高中數(shù)學(xué)人教版（A版）選擇性必修 第三冊(2019)-新課標(biāo)數(shù)學(xué)資料 公開課教案課件教學(xué)設(shè)計資料

8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性（2課時）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課選自人教版《普通高中數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)》選擇性必修第三

冊P93頁"成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性”，通過研究成對樣本數(shù)據(jù)，按照

“先定性，后定量”的邏輯順序，研究兩個變量之間的統(tǒng)計相關(guān)性。

2.內(nèi)容解析

在必修課程中，學(xué)習(xí)了關(guān)于單個變量的觀察數(shù)據(jù)的直觀表示和統(tǒng)

計特征的刻畫等知識與方法，但是在現(xiàn)實中，還需要了解兩個或兩個

以上變量之間的關(guān)系.通過成對樣本數(shù)據(jù)研究兩個變量之間的相關(guān)關(guān)

系按照先直觀描述后定量刻畫的原則.先學(xué)習(xí)通過散點圖的分布規(guī)律

直觀推斷兩個變量的相關(guān)關(guān)系，借助散點圖判斷兩個變量是否具有相

關(guān)性，若具有相關(guān)性時，觀察一個變量的值增加，另一個變量的相應(yīng)

值是增加的還是減少的，即能夠分辨兩個變量之間是正相關(guān)還是負相

關(guān)，再觀察當(dāng)散點散落在一條直線附近時兩個變量成線性相關(guān).最后

通過樣本相關(guān)系數(shù)定量得刻畫兩個變量相關(guān)相關(guān)性的程度.通過詳細

呈現(xiàn)樣本相關(guān)系數(shù)的構(gòu)建過程，能夠使學(xué)生更好的理解樣本相關(guān)系數(shù)

的統(tǒng)計含義.主要蘊含了統(tǒng)計中以樣本估計總體的思想.

通過必修中的學(xué)習(xí)，學(xué)生已具備了對單變量的統(tǒng)計描述、統(tǒng)計推

斷能力，已經(jīng)初步建立了用樣本估計總體的思想，同時具有一定的數(shù)

據(jù)分析能力，能讀懂一些簡單的統(tǒng)計圖表，為后面學(xué)習(xí)如何通過成對

樣數(shù)據(jù)的散點圖得到兩變量之間的相關(guān)性奠定了基礎(chǔ).學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)

了函數(shù)、三角函數(shù)和向量，熟悉一元線性函數(shù)的圖像、三角函數(shù)的夾

角以及向量的數(shù)量積，為后續(xù)將樣本相關(guān)系數(shù)改成n維向量的數(shù)量積

的學(xué)習(xí)做了知識的鋪墊.最后，學(xué)生已完成一定難度的信息技術(shù)的課

程，具有一定的編程的能力，經(jīng)過老師的示范和指導(dǎo)，能夠理解并快

速上手一些簡單的統(tǒng)計軟件的操作.

3.教學(xué)重點

理解成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系概念，了解相關(guān)關(guān)系與因果關(guān)系的

不同.通過散點圖對成對樣本數(shù)據(jù)的進行定性分析.理解樣本相關(guān)系

數(shù)的相關(guān)概念，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義.

二、目標(biāo)與目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

(1)理解相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計含義，了解相關(guān)關(guān)系與因果關(guān)系的不

同，會通過散點圖比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系.

(2)結(jié)合實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關(guān)

系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系，能夠利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷兩個

變量的相關(guān)關(guān)系的程度.

(3)結(jié)合實例，會通過散點圖和相關(guān)系數(shù)分析多組成對樣本數(shù)

據(jù)的相關(guān)性情況.

2.目標(biāo)解析

達成目標(biāo)(1)的標(biāo)志：能例舉身邊的具體事例分析兩變量之間

的相關(guān)關(guān)系，并且根據(jù)實例說出相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)實含義.通過對比相關(guān)

關(guān)系與因果關(guān)系，分辨出相關(guān)關(guān)系不是因果關(guān)系，有相關(guān)關(guān)系不一定

有因果關(guān)系.能通過觀察成對數(shù)據(jù)的散點圖，正確判斷兩個變量之間

的是否存在相關(guān)關(guān)系、如有相關(guān)性的話，是線性相關(guān)還是非線性，是

正相關(guān)還是負相關(guān).

