高中數(shù)學(xué)信息給予題

高中數(shù)學(xué)信息給予題選編

X

f(x)=—:——(XGR)

1.一次研究性課堂上，老師給出函數(shù)1+1刈，三位同學(xué)甲、乙、丙在研

究此函數(shù)時(shí)分別給出命題：

甲：函數(shù)“X)的值域?yàn)?-1,1)；

乙:若X]WX2，則一定有f(X1)#/(X2)；

力(x)=/(%),/?(%)=/(/?,!W),則/?(%)=-~~

丙：若規(guī)定1+〃1劉對任意"6N恒成

立.你認(rèn)為上述三個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)有

()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

2.直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，如果函數(shù)“X)的圖象恰好通過

個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)“X)為k階格點(diǎn)函數(shù).下列函數(shù)：①/(x)=sinx；②/(X)=RX-1)2+3

③-I'；④"x)=log0.6X.其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有①②④(填上所有滿足題

的序號)

3若判斷框內(nèi)填入&則下面的程序框圖輸出的結(jié)果為132.

4.給出30個(gè)數(shù)：1,2,4,7,11,……其規(guī)律是

第一個(gè)數(shù)是1,

第二數(shù)比第一個(gè)數(shù)大1,

第三個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)大2,

第四個(gè)數(shù)比第三個(gè)數(shù)大3,……

以此類推，要計(jì)算這30個(gè)數(shù)的和，現(xiàn)已給出了該問題

的程序框圖如右圖所示，那么框圖中判斷框①處和執(zhí)行

框②處應(yīng)分別填入()

A.，W30?；p=p+i-1

B./W29?；夕=夕+/+1

C.iW31?；p=p+i

D._zW30?；p=p+i

3

sin230°+cos?60°+sin30°cos60°=—

5.觀察等式：4,

sin220°+cos250°+sin20°cos50°=—

4和

3

sin215°+cos2450+sin150cos45°=—

4,…，由此得出以下推廣命題不正頓的是

①—

sin2a4-cos2-+sinacos夕=—

①仆

sin2(a-30°)+cos2a+sin(a-30)°cosa--

②4；

3

sin2(a-15°)+cos2(a+15°)+sin(a-15°)cos(a+15°)=—

③4；

sin2a+cos2(a4-30°)4-sincos(a+30°)=—

④4.

/(x)-g(x)〈

6.定義域?yàn)椤ǖ暮瘮?shù)/(X)和g(x),若對于任意的xe?？傆衒(x)10那么

稱/(x)可被g(x)替代(通常/(x)#g(x)).

(1)試找出一個(gè)可以替代函數(shù)/的函數(shù)?。)，且〃x)wg(x)；

/、X+6「一八

一、—「「/“Ig(x)=----[4,16]

(2)試判斷函數(shù)[4,1句是否可被一次函數(shù)5替

代，并說明理由.

9,,U/、21

——-<g(X)<——7g(X)=----r

解：(1)由定義解得10x10x,取20x即可.

(2)/(X)56,

/?(x)=Vx+-T=h\x)=-^=----阜=-+；

令"x,則27xxy/x2x7x.

令￡(x)=0得x=6,

當(dāng)4cx<6時(shí),/(x)<0,所以人(工)在(4,6)上是減數(shù)函數(shù)；

當(dāng)6<x<16時(shí),/(x)>0,所以人(%)在(％6)上是增函數(shù).

???3)在田6]的極小值是力(6)=2后，乂人(4)=5,w6)=￡

2A/6<h(x)<—

.f(x)-g(x)15-2V6,/(x)-g(x)1

歷]

???/(X)可以被g(x)替代.

y=-sin(§x)

7.有一種波，其波形為函數(shù).2的圖象，若其在區(qū)間[0,勺上至少有2個(gè)波

峰(圖象的最高點(diǎn))，則正整數(shù)f的最小值是

()

A.5B.6C.7D.8

8.已知函數(shù)/(x)=xN+PX+9(xe式)，給出下列四個(gè)命題：

①“X)為奇函數(shù)的充要條件是。=°；

②“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(°'編對稱；

③當(dāng)P=°時(shí)，方程/(*=°的解集一定非空；

④方程,(X)=°的解的個(gè)數(shù)一定不超過2個(gè)。

其中正確命題的序號是_①②③。(寫出所有正確命題的序號)

