2023海淀區(qū)高中數(shù)學(xué)(理)一模試卷及答案

海淀區(qū)高三年級(jí)其次學(xué)期期中練習(xí)

數(shù)學(xué)(理科)2023.4

本試卷共4頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上

作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題紙交回。

第一部分(選擇題，共40分)

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選

出符合題目要求的一項(xiàng)。

(1)已知集合4={0,。},3={%|-l<x<2},且4口3,則?？梢允?/p>

(A)-1(B)0(C)1(D)2

(2)已知向量a=(1,2),Z>=(—1,0),貝！la+2〃=

(A)(-1,2)(B)(-1,4)(C)(1,2)(D)(1,4)

(3)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為(開(kāi)始)

(A)2(B)6

k=0,s=0

(C)8(D)10<---------------k=k+\

是_______1____

—?s=s+A?2”

/輸出S/

(結(jié)束)

(4)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,若四邊形ABC。及

其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為M,且尸(x,y)為M中隨意一點(diǎn)，

則>一次的最大值為

(A)1(B)2

(C)-1(D)-2

(5)已知。，(為正實(shí)數(shù),則“。>1,b>l”是“l(fā)ga+lgb>0”的()

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(6)如圖所示，一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體在一個(gè)水平放置的轉(zhuǎn)盤上轉(zhuǎn)動(dòng)，用垂直于豎直墻面

的水平光線照射，該正方體在豎直墻面上的投影的面積記作S,則S的值不行能是

43

(C)(D)-

32

(7)下列函數(shù)/(x)中，其圖象上隨意一點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)都滿足條件的函數(shù)是

(A)/(x)=x3(B)f(x)=y/x(C)f(x)=ev-1(D)/(x)=ln(x+l)

(8)已知點(diǎn)Af在圓G：(xT>+(yT)2=l上，點(diǎn)%在圓。2：(》+1)2+(丁+1)2=1

上，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

(A)OMON的取值范圍為［―3-2加,0］

(B)|。加+ON|的取值范圍為［0,2夜］

(C)|。府-。的取值范圍為［2播-2,20+2］

(D)若OM=2ON,則實(shí)數(shù)2的取值范圍為［—3—2及,—3+2近］

其次部分(非選擇題，共110分)

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

C*

(9)復(fù)數(shù)一.

1+1

T2

(10)已知點(diǎn)(2,0)是雙曲線C:一■一/=1的一個(gè)頂點(diǎn)，則c的離心率為.

a

x=2tfx=2+cos。八

(11)直線<(/為參數(shù))與曲線4.八(。為參數(shù))的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.

y=t［y=sin6

(12)在AABC中，若c=2,a=C,/A=°,則sinC=_______,cos2C=________.

6

(13)一次數(shù)學(xué)會(huì)議中，有五位老師來(lái)自A,3,C三所學(xué)校，其中A學(xué)校有2位，3學(xué)校有

2位，C學(xué)校有1位。現(xiàn)在五位老師排成一排照相，若要求來(lái)自同一學(xué)校的老師不相鄰，則

共有種不同的站隊(duì)方法.

/、x,x..a,

(14)已知/(x)=

X-JA,A\U.

①若/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是；

②當(dāng)心一2時(shí)，則滿足〃x)+/(x—l)>—3的x的取值范圍是.

三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

(15)(本小題13分)

已知f(x)=2>/3sinxcosx+2cos2x-\

IT

(I)求/(-)的值；

6

(II)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

(16)(本小題13分)

流行性感冒多由病毒引起，據(jù)調(diào)查，空氣月平均相對(duì)濕度過(guò)大或過(guò)小時(shí)，都有利于一些

病毒繁殖和傳播.科學(xué)測(cè)定，當(dāng)空氣月平均相對(duì)濕度大于65%或小于40%時(shí)，有利于病毒

繁殖和傳播.下表記錄了某年甲、乙兩個(gè)城市12個(gè)月的空氣月平均相對(duì)濕度。

第一季度其次季度第三季度第四季度

1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月

甲地54%39%46%54%56%67%64%66%78%72%72%59%

乙地38%34%31%42%54%66%69%65%62%70%a%b%

(I)從上表12個(gè)月中，隨機(jī)取出1個(gè)月，求該月甲地空氣月平均相對(duì)濕度有利于病毒繁

殖和傳播的概率；

(II)從上表第一季度和其次季度的6個(gè)月中隨機(jī)取出2個(gè)月，記這2個(gè)月中甲、乙兩地空

氣月平均相對(duì)濕度都有利于病毒繁殖和傳播的月份的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列；

