江蘇省2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次考試含解析

高三年級其次次考試數(shù)學(xué)試卷留意事項:1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。選擇題部分一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿意z(1+i)=1-3i,則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z-的模長為(A.2 B.3 C.2 D.52.已知集合M={x|1x-1<-1},N={x|lnx<1},則M∪N=(A.(0,1] B.(1,e) C.(0,e) D.(-∞,e)3.已知平面對量a=(-2,1),c=(2,t),則“t>4”是“向量a與c的夾角為銳角”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示,A(π3,0),B(7π12,-1),則f(A.f(x)=sin(x+π6B.f(x)=sin(x-π6C.f(x)=sin(2x+π3D.f(x)=sin(2x-π65.將一枚勻整的骰子獨立投擲兩次,所得的點數(shù)依次記為x,y,記A事務(wù)為“C8x>C8y”,則P(A)A.1136 B.13 C.13366.若直線y=ax+b是曲線y=lnx(x>0)的一條切線,則2a+b的最小值為()A.2ln2 B.ln2C.12ln2 D.1+7.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,且拋物線C過點P(1,-2),過點F的直線與拋物線C交于兩點,A1,B1分別為A,B兩點在拋物線C準(zhǔn)線上的投影,M為線段AB的中點,O為坐標(biāo)原點,則下列結(jié)論正確的是()A.線段AB長度的最小值為2B.△A1FB1的形態(tài)為銳角三角形C.A,O,B1三點共線D.M的坐標(biāo)不行能為(3,-2)8.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn+an=1,記bm為數(shù)列{an}中能使an≥12m+1(m∈N*)成立的最小項,則數(shù)列{bmA.2024×2024 B.22024-1C.6-327 D.11二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿意f(x-1)=f(x+1),則以下說法正確的是()A.f(0)=0 B.f(x)的一個周期為2C.f(2024)=1 D.f(5)=f(4)+f(3)10.雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),左、右頂點分別為A,B,O為坐標(biāo)原點,如圖,已知動直線l與雙曲線C左、右兩支分別交于P,Q兩點,與其兩條漸近線分別交于A.存在直線l,使得AP∥ORB.l在運動的過程中,始終有|PR|=|SQ|C.若直線l的方程為y=kx+2,存在k,使得S△ORB取到最大值D.若直線l的方程為y=-22(x-a),RS=2SB,則雙曲線C的離心率為11.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,動點P在直線CD1上運動,以下四個命題正確的是()A.BD⊥APB.四棱錐P-ABB1A1的體積是定值C.若M為BC的中點,則A1B=2AMD.PA·PC的最小值為-112.已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)-x,則下列結(jié)論正確的有()A.當(dāng)a=1時,方程f(x)=0存在實數(shù)根B.當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減C.當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)有最小值,且最小值在x=lna處取得D.當(dāng)a>0時,不等式f(x)>2lna+32非選擇題部分三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若關(guān)于x的不等式ax2-2x+a≤0在區(qū)間[0,2]上有解,則實數(shù)a的取值范圍是▲.

14.已知{an}是遞增的等比數(shù)列,且滿意a3=1,a1+a3+a5=919,則a4+a6+a8=▲.15.如圖,若圓臺的上、下底面半徑分別為r1,r2,且r1r2=3,則此圓臺的內(nèi)切球(與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球叫圓臺的內(nèi)切球)的表面積為▲.