達成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：能通過具體的實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)

的構(gòu)建過程，能夠正確闡述樣本相關(guān)系數(shù)的構(gòu)造思路以及樣本相關(guān)系

數(shù)的公式，理解中心化和標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)處理的意義.能夠?qū)⑾蛄康臄?shù)

量積計算從二維推廣到〃維，掌握將“標(biāo)準(zhǔn)化”的成對數(shù)據(jù)拆成兩個

“維向量，將樣本相關(guān)系數(shù)廠改寫成兩個“維的數(shù)量積，從而通過運算

得到r=cos。，能根據(jù)「的數(shù)值對兩個變量的相關(guān)性程度進行判斷.

達成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：結(jié)合實例，先進行軟件繪圖散點圖，通過

散點圖先進行定性的兩變量的相關(guān)性分析.對于樣本量比較少的成對

樣本數(shù)據(jù)，能正確利用樣本相關(guān)系數(shù)公式對多組成對樣本數(shù)據(jù)進行計

算，獲得樣本相關(guān)系數(shù)，對于樣本量比較大的成對樣本數(shù)據(jù)能夠運用

統(tǒng)計軟件進行樣本相關(guān)系數(shù)的計算.最后結(jié)合散點圖和樣本相關(guān)系數(shù)

對兩變量的相關(guān)性做出分析.

三、教學(xué)問題診斷分析

1.問題診斷

首先，在相關(guān)關(guān)系的認識中，學(xué)生容易把相關(guān)關(guān)系錯誤理解成一

種因果關(guān)系，即一個變量的變化是由另一個變量的變化導(dǎo)致的.其實,

相關(guān)關(guān)系只是表明兩個變量在取值上表現(xiàn)出某種規(guī)律性，并不意味著

兩個變量之間存在相互影響.

其次，學(xué)生以往學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，都是從定義出發(fā)使用演繹推理

的方法證明結(jié)論.演繹推理是從一般到特殊的推理，只要前提正確、推

理形式正確，得到的結(jié)論必然正確，具有確定性.而統(tǒng)計是從樣本數(shù)據(jù)

出發(fā)，是從部分到總體、特殊到一般的推理，即使前提正確并不意味

著得到的結(jié)論一定正確，統(tǒng)計推斷具有不確定性.學(xué)生難以理解統(tǒng)計

學(xué)科此特性.

再次，學(xué)生對樣本相關(guān)系數(shù)的理解容易只停留在公式層面，而不

能理解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義.

最后，在以往的學(xué)習(xí)中由于比較強調(diào)數(shù)學(xué)運算，導(dǎo)致學(xué)生還未形

成借助信息技術(shù)來解決實際問題的思維和能力.

2.教學(xué)難點

(1)相關(guān)關(guān)系與因果關(guān)系的區(qū)別

(2)了解統(tǒng)計的不完全歸納的不確定性與數(shù)學(xué)的演繹推理的確

定性的不同

(3)樣本相關(guān)系數(shù)的構(gòu)建過程

(4)借助計算機進行數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)計算

四、教學(xué)支持條件分析

為了幫助學(xué)生更好的體會統(tǒng)計學(xué)是依靠數(shù)據(jù)說話的學(xué)科特性，教

師另外又準(zhǔn)備了幾個實例,這幾個實例的兩變量之間的相關(guān)關(guān)系的正

負性與學(xué)生憑借經(jīng)驗做出的預(yù)判是相反的，可利用信息技術(shù)軟件(如

R語言、Excel等)快捷地發(fā)現(xiàn)憑借經(jīng)驗判斷相關(guān)關(guān)系的不足之處.進

而自然的引出為了客觀、理性地研究變量之間的相關(guān)關(guān)系，需要借助

數(shù)據(jù)說話，顯示出通過數(shù)據(jù)研究相關(guān)關(guān)系的必要性.同時通過這幾個實

例,辨析了相關(guān)關(guān)系與因果關(guān)系的不同.整個過程突出了統(tǒng)計通過數(shù)據(jù)

研究問題的學(xué)科特點同時給學(xué)生滲透了理性思維和科學(xué)精神.