(HI)若a+h=108,設(shè)乙地上表12個(gè)月的空氣月平均相對(duì)濕度的中位數(shù)為M,求M的

最大值和最小值.(只需寫出結(jié)論)

(17)(本小題14分)

已知三棱錐P-A8C(如圖1)的平面綻開(kāi)圖(如圖2)中，四邊形A8CQ為邊長(zhǎng)為0

的正方形，△4BE和△BCF均為正三角形.在三棱錐P-ABC中：

(I)證明：平面出C_L平面A8C；

(II)求二面角A-PC-B的余弦值；

(IH)若點(diǎn)M在棱PC上，滿足絲=九，XG，點(diǎn)、N在棱BP上,且

CP|_33j

求出BN的取值范圍.

BP

(18)(本小題13分)

Inx

已知函數(shù)/(x)=——

x+a

(I)當(dāng)4=0時(shí)，求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間;

（II）當(dāng)。＞0時(shí)，若函數(shù)/（X）的最大值為《，求a的值.

e

（19）（本小題14分）

1+W=l(a>b>0)的離心率為*5

已知橢圓C：，且點(diǎn)T（2,l）在橢圓上.設(shè)與OT

ab2

平行的直線/與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，直線TP,TQ分別與x軸正半軸交于M,N兩點(diǎn).

（I）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）推斷|OM|+|ON|的值是否為定值，并證明你的結(jié)論.

（20）（本小題13分）

Zj4,2L4“、

2,1a2-,2L%2,n?

設(shè)A==是由1,2,3,…，〃2組成一個(gè)〃行〃列的數(shù)

MM0M

a

、。兒1n,2Lann)

表（每個(gè)數(shù)恰好出現(xiàn)一次），且〃wN*.

若存在1W/4〃，使得q.j既是第i行中的最大值，也是第/列中的最小值,

則稱數(shù)表A為一個(gè)“N-數(shù)表”，.為數(shù)表A的一個(gè)“N—值”.

對(duì)隨意給定的〃，全部“N-數(shù)表”構(gòu)成的集合記作。

（I）推斷下列數(shù)表是否是“N-數(shù)表”.若是，寫出它的一個(gè)“N-值”

23](147、

A=456,B=825

89j16

93,

(II)求證：若數(shù)表A是“N—數(shù)表”，則A的“N-值”是唯一的；

(HI)在。矽中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)表A,記A的“N-值”為X,求X的數(shù)學(xué)期望E(X).

海淀區(qū)高三年級(jí)其次學(xué)期期中練習(xí)

數(shù)學(xué)（理）參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2023.4

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

要求的一項(xiàng)。

題號(hào)12345678

答案cADBADDB

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

題號(hào)910ii121314

75B1

答案1+i248X>—1

VT3

注：第12、14題第一空均為3分，其次空均為2分。

三、解答題共6小題，共80分。解答題應(yīng)寫出解答步驟。

15.（本題滿分13分）

(I)/(—)=2>/3sincos~+2cos2

=2百x—x—+2x

22

23分

(II)/(x)=\/3sin2x+cos2x

-2sin(2x+—)

JITT

因?yàn)楹瘮?shù)〉=5m》的單調(diào)遞增區(qū)間為2k7T--,2k7r+-(ZeZ),

[I'J/

令2k4---<2%+—<24乃+—(ZwZ),

262

7C71

解得k7r---<x<kjvH—(ZeZ),

36

TTTT

故了(龍)的單調(diào)遞增區(qū)間為伙萬(wàn)一￡次乃+二](ZeZ).................13分

16.（本題滿分13分）

（1）設(shè)事務(wù)A：從上表12個(gè)月中，隨機(jī)取出1個(gè)月，該月甲地空氣月平均相對(duì)濕度有利

于病毒繁殖和傳播.用A,表示事務(wù)抽取的月份為第i月，則

￡1={4,4,4,4，&，4,4,4,4,40,41，42）共12個(gè)基本事件,

A={4，A，4,4,4O,4J共6個(gè)基本事件，

所以，P（A）=—=-...........................................4分

122

（II）在第一季度和其次季度的6個(gè)月中，甲、乙兩地空氣月平均相對(duì)濕度都有利于病毒繁

殖和傳播的月份只有2月和6月，故X全部可能的取值為0，I，2.