16.設(shè)a>0,已知函數(shù)f(x)=ex-aln(ax+b)-b,若f(x)≥0恒成立,則ab的最大值為▲.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知1-cosA(1)證明:cosB=a2(2)求ab的取值范圍18.(12分)受環(huán)境和氣候影響,近階段在相鄰的甲、乙、丙三個市爆發(fā)了支原體肺炎,經(jīng)初步統(tǒng)計,這三個市分別有8%,6%,4%的人感染了支原體肺炎病毒,已知這三個市的人口數(shù)之比為4∶6∶10,現(xiàn)從這三個市中隨意選取一個人.(1)求這個人感染支原體肺炎病毒的概率;(2)若此人感染支原體肺炎病毒,求他來自甲市的概率.19.(12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=3,2Sn=3an-3.(1)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列;(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項積為Tn,若對隨意n∈N*恒成立,求整數(shù)λ的最大值.20.(12分)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,右焦點為F(1)求橢圓的離心率.(2)已知橢圓右焦點F的坐標(biāo)為(1,0),P是橢圓在第一象限的隨意一點,且直線A2P交y軸于點Q.若△A1PQ的面積與△A2FP的面積相等,求直線A2P的斜率.21.(12分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,平面PAD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD.(1)證明:PD⊥平面ABCD.(2)若PD=AD,M是PD的中點,N在線段PC上,求平面BMN與平面ABCD夾角的余弦值的取值范圍.22.(12分)已知函數(shù)f(x)=xlnx-12ax2(a>0)(1)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2(x1<x2),證明:x1x2>1a

江蘇省百校聯(lián)考高三年級其次次考試數(shù)學(xué)試卷參考答案1.D【解析】法一:因為z(1+i)=1-3i,所以z=1-3i1+i=(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)法二:兩邊取模|z(1+i)|=|1-3i|,得|z|·|1+i|=|1-3i|,所以|z-|=|z|=5,故選D2.C【解析】解不等式1x-1<-1,即xx-1<0,所以0<x<1,即M=(0,1),由lnx<1,得0<x<e,所以N=(0,e),所以M3.C【解析】a=(-2,1),c=(2,t).若a∥c,t×(-2)=2×1,得t=-1,此時a與c互為相反向量;若a·c=(-2)×2+t=t-4>0,得t>4,此時向量a與c的夾角為銳角.故“t>4”是“向量a與c的夾角為銳角”的充要條件,故選C.4.C【解析】由圖象知T=4×(7π12-π3)=π,故ω將(7π12,-1)代入解析式,得sin(7π6+φ)=-1,所以7π6+φ=-π2+又|φ|<π2,即φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3)5.C【解析】拋擲兩次總的基本領(lǐng)件有36個.當(dāng)x=1時,沒有滿意條件的基本領(lǐng)件;當(dāng)x=2時,y=1滿意;當(dāng)x=3時,y=1,2,6滿意;當(dāng)x=4時,y=1,2,3,5,6滿意;當(dāng)x=5時,y=1,2,6滿意;當(dāng)x=6時,y=1滿意.總共有13種滿意題意,所以P(A)=1336故選C.6.B【解析】設(shè)切點為(x0,lnx0),y'=1x,則a=1x0,ax0+b=lnx0,得b=lnx0-1,∴2a+b=2x0+lnx0-1.設(shè)f(x)=2x+lnx-1(x>0),f'(x)=-2x2+1x=x-2x2∴f(x)min=f(2)=ln2,∴2a+b的最小值為ln2.7.C【解析】因為拋物線C過點P(1,-2),所以拋物線C的方程為y2=4x,線段AB長度的最小值為通徑2p=4,所以A錯誤;由定義知AA1=AF,AA1∥x軸,所以∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以∠A1FB1=90°,所以B錯誤;設(shè)直線與拋物線C交于AB:x=my+1,聯(lián)立拋物線,得y2-4my-4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1·y2=-4,kOA=y1x1=4y1=-y2,因為B1(-1,y2),所以kOB1=-y2=kOA設(shè)AB的中點為M(x0,y0),則y0=y1+y22=2m,x0=my0+1=2m2+1,取m=-1,M(3,8.D【解析】當(dāng)n=1時,a1=12,由Sn+1+an+1=1,得2an+1-an=0,∴an=12n,明顯{an}遞減,要使得an最小,即要使得n最大,令12n≥12m+1,得2n≤2m+1.