五、教學(xué)過程設(shè)計

5.1第一課時（變量的相關(guān)關(guān)系）

環(huán)節(jié)1:統(tǒng)計眼光，看待生活

教師先通過幾個生活中常見的例子進入課堂，例如，根據(jù)學(xué)生以

往的學(xué)習(xí)情況，統(tǒng)計學(xué)能幫學(xué)生分析是否能考上清華或浙大；抖音會

通過分析用戶的瀏覽習(xí)慣分析出用戶的喜好，再推送用戶感興趣的小

視頻；淘寶會通過用戶的搜索的關(guān)鍵字和瀏覽路徑，以及停留的時長

等用戶習(xí)慣，精準(zhǔn)定位用戶的需求，給用戶推送想要買的商品；負責(zé)

疫情管控的政府決策者可以運用統(tǒng)計學(xué)來判斷疫情的情況，做出是否

需要加大疫情管控力度的決策等.

問題1：必修中都學(xué)習(xí)了哪些統(tǒng)計知識？

教師通過這個問題，幫助學(xué)生快速回憶和梳理必修中學(xué)習(xí)過得統(tǒng)

計知識，主要包括抽取數(shù)據(jù)的基本途徑、隨機抽樣、統(tǒng)計圖表、用樣

本估計總體四大知識單元。

追問1：在你心中，統(tǒng)計是什么？

教師帶領(lǐng)著學(xué)生自由發(fā)揮，讓大家談?wù)劯髯孕哪恐袑y(tǒng)計的理解,

最后給出統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的學(xué)術(shù)定義，即統(tǒng)計是收集、處理、分析、解釋

數(shù)據(jù)并且從數(shù)據(jù)中心得到結(jié)論的科學(xué)。帶領(lǐng)學(xué)生體會數(shù)據(jù)對于統(tǒng)計的

重要性。

設(shè)計意圖：通過貼近生活有趣的例子，幫助學(xué)生體會統(tǒng)計是無處

不在的，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計的積極性。通過教師的提問，學(xué)生能快速

回憶起必修中統(tǒng)計涉及的知識內(nèi)容，解決學(xué)生因時間間隔太久，遺忘

統(tǒng)計知識點問題，為接下來的統(tǒng)計學(xué)習(xí)做好鋪墊。教師引導(dǎo)學(xué)生談?wù)?/p>

自己對統(tǒng)計的理解，有助于教師了解學(xué)情，引導(dǎo)學(xué)生體會統(tǒng)計是基于

數(shù)據(jù)的學(xué)科，統(tǒng)計的根基在于數(shù)據(jù)。

環(huán)節(jié)2：多變量問題，從成對數(shù)據(jù)開始

問題2:8班總分是否比其他班優(yōu)秀？8班成績優(yōu)秀與班主任管

理水平、分班前學(xué)生自身水平、常規(guī)表現(xiàn)、上課睡覺人數(shù)、交作業(yè)情

況、跑操狀況這些因素中的哪些因素有關(guān)？

教師通過第一個問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，要研究8班是否比其他班

優(yōu)秀只需要知道各班的總分成績的數(shù)據(jù)，即研究單一變量——各班的

總分成績，可以用必修中的統(tǒng)計知識解決，教師從而引出必修中統(tǒng)計

學(xué)知識的特點：都是針對單一變量。而第二個問題，不僅需要知道8

班的成績這個變量的數(shù)據(jù)，還需要知道其他6個變量的數(shù)據(jù)，因此研

究的是多個變量的問題。從而引出生活中更多涉及的是多個變量之間

的問題，現(xiàn)在從最簡單的雙變量開始，對應(yīng)的是成對樣本數(shù)據(jù)，為第

八章的學(xué)習(xí)起了頭。

設(shè)計意圖：

通過兩個問題，讓學(xué)生體會單變量問題和多變量問題，發(fā)現(xiàn)必修

中的統(tǒng)計知識只使用單變?nèi)R尼，進而自然的開啟了成對樣本數(shù)據(jù)的相

關(guān)性研究。

問題3兩個變量的關(guān)系有哪些，你能舉個例子嗎？

學(xué)生思考回答兩個變量的相關(guān)關(guān)系有函數(shù)關(guān)系，師生共同回憶函

數(shù)關(guān)系的嚴(yán)格定義，學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)定義是個對應(yīng)的、確定的關(guān)系。

追問1結(jié)合生活中4個實例，思考y隨x變化如何變化？x是決

定y的唯一因素嗎，如果不是還有哪些影響因素？x確定的時候y的

值確定嗎，即x和y之間是函數(shù)關(guān)系嗎？

學(xué)生按照這個思路，分析課本中4個生活的事例，體會到生活中

兩變量關(guān)系除了函數(shù)關(guān)系，還有一種關(guān)系不確定的關(guān)系，教師自然的

引入相關(guān)關(guān)系的定義.

