專(zhuān)題08 與三角形有關(guān)的角壓軸題型全攻略（解析版）四川成都七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)-

專(zhuān)題08與三角形有關(guān)的角壓軸題型全攻略【例題精講】例1．（三角形內(nèi)角和）（2023下·四川成都·七年級(jí)?？计谥校┮阎?，平分，點(diǎn)在射線上．(1)如圖①，若，，求的度數(shù)；(2)如圖②，若，，求的度數(shù)；(3)如圖③，若，，直線與的一條邊垂直，則的度數(shù)為_(kāi)_____．（直接寫(xiě)出答案）【答案】(1)(2)(3)°，，【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義與平行線的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得，進(jìn)而即可求解；（3）分3種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，分別畫(huà)出圖形，即可求解．【詳解】（1）解：∵平分，，∴，∵，∴；（2）解：∵平分，，∴∵中，，中，，，∴即；（3）解：當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，，故答案為：，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和等于，是解題的關(guān)鍵．例2．（三角形外角）【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰BA三分線”，BE是“鄰BC三分線”．【問(wèn)題解決】（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的鄰BA三分線BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDC的度數(shù)為_(kāi)_______；（2）如圖③，在△ABC中，BP，CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰CB三分線，且∠BPC＝135°，求∠A的度數(shù)；【延伸推廣】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的鄰BC三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接寫(xiě)出∠BPC的度數(shù)．（用含m的代數(shù)式表示）【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）根據(jù)∠ABC的鄰BA三分線BD交AC于點(diǎn)D，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得的度數(shù)；（2）根據(jù)、分別是鄰三分線和鄰三分線，且可得，進(jìn)而可求的度數(shù)；（3）根據(jù)的三分線所在的直線與的三分線所在的直線交于點(diǎn),當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)；當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí),再根據(jù)，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）∵∠ABC的鄰BA三分線BD交AC于點(diǎn)D，∠ABC＝45°，∴∠ABD＝15°，∵∠A＝70°，∴∠BDC＝70°+15°＝85°，故答案為：85°；（2）∵BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵∠BPC＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，∴∠ABC+∠ACB＝135°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°；（3）如圖，當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰CD三分線”時(shí)，∵∠CBP＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP，∴∠ACD＝∠P+∠ABC，即∠ACD＝3∠P+∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，∴∠BPC＝∠A＝m°；如圖，當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，∵∠CBP＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP，∴∠ACD＝∠P+∠ABC，即2∠ACD＝3∠P+∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，∴∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+20°．綜上所述：的度數(shù)為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)，注意要分情況討論．例3．（角度綜合）（2023下·四川成都·七年級(jí)成都七中?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)、點(diǎn)分別在邊，上，，，的平分線交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)如圖，如果的平分線與交于點(diǎn)，，求的度數(shù)．(3)如圖，如果點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？如果變化，說(shuō)明理由；如果不變，試求出其值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)；(3)不變，．【分析】（）根據(jù)，得到，再利用角平分線的性質(zhì)，即可解答；（）根據(jù)，，得到，利用外角的性質(zhì)得到，再根據(jù)平分，平分，得到，得到，利用三角形內(nèi)角和為，；（）不變，根據(jù)，，即可解答．【詳解】（1）如圖，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，（2）如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，

∵，，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴，（3）不變，如圖3，

理由如下：∵，，，∴，同理，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、三角形角平分線、外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是利用三角形的角平分線、外角得到角之間的關(guān)系．例4．（折疊問(wèn)題）（2023下·四川成都·七年級(jí)成都七中?？计谥校┤鐖D，已知長(zhǎng)方形紙帶，將紙帶沿折疊后，點(diǎn)、分別落在、的位置，再沿折疊成圖，若，則°．

【答案】【分析】先根據(jù)求出的度數(shù)，進(jìn)可得出和的度數(shù)，根據(jù)和三角形的內(nèi)角和可得的度數(shù)，再由折疊的性質(zhì)可得．【詳解】解：∵，∴，，即，，∴．∵，∴．由折疊可得：，∴．故大為：72．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到角相等是解題的關(guān)鍵．【課后訓(xùn)練】1．（2023下·四川成都·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，射線分別是的外角的角平分線，射線與直線交于點(diǎn)D，射線與直線交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為．

【答案】/42度【分析】設(shè)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義分別表示出，，再利用外角的性質(zhì)得出，求解即可．【詳解】設(shè)，則，∵，∴，∵平分，∴，同理可得，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并分析清楚各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·四川成都·七年級(jí)成都市第二十中學(xué)校?？计谥校┲?，．現(xiàn)進(jìn)行第一次操作：如圖1作射線，使得，作射線，使得．再進(jìn)行第二次操作：如圖2作射線，使得，作射線，使得．再進(jìn)行第三次操作：如圖3作射線使得，作射線，使得．則．

【答案】/20度【分析】在第一次操作中根據(jù)角平分線及三角形外角性質(zhì)推出，；第二次操作根據(jù)已知條件推出，，第三次操作根據(jù)已知條件推出，，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理推出的度數(shù)．【詳解】解：第一次操作：，，，，，，第二次操作：，，，，第三次操作：，，，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能熟記三角形的內(nèi)角和等于和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解此題的關(guān)鍵．3．（2023下·四川成都·七年級(jí)成都市第二十中學(xué)校校考期中）中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，交邊于點(diǎn)D．

