2023-2024學(xué)年北京市第五十七中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年北京市第五十七中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共50分）1.已知拋物線方程為x2=2y，則其準(zhǔn)線方程為(

)A.y=?1 B.x=?1 C.x=?12 2.已知角a的終邊在第三象限，且tanα=2，則sinα?cosA.?1 B.1 C.?553.已知P為橢圓C:x24+y2b2=1A.1 B.2 C.3 D.44.已知雙曲線C:x2a2?yA.2 B.3 C.2 5.已知x,y∈R，且x+y>0，則(

)A.1x+1y>0 B.x36.已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)Pnxn,ynA.xn是等差數(shù)列 B.xn是等比數(shù)列 C.yn是等差數(shù)列 7.已知圓C過點(diǎn)A?1,2，B1,0，則圓心C到原點(diǎn)距離的最小值為(

)A.12 B.22 C.18.已知函數(shù)fx=sin2x+π4，則“α=π8A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(1,1)，B(2,1)，C(2,2)，P是圓M:x2+(y?4)2=2上一點(diǎn)，Q是?ABCA.8+22 B.12 C.8+410.已知?jiǎng)又本€l與圓O:x2+y2=4交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB=120°.若l與圓A.10?46 B.1 C.4二、填空題（每小題5分，共25分）11.已知a,b均為實(shí)數(shù).若b+i=ia+i，則a+b=

．12.已知圓C:x2+y2+2x=0，則圓C的半徑為

；若直線y=kx被圓C截得的弦長為1，則13.已知拋物線C:y2=4x與橢圓D:x2a2+y2b2=1?(a>b>0)有一個(gè)公共焦點(diǎn)F，則點(diǎn)F的坐標(biāo)是

；若拋物線的準(zhǔn)線與橢圓交于A,B14.已知fx=sinx+cosx的圖象向右平移aa>0個(gè)單位后得到gx的圖象，則函數(shù)gx的最大值為

；若f15.已知四邊形ABCD是橢圓M:x22+y2=1的內(nèi)接四邊形，其對角線AC和①四邊形ABCD是平行四邊形；②存在四邊形ABCD是菱形；③存在四邊形ABCD使得∠AOD=91④存在四邊形ABCD使得|AC|其中所有正確結(jié)論的序號為

．三、解答題（共75分）16.已知函數(shù)f(x)=4sinωx2cos(ωx2?π3)+m?(ω>0).在下列條件(1)求f(π(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,?a]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最大值．條件①：f(x)最小正周期為π；條件②：f(x)最大值與最小值之和為0；條件③：f(0)=2．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．17.在ΔABC中，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，且ADDB=13.記(1)求證：ACBC(2)若α=π6，β=π2，AB=18.如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD⊥平面PAB,AB//DC,E為棱PB的中點(diǎn)，平面DCE與棱PA相交于點(diǎn)F，且PA=AB=AD=2CD=2，再從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．條件①：PB=BD；條件②：PA⊥BC．(1)求證：AB//EF；(2)求點(diǎn)P到平面DCEF的距離；(3)已知點(diǎn)M在棱PC上，直線BM與平面DCEF所成角的正弦值為23，求PMPC19.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為F1,0，離心率為22，直線l過點(diǎn)F且不平行于坐標(biāo)軸，(1)求橢圓C的方程：(2)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(3)延長線段OM與橢圓C交于點(diǎn)P，若四邊形OAPB為平行四邊形，求此時(shí)直線l的斜率．20.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為3(1)求橢圓C的方程．(2)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在y軸的右側(cè)．直線PA，PB與直線x=4分別交于M，N兩點(diǎn)．若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍及EF的最大值．21.設(shè)m為正整數(shù)，若無窮數(shù)列an滿足aik+i=aik+i(1)數(shù)列n是否為P1(2)已知an=s,n=2k1+1,k1∈Zt,n=2k(3)已知P3數(shù)列an滿足a1<0，a8=2，答案1.D