追問2辨析相關(guān)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？相關(guān)關(guān)系是因果關(guān)系嗎？

根據(jù)統(tǒng)計的學(xué)科特性，教師應(yīng)用了“夏天時，冷飲的銷量和溺水

率會同步增高或減少"，幫助學(xué)生體會相關(guān)關(guān)系不是因果關(guān)系。再通

過更離譜的例子，即尼古拉斯凱奇主演的電影和美國泳池溺水人數(shù),

學(xué)生會發(fā)現(xiàn)尼古拉斯凱奇和美國泳池溺水人數(shù)有很強的相關(guān)性，但是

這個用因果關(guān)系是解釋不通，帶領(lǐng)學(xué)生體會相關(guān)關(guān)系與因果關(guān)系的不

同.

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追問3憑借個人的經(jīng)驗對兩變量之間的關(guān)系做出判斷可靠嗎？

如果不可靠，判斷兩個變量的相關(guān)系的依據(jù)是什么？

教師依舊通過大量的實例幫助學(xué)生體會不能憑借個人的經(jīng)驗對

兩個變量之間的相關(guān)性做出判斷，因為依靠經(jīng)驗做出判斷非常有局限

性，如果這個人在這個領(lǐng)域很有經(jīng)驗，可能做出判斷是正確的，如果

這個人在這個領(lǐng)域沒有經(jīng)驗甚至是毫不了解的時候，則很難做出正確

的判斷，根據(jù)統(tǒng)計是立足于數(shù)據(jù)的學(xué)科，學(xué)生會輕易得到要依賴數(shù)據(jù)

進行分析才是王道。

設(shè)計意圖：幫助回憶函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生體會函數(shù)關(guān)系是確定性的

關(guān)系。緊接著讓學(xué)生分析4個生活事例，發(fā)現(xiàn)生活中兩個變量可能有

關(guān)系但是不能明確到由其中一個決定另一個，即相關(guān)關(guān)系，且相關(guān)關(guān)

系更常見。從而自然引出相關(guān)關(guān)系的定義。根據(jù)統(tǒng)計學(xué)的特性，通過

大量的例子，生動形象得幫助學(xué)生理解相關(guān)關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系也不

是因果，幫助學(xué)生體會兩個變量的相關(guān)關(guān)系不能憑借經(jīng)驗進行判斷,

應(yīng)該依靠數(shù)據(jù)，增強了學(xué)生統(tǒng)計的素養(yǎng)。

環(huán)節(jié)3：繪散點圖，看相關(guān)性

問題4表1中是一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數(shù)據(jù)，觀察

此樣本數(shù)據(jù)，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎么樣的關(guān)系

嗎？

追問1表1中的數(shù)據(jù)是什么類型呢？為了更加直觀地描述上述成

對樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關(guān)系，結(jié)合必修中學(xué)習(xí)的統(tǒng)計知

識,有沒有更好的呈現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)的方法？

表1

編號1234567

年齡/歲23273941454959

脂肪含9.517.821.225.927.526.328.2

量%

編號891011121314

年齡/歲53545657586061

脂肪含29.30.231.430.833.535.234.6

量%6

追問2繪制散點圖，除了人工外，還有更好的方法嗎？你知道哪

些軟件可以繪制散點圖的嗎？

追問3從圖2的散點圖中，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)有什么特征？你能讀

出兩變量之間的什么信息嗎？請你講一講.

追問4如果成對樣本數(shù)據(jù)中有一個樣本數(shù)據(jù)為P點所示位置，

這個點是與其他的樣本點有什么不同呢？為什么會產(chǎn)生這樣的點？

圖2

師生活動：對于人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的實例，師生結(jié)

合其樣本數(shù)據(jù)，通過觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)人體的脂肪含量隨著年齡的增長而

增大，兩者是有相關(guān)關(guān)系的。師生共同觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)此樣本的成對

數(shù)據(jù)是數(shù)值型數(shù)據(jù)，為了更加直觀地描述成對樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與

年齡之間的關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生思考用統(tǒng)計圖形展示成對樣本數(shù)據(jù).

