福建省泉州市南安市2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024年春季期中教學(xué)質(zhì)量測(cè)試初二年數(shù)學(xué)試題（滿分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）友情提示：所有答案都必須填涂（寫）在答題卡相應(yīng)的位置上，答在本試卷上一律無(wú)效．一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列代數(shù)式中是分式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了分式的定義，注意：已知A、B都是整式，式子的分母中含有字母，那么式子是分式．根據(jù)分式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A．的分母中不含有字母，不是分式，故本選項(xiàng)不符合題意；B.的分母中不含有字母，不是分式，故本選項(xiàng)不符合題意；C.的分母中不含有字母，不是分式，故本選項(xiàng)不符合題意；D.的分母中含有字母，是分式，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．2.若分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義分母不等于0求解即可得到答案；【詳解】解：依題意，∴，故選：C．3.下列分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了最簡(jiǎn)分式的概念，當(dāng)分式的分子分母是多項(xiàng)式時(shí)，要分別分解因式，再判斷有無(wú)公因式．分式的分子分母若沒(méi)有公因式，這樣的分式叫最簡(jiǎn)分式，根據(jù)最簡(jiǎn)分式的概念判斷即可．【詳解】解：A選項(xiàng)是最簡(jiǎn)分式，故正確；B選項(xiàng)分子分母有公因式，不是最簡(jiǎn)分式，故不正確；C選項(xiàng)分子分母有公因式，不是最簡(jiǎn)分式，故不正確；D選項(xiàng)分子分母有公因式，不是最簡(jiǎn)分式，故不正確．故選：A．4.在下列圖像中，表示y是x函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義：設(shè)在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)；由此問(wèn)題可求解．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的定義可知只有B選項(xiàng)符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的定義，熟練掌握函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．5.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強(qiáng)是它的受力面積的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，該物體承受的壓強(qiáng)的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，先根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再把代入，問(wèn)題得解．【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，由圖象得反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，反比例函數(shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，．故選：B．6.一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象，根據(jù)一次函數(shù)的圖象特點(diǎn)即可得．【詳解】解：一次函數(shù)中的，，它的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，不經(jīng)過(guò)第三象限，故選C．7.若關(guān)于x的方程有增根，則的值是（）A.5 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】本題考查了解分式方程，先解分式方程求出方程的解，再根據(jù)“方程有增根”可得一個(gè)關(guān)于的一元一次方程，解方程即可得．【詳解】解：，方程兩邊同乘以得：，解得，因?yàn)殛P(guān)于的方程有增根，所以，即，所以，解得，故選：B．8.我國(guó)古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問(wèn)題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無(wú)錢準(zhǔn)與一株椽．“其大意為：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文．如果每件椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問(wèn)6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為株，則符合題意的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“這批椽的價(jià)錢為6210文”、“每件椽的運(yùn)費(fèi)為3文，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢”列出方程解答．【詳解】解：由題意得：，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解，準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系并用方程表示出來(lái)是解題的關(guān)鍵．9.雙曲線和的圖象如圖所示，點(diǎn)是上一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作軸，軸，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若的面積為，則的值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本體考查反比例函數(shù)k值的幾何意義，根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義以及其基本模型計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵反比例函數(shù)位于第二象限，∴，故選：D．10.甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步560米，先到終點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)員原地休息．已知甲先出發(fā)1秒，兩運(yùn)動(dòng)員之間的距離y（米）與乙出發(fā)的時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系如圖所示．給出以下結(jié)論：①乙運(yùn)動(dòng)員的速度比甲運(yùn)動(dòng)員每秒快1米；②乙出發(fā)后7秒追上甲；③甲乙兩運(yùn)動(dòng)員的最大距離是63米；④乙運(yùn)動(dòng)員比甲運(yùn)動(dòng)員早10秒到達(dá)終點(diǎn)．其中正確的是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】A【解析】【分析】本題考查了從函數(shù)圖象上獲取信息、一元一次方程的應(yīng)用，求出甲乙的速度，即可判斷①；設(shè)乙出發(fā)后秒時(shí)追上甲，列方程求出即可判斷②；由圖象可得，乙出發(fā)后秒兩人之間的距離最大，求出最大距離即可判斷③；設(shè)甲運(yùn)動(dòng)員到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為秒，列方程求出的值，即可判斷④；采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，甲已跑了1秒，跑的路程為米，甲運(yùn)動(dòng)員的速度是米/秒，乙運(yùn)動(dòng)員70秒跑到了終點(diǎn)，速度為（米/秒）；（米/秒），乙運(yùn)動(dòng)員的速度比甲運(yùn)動(dòng)員每秒快1米；故①正確；②設(shè)乙出發(fā)后秒時(shí)追上甲，當(dāng)乙追上甲時(shí)，二人跑過(guò)的路程相等，得，解得：，乙出發(fā)后7秒追上甲，故②正確；③由圖象可得，乙出發(fā)后秒兩人之間的距離最大，最大距離為（米），故③正確；④乙運(yùn)動(dòng)員到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為秒，設(shè)甲運(yùn)動(dòng)員到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為秒，則，解得：，乙運(yùn)動(dòng)員比甲運(yùn)動(dòng)員早秒到達(dá)終點(diǎn)，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的有①②③，故選：A．