p(x=o)=4=92r'C18C21

P(X=1)=十P(X=2)=式

C；1551515

隨機(jī)變量X的分布列為

X012

281

P

51515

(HI)M的最大值為58%,最小值為54%.13分

17.(本題滿分14分)

(I)方法1：

設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接30,PO.由題意

PA=PB=PC=6,PO=1，A0=30=C0=l

因?yàn)樵谥?，PA=PC,。為4C的中點(diǎn)

所以POLAC,

因?yàn)樵?OB中，PO=1,OB=1,PB=O

所以PO人OB

因?yàn)锳CC\OB=O,AC,OBu平面ABC

所以PO_L平面ABC

因?yàn)镻Ou平面PAC.................................................................................4分

所以平面%CL平面4BC

方法2：

設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接30,P0.

因?yàn)樵谥?，PA^PC,。為AC的中點(diǎn)

所以PO1AC,

因?yàn)镻A=PB=PC,PO=PO=PO,AO=BO=CO

所以\POA^POB\POC

所以APOA=APOB=ZPOC=90°

所以POA.OB

因?yàn)锳CC\OB^O,AC,O8u平面ABC

所以PO_L平面ABC

因?yàn)镻Ou平面PAC..........................................................................4分

所以平面Q4cl平面ABC

方法3：

設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接P0,因?yàn)樵贏E4c中，PA=PC,

所以P01AC

設(shè)A3的中點(diǎn)0，連接PQ,。。及OB.

因?yàn)樵凇?。鉆中，OA=OB,0為AB的中點(diǎn)

所以O(shè)Q_LAB.

因?yàn)樵贏R4B中，PA=PB，。為46的中點(diǎn)

所以PQ1AB.

因?yàn)镻Q[}OQ=Q,PQ,OQu平面。P。

所以ABJ_平面OPQ

因?yàn)镺Pu平面。PQ

所以O(shè)PVAB

因?yàn)锳3f|AC=A,A8,ACu平面ABC

所以PO_L平面ABC

因?yàn)镻Ou平面PAC............................................................4分

所以平面R4C_L平面ABC

(II)由尸O_L平面ABC,OBLAC,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

0(0,0,0),C(l,0,0),8(0,1,0),A(-l,0,0),P(0,0,l)

由OB_L平面APC,故平面APC的法向量為。B=(0,1,0)

由3C=(l,-l,0),PC=(1,O,-1)

設(shè)平面PBC的法向量為〃=(x,y,z),則

由，

x-z=0

令X=l,得y=l,Z=l,即〃=(1』,1)

nOB1_>/3

cos<n，OB>=

\n\-\OB\V3.1-3

由二面角A—PC-3是銳二面角,

所以二面角A—PC—B的余弦值為立.............................9分

3

(III)設(shè)BN-iBP,0<//<1,則

BM=BC+CM=5C+ACP=(1,-1,O)+2(-1,(),1)=(1-2,-1,2)

AN=AB+BN=AB+〃BP=(1,1,0)+〃(0,-1,1)=(1,1

令BM-AN=。

得(1_%)」+(-1).(1_〃)+/1.4=0

0I

即〃=--=1——〃是關(guān)于2的單調(diào)遞增函數(shù)，

1+A1+A

當(dāng)幾時(shí),馬，

3345

s、BN12八

所以而*中7n.................................................14分

18.(本題滿分13分)

InY

(I)當(dāng)a=0時(shí)，/(%)=——

x

1,

--x-lnx

故/(x)=j—1-lnx

2

JCx

令f'(x)>0,得0<x<e

故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e)......................................4分

x+a1,at

——InxId---------\nx

(II)方法1：,⑶xx

(X+Q)2(X+Q)2

令g(x)=l+——Inx

x

e,/、a1x+a八

則g(x)=—T—=------r~v0

XXX

u+l

由g(e)=?>0,^(e)=l+-^T-(l+?)=?-(-^T-l)<0

<,+1

故存在x()G(e,e),g(&))=0

故。的值為e?.