用橫坐標(biāo)表示年齡，縱坐標(biāo)表示脂肪含量，成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角

坐標(biāo)系中的點表示出來,從而引出了散點圖.觀察發(fā)現(xiàn),這些散點大致

落在一條從左下角到額直線附近,師生得出隨著年齡的增加，脂肪含

量有呈現(xiàn)增高的趨勢.在此基礎(chǔ)上，教師從整體角度給出了兩個變量正

相關(guān)和負相關(guān)的定義似及線性相關(guān)的定義.最后教師展示用統(tǒng)計軟件

R軟件繪制散點圖，讓學(xué)生體會統(tǒng)計軟件處理數(shù)據(jù)的便捷性和必要性.

最后探討奇異值，概括出散點圖能發(fā)現(xiàn)奇異值的特點.

設(shè)計意圖：結(jié)合教科書探究欄中的“人體的脂肪含量和年齡”案

例，通過數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)人體的脂肪含量隨著年齡的增大而增大.通過教師

的提問，引發(fā)學(xué)生思考數(shù)據(jù)類型，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)據(jù)的敏感度，使學(xué)生

知道對于不同的數(shù)據(jù)類型要使用不同的統(tǒng)計方法.針對成對數(shù)值型的

數(shù)據(jù)，掌握用散點圖這一統(tǒng)計圖形對數(shù)據(jù)進行直觀化表示，并從中初

步了解數(shù)據(jù)的特征或蘊含的規(guī)律，體會散點圖的優(yōu)勢.在學(xué)生描述完

成對樣本數(shù)據(jù)的特征以及其規(guī)律后，順著學(xué)生的邏輯更好、更自然地

引出了兩變量正相關(guān)、負相關(guān)、線性相關(guān)的定義，使得學(xué)生能更深層

地理解散點圖的的成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計含義.最后突出了散點

圖較表格能更容易發(fā)現(xiàn)奇異值的特點.

問題5觀察圖3中的散點圖，分析兩變量之間的相關(guān)性。

圖3

1212-12

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(1)(2)(3)

師生活動：師生共同分析3張散點圖，發(fā)現(xiàn)（1）中的散點落在

某條曲線附近，而不是直線附近，說明搞兩個變量具有相關(guān)性但不是

線性的。（2）中的散點落在一條折線附近，這兩個變量也具有一定的

相關(guān)性。（3）中的散點雜亂無章毫無規(guī)律，因此兩變量沒有相關(guān)性。

設(shè)計意圖：前面學(xué)生通過圖1已經(jīng)知道了數(shù)據(jù)成線性相關(guān)時的散

點圖的特性?，F(xiàn)通過3張具體的散點圖，讓學(xué)生進一步加深對散點圖

的理解，更深入的了解散點圖所包含的樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性，同時

讓學(xué)生了解非線性相關(guān)的散點圖的樣子，以及線性不相關(guān)的散點圖又

是如何的。通過展示各類散點圖，生動形象地引入了非線性相關(guān)概念。

環(huán)節(jié)4：歸納小結(jié)，凝練所學(xué)

問題6回顧一下兩變量的相關(guān)關(guān)系，我們主要都學(xué)習(xí)了什么呢？

師生活動：先讓學(xué)生自己總結(jié)，再進行互動交流，最后教師進行

總結(jié)，強調(diào)本課的重點和難點.

設(shè)計意圖：回顧兩變量之間的關(guān)系除了函數(shù)關(guān)系還有相關(guān)關(guān)系，

回顧相關(guān)關(guān)系的概念，辨別相關(guān)關(guān)系不同于函數(shù)關(guān)系和因果關(guān)系。相

關(guān)關(guān)系中分為正相關(guān)、負相關(guān)，線性相關(guān)和非線性相關(guān)。最后，利用

相關(guān)關(guān)系的知識點能通過成對數(shù)據(jù)的散點圖讀懂兩個變量的相關(guān)性。

通過知識點梳理總結(jié)，能夠加強學(xué)生的統(tǒng)計思維和統(tǒng)計素養(yǎng)，幫助學(xué)生

抓住成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系的重難點，為下節(jié)課的樣本相關(guān)系數(shù)奠定了

基礎(chǔ).

