專題03與圓有關的計算求陰影部分面積-2024年中考數(shù)學答題技巧與模板構(gòu)建（解析版）

專題03與圓有關的計算題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關試練模型01陰影部分面積計算求陰影部分面積在考試中主要考查學生對圖形的理解和數(shù)形結(jié)合的認識能力具有一定的難度.一般考試中選擇題或填空題型較多，熟練掌握扇形面積、弧長的計算、等邊三角形的判定和性質(zhì)，特殊平行四邊形性質(zhì)是解題的關鍵．模型02陰影部分周長計算求陰影部分弧長或周長的計算，掌握弧長計算方法是正確計算的前提，求出相應的圓心角度數(shù)和半徑是正確計算的關鍵．該題型一般考試中選擇題或填空題型較多，圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12模型03與最值相關的計算陰影部分面積和周長中求最值，此題有一定的難度，解題中注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．本題考查中經(jīng)常與軸對稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短等知識點相結(jié)合，解這類問題的關鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.模型01陰影部分面積計算考｜向｜預｜測陰影部分面積計算問題該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，目前與綜合性大題結(jié)合考試，作為其中一問，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以中檔題為主.解這類問題的關鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積進行求解，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.答｜題｜技｜巧第一步：確定弧所對的圓心，（找圓心）第二步：連接圓心與弧上的點；（連半徑）第三步：確定圓心角度數(shù)（有提示角度的話注意求解相應角，沒有提示角度的話一般為特殊角，大膽假設小心論證）第四步：把不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積進行求解例1．（2023·四川）一個商標圖案如圖中陰影部分，在長方形中，，，以點A為圓心，為半徑作圓與的延長線相交于點F，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意知，，陰影部分的面積，故選A．例2．（2023·湖北）如圖，在中，，是邊上一點，以為圓心的半圓分別與邊相切于兩點，則圖中兩個陰影部分面積的和為．【答案】/【詳解】解：如圖，連接，，以為圓心的半圓分別與邊相切于兩點，，，，四邊形是矩形，又，四邊形是正方形，，，，，，，設，則，，解得，，，和所包含扇形的面積之和為：，圖中兩個陰影部分面積的和為：，故答案為：．模型02陰影部分周長計算考｜向｜預｜測陰影部分弧長或周長計算該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查求與弧結(jié)合的不規(guī)則圖形的周長，準確應用弧長公式是解題的關鍵.但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的長度問題.答｜題｜技｜巧第一步：觀察圖形特點，確定弧長和線段長；第二步：利用弧長公式求長度；第三步：求圖形中其它邊的長度；例1．（2023·河北）如圖，正方形的邊長為2，分別以，為圓心，以正方形的邊長為半徑的圓相較于點，那么圖中陰影部分①的周長為，陰影部分①②的總面積為．【答案】【詳解】解：連接、，作于，，為等邊三角形，，，∴，∴陰影部分①的周長陰影部分①②的總面積，，故答案為：；．例2．（2023·浙江）如圖，正方形中，分別以，為圓心，以正方形的邊長為半徑畫弧，形成樹葉形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的周長為．【答案】【詳解】解：四邊形是正方形，邊長為，，，樹葉形圖案的周長．故答案為：．模型03與最值相關的計算考｜向｜預｜測圓的弧長與面積和最值相關的計算主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想，近年在中考數(shù)學和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學生不易把握.該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查軸對稱－－－最短路徑問題、勾股定理、三角形及平行四邊形的判定與性質(zhì)，要利用“兩點之間線段最短”“點到直線距離垂線段最短”等，但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點之間線段最短的問題，進而解決求陰影部分的最值問題.答｜題｜技｜巧第一步：觀察圖形特點，確定變量和不變的量（一般情況下弧長固定，線段長變化）第二步：利用將軍飲馬或者“兩點之間線段最短”“點到直線距離垂線段最短”等知識點進行轉(zhuǎn)化第三步：牢記弧長公式，求對弧長和線段長；第四步：利用數(shù)形結(jié)合思想注意確定最值；例1．（2023·江蘇）如圖，點C為圓O上一個動點，連接，，若，則陰影部分面積的最小值為（）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接，，，，