9,若f(x)=sinx,g(x)=cosx,則有①"(x)?+[g(x)]2=1,②f(2x)=2f(x)g(x).(§)

e*—c~x

_2y(x)=-——

g(2x)=[g(x)]-"(x)]2-；現(xiàn)設(shè)雙曲正弦函數(shù)2，雙曲余弦函數(shù)

e+e

g（）=

X2，類比上述三個(gè)結(jié)論，可得到/（X）與g（x）的關(guān)系式正確的為—②

（只要寫出對應(yīng)的序號）.

10.在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是

由4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一

個(gè)大正方形，若直角三角形中較小的銳角為°,大正方

1

形的面積是1,小正方形面積是25,則sin?8-cos?夕

_2_

的值為25

11.已知集合A+,咖+N=2,x,"R},B={（X，）刎=若匐8中的元素

所對應(yīng)的點(diǎn)恰好是一個(gè)正八邊形的頂點(diǎn)，則正數(shù)。的值-242-2

12.對于函數(shù)產(chǎn)/（》）（xe。，。為函數(shù)定義域），若同時(shí)滿足下列條件：

①人》）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；

②存在區(qū)間口，切墨。，使/（X）在口,&上的值域是口,出。

那么把>=/（》）（小。）稱為閉函數(shù).

（1）求閉函數(shù)？=-》3符合條件②的區(qū)間口，b].

—x+—（x￡（0,+8））

（II）判定函數(shù)/（X尸4x是否為閉函數(shù)？并說明理由;

（III）若是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)%的取值范圍

解（I）由>=-'3在口，切上為減函數(shù)，

b=一/,

<a=-b3,

a<b.

得〔可得。=-1,b=\,所求區(qū)間是[-1,1].

11

(II)取X|=l,%2=10,可得/(X)不是減函數(shù)；取X|=10'"10°,可得/(X)

在（0,+8）不是增函數(shù)，所以/（X）不是閉函數(shù).

a=k+Ja+2,

V_____

(Hl)設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[4，b],則+加工?

故a,b是方程x="+J=的兩個(gè)實(shí)根，命題等價(jià)于

x2-(2k+l)x+k2-2=0,

'x2—2,

x>k

有兩個(gè)不等實(shí)根.

2k+l5

F…

(2k+1)2-4(公一2)>0,

22+2(2k+1)+k2-2>0.,99

k>——

當(dāng)時(shí),解得：4

2k+l,

丁九,

(2JI+1)2-4(^2-2)>0,

k2-(2k+\)k+k2-2>0.

當(dāng)女＞一2時(shí),這時(shí).無解.

所以k的取值范圍是弓‘F

13.定義2x2的數(shù)表平方運(yùn)算規(guī)則是:

a/?Y(a八僅叫a2+bc

be+d2,，則130

cdJ(cd)\cd)(ac+cd?

14、下列四個(gè)命題：是否需要在“”處添加一個(gè)條件才能構(gòu)成真命題？如需要,

請?zhí)顚戇@個(gè)條件，如不需要，請把“”用"/”劃掉(全部正確得5分，漏一個(gè)

或錯(cuò)一個(gè)得。分)

直線/〃機(jī)'

mu平面勿＞=＞///?非零向量

=|a+匕|=|a—。|

②一

在AA8C中

sinA>sin8/=A>6

③

已知拋物線V=4x的頂點(diǎn)為0

A、8在拋物線上n4AOB為直角三角形

…直線A3過點(diǎn)------時(shí)，

14、①②=°（或a與刃垂直）③/@（4,0）

15.黑、白兩種顏色的正六邊形地磚按如圖2所示產(chǎn)的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案:

第2個(gè)第3個(gè)

則第n個(gè)圖案中有白色地磚4n+2塊.