5.2第二課時（樣本相關(guān)系數(shù)）

環(huán)節(jié)1：定性不夠，定量來湊

上節(jié)課學(xué)習(xí)了兩個樣本的相關(guān)性，并且學(xué)習(xí)了通過成對樣本數(shù)據(jù)

的散點圖分析兩個變量之間的相關(guān)性。

問題1回憶一下，你能從散點圖中讀出兩變量之間相關(guān)關(guān)系的

哪些信息呢？

追問2現(xiàn)有兩個樣本總體，你能分析兩個總體中哪個總體的兩

個變量之間的相關(guān)性更強呢？強多少？能通過散點圖判斷兩變量之

間相關(guān)程度的強弱嗎？

追問3能否像引入平均值、方差等數(shù)字特征對單個變量數(shù)據(jù)進行

分析那樣，對成對數(shù)據(jù)的相關(guān)程度也引入一個適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”？

師生活動：師生共同回顧上節(jié)課兩變量之間的相關(guān)關(guān)系內(nèi)容，可

以發(fā)現(xiàn)成對數(shù)據(jù)的散點圖雖然非常直觀，但是對兩變量的相關(guān)關(guān)系的

分析只能局限在定性的分析.結(jié)合具體的例子，學(xué)生更好得體會到這

個問題，如果想進行定量的分析，即需要對兩個總體的兩變量之間相

關(guān)關(guān)系程度的大小進行判斷，散點圖就做不到，為這節(jié)課做好鋪墊.

設(shè)計意圖：通過回顧舊知加深學(xué)生對兩變量的相關(guān)關(guān)系的理解,

增強學(xué)生的統(tǒng)計素養(yǎng).跟著教師的提問，學(xué)生發(fā)現(xiàn)散點圖對兩變量之

間的關(guān)系只能進行定性的判斷和分析，但不能進行定量的判斷，具有

局限性，進而讓學(xué)生體會到了學(xué)習(xí)一個具有定量分析功能的統(tǒng)計量的

必要性.

環(huán)節(jié)2：先中心化，初構(gòu)統(tǒng)計量

對于變量X和變量y,經(jīng)過隨機抽樣獲得的成對數(shù)據(jù)為

（X],y）,（馬，丁2），（工3，為），…，（X"，"）.其中%,%2，…，X"和X，必，…，%的均值分別為元和父

以課本表8.1-1中人體脂肪與年齡這組成對數(shù)據(jù)為例對數(shù)據(jù)進行中心

化.

問題1數(shù)據(jù)的中心在哪里？成對樣本數(shù)據(jù)各個分量減去各自對

應(yīng)的均值后，數(shù)據(jù)中心發(fā)生了什么變化？

追問1觀察“中心化”后的人體脂肪與年齡這組成對數(shù)據(jù)的散點

圖，有何特征？為何會呈現(xiàn)這樣的特征趨勢？

統(tǒng)計學(xué)家利用正相關(guān)變量和負相關(guān)變量的成對樣本數(shù)據(jù)平移后

呈現(xiàn)的規(guī)律，構(gòu)造一個度量成對樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負相關(guān)的數(shù)字

特征Lxy.

追問2觀察4的表達式蘊含了什么邏輯？如何通過4對兩個

變量的相關(guān)性進行判斷？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生對人體脂肪含量與年齡這組成對數(shù)據(jù)進

行中心化處理，即成對

數(shù)據(jù)（玉,M）,（程％）,“3,%），…，（x",笫）減去各自的均值，將數(shù)據(jù)的中心移到零點，得到平

移后的成對數(shù)據(jù)（西-五,y-歹）,（乙-元月-2，…，（x,-X,y?-9）并繪制散點留學(xué)生觀察散點

圖可以發(fā)現(xiàn)中心化以后的數(shù)據(jù)大多數(shù)分布在第一象限、第三象限，這

是形的角度，從數(shù)據(jù)的角度描述這件事，即散點的橫、縱坐標(biāo)同號通

過類比歸納學(xué)生可以得到，變量x與y負相關(guān)時，中心化后的大多數(shù)散

點會在二、四象限，（玉-￡）和（y7虜號.教師通過引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合中心化后

數(shù)據(jù)的特性，構(gòu)建一個度量成對樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負相關(guān)的統(tǒng)計

量%,其中

4-刃+（電8此9）+…+@-砌券-陽

師生一起探究％是如何表示兩變量的相關(guān)關(guān)系以及相關(guān)關(guān)系的強弱,

可以發(fā)現(xiàn)一般情形下

4?V,>0表明成對數(shù)據(jù)正相關(guān)，4<0表明成對數(shù)據(jù)負相關(guān).