若m=1,則n≤1,b1=a1=12;若2≤m≤3,則n≤2,bm=a2=14;若4≤m≤7,則n≤3,bm=a3=18;若8≤m≤15,則n≤4,bm=a4=116;…;若1024≤m≤2047,則n≤11,bm=a11=1211.∴T1=b1=12,T3=b1+(b2+b3)=12+12=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=12+12+12=32,…,∴T9.ABD【解析】f(x)是R上的奇函數(shù),因此f(0)=0,A正確;由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以2是它的一個周期,B正確;f(2024)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C錯誤;f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此f(5)=f(4)+f(3),D正確.故選ABD.10.BD【解析】A選項,與漸近線平行的直線不行能與雙曲線有兩個交點,故A錯誤;B選項,易證明線段PQ與線段RS的中點重合,故B正確;C選項,當(dāng)k越來越接近漸近線的斜率時,S△ORB會趨向于無窮,不行能有最大值,故C錯誤;D選項,聯(lián)立直線l與漸近線y=bax,解得S(a22聯(lián)立直線l與漸近線y=-bax,解得R(a2-2b+a,ab2所以yS-yR=2(yB-yS),即3yS=yR+2yB,3ab2b+a=ab2b-a,解得b=11.BCD【解析】對于A,假設(shè)BD⊥AP,則BD⊥平面ACD1,因為AC?平面ACD1,所以BD⊥AC,則四邊形ABCD是菱形,AB=AD,A不正確;對于B,由平行六面體ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱錐P-ABB1A1的底面積和高都是定值,所以體積是定值,B正確;對于C,AC1=AB+AD+AA1,AM=AB+12AD,故2AM-AC對于D,設(shè)PC=λD1PA·PC=(PC+CB+BA)·PC=(λD1C-AD-AB)·λD1C=(λA1B-AD=(λAB-λAA1-AD-AB)·(λAB-λ=λ(λ-1)|AB|2-λ2AA1·AB-λAD·AB-λ(λ-1)AB·AA1+λ2|AA1|=λ(λ-1)|AB|2-(2λ2-λ)AA1·AB-λAD·AB+λ2|AA1|2+=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos60°-λ×2cos60°+4λ2+λ·2cos60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-當(dāng)且僅當(dāng)λ=14時,等號成立,所以PA·PC的最小值為-14,故D正確.12.BD【解析】對于A,因為a=1,所以方程f(x)=0即ex+1-x=0,又ex≥x+1>x-1,所以ex+1-x>0恒成立,所以方程f(x)=0不存在實數(shù)根,所以A錯誤.對于B,因為f(x)=a(ex+a)-x,定義域為R,所以f'(x)=aex-1,當(dāng)a≤0時,由于ex>0,則aex≤0,故f'(x)=aex-1<0恒成立,所以f(x)在R上單調(diào)遞減,所以B正確.對于C,由上知,當(dāng)a>0時,令f'(x)=aex-1=0,解得x=-lna.當(dāng)x<-lna時,f'(x)<0,則f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減;當(dāng)x>-lna時,f'(x)>0,則f(x)在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)a>0時,f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減,在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增.