北京市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析

Page21班級__________姓名__________學(xué)號__________本試卷共2頁，共120分.考試時長90分鐘.考生務(wù)必將答案寫在答題紙上，在試卷上作答無效.一、選擇題：本大題共10道小題，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求.把正確答案涂寫在答題卡上相應(yīng)的位置.1.橢圓的焦點坐標(biāo)是（）A.， B.，C.， D.，）2.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則是（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.形態(tài)不確定3.已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F到準(zhǔn)線的距離為4，若拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離是1，則|PF|等于（）A2 B.3 C.4 D.54.直線截圓得到的劣弧所對的圓心角的大小為（）A. B. C. D.5.雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線離心率為（）A.或 B.或 C. D.26.如圖，一位運動員投擲鉛球的成果是14m，當(dāng)鉛球運行的水平距離是6m時，達(dá)到最大高度4m.若鉛球運行的路途是拋物線，則鉛球出手時距地面的高度是（）A.2.25m B.2.15m C.1.85m D.1.75m7.“”是“直線與拋物線有唯一公共點”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件8.將正方形沿對角線折成直二面角，以下結(jié)論中錯誤的是（）A. B.等邊三角形C.與平面所成的角為60° D.與所成的角為60°9.若曲線：上全部的點均在其次象限內(nèi)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.10.如圖，在正方體中，是側(cè)面內(nèi)一動點，若到直線與直線的距離相等，則動點的軌跡是（）A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線二、填空題：本大題共5小題，共25分.把答案填在答題紙中相應(yīng)的橫線上.11.點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)為______________.12.已知，為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A，B兩點，，則______________.13.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，為等邊三角形，則直線與平面所成角的正弦值為______________.14.已知雙曲線：的一個焦點到它的一條漸近線的距離為，則_________；若雙曲線與C不同，且與C有相同的漸近線，則的方程可以為____________.（寫出一個答案即可）15.曲線C是平面內(nèi)與定點和定直線的距離的積等于4的點的軌跡，給出下列四個命題：①曲線C過坐標(biāo)原點；②曲線C關(guān)于x軸對稱；③曲線C與y軸有3個交點；④若點M在曲線C上，則的最小值是；其中，全部正確結(jié)論的序號是_________.三、解答題：本大題共4小題，共55分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程，并把答案寫在答題紙中相應(yīng)位置上.16.如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為，的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求點到平面的距離；（3）求二面角的余弦值.17.已知橢圓的焦點是，，且，離心率為.（1）求橢圓C方程；（2）若橢圓C與直線交于M，N兩點，且，求實數(shù)的值.18.已知圓：.（1）求圓心的坐標(biāo)及半徑的大??；（2）已知直線與圓相切，且在x，y軸上的截距相等且不為0，求直線的方程；（3）從圓C外一點向圓引一條切線，切點為M，O為坐標(biāo)原點，且有，求點P的軌跡方程.19.已知橢圓：右焦點為F（1，0），短軸長為2.直線過點F且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點A，B，線段的中點為M.（1）求橢圓的方程；（2）證明：直線斜率與的斜率的乘積為定值；（3）延長線段與橢圓交于點P，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率.