要使陰影部分的面積最小，需要滿足四邊形的面積最大，只需滿足的面積最大即可，從而可得當點位于弧的中點時，的面積最大，連接，則于，，，，扇形的面積，陰影部分面積的最小值，故選：C．例2．（2022·浙江）如圖，⊙O是以坐標原點O為圓心，為半徑的圓，點P的坐標為（2，2），弦AB經(jīng)過點P，則圖中陰影部分面積的最小值為（）A．8π B． C．8π﹣16 D．【答案】D【詳解】解：由題意當OP⊥A'B'時，陰影部分的面積最小，∵P（2，2），∴OP==2，∵OA'=OB'=，∴PA'=PB'=，∴tan∠A'OP=tan∠B'OP==，∴∠A'OP=∠B'OP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S陰=S扇形OA'B'-S△A'OB''=，故答案為：D．例3．（2023·吉林）如圖，在中，，，，以直徑作圓，為邊的垂直平分線上一個動點，則圖中陰影部分周長的最小值為．【答案】【詳解】解：如圖，連接，連接BP∵為邊的垂直平分線上一個動點，∴點C和點B關于直線DE對稱，∴,∴∴當動點P與點E重合時最小，此時最小，∵，，，∴，,∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴陰影部分的周長最小值為.故答案為.1．（2023·江蘇）如圖，在中，，以O為圓心的半圓分別與邊相切于兩點，且O點在邊上，則圖中陰影部分面積（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：連接，設與交于M、N兩點，∵分別切于D、E兩點，∴，又∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，設，則，．∵，∴，∴，∴，解得，∴．故選D．2．（2022·湖北）如圖，在中，，，是的平分線，經(jīng)過，兩點的圓的圓心恰好落在上，分別與、相交于點、．若圓半徑為2．則陰影部分面積（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S△AFD＝S△OFA，∴S陰＝S扇形OFA，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等邊三角形，∴∠AOF＝60°，∴S陰＝S扇形OFA＝.故選：C．3．（2023·安徽）如圖是某芯片公司的圖標示意圖，其設計靈感源于傳統(tǒng)照相機快門的機械結(jié)構(gòu)，圓O中的陰影部分是一個正六邊形，其中心與圓心O重合，且，則陰影部分面積與圓的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖所示，連接，，設正六邊形的邊長為1，則，，∴為等邊三角形，則，，，∴，又∵，∴，則，∴，即圓的半徑為，所以圓的面積為，正六邊形的面積為，則陰影部分面積與圓的面積之比為，故選：B．4．（2022·廣西）如圖所示，⊙O是以坐標原點O為圓心，4為半徑的圓，點P的坐標為（，），弦AB經(jīng)過點P，則圖中陰影部分面積的最小值等于（）A．2π﹣4 B．4π﹣8 C． D．【答案】D【詳解】由題意當OP⊥AB時，陰影部分的面積最小，∵P（，），∴OP=2，∵OA=OB=4，∴PA=PB=2，∴tan∠AOP=tan∠BOP=，∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB=120°，∴S陰=S扇形OAB﹣S△AOB==，故選D．5．（2023·山東）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于AB、兩點，分別以AB、兩點為圓心，畫與x軸相切的兩個圓，若點A的坐標為（2，1），則圖中兩個陰影部分面積的和是（）A． B． C．π D．4π【答案】C【詳解】解：∵點A的坐標為（2，1），且⊙A與x軸相切，∴⊙A的半徑為1，∵點A和點B是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的交點，∴點B的坐標為（-2，-1），同理得到⊙B的半徑為1，∴⊙A與⊙B關于原點中心對稱，∴⊙A的陰影部分與⊙B空白的部分完全重合，∴⊙A的陰影部分與⊙B空白的部分的面積相等，∴圖中兩個陰影部分面積的和=π?12=π．故選C．6．（2023·山西）如圖，在中，，，點O在上，以為圓心作圓與相切于點D，與、相交于點E、F；連接、，若的半徑為2．