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.點(diǎn)在y軸上，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，熟記坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0列方程求解即可．【詳解】解：點(diǎn)在y軸上，，，故答案為：．12.每個(gè)生物攜帶自身基因的載體是生物細(xì)胞的．分子的直徑只有，它們?cè)诩?xì)胞核的染色體上，按一定順序排列成螺旋形的獨(dú)特結(jié)構(gòu)．將用科學(xué)記數(shù)法表示是__________．【答案】【解析】【分析】絕對(duì)值小于1的負(fù)數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，其中，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n的值由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的的個(gè)數(shù)所決定．13.點(diǎn)P在第二象限，距x軸2個(gè)單位長(zhǎng)度，距y軸3個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】此題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，解題的關(guān)鍵是掌握到x軸的距離即為縱坐標(biāo)的絕對(duì)值、到y(tǒng)軸的距離即為橫坐標(biāo)的絕對(duì)值及四個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特點(diǎn)．根據(jù)到x軸的距離即為縱坐標(biāo)的絕對(duì)值、到y(tǒng)軸的距離即為橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，再由第二象限點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)特點(diǎn)可得答案．【詳解】解：∵點(diǎn)P第二象限，距x軸2個(gè)單位長(zhǎng)度，距y軸3個(gè)單位長(zhǎng)度，∴，即．故答案為：．14.如圖，直線與直線相交于點(diǎn)，則不等式的解集為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，先求得，然后根據(jù)函數(shù)圖象，寫出直線在直線上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．【詳解】解：直線與直線相交于點(diǎn)∴，解得：∴不等式的解集為．故答案為：．15.關(guān)于分式方程的解為非正數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】且【解析】【分析】本題考查分式方程的解，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)，得到大于，列出關(guān)于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范圍．【詳解】解：解得，關(guān)于的分式方程的解為非正數(shù)，，解得：，，，，，的取值范圍是且，故答案為：且．16.直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得射線，點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若與全等，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查三角形全等性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理，先求得的坐標(biāo)，根據(jù)題意畫出圖形，分析不同情況根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可；【詳解】解：將時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，可知，，如圖則，∴當(dāng)時(shí)，，如圖，則，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵∴∴，在中，∴∴綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)是或故答案為：或．三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，要熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值，再合并求解即可．【詳解】解：．18.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值，先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后將字母的值代入求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原式．19.解方程：．【答案】【解析】【分析】本題考查了解分式方程，根據(jù)解分式方程的步驟，先去分母化為整式方程，再求出方程的解，最后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：方程兩邊同乘以，約去分母，得解得：檢驗(yàn)：把代入得：所以是原方程的解．20.如圖，直線y＝x+1與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′和y軸上的點(diǎn)B（0，2）的直線設(shè)為y＝kx+b．（1）求點(diǎn)A′的坐標(biāo)；（2）確定直線A′B對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1）A′（2，0）（2）y＝﹣x+2【解析】【分析】（1）利用直線解析式求得點(diǎn)A坐標(biāo)，利用關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征解答即可；（2）利用待定系數(shù)法解答即可．【小問(wèn)1詳解】解：令y＝0，則x+1＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．∵點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，∴A′（2，0）．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)直線A′B的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線A′B對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征、待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式、關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征等知識(shí)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，已知，設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．（1）求，的值；（2）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，在第一象限交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，在第三象限交于點(diǎn)．求證：，，三點(diǎn)共線．