(H)方法2：/(x)的最大值為二的充要條件為對(duì)隨意的xe(0,yo),且存

e-x+ae-

lnx1-,

在/G(0,+oo),使得一”n=F,等價(jià)于對(duì)隨意的xe(0,+8),a?e21nx—X且存

-

x0+ae

2

在X。e(0,+oo),使得a>eInx0-x0,

等價(jià)于g(x)=屋Inx-x的最大值為a.

令g'(x)=O,得x=e2.

X(0,e2)e2(e2,+oo)

g'a)+0—

g(x)/極大值

故g(x)的最大值為g(e?)=e2Ine?-e2=e2,即a=e2..................13分

(19)(本小題14分)

(I)由題意儲(chǔ)2一從=。2,

a2

解得：a-2\/2，b-V2?c=V6

22

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^-=1................................5分

82

(II)假設(shè)直線TP或TQ的斜率不存在，則P點(diǎn)或。點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-1),直線/的方程

為y+l=；(x-2),即y=；x-2.

聯(lián)立方程J,得％2一以+4=0,

此時(shí)，直線/與橢圓C相切，不合題意.

故直線TP和TQ的斜率存在.

方法1：

設(shè)尸(4乂)，Q(x2,y2),則

直線7。：丁一1=五二。一2)

X2-2

故|0M|=2-|ON|=2-土|

y,-iy2T

由直線OT:y=gx,設(shè)直線PQ:y=〈x+f(r/0)

聯(lián)立方程，\82二川+2田+2產(chǎn)-4=0

當(dāng)△>()時(shí)，Xj+x2=-It,X]?％2=2/2-4

\OM\+\ON\=4-(^1+^|)

y,-iy2T

=4—(產(chǎn)2—+產(chǎn)2—)

~Xj+Z-1-%2一[

_玉％+Q—2)(X[+x)—4(Z—1)

A2=4-----------------------------------------

11,

—XtX2+—(?-l)(X,+%2)+Q_1)~

.2r2-4+(/-2)(-2r)-4(/-l)

14分

方法2：

設(shè)P(』,y),Q(x2,y2),直線7P和T。的斜率分別為仁和42

由OT:y=；x,設(shè)直線PQ:y=；x+/(f。0)

聯(lián)立方程，VJ^x2+2tx+2t2-4=0

y=-x~\~t

r2

2

當(dāng)△>()時(shí)，X,+x2=-2t,xt-x2=It-4

1,1,

一X.+z—1-x9+z_1

=2J12-

X1-2—2

%1%2+(，-2)(X|+X2)—4(/—1)

二(%—2)(——2)―

_2?—4+?-2)(-2。-4(1-1)

一(%-2)(馬-2)

=0

故直線7P和直線T。的斜率和為零

故ZTMN=ZTNM

故TM=TN

故T在線段MN的中垂線上，即MN的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2

故|OM|+|QN|=4............................................14分

20.(本題滿分13分)

(I)A是“N-數(shù)表”，其"N-值”為3,8不是“N-數(shù)表................3分

(II)假設(shè)和田,「均是數(shù)表A的“N-值”，

①若i=r,則=max{aiA,ai2,...,ain}=max{ari,a..2arn)=4V；

②若j=j',則%/=min{4j,a2j,…,%/=min{q,/,a2j,,...,a“j}=q.j.；

③若iHi',//則一方面

aij=max{q1,《”??，％“}>0,/>min{a,r,a2r,...,an;.}=arr,

另一方面

avr=max&i，%，…，4”}〉%j〉min{q.,a2j,...,an,}—aj.；

沖突.即若數(shù)表A是“N-數(shù)表”，則其"N-值”是唯一的................8分

(III)方法1：

對(duì)隨意的由1，2，3,…，361組成的19行19列的數(shù)表A=(%)93

定義數(shù)表B=(4,)回］9如下，將數(shù)表A的第，行，第J列的元素寫在數(shù)表B的第j行,

第，列,即

b”=%,j(其中1KjK19,1<J<19)

明顯有：

①數(shù)表B是由1，2.3,…，361組成的19