16.給出下列五個(gè)命題，其中所有正確命題的序號是③④

①若函數(shù)y=/aT）是偶函數(shù)，則函數(shù)y=/（制的圖象關(guān)于直線x=o對稱。

②x<2是|x|<2的充分非必要條件

③在AABC中，A>B是sinA>sinB的充要條件;

④函數(shù)++c為奇函數(shù)的充要條件是c=o；

17.某醫(yī)藥研究所開發(fā)種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)檢測，服藥后每毫

升血液中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的關(guān)系用如圖所示曲線表示.據(jù)進(jìn)一步

測定，每毫升血液中含藥量不少于6.25毫克時(shí)，治療疾病有效.則服藥一次治療該疾

病有效的時(shí)間為（）

A.4小時(shí)Bo8小時(shí)c?16小時(shí)D。5小時(shí)

18.定義集合運(yùn)算：A0B={Z1Z=xy,xWA,yeB},設(shè)集合A={-1,0,1},B=

{sin?,cosa)(則集合A?B的所有元素之和為

A.1Bo0Co-1D?sina+cosa

19.同學(xué)們都知道，在一次考試后，如果按順序去掉一些高分，那么班級的平均分將降低;

反之，如果按順序去掉一些低分，那么班級的平均分將提高.這兩個(gè)事實(shí)可以用數(shù)學(xué)語

言描述為：若有限數(shù)列,，。2,…，*滿足a}<a2<---<an(

則,(結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示).

(U)%+―([“㈤

篇A■-?篇

20.對于任意函數(shù)/(x)，xe°,可按如圖所示構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下:

①輸入數(shù)據(jù)X。*°,經(jīng)過數(shù)列發(fā)生器輸出/=/口0)；

②若X2°,則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；

若陽e0,則將不反饋回輸入端，再輸

出々=/(/)，依此類推。

現(xiàn)給出/(x)=2x+l,D=(0,1000)。若輸入與=1,則發(fā)生器結(jié)束工作時(shí)，輸出

數(shù)

據(jù)的總個(gè)數(shù)為

A.8B.9C.10D.11

21.對于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(。,。)和(c,d),規(guī)定:

(a,b)=(c,d),當(dāng)且僅當(dāng)。=c,2=d時(shí)成立.

運(yùn)算,，⑥”為.?(c,d)=(ac-hd,bc+ad),

運(yùn)算“十，，為:(a,b)十(c,d)=(a+c,b+d).

現(xiàn)設(shè)R,若(1,2)<8>(〃聞)=(5,0),則(1,2)3(〃,4)=_⑵0)

22.已知/（X）是定義在（0,+oo）上的單調(diào)遞增函數(shù)，對于任意的m、n（m、n￡（0,

、*口〃⑼+/(〃)=/>〃)，且。、/0<。<切滿足|f⑷|=|f(b)|=2"(字)|.

+oo))7兩足2

(1)求”1);

(2)若〃2)=1,解不等式f(x)<2；

(3)求證：3Vb<2+6.

解：(1)令m=n=L由八加)+/(〃)=/(%),得〃1)+加=")

.../(i)=o

(2)v/(2)=1,...，*)<2=1+1=〃2)+/(2)=，(4)

又一(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

/.0<x<4,二/(")<2的解集為(0,4)

(3)?.?/⑴=°，/(X)在(o,+oo)上單調(diào)遞增，

..產(chǎn)(0,1財(cái)，/(x)<0

無e(l,+8)時(shí)，/(x)>0,又"伍)|="(。)|

yQ<a<b：.f(a)=-f(b)

.?./(〃)+/S)=f(ab)=0.ab=\:.Q<a<\<b

"S)|=2"(字)|,且b>l，W>箍=1

又：22

/(b)=2f")2r…2

24b=a"+2ab+b~

4b—b2—2=?2,考慮到0<a<l,

4

A0<4/?-/?-2<1,又b>T

,-.3</?<2+V2

23.已知△A8C中滿足(&)2=元-屆'+笳?泥'+演-演，a、b、c分別是△"<?的三邊.

(I)試判斷△ABC的形狀并求siM+sinB的取值范圍；

(II)若不等式〃2(b+c)+Z?2(c+a)+c2(〃+b)2kabc,對任意的a、b、c都成立，求攵的

取值范圍.

