安徽省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷含解析

Page18一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知A，B，C，D是空間中互不相同的四個點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運用向量加法法則、減法法則計算即可.詳解】.故選：B.2.直線的傾斜角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】【分析】先求解出直線的斜率，然后依據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求解出傾斜角的大小.【詳解】因為直線方程為，所以斜率，設(shè)傾斜角為，所以，所以，故選：C.3.經(jīng)過點，且以為圓心的圓的一般方程為（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)兩點間的距離公式求出圓的半徑，結(jié)合圓的標準方程與一般方程之間的轉(zhuǎn)化，即可求解.【詳解】由題意得，圓的半徑，所以圓的標準方程為，所以圓的一般方程為．故選：A.4.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)直線平行的條件和充分必要條件的概念可推斷結(jié)果.【詳解】因為直線與直線平行的充要條件是且，解得或．所以由充分必要條件的概念推斷可知：“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件，故選：A5.已知向量，若，且，則的值為（）A.0 B.4 C.0或4 D.1或4【答案】C【解析】【分析】由向量的模求出的值，再由向量垂直求出的值，最終求出即可.【詳解】因為且，所以，解得，又因為，所以，當時解得，此時，當時解得，此時，故選：C6.已知橢圓的兩個焦點為，，且焦距為4，點在上，若的最大值為25，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓定義利用不等式可知當時，取得最大值，可得，由焦距為4可知，即可得離心率.【詳解】由橢圓定義可得，所以，當且僅當時，等號成立．由題可知的半焦距，所以離心率．故選：B7.若直線與曲線有且僅有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出曲線，它是半圓，直線過定點，由圖可知四條直線產(chǎn)生臨界條件，兩條過半圓的兩個端點，兩條是半圓的切線，求出其斜率后可得結(jié)論．【詳解】直線過定點，又曲線可化為：，，

畫出直線與曲線圖象如圖所示：

數(shù)形結(jié)合可得直線在，，，處產(chǎn)生臨界條件，設(shè)直線，，，的斜率分別為則設(shè)直線的方程為，圓心到直線的距離為，解得舍去或，要使兩圖象有個不同交點，則故選：D．8.已知橢圓的一個焦點和一個頂點在圓上，則該橢圓的離心率不行能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圓與坐標軸的公共點，再分狀況探討結(jié)合橢圓的離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，中，令，則，令，則或，故圓與坐標軸的公共點為，，，又橢圓的焦點在軸上，①若橢圓的上頂點為，左焦點為或，即，或，則或，離心率或；②若橢圓的左頂點為，左焦點為，則，，離心率，綜上所述，該橢圓的離心率為或或.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.過點且在兩坐標軸上的截距的確定值相等的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用截距式的求法，探討截距的確定值相等的狀況，在進行截距式假設(shè)時，分截距為0，截距不為0進行假設(shè).【詳解】當直線的截距不為0時，設(shè)直線的截距式方程為，由題可得所以或解得或所以直線方程為或，故A，C正確；當直線的截距為0時，設(shè)直線方程為，由題可知，故直線方程為，D正確．故選：ACD10.下列結(jié)論中正確的是（）A.若，分別為直線l，m的方向向量，則B.若為直線的方向向量，為平面的法向量，則或C.若，分別為兩個不同平面，的法向量，則D.若向量是平面的法向量，向量，，則【答案】BD【解析】【分析】由直線的方向向量垂直得直線垂直，由直線的方向向量與平面的法向量垂直得直線與平行的位置關(guān)系，由兩平面的法向量平行得平面平行，由平面的法向量與平面內(nèi)的向量垂直得參數(shù)關(guān)系，從而推斷各選項．【詳解】，，，直線與不垂直，故A錯誤；，或，故B正確；，與不共線，不成立，故C錯誤；由題可知即解得，故D正確．故選：BD.11.已知圓與圓，則下列說法正確的是（）A.圓的圓心恒在直線上B.若圓經(jīng)過圓的圓心，則圓的半徑為C.當時，圓與圓有條公切線D.當時，圓與圓的公共弦長為【答案】BC【解析】【分析】先將圓的方程化為標準方程，由此即可推斷A；將圓的圓心坐標代入圓的方程即可求出參數(shù)，從而可得圓的半徑，由此即可推斷B；推斷此時兩圓的位置關(guān)系即可推斷C；先求出公共弦方程，然后由圓的弦長公式計算推斷D即可.【詳解】，即，