2.C

3.C

4.D

5.B

6.A

7.B

8.A

9.B

10.D

11.0

12.1；±13.(1,0)；14.2

；；

；π15.①③④

16.f(x)=4=sin選擇條件①②：(1)由條件①得，T=2π|ω|=π，又因?yàn)棣?gt;0由②知，(2+3+m)+(?2+則f(x)=2sin(2x?π(2)令?π2+2kπ≤2x?所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[?π因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0,a]上單調(diào)遞增，且0∈[?π12,所以a≤5π12，故實(shí)數(shù)a的最大值為選擇條件①③：(1)由條件①得，T=2π|ω|=π，又因?yàn)棣?gt;0由③知，f(0)=2sin(?π則f(x)=2sin(2x?π(2)令?π2+2kπ≤2x?所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[?π因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0,a]上單調(diào)遞增，且0∈[?π12,所以a≤5π12，故實(shí)數(shù)a的最大值為說明：不可以選擇條件②③：由②知，(2+3+m)+(?2+由③知，f(0)=2sin(?π所以函數(shù)f(x)不能同時(shí)滿足條件②和③．17.(1)由正弦定理，在ΔACD中ACsin∠ADC=ADsinα，在ΔBCD中BCsin∠BDC=(2)因?yàn)棣?π6，β=π2，由(1)得ACBC=sinπ23sinπ6=318.(1)選擇條件①：(1)因?yàn)锳B//DC,AB?平面DCEF,DC?平面DCEF，所以AB//平面DCEF．又因?yàn)锳B?平面PAB，平面PAB∩平面DCEF=EF，所以AB//EF．選擇條件②：解法同上(2)選擇條件①：因?yàn)锳D⊥平面PAB，PA,AB?平面PAB，所以AD⊥PA,AD⊥AB．又因?yàn)镻B=BD,PA=AB=AD=2CD=2，所以?PAB≌?DAB．因此∠PAB=∠DAB=90°，即如圖，以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP的方向分別為x軸，所以D0,2,0由(1)，得AB//EF，且E為棱PB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)F為棱PA的中點(diǎn)．E1,0,1故FP=設(shè)平面DCEF的一個(gè)法向量為n=則DF取y=1，則x=0,z=2，即n=所以點(diǎn)P到平面DCEF的距離d=FP選擇條件②：因?yàn)锳D⊥平面PAB，PA,AB?平面PAB所以AD⊥PA,AD⊥AB，又因?yàn)镻A⊥BC,BC與AD相交，BC,AD?平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB，即AB,AD,AP兩兩垂直．以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系及以下步驟同上；(3)選擇條件①：設(shè)PMPC則PM=λ所以BM=設(shè)直線BM與平面DCEF所成角為θ，所以sinθ=化簡得9λ2?6λ+1=0即PMPC選擇條件②：解法同上19.(1)由題意可知，c=1，e=c∵a∴a=2，∴橢圓的方程為x2(2)設(shè)直線l的方程為y=kx?1k≠0，Ax聯(lián)立y=kx?1x22+則x1∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)，∴xM=∴k∴k(3)若四邊形OAPB為平行四邊形，則OA+OB∴x3=∵點(diǎn)P在橢圓上，∴4解得k2=1∴當(dāng)四邊形OAPB為平行四邊形時(shí)，直線l的斜率為k=±

20.(1)由題意，可得b=1，e=ca=3橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(2)解法1：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,y00<x0≤2，點(diǎn)∴kPA=y0同理：直線PB的方程為y=y直線PA與直線x=4的交點(diǎn)為M4,直線PB與直線x=4的交點(diǎn)為N4,∵線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為4,4∴圓的方程為(x?4)令y=0，則(x?4)∵x02∴(x?4)∵這個(gè)圓與x軸相交，該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，∴5?8x0設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為x1,0，x2∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．解法2：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,y00<x0≤2，點(diǎn)∴kPA=y0同理：直線PB的方程為y=y直線PA與直線x=4的交點(diǎn)為M4,直線PB與直線x=4的交點(diǎn)為N4,若以MN為直徑的圓與x軸相交，則4y即16y02∵x∴y02?1x該圓的直徑為4y圓心到x軸的距離為12該圓在x軸上截得的弦長為2∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．解法3：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,y00<x0≤2，點(diǎn)∴kPA=y同理：直線PB的方程為y=y直線PA與直線x=4的交點(diǎn)為M4,直線PB與直線x=4的交點(diǎn)為N4,∴|MN|=4圓心到x軸的距離為12若該圓與x軸相交，則1?4x0∵x024+y0該圓在x軸上截得的弦長為2∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．解法4：記點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為(4,0)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,y0，點(diǎn)M的坐標(biāo)為4,m，點(diǎn)由已知可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為0,?1．∴AP的直線方程為y=y0?1x0令x=4，分別可得m=4y0∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為4,4y0?1x若以MN為直徑的圓與x軸相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∵EH⊥MN，∴EHEH2∵x∴y02∴x∴EF∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．解法5：設(shè)直線OP與x=4交于點(diǎn)T．∵M(jìn)N//y軸，∴有APPM=AO∴AOTM=BOTN，TN又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,y00<令x=4，得y=4y0x0，∴而r=TN=4x0?1，若以MN為直徑的圓與則d=4y0∵x02∴5x02?8x∵0<x0≤2∴EF∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．21.(1)∵an=符合P1的定義，故數(shù)列an=n(2)依題意，a2=t，因?yàn)閍n是P2數(shù)列，a3=a由①②兩式解得t=?1,s=0．(3)∵an是P3數(shù)列，∴∴a

a9=a1×8+1=a由①②得a6=0,又因?yàn)閍7+1=2，