新教材同步備課2024春高中數學第6章平面向量及其應用6.4平面向量的應用6.4.3余弦定理正弦定理第1課時余弦定理學生用書新人教A版必修第二冊

6.4.3余弦定理、正弦定理第1課時余弦定理學習任務1．駕馭余弦定理的兩種表示形式及證明方法．(數學抽象、邏輯推理)2．會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題．(數學運算)如圖，某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，須要測算隧道的長度．工程技術人員先在地面上選一適當的位置A，量出A到山腳B，C的距離，其中AB＝3km，AC＝1km，再利用經緯儀測出A對山腳BC(即線段BC)的張角∠BAC＝150°．依據上述條件你能求出山腳BC的長度嗎？學問點1余弦定理的表示及其推論文字表述三角形中任何一邊的平方，等于________________減去這兩邊與它們______________的兩倍符號語言a2＝________________________；b2＝________________________；c2＝________________________推論cosA＝______________；cosB＝______________；cosC＝_______________學問點2解三角形(1)一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．(2)已知三角形的幾個元素求________的過程叫做解三角形．1．勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系．你能說說這兩個定理之間的關系嗎？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．余弦定理推論的作用是什么？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．(1)若b＝3，c＝23，A＝30°，則a＝________；(2)若a＝1，b＝7，c＝3，則B＝________．類型1已知兩邊與一角解三角形【例1】(1)在△ABC中，已知b＝60cm，c＝603cm，A＝π6，則a＝________cm(2)在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，則BC＝________[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________已知兩邊及一角解三角形的兩種狀況(1)若已知角是其中一邊的對角，可用余弦定理列出關于第三邊的一元二次方程求解．(2)若已知角是兩邊的夾角，則干脆運用余弦定理求出另外一邊，再用余弦定理和三角形內角和定理求其他角．[跟進訓練]1．在△ABC中，a＝23，c＝6+2，B＝45°_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型2已知三邊解三角形【例2】在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求A，B，C．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________已知三角形的三邊解三角形的方法先利用余弦定理的推論求出一個角的余弦，從而求出第一個角；再利用余弦定理的推論求出其次個角；最終利用三角形的內角和定理求出第三個角．[跟進訓練]2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC中各角的度數．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3利用余弦定理推斷三角形形態(tài)【例3】(源自人教B版教材)在△ABC中，已知acosA＝bcosB，試推斷這個三角形的形態(tài)．[思路導引]acosA＝bcosB化角為邊得出a，b，c間的數量關系．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________利用余弦定理推斷三角形形態(tài)的兩種途徑(1)化邊的關系：將條件中的角，利用余弦定理化為邊的關系，再變形條件推斷．(2)化角的關系：將條件轉化為角與角之間的關系，通過三角變換得出關系進行推斷．[跟進訓練]3．在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，試推斷該三角形的形態(tài)．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，則c等于()A．3 B．2C．5 D．52．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，則△ABC的最小角為()A．π3 B．C．π4 D．3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，則角A等于()A．60° B．45°C．120° D．30°4．在△ABC中，若a＝2bcosC，則△ABC的形態(tài)為________．回顧本節(jié)學問，自主完成以下問題：1．余弦定理及其推論的內容是什么？2．解三角形是如何定義的？余弦定理可解哪些三角形？3．在△ABC中，若a2<b2＋c2，則△ABC是銳角三角形嗎？若b2＋c2<a2，則△ABC為鈍角三角形嗎？第1課時余弦定理[必備學問·情境導學探新知]學問點1其他兩邊平方的和夾角的余弦的積b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2+c2學問點2(2)其他元素思索1提示：余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例．思索2提示：余弦定理的推論是余弦定理的其次種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題．用余弦定理的推論還可以依據角的余弦值的符號來推斷三角形中的角是銳角還是鈍角．課前自主體驗(1)3(2)150°[(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(23)2－2×3×23cos30°＝3，所以a＝3．(2)由余弦定理的推論，得cosB＝a2+c2-b22ac[關鍵實力·合作探究釋疑難]例1(1)60(2)4或5[(1)由余弦定理，得a＝602(2)由余弦定理，得(5)2＝52＋BC2－2×5×BC×910所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5．]跟進訓練1．解：依據余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(23)2＋(6+2)2－2×23×(6+2)×cos45°＝8，∴b又∵cosA＝b2+c2-∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°．例2解：依據余弦定理的推論，得cosA＝b2+c2-∵A∈(0，π)，∴A＝π6cosC＝a2+b2-∵C∈(0，π)，∴C＝π4∴B＝π－A－C＝π－π6－π4＝7∴A＝π6，B＝712π，C＝跟進訓練2．解：已知a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k＞0)，由余弦定理的推論，得cosA＝b＝6k2+∵0°<A<180°，∴A＝45°，cosB＝a2+c2-∵0°<B<180°，∴B＝60°，∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°．例3解：∵acosA＝bcosB，∴由余弦定理可得a·b2+c2-整理得(c2＋b2－a2)a2＝(a2＋c2－b2)b2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，∴a2＋b2＝c2或a＝b．故△ABC為直角三角形或等腰三角形．跟進訓練3．解：由acosB＋acosC＝b＋c并結合余弦定理，得a·a2+c2-b22ac＋即a2+c2-b2整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0．因為b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形．[學習效果·課堂評估夯基礎]1．A[由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，所以c＝3．]2．B[∵a>b>c，∴C為最小角且C為銳角，由余弦定理的推論，得cosC＝a2+b2-又∵C為銳角，∴C＝π63．C[∵cosA＝b2+c2-a24．等腰三角形[∵a＝2bcosC＝2b·a2+b∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，∴△ABC為等腰三角形．]課堂小結1．提示：(1)三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即