追問3%可以作為描述非線性相關(guān)的成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)性強弱

的數(shù)字特征嗎？請說明理由.

師生活動：教師通過例舉二次函數(shù)上的樣本點作為例子，發(fā)現(xiàn)

%>o

表明成對數(shù)據(jù)正相關(guān)，4,<o表明成對數(shù)據(jù)負相關(guān)這個判斷標(biāo)準(zhǔn)在此時失效了。使

學(xué)生體會到%不能作為非線性相關(guān)的相關(guān)性強度度量得數(shù)字特征。

追問44除了適用范圍，還有其他局限性嗎？

師生活動：為了幫助學(xué)生更好的理解4V會受量綱影響這件事，對

例3中身高和臂展這同一組成對樣本數(shù)據(jù)，教師改變樣本數(shù)據(jù)的度量

單位，學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)%的值會發(fā)生變化，即兩變量間相關(guān)關(guān)系程度也

發(fā)生了變化，得出變量的度量單位會影響&這個統(tǒng)計量，因此用統(tǒng)

計量具有瑕疵，需要進一步改進.同時帶領(lǐng)學(xué)生觀察此時的臂展數(shù)據(jù)

的量級在1上下，而身高數(shù)據(jù)的量級在160上下，因此4.的數(shù)據(jù)的

大小主要受數(shù)值較大的變量影響，這也是不合理的，因此度量兩變量

的相關(guān)性強弱的數(shù)字特征需要消除量綱，把兩個變量都壓縮在同一個

范圍內(nèi)，變成無量綱的兩個變量.

設(shè)計意圖：教師通過提問的方式，對數(shù)據(jù)進行“中心化”的操作

是超越學(xué)生認知范圍的，因此此處設(shè)計以教師引導(dǎo)為主.中心化又叫

零均值化，實質(zhì)就是平移，使平移后所有數(shù)據(jù)的中心是（0。），且中心

化以后的成對樣本數(shù)據(jù)的正負相關(guān)性與中心化后的橫、縱坐標(biāo)同、異

號之間的關(guān)系，利用這個特性構(gòu)造出了一個統(tǒng)計量%.統(tǒng)計量的4的

正負性與成對數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系的正負性相同.再通過具體的例子讓學(xué)生

體會/只能用來度量線性相關(guān)的強弱.再通過改變成對數(shù)據(jù)中變量的

度量單位使得表示同一組樣本成對數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系的《會出現(xiàn)不同的

值，繼而自然的引導(dǎo)學(xué)生思考統(tǒng)計量4的設(shè)計缺陷，為下面的成對數(shù)

據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化做好鋪墊洞時讓學(xué)生體會構(gòu)建樣本相關(guān)系數(shù)過程的合理性.

環(huán)節(jié)3：再標(biāo)準(zhǔn)化，構(gòu)建樣本相關(guān)系數(shù)

問題1如何能夠消除單位量級對統(tǒng)計量%的影響？

追問1能仿造/>,的構(gòu)造邏輯，構(gòu)建一個新的統(tǒng)計量嗎？

追問2觀察樣本相關(guān)系數(shù)，?的書寫表達式，有沒有似曾相識的

感覺？

追問3樣本相關(guān)系數(shù)廠的取值范圍是？

追問4當(dāng)|小1時，成對樣本數(shù)據(jù)之間具有怎樣的關(guān)系呢？當(dāng)

加=0時，成對樣本數(shù)據(jù)之間具有怎樣的關(guān)系呢？

追問5你能總結(jié)一下，如何通過樣本相關(guān)系數(shù)廠判斷成對樣本數(shù)

據(jù)的相關(guān)性的強弱嗎？

師生互動：教師介紹幾種標(biāo)準(zhǔn)化的方法，最后引出對成對數(shù)據(jù)除

以各自的方差可以消除度量單位的影響.為了幫助學(xué)生理解，教師還

通過R軟件示范了一下中心化標(biāo)準(zhǔn)化，學(xué)生從數(shù)據(jù)中體會標(biāo)準(zhǔn)化。仿

照/統(tǒng)計量構(gòu)建的邏輯，構(gòu)建出了樣本相關(guān)系數(shù)，

應(yīng)七一守點（—A

V/=1V/=）

類比4統(tǒng)計量學(xué)生容易得到樣本相關(guān)系數(shù)—>0時，成對樣本數(shù)

據(jù)正相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)r<0時，成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān).在運用樣本相

關(guān)系數(shù)廠判斷成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性的強弱之前，需要知道樣本相關(guān)

系數(shù)/?的取值范圍.