~~>~>—>—>—>

解：(I)\'(AB)-=ABACJt-BABC+CACB,

(AB)*2=AB(AC+CB)+CACBS.\i(AB)2=ABAB+CACB,

即ZVIBC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

sia4+sinB=sitvl+cosA="\/2sin(A+^),A6(0,，),

AsinA+sinB的取值范圍為。，及].

(II)在直角△A3。中，〃=csinA,b=ccosA.

若〃2(b+c)+b2(c+〃)+c2(〃+b)2kabc,對任意的a、b、c都成立,

。2(匕+c)+b?(c+a)++0)

則有>k,對任意的a、6、c都成立,

abc

..〃2S+C)+)2(C+〃)+C7〃+6)

abc

=Jsinlcos/jJsin"(ccosA+c)+c2cos2A(csin/l+c)+c2(csinA+ccosA)]

=sin^cosA】sinJcosA+cos2AsinA+1+cosA+sirt4]

.1+cosA+sin4

=cosA+sinA+：~;

sinAcosA

令t=sin4+cosA,["拒]

出"、a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)1+f22

設(shè)/⑺=------------嬴-----------=，+E=f+』=r—1+』+1-

2

八。=/-1+吉+1,當(dāng)上時(shí)小)為單調(diào)遞減函數(shù)，

...當(dāng)f=也時(shí)取得最小值,最小值為2+3啦,即E2+3啦,

所以我的取值范圍為(-8，2+3姬］.

24.直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，如果函數(shù)/(幻的圖象恰好通過

k(k€N')個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)/(x)為左階格點(diǎn)函數(shù).下列函數(shù)：①/(x)=sin，②

/(x)=%(x-1)?+3；③“幻一(3)；④f(x)=log。％x,其中是_階格點(diǎn)函數(shù)的有—①②

④

2

25.在網(wǎng)絡(luò)游戲《變形》中，主人公每過一關(guān)都以§的概率變形(即從“大象”變?yōu)椤袄?/p>

鼠”或從“老鼠”變?yōu)椤按笙蟆?,若將主人公過n關(guān)不變形的概率計(jì)為Pn，則

A.B.P8Vp7C.P[1<P|2D.P|5>P16

26.現(xiàn)有一塊正三棱錐形石料，其三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且側(cè)棱長為1m,若要將這塊

石料打磨成一個(gè)石球，則所得石球的最大半徑約為

A.0.18mB.0.21mC.0.24mD.0.29m

27.關(guān)于數(shù)列3,9,…，729,以下結(jié)論正確的是

A.此數(shù)列不能構(gòu)成等差數(shù)列，也不能構(gòu)成等比數(shù)列

B.此數(shù)列能構(gòu)成等差數(shù)列，但不能構(gòu)成等比數(shù)列

C.此數(shù)列不能構(gòu)成等差數(shù)列，但能構(gòu)成等比數(shù)列

D.此數(shù)列能構(gòu)成等差數(shù)列，也能構(gòu)成等比數(shù)列

28,煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污染.已知A、B兩座煙囪相距20而》,其中B

煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍，經(jīng)環(huán)境檢測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處

到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比.(比例系數(shù)為4).若C是AB

連線上的點(diǎn)，設(shè)AC=xkm,C點(diǎn)的煙塵濃度記為)，.

(I)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；：-------2-------------合

(II)是否存在這樣的點(diǎn)C,使該點(diǎn)的煙塵濃ACB

度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說明理由.

解：(I)不妨設(shè)A煙囪噴出的煙塵量為1,則B煙囪噴出的煙塵量為8,由AC=x,

(0<x<20),可得BC=20-X；

依題意，點(diǎn)C處的煙塵濃度y的函數(shù)表達(dá)式為：

kh8

y=-----1-------------

■x2(20-x)2(0<x<20)

(n)對(i)中的函數(shù)表達(dá)式求導(dǎo)得

,2k16k2k(9x3-60x2+1200x-8000)

y=-------1-------------=------------------------------------------

■x3(20-x)3X3(20-X)3

令y'=0,得(3x-20)-(3x2+400)=0.

20

X=—

又0<x<20,.?.3

...當(dāng).仇學(xué)時(shí)，/<0,當(dāng)X，號'2°)時(shí)，/>0

20

x——

.?.當(dāng)3時(shí)，y取最小值.