北京市第一六一中學(xué)2024—2025學(xué)年第一學(xué)期12月階段練習(xí)高二數(shù)學(xué)2024.12班級__________姓名__________學(xué)號__________本試卷共2頁，共120分.考試時長90分鐘.考生務(wù)必將答案寫在答題紙上，在試卷上作答無效.一、選擇題：本大題共10道小題，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求.把正確答案涂寫在答題卡上相應(yīng)的位置.1.橢圓的焦點坐標(biāo)是（）A.， B.，C.， D.，）【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推斷焦點的位置；再依據(jù)，，關(guān)系求出即可寫出焦點坐標(biāo).【詳解】由橢圓可得：橢圓的焦點在軸上，，.則，即.所以橢圓焦點坐標(biāo)為：，.故選：B2.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則是（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.形態(tài)不確定【答案】B【解析】【分析】依據(jù)空間中兩點距離公式即可求解長度，進(jìn)而可推斷.【詳解】由，，，可得,,故,因此是等腰直角三角形，故選：B3.已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F到準(zhǔn)線的距離為4，若拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離是1，則|PF|等于（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由題意可得，再結(jié)合拋物線的定義可求出|PF|【詳解】因為拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F到準(zhǔn)線的距離為4，所以，所以拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，因為拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離是1，所以點P到準(zhǔn)線的距離為3，所以由拋物線的定義可得，故選：B4.直線截圓得到的劣弧所對的圓心角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)和半徑，利用點到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離，由垂徑定理及勾股定理求出直線被圓截得的弦長，即可依據(jù)等邊三角形求解.【詳解】過作，垂足為點，由圓的方程，得到圓心的坐標(biāo)為，半徑，圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦，，，故選：D．5.雙曲線漸近線方程為，則雙曲線離心率為（）A.或 B.或 C. D.2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)焦點位置，分兩種狀況即可依據(jù)漸近線方程以及離心率公式求解.【詳解】設(shè)雙曲線方程為，則漸近線方程為，故，離心率為，設(shè)雙曲線方程為，則漸近線方程為，故，離心率為，故選：B6.如圖，一位運動員投擲鉛球的成果是14m，當(dāng)鉛球運行的水平距離是6m時，達(dá)到最大高度4m.若鉛球運行的路途是拋物線，則鉛球出手時距地面的高度是（）A.2.25m B.2.15m C.1.85m D.1.75m【答案】D【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，依據(jù)題意可設(shè)拋物線方程為，其中，再依據(jù)點在拋物線上，代入拋物線方程，得到該拋物線方程，令，可得結(jié)論．【詳解】以該運動員腳所在的水平線為軸，該運動員所處位置的鉛垂線為軸，建立坐標(biāo)系如圖．鉛球運行的水平距離是時，達(dá)到最大高度，該拋物線的頂點坐標(biāo)是，開口向下，設(shè)拋物線方程為，其中，運動員投擲鉛球的成果是，所以點在拋物線上，，可得因此，拋物線方程為，令，則故選：D．7.“”是“直線與拋物線有唯一公共點”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】【分析】聯(lián)立與，分與兩種狀況，結(jié)合根的判別式得到或，從而求出答案.【詳解】聯(lián)立與得，，當(dāng)時，，只有一個根，滿意要求，當(dāng)時，令，解得，故直線與拋物線有唯一公共點”時，或，故是“直線與拋物線有唯一公共點”的充分不必要條件.故選：A8.將正方形沿對角線折成直二面角，以下結(jié)論中錯誤的是（）A. B.是等邊三角形C.與平面所成的角為60° D.與所成的角為60°【答案】C【解析】【分析】依據(jù)直二面角可得面面垂直，即可依據(jù)線面垂直求解A,依據(jù)長度關(guān)系即可求解B，依據(jù)線面垂直得線面角幾何角，即可求解C，依據(jù)平行關(guān)系以及線線角的定義即可求解D.【詳解】如圖，其中二面角的平面角為，是的中點，則，，直二面角的平面角，對于A，，，，平面，平面，平面，平面，，故A正確；對于B，設(shè)正方形邊長為2，在直角中，，，是等邊三角形，故B正確；對于D，可取中點，的中點，連接，，，設(shè)正方形的邊長為2，由于，所以，而，故是等邊三角形，即為與所成的角,由于，所以與所成角為，故D正確．對于C，由于平面平面，且交線為,平面，所以平面,故與平面所成的線面角的平面角是，故與平面成的角不正確，故C錯誤．故選：C9.若曲線：上全部的點均在其次象限內(nèi)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)曲線方程可推斷出曲線是圓心為，半徑為的圓，依據(jù)圓的位置可得關(guān)于的不等式組，解不等式組求得結(jié)果.【詳解】由題意，曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：因此曲線C為圓心為，半徑為的圓曲線上全部的點均在其次象限內(nèi)，解得：的取值范圍是故選：D10.