教師通過提問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)況+…+%%）的書寫形式

n

很像向量的數(shù)量積。因此教師帶領(lǐng)學(xué)生回憶空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表

示，進而推廣到〃維空間，可以類比

三維空間定義出禰向量不曲的數(shù)量積，其中。=（4，%,…石=（4也,…包），其中

。為一和潮夾角，則

a*h=。也+七4+…+凡/?”.

對于“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對數(shù)據(jù)（與總底網(wǎng)），…，（七”），教師引導(dǎo)學(xué)

生將第一分量構(gòu)成一^"b”維向量￡=（斗々,…毛）,第二分量構(gòu)成一^"b”維

向量》=（必,必，???、"）.學(xué)生觀察r的結(jié)構(gòu)，可以得到歹忻|cos6.

nn1111

又因為慟=回=?,所以學(xué)生可以快速證明樣本相關(guān)系數(shù)-cos"因為

8為向量x和y的夾角，由TMcos”l,學(xué)生探究得到變量x和變量），的樣本

相關(guān)系數(shù)的取值范圍.

結(jié)合教師的提問，學(xué)生思考得當(dāng)卜1=1時，。=0或內(nèi)心根據(jù)向量的知識^和爐

共線.由向量的共線性可知，存在實數(shù)4使得爐=/U；即上二￡=丸上二三,i=l,2,3,

SyS，

…,〃?教師引導(dǎo)學(xué)生思考，得出成對樣本數(shù)據(jù)(七,》)都落在了直線y-歹=2士亙

S,

上.即成對樣本數(shù)據(jù)的兩個分量之間存在一種線性關(guān)系.由此，學(xué)生得到樣本相

關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性關(guān)系的程度:當(dāng)M越接近

1時，兩個向量越接近平行，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強GI越接近。時，

兩個向量越接近垂直，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

學(xué)生總結(jié)出兩個隨機變量的相關(guān)性可以通過成對樣本數(shù)據(jù)進行

分析，，?的符號反映了相關(guān)關(guān)系的正負性；卜I的大小反映了兩個變量

線性關(guān)系的程度，即散點集中于一條直線的程度.學(xué)生結(jié)合本課堂所

有知識8.1-5的四幅圖進行實操，分別對每組成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)

系和相關(guān)關(guān)系強弱進行分析.

設(shè)計意圖：為了消除度量單位的影響，對成對數(shù)據(jù)進行了“標(biāo)準(zhǔn)

化”的操作，即減去平均數(shù)除以方差.標(biāo)準(zhǔn)化又叫歸一化，使有量綱的

數(shù)據(jù)全部變成在(0,1)內(nèi)無量綱的數(shù)據(jù),仿照4的構(gòu)造，構(gòu)造出樣本

相關(guān)系數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生闡述樣本相關(guān)系數(shù)，?的正負性與成對樣本數(shù)據(jù)相

關(guān)關(guān)系的正負的對應(yīng)關(guān)系.

為了探究樣本相關(guān)系數(shù)的大小與成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度之間的

關(guān)系，教師首先引導(dǎo)學(xué)生探究樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍，通過觀察樣

本相關(guān)系數(shù)，?的書寫結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)很像向量的數(shù)量積作為切入點.回憶三

維向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，并推廣到“維向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再

引導(dǎo)學(xué)生將成對樣本數(shù)據(jù)拆分成兩個”維向量，將樣本相關(guān)系數(shù)，.寫

成〃維向量數(shù)量積的形式，通過多維向量的數(shù)量積，證明了樣本相關(guān)

系數(shù)廠就是標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)夾角的余弦值，得到樣本相關(guān)系數(shù)，?的取值范

圍為[-1,1],自然而然的通過向量夾角來理解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義,

探究樣本相關(guān)系數(shù)