(1)如圖1，①若，則，；②猜想與的關(guān)系，并說(shuō)明你的理由．(2)如圖2，作外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，求的度數(shù)．【答案】(1)①，；②相等，理由見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；②設(shè)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵，∴，∵中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：，，②相等，理由如下：設(shè)，∴，∵中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）知，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021下·四川成都·七年級(jí)?？计谥校┮阎篈BC中，BE是∠ABC的角平分線，BD是ABC的AC邊上的高，過(guò)點(diǎn)A作AFBE，交直線BD于點(diǎn)F．(1)如圖1，若∠ABC=74°，∠C=32°，則∠AFB=______°；(2)若（1）中的∠BAC=，∠ACB=()，求∠AFB；（用，表示）；(3)如圖2，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，求出∠AFB．（用，表示）．【答案】(1)21(2)∠AFB=(α-β)；(3)（2）中的結(jié)論不成立，∠AFB=180°+(β-α)．【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義可得∠CBE=37°，由三角形的外角的性質(zhì)可得∠AEB=69°，最后由平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）同理可得∠AFB的度數(shù)；（3）如圖2，（2）中的結(jié)論不成立，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC=180°-α-β，由角平分線的定義得∠ABE=90°-α-β，最后由平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵∠ABC=74°，BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABC=37°，△CBE中，∠AEB=∠C+∠CBE=32°+37°=69°，∵BF⊥AC，∴∠BDE=90°，∴∠EBD=90°-69°=21°，∵AFBE，∴∠AFB=∠EBD=21°，故答案為：21；（2）解：∵∠BAC=α，∠ACB=β，∴∠ABC=180°-α-β，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABC=90°-α-β，△CBE中，∠AEB=∠C+∠CBE=β+90°-α-β=90°-α+β，∵∠BDE=90°，∴∠EBD=90°-（90°-α+β）=α-β，∵AFBE，∴∠AFB=∠EBD=α-β=(α-β)；（3）解：如圖2，（2）中的結(jié)論不成立，理由如下：∵∠BAC=α，∠ACB=β，∴∠ABC=180°-α-β，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠ABC=90°-α-β，△ABC中，∠DAB=180°-∠BAC=180°-α，∵AFBE，∴∠FAB=∠ABE，∵∠D=90°，∴∠ABD=90°-∠DAB=90°-（180°-α）=α-90°，∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABD=180°-（90°-α-β）-（α-90°）=180°+β-α=180°+(β-α)．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．5．如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的符號(hào)——箭號(hào)．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；應(yīng)用：（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．【答案】（1），理由見(jiàn)詳解；（2）①30；②；（3）．【分析】（1）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，，再根據(jù)等量代換即可得出答案；（2）①根據(jù)（1）的結(jié)論可得，由此即可得出答案；②先根據(jù)（1）的結(jié)論可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)（1）的結(jié)論即可得；（3）先根據(jù)（1）的結(jié)論可得，再根據(jù)角2020等分線的定義可得，然后根據(jù)（1）的結(jié)論即可得．【詳解】（1），理由如下：如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，由三角形的外角性質(zhì)得：，，則；（2）①由題意得：，由（1）可知，，，，解得，故答案為：30；②由（1）可知，，，，，解得，、分別是、的2等分線（即角平分線），，，又由（1）可知，，即的度數(shù)為；（3）由（1）可知，，，，解得，，分別是、的2020等分線（），，，又由（1）可知，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、角n等分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），掌握理解角n等分線的定義是解題關(guān)鍵．6．中，點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上，的延長(zhǎng)線與的角平分線相交于點(diǎn)．

(1)如圖1，求證：，(2)如圖2，的角平分線交于，則與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，(3)在（2）的條件下如圖3，過(guò)點(diǎn)作于，，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)；(3)．【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角平分線和外角性質(zhì)求解即可；（2）利用三角形的內(nèi)角平分線和外角定理求解即可；（3）利用所求角度關(guān)系式，假設(shè)參數(shù)建立方程即可求解．【詳解】（1）如圖1，

∵平分；∴，∵，，∴，∴；（2）如圖2，

由（1）得：，∵平分，∴，∵，∴，即有，∴，故填：．（3）如圖3，

由，設(shè)，，由，，，設(shè)，則有，，設(shè)∵，∴，∵，即，解得：，∴，，，在，，∴，即，∴，∵，∴聯(lián)立，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的角平分線，外角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形角平分線，外角性質(zhì)的應(yīng)用，利用參數(shù)解方程也是解題的技巧．7．【定義】在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，我們稱(chēng)這兩個(gè)角互為“和諧角”，這個(gè)三角形叫做“和諧三角形”．例如：在中，，，則與互為“和諧角”，為“和諧三角形”．

【理解】(1)若為和諧三角形，，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為_(kāi)_____°；(2)若為和諧三角形，，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為_(kāi)_____°；(3)已知是和諧中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)和諧角，試確定的取值范圍，并說(shuō)明理由；(4)【應(yīng)用】如圖，中，，，交于點(diǎn)F，點(diǎn)D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，若是和諧中的一個(gè)和諧角，設(shè)，則______．【答案】(1)10(2)30或22.5(3)，理由見(jiàn)解析(4)或或或【分析】（1）根據(jù)和諧三角形的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案；（2）根據(jù)和諧三角形的概念分兩種情況求解即可；（3）由題意得出另外兩個(gè)角分別為和，列出不等式求解即可；（4）分兩種情況：①當(dāng)與互為和諧角時(shí)，或；②當(dāng)與互為和諧角時(shí)，或，列出方程求出答案即可．【詳解】（1）設(shè)最小角為α，∵為和諧三角形，，∴，∴，∴這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為．故答案為：10；（2）∵，當(dāng)與互為“和諧角”時(shí)，則最小角為；當(dāng)與互