所以函數(shù)f(x)有最小值,即最小值在x=-lna處取得,所以C錯誤.對于D,由上知f(x)min=f(-lna)=a(e-lna+a)+lna=1+a2+lna,要證f(x)>2lna+32,即證1+a2+lna>2lna+32,即證a2-12-令g(a)=a2-12-lna(a>0),則g'(a)=2a-1a=令g'(a)<0,則0<a<22;令g'(a)>0,則a>2所以g(a)在(0,22)上單調(diào)遞減,在(22,+所以g(a)min=g(22)=(22)2-12-ln22=ln2>0,則g(所以當(dāng)a>0時,f(x)>2lna+32恒成立,D正確.綜上,故選BD13.(-∞,1]【解析】因為x∈[0,2],所以由ax2-2x+a≤0,得a≤2x因為關(guān)于x的不等式ax2-2x+a≤0在區(qū)間[0,2]上有解,所以只需a小于或等于2xx2+1的最大值,當(dāng)x=0時,2xx2+1=0,當(dāng)x≠所以2xx2+1的最大值為1,故a≤1,即實數(shù)a的取值范圍是(-∞,1].故答案為(14.273【解析】設(shè)公比為q,a1+a3+a5=a3q2+a3+a3q2=919,解得q2=9或19,因為{an}遞增,所以q=3,則a4+a6+a8=(a1+a3+a5)q3=919×315.12π【解析】設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為O1,O2,則圓臺內(nèi)切球的球心O確定在O1O2的中點處,設(shè)球O與母線AB切于M點,∴OM⊥AB,∴OM=OO1=OO2=R(R為球O的半徑),∴△AOO1與△AOM全等,∴AM=r1,同理BM=r2,∴AB=r1+r2,∴O1O22=(r1+r2)2-(r1-r2)2=4r1r2=12,∴O1O2=2∴圓臺的內(nèi)切球半徑R=3,∴內(nèi)切球的表面積為4πR2=12π.故答案為12π.16.e2【解析】f(x)≥0?ax+ex≥aln(ax+b)+(ax+b),設(shè)g(x)=alnx+x,易知g(x)在(0,+∞)上遞增,且g(ex)=alnex+ex=ax+ex,故f(x)≥0?g(ex)≥g(ax+b)?ex≥法一:設(shè)y=ex在點P(x0,ex0)處的切線斜率為a,ex0=a,即x0切線l:y=ax+a(1-lna),由ex≥ax+b恒成立,可得b≤a(1-lna),∴ab≤a2(1-lna),設(shè)h(a)=a2(1-lna),a>0,h'(a)=2a(12-lna),當(dāng)a∈(0,e12)時,h'(a)>0,當(dāng)a∈(e12,+∞)時,h'(a)<0,∴h(a)max=h(e12)=e2,法二:設(shè)h(x)=ex-ax-b,h'(x)=ex-a,當(dāng)x∈(-∞,lna)時,h'(x)<0,當(dāng)x∈(lna,+∞)時,h'(x)>0,∴h(x)min=h(lna)=a(1-lna)-b≥0,即有b≤a(1-lna),∴ab≤a2(1-lna),下同法一.17.【解析】(1)證法一:因為1-cosAsinA=sin2所以(1-cosA)·cosB=sinA·sinB, 2分所以cosB=cosAcosB+sinAsinB,即cos(A-B)=cosB,而-π2<A-B<π2,0<B<π2,所以A-B=B,即A=2B所以sinA=sin2B=2sinBcosB.由正弦定理得a=2bcosB,即cosB=a2b.證法二:由1-cosAsinA=2sin2A2即sinA2·(1+cos2B)=cosA2·sin2所以sinA2=sin2B·cosA2-cos2B·sinA2=sin(2又0<A<π2,0<B<π2且A+B>所以A2=2B-A2或A2+(2B-A2)=2B=π,所以A=2B或B=π2綜上知,A=2B.所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理得a=2bcosB,即cosB=a2(2)由上知A=2B,則C=π-A-B=π-3B,在銳角△ABC中,π6<B<π4,由正弦定理,得ab=sinAsinB=sin2BsinB=2sinBcosBsin所以ab的取值范圍是(2,3). 18.【解析】(1)記事務(wù)D:選取的這個人感染了支原體肺炎病毒,記事務(wù)E:此人來自甲市,記事務(wù)F:此人來自乙市,記事務(wù)G:此人來自丙市. 1分Ω=E∪F∪G,且E,F,G彼此互斥,由題意可得P(E)=420=0.2,P(F)=620=0.3,P(G)=1020=P(D|E)=0.08,P(D|F)=0.06,P(D|G)=0.04, 3分由全概率公式可得P(D)=P(E)·P(D|E)+P(F)·P(D|F)+P(G)·P(D|G)=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054, 5分所以從三市中任取一人,這個人感染支原體肺炎病毒的概率為0.054. 