【答案】（1），（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合；（1）首先將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入求出，然后將點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入求出，然后代入即可求出；（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，然后求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出所在直線的表達(dá)式，進(jìn)而求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)A的坐標(biāo)，函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，，反比例函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)B的坐標(biāo)，函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，；【小問(wèn)2詳解】由（1）得：點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，得，解得：，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在直線上，，，三點(diǎn)共線．22.某電商公司根據(jù)市場(chǎng)需求購(gòu)進(jìn)一批A，B兩種型號(hào)的電腦小音箱進(jìn)行銷售，每臺(tái)B型小音箱的進(jìn)價(jià)比A型小音箱的進(jìn)價(jià)多10元，用4500元購(gòu)進(jìn)A型小音箱的臺(tái)數(shù)是用4000元購(gòu)進(jìn)B型小音箱的臺(tái)數(shù)的1.5倍．（1）求每臺(tái)A，B兩種型號(hào)的小音箱的進(jìn)價(jià)．（2）該電商公司計(jì)劃分別購(gòu)進(jìn)A，B兩種型號(hào)的小音箱共70臺(tái)進(jìn)行銷售，其中A型小音箱臺(tái)數(shù)不少于B型小音箱臺(tái)數(shù)的2倍，A型小音箱每臺(tái)售價(jià)為35元，B型小音箱每臺(tái)售價(jià)為48元，怎樣安排進(jìn)貨才能使售完這70臺(tái)小音箱所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】（1）每臺(tái)型小音箱的進(jìn)價(jià)為元，每臺(tái)型小音箱的進(jìn)價(jià)為元（2）購(gòu)進(jìn)型小音箱臺(tái)，型小音箱臺(tái)，售完之后所獲的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元【解析】【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，找出數(shù)量關(guān)系列出列出方程，不等式以及函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每臺(tái)型小音箱的進(jìn)價(jià)為元，則每臺(tái)型小音箱的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)題意列出分式方程，解方程并檢驗(yàn)，即可求解．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)型小音箱臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)型小音箱臺(tái)，根據(jù)題意列出表達(dá)式得出的范圍，設(shè)利潤(rùn)為元，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)每臺(tái)型小音箱的進(jìn)價(jià)為元，則每臺(tái)型小音箱的進(jìn)價(jià)為元，依題意得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意．每臺(tái)型小音箱的進(jìn)價(jià)：（元）答：每臺(tái)型小音箱的進(jìn)價(jià)為元，每臺(tái)型小音箱的進(jìn)價(jià)為元．【小問(wèn)2詳解】設(shè)購(gòu)進(jìn)型小音箱臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)型小音箱臺(tái)，依題意得：解得：設(shè)利潤(rùn)為元，則隨的增大而減少取最小值時(shí)，獲得利潤(rùn)最大，即當(dāng)時(shí)，（元）所以應(yīng)購(gòu)進(jìn)型小音箱臺(tái)，型小音箱臺(tái)，售完之后所獲的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元．23.在函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們經(jīng)歷了“函數(shù)表達(dá)式－畫函數(shù)圖象－利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)－利用圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題”的學(xué)習(xí)，我們可以借鑒這種方法探究函數(shù)的圖象性質(zhì)．（1）根據(jù)題意，列表如下：在所給平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)并連線，畫出該函數(shù)的圖象；（2）觀察圖象，發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)________時(shí)，y隨x的增大而________（填“增大”或“減少”）；②圖象是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心的坐標(biāo)為_(kāi)_______；（3）函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到（不必畫圖），想象平移后得到的函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是________________．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①1，增大；②（3）或【解析】【分析】題考查函數(shù)函數(shù)圖象，圖象的平移；（1）利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象即可；（2）通過(guò)觀察圖象即可求解；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【小問(wèn)1詳解】解：在所給平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)并連線，畫出該函數(shù)的圖象，如圖所示，【小問(wèn)2詳解】觀察圖象，發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；故答案為：1，增大．②圖象是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心的坐標(biāo)為【小問(wèn)3詳解】函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位得到，∴當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是或24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別在反比例函數(shù)和的圖象上．已知軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，原點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，連接，的面積為6，．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究是否存在點(diǎn)，使得是等腰直角三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，，或，或，【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、求反比例函數(shù)解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）先求出點(diǎn)，，得出，再根據(jù)，求出的值即可；（2）由（1）得，設(shè)．分三種情況：當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合；當(dāng)，時(shí)；當(dāng)，；分別求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：點(diǎn)在反比例函數(shù)的