AC^—km

故存在點(diǎn)C,當(dāng)3時(shí)，該點(diǎn)的煙塵濃度最低.

29.如圖，F(xiàn)是定直線/外的一個(gè)定點(diǎn)，C是/上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論；若以C為圓心,

CF為半徑的圓與/交于A、B兩點(diǎn)，過A、B分別作/的垂線與圓C址F的切線交于點(diǎn)

P和點(diǎn)Q,則P、Q必在以F為焦點(diǎn)，/為準(zhǔn)線的同一條拋物線上.

(I)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出該拋物線的方程；

(II)對以上結(jié)論的反向思考可以得到另一個(gè)命題：

“若過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，

則以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準(zhǔn)線/相切”請

問：此命題是否正確？試證明你的判斷；

(III)請選擇橢圓或雙曲線之一類比(II)寫出相應(yīng)的命題并

證明其真假.(只選擇一種曲線解答即可，若兩種都選，則以第一選擇為評分依據(jù))

注：橢圓和雙曲線的準(zhǔn)線所滿足的條件為：曲線上任意一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離和到

這個(gè)焦點(diǎn)所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離的比等于曲線的離心率.

解：(I)過F作/的垂線交/于K,以KF的中點(diǎn)為原點(diǎn)，KF所在的直線為x軸建

立平面直角坐標(biāo)系如圖1,并設(shè)|KF|=p,則可得該該拋物線的

方程為y2=2，x(p>o)

(ii)該命題為真命題，證明如下：

如圖2,設(shè)PQ中點(diǎn)為M,P、Q、M在拋物線

準(zhǔn)線/上的射影分別為A、B、D,

?；PQ是拋物線過焦點(diǎn)F的弦，

A|PF|=|PA|,|QF|=|QB|,又|MD|是梯形APQB圖i

的中位線，

|MZ)|=g(|PA|+|Q8|)=g(|PR|+|QF|)=等

是以PQ為直徑的圓的圓心，.?.圓M與/相切.

(注：也可利用方程及坐標(biāo)證明)..........8分

(III)選擇橢圓類比(II)所寫出的命題為：

“過橢圓一焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，

則以PQ為直徑的圓一定與橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線/相離”.

此命題為真命題，證明如下：

證明：設(shè)PQ中點(diǎn)為M,橢圓的離心率為e,

則Ovevl,P、Q、M在相應(yīng)準(zhǔn)線/上的射影分別為A、B、D,

31=也

同理得e

：|MD|是梯形APQB的中位線,

^MD^\PA\+\QB\=L([PF\+\QF\)=\_PQ\>\_PQ\

22ee2e2

...圓M與準(zhǔn)線/相離.

選擇雙曲線類比(II)所寫出的命題為:

“過雙曲線一焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，則以PQ為直徑的圓一定與雙

曲線相應(yīng)的準(zhǔn)線/相交”.此命題為真命題，證明如下：................11分

證明：設(shè)PQ中點(diǎn)為M,雙曲線的離心率為e,則e>\,P、Q、M在相應(yīng)準(zhǔn)線I

上的射影分別為A、B、D,

|叼=四31烏

e同理得e

：|MD|是梯形APQB的中位線,

JPAI+3IJ四+也上0＜四

22ee2e2

.?.圓M與準(zhǔn)線/相交.

30.有一個(gè)翻硬幣游戲，開始時(shí)硬幣正面朝上，然后擲骰子根據(jù)下列①、②、③的規(guī)則

翻動(dòng)硬幣：①骰子出現(xiàn)1點(diǎn)時(shí)，不翻動(dòng)硬幣；②出現(xiàn)2,3,4,5點(diǎn)時(shí)，翻動(dòng)一下硬幣，

使另一面朝上；③出現(xiàn)6點(diǎn)時(shí)?，如果硬幣正面朝上，則不翻動(dòng)硬幣；否則，翻動(dòng)硬幣，

使正面朝上.按以上規(guī)則，在骰子擲了〃次后，硬幣仍然正面朝上的概率記為P“.