6分(2)由條件概率公式可得P(E|D)=P(DE)P(D)=P所以當(dāng)此人感染支原體肺炎病毒時,他來自甲市的概率為827. 19.【解析】(1)因為2Sn-3an+3=0,①當(dāng)n≥2時,2Sn-1-3an-1+3=0,② 2分①-②得an=3an-1(n≥2),即anan-1=所以數(shù)列{an}是首項為3,公比為3的等比數(shù)列. 4分(2)由(1)知an=3n,所以Sn=3(1-3nTn=a1a2a3…an=3×32×33×…×3n=31+2+3+…+n=3n(n所以k=1=k=1n(2k-1)3kk(k+1)=k=1n(3k+1故λ<3-n+13n令f(n)=3-n+13n-1,則f(n+1)-f(n)=3-n+23n-(3-n所以數(shù)列{f(n)}單調(diào)遞增,所以f(n)min=f(1)=1,所以λ<1,故整數(shù)λ的最大值為0. 12分20.【解析】(1)由題可知,|A1A2|=2a,由A1F=3FA2,所以|A1F|=3|FA2|,所以|A1F即a+c=32a,所以橢圓的離心率e=ca=12(2)法一:由題意知,c=1,a=2,所以橢圓方程為x24+y直線A2P的斜率存在,設(shè)直線A2P的斜率為k,則直線方程為kx-y-2k=0且k<0,設(shè)A1到直線A2P的距離為h1,F到直線A2P的距離為h2,則h1=|-4k|k2+1,h2又S△A1PQ=12h1·|PQ|,S△A2FP=12h所以|PQ||A2P|由圖可得A2P=45A2Q,又因為A2(2,0),Q(0,-2k),所以P(25又P在橢圓上,代入橢圓方程解得k2=98,因為k<0,所以k=-324法二:由題意知,直線A2P的斜率存在,設(shè)直線A2P的斜率為k,則直線方程為kx-y-2k=0且k<0,聯(lián)立kx-y-2k=0,x24+y23=1,消去y得到方程(3+4k2)x所以xA2·xP=16k2-123+4k2代入直線方程得P(8k2-63+4k2,-12k3+4kS△A2FP=12|A2F|·yP=yP2,S△A1PQ=S△QA1A2-S△又因為S△A1PQ=S△A2FP,所以5所以52·-12k3+4k2=-4k,解得k2=98,因為k<21.【解析】(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴AD⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AD?平面ABCD,∴AD⊥平面PCD,∵PD?平面PCD,∴AD⊥PD, 2分同理CD⊥PD.∵AD∩CD=D,AD?平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD. 4分(2)由(1)知AD⊥PD,CD⊥PD,AD⊥CD,∴DA,DC,DP兩兩垂直,如圖,以D為原點,DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PD=AD=2,則D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,1).∵PD⊥平面ABCD,∴平面ABCD的一個法向量為m=(0,0,1), 5分CN=λCP(0≤λ≤1),∴BM=(-2,-2,1),CP=(0,-2,2),∴BN=BC+CN=BC+λCP=(-2,0,0)+λ(0,-2,2)=(-2,-2λ,2λ),設(shè)平面BMN的法向量為n=(x,y,z),則BM·n=-2x-2y+z=0,BN·n=-∴平面BMN的一個法向量為n=(λ,1-2λ,2-2λ). 7分設(shè)平面BMN與平面ABCD的夾角為θ,則cosθ=|cos<n,m>|=|n·m|n||m|設(shè)t=1-λ,則0≤t≤1.①當(dāng)t=0時,cosθ=0. 9分②當(dāng)t≠0時,cosθ=2|t|9t2-6=212[(當(dāng)t=23時,cosθ=223,∴0<cosθ≤2綜上,0≤cosθ≤223.∴平面BMN與平面ABCD夾角的余弦值的取值范圍為[0,22322.【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=lnx-ax+1, 1分由題意,f'(x)≤0恒成立,即a≥lnx+1x設(shè)h(x)=lnx+1x,h'(x)當(dāng)x∈(0,1)時,h'(x)>0,h(x)遞增,當(dāng)x∈(1,+∞)時,h'(x)<0,h(x)遞減, 3分∴h(x)max=h(1)=1,∴a≥1. 4分(2)證法