如圖，在正方體中，是側(cè)面內(nèi)一動點，若到直線與直線的距離相等，則動點的軌跡是（）A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線【答案】D【解析】【分析】由于在平面內(nèi)，而平面，因此有，這樣結(jié)合拋物線的定義可得結(jié)論．【詳解】在正方體中，確定有，∴點為平面內(nèi)到直線和到點的距離相等的點，其軌跡為拋物線．故選D．【點睛】本題考查拋物線的定義，考查立體幾何中的垂直關(guān)系．屬于跨章節(jié)綜合題，難度不大．二、填空題：本大題共5小題，共25分.把答案填在答題紙中相應(yīng)的橫線上.11.點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)為______________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)中點關(guān)系以及垂直斜率關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)為，則，解得，所以對稱點為，故答案為：12.已知，為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A，B兩點，，則______________.【答案】14【解析】【分析】依據(jù)焦點三角形的周長即可求解.【詳解】橢圓中，，，為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于，兩點，由橢圓定義知：，，．故答案為：1413.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，為等邊三角形，則直線與平面所成角的正弦值為______________.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)面面垂直可得線面垂直，即可依據(jù)線面角的定義找到其平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系即可求解.【詳解】取中點為，連接,由于是等邊三角形，所以因為平面平面，其交線為,平面,所以平面，是直線與平面所成角．不妨設(shè)，在等邊中，，，所以，故故直線與平面所成角的正弦值為．故答案為：14.已知雙曲線：的一個焦點到它的一條漸近線的距離為，則_________；若雙曲線與C不同，且與C有相同的漸近線，則的方程可以為____________.（寫出一個答案即可）【答案】①.②.【解析】【分析】依據(jù)題意，由雙曲線方程可得焦點坐標(biāo)以及漸近線方程，再由點到直線的距離公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為雙曲線：，所以其焦點坐標(biāo)為，漸近線方程為，且雙曲線的一個焦點到它的一條漸近線的距離為，則，所以；所以雙曲線：，漸近線方程為，若雙曲線與C不同，且與C有相同的漸近線，則該雙曲線只需滿意即可，則的方程可以為.故答案為：；15.曲線C是平面內(nèi)與定點和定直線的距離的積等于4的點的軌跡，給出下列四個命題：①曲線C過坐標(biāo)原點；②曲線C關(guān)于x軸對稱；③曲線C與y軸有3個交點；④若點M在曲線C上，則的最小值是；其中，全部正確結(jié)論的序號是_________.【答案】①②④．【解析】【分析】將所求點用干脆表示出來，然后依據(jù)條件列出方程即可求出軌跡方程，然后依據(jù)方程探討性質(zhì)即可求解①②③，利用消元法，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求最值即可推斷④．【詳解】設(shè)動點的坐標(biāo)為，曲線是平面內(nèi)與定點和定直線的距離的積等于4的點的軌跡，，當(dāng)時，，曲線過坐標(biāo)原點，故①正確；將中的用代入該等式不變，曲線關(guān)于軸對稱，故②正確；令時，，故曲線與軸只有1個交點，故③不正確；，，解得，若點在曲線上，則，故④正確．故答案為：①②④．三、解答題：本大題共4小題，共55分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程，并把答案寫在答題紙中相應(yīng)位置上.16.如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為，的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求點到平面的距離；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）;（2）;（3）；【解析】【分析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，然后依據(jù)向量的數(shù)量積求解直線夾角；（2）求解面的法向量，然后依據(jù)距離公式求解；（3）依據(jù)面與面的法向量，求解二面角的余弦值；【小問1詳解】故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則，,,,，,,所以異面直線與所成角的余弦值為.【小問2詳解】設(shè)面的法向量為，,則，解得：令，可得，因為,所以所以點到平面的距離為.【小問3詳解】面，所以面法向量為，設(shè)面的法向量為，又，，則，解得：，令，可得，所以二面角的余弦值為.17.已知橢圓的焦點是，，且，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若橢圓C與直線交于M，N兩點，且，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意求出，進(jìn)而得到，求出橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，依據(jù)根的判別式得到，得到兩根之和，兩根之積，利用弦長公式表達(dá)出弦長，得到方程，檢驗后求出答案【小問1詳解】由題意得：，，解得，故，故橢圓C的方程為；【小問2詳解】聯(lián)立與得，，，解得，設(shè)，則，故，又，所以，解得，滿意，故實數(shù)的值為18.已知圓：.（1）求圓心的坐標(biāo)及半徑的大?。唬?）已知直線與圓相切，且在x，y軸上的截距相等且不為0，求直線的方程；（3）從圓C外一點向圓引一條切線，切點為M，O為坐標(biāo)原點，且有，求點P的軌跡方程.【答案】（1）圓心坐標(biāo)，半徑；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）化圓的一般方程為