55_j_

（I）求證：VneN*,點(diǎn)（P“，p,+p恒在過定點(diǎn)（6,9）,斜率為5的直線上;

（H）求數(shù)列｛Pj的通項(xiàng)公式P.；

p--

（HI）用記號表示數(shù)列｛9｝從第幾項(xiàng)到第機(jī)項(xiàng)之和，那么對于任意給定的

正整數(shù)k,求數(shù)列5小，Sk+T*,…，…的前〃項(xiàng)和T”.

解：（I）設(shè)把骰子擲了n+1次，硬幣仍然正面朝上的概率為P?+1,此時(shí)有兩種情況:

①第n次硬幣正面朝上，其概率為P,?且第”+1次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)，硬幣不

動(dòng)，其概率為63.因此，此種情況下產(chǎn)生硬幣正面朝上的概率為3

②第〃次硬幣反面朝上，其概率為1-P”且第〃+1次骰子出現(xiàn)2,3,4,5點(diǎn)或6

點(diǎn)，其概率為6；因此，此種情況下產(chǎn)生硬幣正面朝上的概率為6.

4+1=工匕+/（1-尸"+i_6=_弓（2一6）

36,變形得929

55」

.?.點(diǎn)（P“，P“+i）恒在過定點(diǎn)（§,9）,斜率為5的直線上.

⑺沁又由⑴知：V2

pF]_5=l_5=_2_1

/.｛§｝是首項(xiàng)為,9399,公比為5的等比數(shù)列，

p--=--.(-l)n-1p=」+.(-D—

.??"992，,故所求通項(xiàng)公式為"992-2.

P?—/=P]—=—<7=—

(III)解法一：由(H)知｛9｝是首項(xiàng)為99,公比為2的

等比數(shù)列，又

S,*+T"+i?_+-----Hqi)_qk

?；a"[(1+qdFq)(k,€N*)是常數(shù)，

Im”*,…,也成等比數(shù)列，

一9?一]

從而

解法二：7"=S1Tk+Sk+1->2K+.??+S(〃T)"lf次―a\+。2+.一〃成

31.對于?個(gè)有限數(shù)列'=（斗鳥'…'巴），P的蔡查羅和（蔡查羅為一數(shù)學(xué)家）定義

為％"1+邑++S“），其中&=[+￡+…+4（卬"〃），若一個(gè)99項(xiàng)的數(shù)列

仍，￡，…，尸99）的蔡查羅和為io。。，那么loo項(xiàng)數(shù)列"，與片…，益的蔡查羅

和為（）

A.991B.992C.993D.999

32.定義一種運(yùn)算“*”對于正整數(shù)滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：

（1）2*2006=1,（2）（2〃+2）*2006=3?［（2〃）*2006］,貝|」2008*2006的值是_3網(wǎng)3

“、卜一'-2（x<0）

f（x）=<

33.關(guān)于函數(shù)〔2辦-1（x>0）,（。是常數(shù)且a>0）。對于下列命題：

①函數(shù)〃x）的最小值是-］；②函數(shù)"X）在每一點(diǎn)處都連續(xù)；③函數(shù)"X）在R上存在反

函數(shù)；④函數(shù)“X）在x=°處可導(dǎo)；⑤對任意匹且占“々，恒有

,盧+、2）<〃,）+/。2）

22。其中正確命題的序號是①②⑤

34.已知拋物線C：V=2px（p>0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.

（1）求拋物線C的方程.

（2）設(shè)直線y="+°a#°）與拋物線C交于兩點(diǎn)4（陽，力），8（七，乃），且

5-為1="僅>0）,M是弦AB的中點(diǎn)，過M作平行于x軸的直線交拋物線C于點(diǎn)。，

得到AA8O；再分別過弦A。、8。的中點(diǎn)作平行于x軸的直線依次交拋物線C于點(diǎn)

E,F,得到A43E和ABOF；按此方法繼續(xù)下去./,

解決下列問題：E

a2=16（1-妨）'Z/"'/

①求證："1/M

②計(jì)算的面積sMBD.------V-----7—

③根據(jù)的面積%皿的計(jì)算結(jié)果，寫出AWE,A3。尸/

的面積；請?jiān)O(shè)計(jì)一種求拋物線C與線段A8所圍成封閉圖

形面積的方法，并求出此封閉圖形的面積.

