0,由此求得m的范圍.【詳解】∵關于x的一元二次方程x2-3x+m=0有實數(shù)根,∴△=9-4m≥0,求得m≤.故答案為:【點睛】本題考核知識點:一元二次方程根判別式.解題關鍵點:理解一元二次方程根判別式的意義.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(1)P(兩個小孩都是女孩)=;(2)P(三個小孩中恰好是2女1男)=.【解析】
(1)畫出樹狀圖即可解題,(2)畫出樹狀圖即可解題.【詳解】(1)畫樹狀圖如下:由樹狀圖可知,生育兩胎共有4種等可能結果,而這兩個小孩恰好都是女孩的有1種可能,∴P(兩個小孩都是女孩)=.(2)畫樹狀圖如下:由樹狀圖可知,生育兩胎共有8種等可能結果,其中這三個小孩中恰好是2女1男的有3種結果,∴P(三個小孩中恰好是2女1男)=.【點睛】本題考查了畫樹狀圖求解概率,中等難度,畫出樹狀圖找到所有可能性是解題關鍵.19、(1)詳見解析;(2)4分.【解析】
(1)根據(jù)題意用列表法求出答案;(2)算出甲乙獲勝的概率,從而求出乙勝一次的得分.【詳解】(1)列表如下:由列表可得:P(數(shù)字之和為5)=,(2)因為P(甲勝)=,P(乙勝)=,∴甲勝一次得12分,要使這個游戲對雙方公平,乙勝一次得分應為:12÷3=4分.【點睛】本題考查概率問題中的公平性問題,解決本題的關鍵是計算出各種情況的概率,然后比較即可.20、(1)2;(2)α=75°.【解析】
(1)直接利用絕對值的性質以及負指數(shù)冪的性質以及零指數(shù)冪的性質分別化簡得出答案;(2)直接利用特殊角的三角函數(shù)值計算得出答案.【詳解】解:(1)原式=1+﹣1+﹣□+1=1,∴□=1+﹣1++1﹣1=2;(2)∵α為三角形一內角,∴0°<α<180°,∴﹣15°<(α﹣15)°<165°,∵2tan(α﹣15)°=,∴α﹣15°=60°,∴α=75°.【點睛】此題主要考查了實數(shù)運算,正確化簡各數(shù)是解題關鍵.21、(1)y=2x,OA=,(2)是一個定值,,(3)當時,E點只有1個,當時,E點有2個?!窘馕觥浚?)把點A(3,6)代入y=kx得;∵6=3k,∴k=2,∴y=2x.OA=.(2)是一個定值,理由如下:如答圖1,過點Q作QG⊥y軸于點G,QH⊥x軸于點H.①當QH與QM重合時,顯然QG與QN重合,此時;②當QH與QM不重合時,∵QN⊥QM,QG⊥QH不妨設點H,G分別在x、y軸的正半軸上,∴∠MQH=∠GQN,又∵∠QHM=∠QGN=90°∴△QHM∽△QGN…(5分),∴,當點P、Q在拋物線和直線上不同位置時,同理可得.①①如答圖2,延長AB交x軸于點F,過點F作FC⊥OA于點C,過點A作AR⊥x軸于點R∵∠AOD=∠BAE,∴AF=OF,∴OC=AC=OA=∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC,∴△AOR∽△FOC,∴,∴OF=,∴點F(,0),設點B(x,),過點B作BK⊥AR于點K,則△AKB∽△ARF,∴,即,解得x1=6,x2=3(舍去),∴點B(6,2),∴BK=6﹣3=3,AK=6﹣2=4,∴AB=5(求AB也可采用下面的方法)設直線AF為y=kx+b(k≠0)把點A(3,6),點F(,0)代入得k=,b=10,∴,∴,∴(舍去),,∴B(6,2),∴AB=5在△ABE與△OED中∵∠BAE=∠BED,∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB,∴∠ABE=∠DEO,∵∠BAE=∠EOD,∴△ABE∽△OED.設OE=x,則AE=﹣x(),由△ABE∽△OED得,∴∴()∴頂點為(,)如答圖3,當時,OE=x=,此時E點有1個;當時,任取一個m的值都對應著兩個x值,此時E點有2個.∴當時,E點只有1個當時,E點有2個22、(1)該區(qū)抽樣調查的人數(shù)是2400人;(2)見解析,最喜歡“其它”讀物的人數(shù)在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角是度數(shù)21.6°;(3)估計最喜歡讀“名人傳記”的學生是4896人【解析】
(1)由“科普知識”人數(shù)及其百分比可得總人數(shù);(2)總人數(shù)乘以“漫畫叢書”的人數(shù)求得其人數(shù)即可補全圖形,用360°乘以“其他”人數(shù)所占比例可得;(3)總人數(shù)乘以“名人傳記”的百分比可得.【詳解】(1)840÷35%=2400(人),∴該區(qū)抽樣調查的人數(shù)是2400人;(2)2400×25%=600(人),∴該區(qū)抽樣調查最喜歡“漫畫叢書”的人數(shù)是600人,補全圖形如下:×360°=21.6°,∴最喜歡“其它”讀物的
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