則陰影部分面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接，．∵與相切，∴.∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴．故選C．7．（2023·黑龍江）如圖，中，，，分別以點，為圓心，，的長為半徑作圓，分別交于點，則弧弧和線段圍成的封閉圖形（圖陰影部分）的面積（結(jié)果保留）【答案】【詳解】解：∵，∴，，，∴，故答案為：．8．（2022·河南）在矩形中，，以為直徑作半圓（如圖1），點P為邊上一點．將矩形沿折疊，使得點C的對應點E恰好落在邊上（如圖2），則陰影部分周長是．【答案】/【詳解】解：設陰影部分所在的圓心為O，如圖，連接OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠A=90°，由折疊得，∵∴∴∴∴∵∴∴∴的長=，，∴陰影部分周長=，故答案為：．9．（2022·內(nèi)蒙古）如圖，在中，，以為圓心，的長為半徑的圓交邊于點，點在邊上且，延長交的延長線于點．(1)求證：是圓的切線；(2)已知，，求長度及陰影部分面積．【答案】(1)證明見詳解；(2)AC=3，陰影部分面積為．【詳解】（1）證明：連接OD∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC=∠BDE∴∠A=∠EDB∵∠AOB=90°∴∠A+∠ABO=90°∴∠ODB+∠BDE=90°即OD⊥CE，又D在上∴是圓的切線；（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°在Rt△OCD中，∴設OD=OB=4x，則OC=5x，∴∴AC=3x∴OA=OC+AC=8x在Rt△OAB中：即：解得，（-1舍去）∴AC=3，OC=5，OB=OD=4在Rt△OCE中，∴設OE=4y，則CE=5y，∵解得，（舍去）∴∴陰影部分面積為．1．如圖，在以點O為圓心的半圓中，AB為直徑，且AB=4，將該半圓折疊，使點A和點B落在點O處，折痕分別為EC和FD，則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵AB是直徑，且AB=4，∴OA=OE=2，∵使點A和點B落在點O處，折痕分別為EC和FD，∴AC=OC=OD=DB=1，∴CD=2，EC=,∴△EOF是等邊三角形，∴∠EOF=60°，S半圓=，S長方形CDFE=∴S陰=S長方形CDFE-(S半圓-S長方形CDFE)+2（S扇形OEF-S△EOF）=-=故選D.2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E是AB中點，在AD上取一點G，以點G為圓心，GD的長為半徑作圓，該圓與BC邊相切于點F，連接DE，EF，則圖中陰影部分面積為（）A．3π B．4π C．2π+6 D．5π+2【答案】B【詳解】如圖，連接GF，∵四邊形ABCD是矩形∴AD＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°＝∠A＝∠B，AB＝CD＝4∵點E是AB中點∴AE＝BE＝2∵BC與圓相切∴GF⊥BC，且∠ADC＝∠C＝90°∴四邊形GFCD是矩形，又∵GD＝DF∴四邊形GFCD是正方形∴GD＝GF＝CD＝CF＝4∴BF＝BC﹣FC＝2∵S陰影＝（S四邊形ABFD﹣S△AED﹣S△BEF）+（S扇形GDF﹣S△GDF）∴S陰影＝（）+（4π﹣）＝4π.故選B．3．如圖，四邊形ABCD為正方形，邊長為4，以B為圓心、BC長為半徑畫，E為四邊形內(nèi)部一點，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，連接AE，求陰影部分面積(

)A． B． C． D．【答案】C【詳解】過E點作EM⊥BC于M點，作EN⊥AB于N點，如圖，∵BE⊥CE，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴∠EBC=60°，∵EM⊥BC，∴在Rt△EMC中，∴tan∠ECM==tan30°=，∴MC=，∴∴在Rt△EBM中，∴tan∠EBM==tan60°=，∴BM=，∵BM+MC=BC=4，∴+=4，∴，∴BM=，∵NE⊥AB，EM⊥BC，且∠ABC=90°，∴四邊形BMEN是矩形，∴NE=BM=1，∵AB=BC=4，∠ABC=90°，∴，，∴，故選：C．4．如圖，正三角形ABC的邊長為4cm，D，E，F(xiàn)分別為BC，AC，AB的中點，以A，B，C三點為圓心，2cm為半徑作圓．則圖中陰影部分面積為（）A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm2【答案】C【詳解】連接AD，∵△ABC是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD==，∴S陰影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2π)cm2，故選C．