解：（1）由拋物線定義，拋物線C：）'2=2px（p>0）上點(diǎn)尸（4,打）到焦點(diǎn)的距離等于它到

x=-K5=4+2，”=2

準(zhǔn)線2的距離，得2,

所以拋物線C的方程為）'2=4x.

（只要得到拋物線方程，都得4分）

y2=4x

<

（2）由[y=&+6,得62-4y+4b=0,（或氏2/+（2心―4）x+/=0）

當(dāng)△=16-16kb>0,即k/?<1且k=0時(shí)，

44b4-2kbb2

%+為=7，必乃=丁x,+x=———,xx=—

k上（或2kx2k）

1616/?_2

①由及1—乃1=4,即（）1+乃）2_4%為=Q-,得hk,

216（1-kb）

a=----：---

所以匕.

（^^3）c（B3）

②由①知，AB中點(diǎn)”的坐標(biāo)為k-k,點(diǎn)、Hk,

1Ikb,a3

MC=-a=

SMHC=~\\-\y\-yz\2-p32

③由問題②知，.8。的面積值僅與及?一九1="有關(guān)，由于

必一加方，母廠加吃所以.小與小曲的面積

S-S一學(xué)—上一尤a-2―--'

MDEMDF3232x8256,設(shè)“32x8,-132x4"-'

由題設(shè)當(dāng)中構(gòu)造三角形的方法，可以將拋物線0與線段4B所圍成的封閉圖形的面積

看成無窮多個(gè)三角形的面積的和，即數(shù)列｛%｝的無窮項(xiàng)和,

33333

ca、ac2ac3aia

S----F2-------F2~-------+2-------+…+2------F,??

所以3232x832x8232x8332x8”

S=1----------------1---------------H-------------+…4-------------------F…=

即3232x432x4232x4332x4"24,

因此，所求封閉圖形的面積為24.

35.已知等比數(shù)列也｝的首項(xiàng)為16,S”是其前〃項(xiàng)的和，某同學(xué)經(jīng)計(jì)算得=40,S3=72,

邑=130,后來該同學(xué)發(fā)現(xiàn)，其中一個(gè)值錯(cuò)了，則該值為

(A)E(B)邑(C)邑⑴)邑

36.已知f(x)=x+l,g(x)=2x+l,數(shù)列｛%｝滿足：ai=l,a,+i=[f夕渡

則數(shù)列｛小｝的前2007項(xiàng)的和為

A.5X22008-2008B.3X22007-5020C.6X22006-5020D.6X2,(,03-5020

37已知函數(shù)"X)的定義域?yàn)?,導(dǎo)數(shù)f'(x)滿足0<,(x)<2且/。)#1,常數(shù)G為方程

〃x)-x=°的實(shí)數(shù)根，常數(shù)Q為方程”x)-2x=°的實(shí)數(shù)根.(I)若對任意[。⑼=/,

存在右e(。，嘰使等式/⑻-/(。)=(人血'(％)成立.試問:方程〃x)-x=O有幾個(gè)實(shí)

數(shù)根；(II)求證：當(dāng)工2時(shí)，總有〃x)<2x成立；(山)對任意外4,若滿足

ki-cjvl,求證：

解：(I)假設(shè)方程〃x)-x=O有異于G的實(shí)叫m,即“機(jī))二.則有

?>-9="，")-/&)=(，"-科乜)成立.因?yàn)榧?4,所以必有廣&o)=l,但這與廣(幻￥1矛盾，

因此方程/(幻一X=°不存在異于C1的實(shí)數(shù)根....方程/(幻一X=°只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

(H)令hM=fW-2x,"h\x)=f(x)-2<0,函數(shù)〃(x)為減函數(shù).又

=2c2=0,

...當(dāng)x>q時(shí)，即/(x)<2x成立.

(in)不妨設(shè)再<*2,./(x)>。，為增函數(shù)，即加)"(?又：/'(x)<2,...