所以圓的圓心為，恒在直線上，故選項A錯誤

因為的圓心為在圓上，所以，解得，所以的半徑為，故選項B正確；

當時，圓：，圓心為，半徑為，

此時圓與圓的圓心距，即大于兩圓半徑和，

所以圓與圓外離，圓與圓有條公切線，故選項C正確；

當時，圓，圓，兩圓相交，

公共弦方程為，圓的圓心到公共弦的距離，

所以圓與圓的公共弦長為，故選項D錯誤，

故選：BC．【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于ABD選項的推斷比較常規(guī)，關(guān)鍵是推斷C時，只須要推斷兩圓的位置關(guān)系即可.12.法國數(shù)學(xué)家蒙日在探討圓錐曲線時發(fā)覺：橢圓的隨意兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是以坐標原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓．若矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（）A.的蒙日圓的方程為B.若為正方形，則的邊長為C.若圓與的蒙日圓有且僅有一個公共點，則D.過直線上一點作的兩條切線，切點分別為，，當為直角時，直線（為坐標原點）的斜率為【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)已知定義可推斷A項，由正方形的對角線為的蒙日圓的直徑列方程即可推斷B項，由兩圓外切列方程即可推斷C項，由點在直線與橢圓C的蒙日圓的交點處，列方程組求交點即可推斷D項.【詳解】對于A項，由題可知的蒙日圓的半徑為，則蒙日圓的方程為，故A項正確；對于B項，若為正方形，則為的蒙日圓的內(nèi)接正方形，設(shè)正方形的邊長為，由題可知，解得，故B項正確；對于C項，易知點在圓外部，所以若圓與的蒙日圓有且僅有一個公共點，則兩圓外切，所以，解得，故C項正確；對于D項，如圖所示，因為為直角，且、是橢圓C的兩條切線，所以在橢圓C的蒙日圓上，又因為在直線：上，所以點在直線與橢圓C的蒙日圓的交點處.設(shè)直線與圓交于A，B兩點，聯(lián)立，可得或，不妨設(shè)，，所以當點與點A或B重合時，為直角，且，，所以直線的斜率為或0，故D項錯誤．故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知平面的一個法向量為，點，在平面內(nèi)，則__________．【答案】6【解析】【分析】依據(jù)法向量定義列式求參即可.

【詳解】因為，且，所以，解得．故答案為：6.14.橢圓的右焦點到直線的距離是__________．【答案】##【解析】【分析】由橢圓方程可得右焦點為，代入點到直線距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】由題可知橢圓的右焦點坐標為，所以右焦點到直線的距離是．故答案為：15.已知是圓上的動點，，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】由的幾何意義可知其表示圓上的點與點所在直線的斜率，求出過點A的切線的斜率，結(jié)合圖象即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題知圓的圓心為，半徑，表示直線的斜率，不妨設(shè)過點A的圓的切線方程為，則圓心到切線的距離，解得或，結(jié)合圖可知，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.16.已知橢圓的左、右焦點分別為，，是上異于頂點的一點，為坐標原點，為線段的中點，的平分線與直線交于點，當四邊形的面積為時，__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)定義結(jié)合中位線及面積公式計算正弦值即可.【詳解】由題可知，．因為平分，所以到，的距離相等，設(shè)為，則．易知是的中位線，延長，交于點，則為的中點，過作于，易得，則，從而．故答案為：四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓經(jīng)過，兩點．（1）求圓的半徑；（2）推斷圓（且）與圓的位置關(guān)系．【答案】（1）2（2）圓與圓外離【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件可求得a、b的值，再將圓的一般方程標準化后即可求得結(jié)果.（2）比較兩圓心距與即可推斷.【小問1詳解】由題可得，解得，所以圓的一般方程為，則標準方程為，故圓的半徑為2．【小問2詳解】由（1）可知圓的圓心．半徑，又圓N的圓心，半徑，所以，，又因為，所以，所以圓與圓外離．18已知直線和圓．（1）求與直線垂直且經(jīng)過圓心的直線的方程；（2）求與直線平行且與圓相切的直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先依據(jù)垂直關(guān)系設(shè)直線,再結(jié)合直線過圓心求參即可;（2）先依據(jù)平行設(shè)直線方程，再依據(jù)圓心到直線距離為半徑求參得出直線方程.【小問1詳解】設(shè)與直線垂直的直線的方程為．圓可化為，圓心為，因為直線經(jīng)過圓心，所以，即，故所求直線的方程為．【小問2詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為．因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以或10，故所求直線的方程為或．19.已知空間中三點，，.設(shè)，.（1）求；（2）若與相互垂直，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出向量的坐標，然后利用向量模的計算公式求解即可；（2）先求出兩向量的坐標，再利用垂直的坐標形式列式求解即可.【小問1詳解】，，，，，，，于是，.【小問2詳解】，，又與相互垂直，，即，，解得.20.已知圓的圓心在坐標原點，面積為．（1）求圓的方程；（2）若直線，都經(jīng)過點，且，直線交圓于，兩點，直線交圓于，兩點，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）（2）14【解析】【分析】（1）依據(jù)面積解出半徑，再應(yīng)用圓的標準方程即可；（2）依據(jù)幾何法求出弦長，再應(yīng)用面積公式計算，最終應(yīng)用基本不等式求最值即可.【小問1詳解】由題可知圓的圓心為，半徑．所以圓的方程為．【小問2詳解】當直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為，圓心到直線的距離為，則，，同理可得，則，當且僅當，即時等號成立．當直線的斜率不存在時，，，此時．當直線的斜率為0時，依據(jù)對稱性可得．綜上所述，四邊形面積的最大值為14．21.如圖，在直三棱柱中，，為棱的中點，，二面角的大小為．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，則，再由線面平行的判定定理證明即可得；（2）由題意以為原點，分別以直線，，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)，分別求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求出，再求出直線的方向向量由線面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】如圖，連接交于點，連接，明顯是的中點，因為為的中點，所以為的中位線，，而平面，平面，所以平面．【小問2詳解】設(shè)的中點為，連接并延長交于點．因為，所以，于是有．因為三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，而平面平面，所以平面．因為側(cè)面是矩形，所以．以為原點，分別以直線，，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)，則，，，于是，．設(shè)平面的法向量為，則有即令，可得．易知平面的一個法向量為．因為二面角的大小為，所以，即，解得（負值舍去）．故，，．設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．22.已知圓的圓心為（且），，圓與軸、軸分別交于，兩點（與坐標原點不重合），且線段為圓的一條直徑．（1）求證：的面積為定值；（2）若直線經(jīng)過圓的圓心，求圓的方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)是直線上的一個動點，過點作圓的切線，，切點為，，求線段長度的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）求出圓的方程，分別令，求出，，即可求出的面積，即可證明；（2）因為直線經(jīng)過圓的圓心，所以，結(jié)合，即可解出，可求出求圓的方程；（3）由題意可得然P，G，C，H四點共圓，且為該圓的一條直徑，設(shè)這四點所在的圓為圓，可得圓的方程，由點到直線的距離、圓的弦長公式表示出，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即