5．如圖，在中，，，，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后得，將線段繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)后得線段，分別以O，E為圓心，、長為半徑畫弧和弧，連接，則圖中陰影部分面積是（）A．π B． C． D．【答案】C【詳解】解：作于H，∵，，，∴，由旋轉(zhuǎn)，得，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，陰影部分面積的面積的面積扇形的面積扇形的面積故選：C．6．如圖，在半徑為2、圓心角為的扇形中，，點D從點O出發(fā)，沿的方向運動到點A停止．在點D運動的過程中，線段，與所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】當點D在線段OA上時，易得當點D與點A重合時，陰影部分面積最小，連接OC、BC，過點C作于點H，如圖，

，，∵，∴．；線段、與所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為．故答案為．7．如圖，矩形中，，F(xiàn)是中點，以點A為圓心，為半徑作弧交于點E，以點B為圓心，為半徑作弧交于點G，則圖中陰影部分面積的差為（

）A． B． C． D．6【答案】A【詳解】解：∵在矩形中，，F(xiàn)是中點，∴，∴，∴，故選A．8．如圖，在半徑為4的扇形OAB中，，點C是上一動點，點D是OC的中點，連結(jié)AD并延長交OB于點E，則圖中陰影部分面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵點D是OC的中點，，∴點D在以O為圓心2為半徑的圓弧上，∴可知當AE與小圓O相切于D時，OE最大，即△AOE的面積最大，此時陰影部分的面積取得最小值，∵，∴,則，∵∠AOB=90°，∴，∴，故選B．9．如圖，在中，，，是的平分線，經(jīng)過，兩點的圓的圓心恰好落在上，分別與、相交于點、若圓半徑為則陰影部分面積．【答案】/【詳解】解：連接，．是的平分線，，，，，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，故答案為：．10．如圖，在中，，，點為上一點，以為圓心，長為半徑的圓與相切于點，交于另一點，點為優(yōu)弧上一動點，則圖中陰影部分面積的最大值為．【答案】【詳解】解：連接DE，OD，∵中，，，∴，∵為的切線，∴，∴，，∵，∴，△ODE為等邊三角形，∴，∵S陰影=S弓形DGE+S△DEF∴當OF⊥DE時，陰影部分面積最大，此時OF與DE交于G，∴∠DOG=∠EOG=30°，∠DGO=90°，∴，，∴S陰影=S扇形ODE-S△DEO+S△DEF=．11．如圖，點C為圓O上一個動點，連接AC，BC，若OA＝1，則陰影部分面積的最小值為．【答案】【詳解】取弧AB的中點C′，連接AB、、、，要使陰影部分的面積最小，需要滿足四邊形AOBC的面積最大，只需滿足△ABC的面積最大即可，從而可得當點C位于弧AB的中點時，△ABC的面積最大，則于D扇形AOB的面積陰影部分面積的最小值為故答案為：．12．如圖所示，⊙O是以坐標原點O為圓心，4為半徑的圓，點P的坐標為（，），弦AB經(jīng)過點P，則圖中陰影部分面積的最小值=．【答案】【詳解】解：由題意當OP⊥AB時，陰影部分的面積最?。逷（），∴OP=2．∵OA'=OB'=4，∴PA'=PB'=2，∴tan∠A'OP=tan∠B'OP=，∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S陰=S扇形OA'B'-S△A'OB'=﹣．故答案為：．13．如圖，扇形中，，，為弧的中點，點為上一動點，連接，當陰影部分周長最小時，等于．【答案】/【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，連接交于點，連接、，由對稱可知，，，∵，當點移動到點時，取等號，此時最小，∵為弧的中點，∴，則，，又，，，由軸對稱可知，，，當陰影部分周長最小時，，則．故答案為：．14．如圖，扇形AOB中，，切弧AB于點C，切OA，OB分別于點D，E，若，則陰影部分面積的周長為．【答案】【詳解】∵⊙M內(nèi)切于扇形AOB，∴C、M、O三點共線，連接C、M、O，連接ME、MD，如圖所示，根據(jù)相切的性質(zhì)可知DM⊥AO，ME⊥OB，設⊙M的半徑為R，∴ME=MD=MC=R，∠MDO=∠MEO=90°，結(jié)合MO=MO，可得，∴∠MOD=∠MOE=∠AOB=120°×=60°，∴在Rt△MOE中，∠OME=90°-∠MOE=30°，∴OE=ME=R，OM=2OE=R，又∵OA=OC=OB=1，∴OM+MC=1，即R+R=1，解得R=，∴OE=，則BE=OB-OE=，∵∠MOE=60°，∴，

∵∠OME=30°，∴∠CME=180°-∠OME=180°-30°=150°，，則陰