函數(shù)〃x)-2x為減函數(shù)即f(x,)-2Xl>f(x2)-2x2..,.0</(x,)-/(x,)<2(x:,-x,)；即

|/(x2)-/(x,)|<2卜-M；k2Tli=k2-G+G-XJ?,2-cJ+k-cjv2,:.|/(茍)-/(占XV4.

v22

y=k(x—3)(k6R)與雙曲線二一Lv二L

38.已知直線機(jī)27某學(xué)生作了如下變形：由

y=k(x-3)

‘e-亡=1,

~m27消去y后得到形如A—+8x+C=°的方程，當(dāng)A=0時(shí)，該方程有一解；

當(dāng)AW0時(shí)，△=8?-4AC2恒成立.假設(shè)學(xué)生的演算過程是正確的，則實(shí)數(shù)m的

取值范圍為()

A[9,+8)B(0,9]c(0,3]D.3+8)

V—1

f(X)=--，野2(X)=f[f(x)],f3(x)=/[/2(x)],...,fn+i(x)=f[fn(%)]

39.對于函數(shù)x+1

(〃€汽*,且〃22),令集合M-{x\f2007(x)-x,xeR},則集合M為

()

A.空集B.實(shí)數(shù)集C.單元素集D.二元素集

40已知〃次多項(xiàng)式匕+gx"T+…+a“_/+%,如果在一種計(jì)算中，計(jì)算

%(%=2,3,4,…的值需要左_1次乘法.計(jì)算舄(%。)的值共需要9次運(yùn)算(6次乘法,

n（n+3）

3次加法），那么計(jì)算乙（與）的值共需要.2次運(yùn)算。下面給出一種減

少運(yùn)算次數(shù)的算法：尸。（"。）="。5鼻+i⑴=嗚⑴+%i（'=°〃T）,利用該算法,

計(jì)算8（與）的值共需要6次運(yùn)算，計(jì)算乙（%。）的值共需要_2n____次運(yùn)算。

41.已知集合〃={x|IWxWlO,XG.M,對它的非空子集A,而A中每個(gè)元素k,都乘以（一

1一再求和（如如{1,3,6},可求得和為（-1）?1+（—1尸?3+（—I）'。6=2,則對M

的所有非空子集，這些和的總和是2560.

42.7.把下面不完整的命題補(bǔ)充完整，并使之成為真命題：若函數(shù)“x）=3+log2X的

圖象

與g（X）的圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)g（X）=.

（注：填上你認(rèn)為可以成為真命題的一種情形即可，不必考慮所有可能的情形）

（①X軸，-3-唳2、②y軸，3+log2（—x））③原點(diǎn)，-3-log2（—x）④直線

y-x,2*-3

-G+1Mx）=一3,a]

43.設(shè)函數(shù)g（町一"x+1,函數(shù)x+3,其中。為常數(shù)且。＞°,令函

數(shù)/⑺為函數(shù)g（x）和“（X）的積函數(shù)。⑴求函數(shù)“X）的表達(dá)式，并求其定義域;（2）

2

當(dāng)彳時(shí)，求函數(shù)/（X）的值域；（3）是否存在自然數(shù)。，使得函數(shù)/（X）的值域恰為

J[

一3’2」？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)。所構(gòu)成的集合；若不存在，試說明理

由。

/-/）=4+1

解：（1）'*-x+3,xw[O,a]（a〉O）。

irii2

（2）1.,a=4,函數(shù)/（x）的定義域?yàn)長0?4」，令4+1=/,則x="l）2,

/(x)=F(Z)=~'

'"f+4f+4.2

43re12

，=±2e1,-4

L2」,又-2」時(shí),tH--”（/）單調(diào)遞增，

t時(shí),t遞減,

F（r）e1A1A

L313」，即函數(shù)/（x）的值域?yàn)?313」

令4+1=，，則

（3）假設(shè)存在這樣的自然數(shù)。滿足條件，

1

/）=加二不值

...xe［O,a］（a>0），則+要滿足值域?yàn)?口，則要滿足

F（，）max=2

?

441

t=-t+->4F（t）=-

由于當(dāng)且僅當(dāng)f=?=2時(shí)，有t中的等號成立，且此時(shí)2恰

為最大值，

.2611,6+1］=>a>1

又F（t）在［1,2］上是增函數(shù)，在上,而+1］上是減函數(shù)，

布+1.1

a+3-3=>0<a<9,

綜上，得.

44