2024年江蘇省南京市雨花臺區(qū)中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷

2024年江蘇省南京市雨花臺區(qū)中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（2分）與|（﹣n）2|（n為實數(shù)）的值相等的是（）A．﹣n2 B．n2 C．（﹣n）3 D．|n3|2．（2分）已知a，b都是實數(shù)，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，則（a+b）2024的值是（）A．﹣2024 B．0 C．1 D．20243．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯誤的是（）A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC4．（2分）如圖，矩形紙片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿對角線AC將矩形紙片ABCD剪開，再將三角形紙片ABC沿著對角線AC向下適當平移，得到三角形紙片A'BC'，然后剪出如圖所示的最大圓形紙片，則此時圓形紙片的半徑為（）A．cm B．cm C．cm D．cm5．（2分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為（）A．24° B．28° C．48° D．66°6．（2分）設(shè)O為坐標原點，點A、B為拋物線y＝x2上的兩個動點，且OA⊥OB．連接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（）A． B． C． D．1二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請把答案填寫答題卡相應(yīng)位置上）7．（2分）化簡2m﹣（3m+8m）的結(jié)果是．8．（2分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是．9．（2分）如圖，△AOB頂點A，B的坐標分別為（﹣1，1），（1，1），將△AOB平移后，點A的對應(yīng)點D的坐標是（1，2），則點B的對應(yīng)點E的坐標是．10．（2分）如圖，點O是正六邊形ABCDEF和正五邊形AB1C1D1E1的中心，連接AE，C1F相交于點G，則∠AGF的度數(shù)為°．11．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P、A分別位于直線BC異側(cè)，連接AP，∠PBC＝∠BAC，∠APB+2∠PAB＝90°，當BC＝8，PB＝5時，則AB的長為．12．（2分）已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，則化簡b+a＝．13．（2分）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，I是△ABC的內(nèi)心．若∠BIC＝∠BOC，則∠BAC的度數(shù)是．14．（2分）已知m是方程x2﹣3x﹣2024＝n（n為常數(shù)）的一個根，代數(shù)式2m2﹣6m+2024的值是．15．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，tanA＝，則AB＝．16．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，則＝．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）計算：[3×（﹣1）+22+|﹣8|]2．18．（8分）先化簡，再求值：（）÷（1﹣），其中a＝2﹣．19．（8分）隨著社會的發(fā)展，通過微信朋友圈發(fā)布自己每天行走的步數(shù)已經(jīng)成為一種時尚．“健身達人”小陳為了了解他的好友的運動情況．隨機抽取了部分好友進行調(diào)查，把他們6月1日那天行走的情況分為四個類別：A（0～5000步）（說明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B，C，D，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示：請依據(jù)統(tǒng)計結(jié)果回答下列問題：（1）本次調(diào)查中，一共調(diào)查了位好友．（2）已知A類好友人數(shù)是D類好友人數(shù)的5倍．①請補全條形圖；②依據(jù)數(shù)據(jù)，談?wù)勀愕慕Y(jié)論；③若小陳微信朋友圈共有好友150人，請根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)估計大約有多少位好友6月1日這天行走的步數(shù)超過10000步？20．（8分）某小學(xué)學(xué)生較多，為了便于學(xué)生盡快就餐，師生約定：早餐一人一份，一份兩樣，一樣一個，食堂師傅在窗口隨機發(fā)放（發(fā)放的食品價格一樣），食堂在某天早餐提供了豬肉包、面包、雞蛋、油餅四樣食品．（1）按約定，“小李同學(xué)在該天早餐得到兩個油餅”是事件；（可能，必然，不可能）（2）請用列表或樹狀圖的方法，求出小張同學(xué)該天早餐剛好得到豬肉包和油餅的概率．21．（8分）如圖，?ABCD中，點E是AD的中點，連結(jié)CE并延長交BA的延長線于點F．（1）求證：AF＝AB；（2）點G是線段AF上一點，滿足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于點H，若AG＝2，F(xiàn)G＝6，求CH的長．22．（7分）已知a＞0，b＞0．試說明：a+b≥2．23．（8分）如圖①，某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂AB，連桿BC，懸臂CD和安裝在D處的攝像頭組成．如圖②是該款設(shè)備放置在水平桌面l上的示意圖．已知支撐臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，測量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求攝像頭到桌面l的距離DE的長（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）24．（8分）一名在校大學(xué)生利用“互聯(lián)網(wǎng)+”自主創(chuàng)業(yè)，銷售一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的成本價10元/件，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于16元/件，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求每天的銷售利潤W（元）與銷售價x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件銷售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？25．（9分）如圖，AB為⊙O的直徑，DA和⊙O相交于點F，AC平分∠DAB，點C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于點P．（1）求證：AC?PC＝BC2；（2）已知BC2＝3FP?DC，的值為；（3）延長DC交AB的延長線于M，連接PM．當AB＝10時，隨著點C的變化，PM的長度如何變化？請描述變化過程，并說明理由．26．（8分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k為常數(shù)）．（1）若拋物線經(jīng)過點（1，k2），求k的值；（2）若拋物線經(jīng)過點（2k，y1）和點（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范圍；（3）若將拋物線向右平移1個單位長度得到新拋物線，當1≤x≤2時，新拋物線對應(yīng)的函數(shù)有最小值﹣，求k的值．27．（10分）綜合與實踐問題情境數(shù)學(xué)活動課上，老師發(fā)給每名同學(xué)一個等腰三角形紙片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同學(xué)們將紙片沿一條直線折疊，探究圖形中的結(jié)論．問題發(fā)現(xiàn)奮進小組在邊AC上取一點D，連接BD，將這個紙片沿BD翻折，點A的對應(yīng)點為E，如圖1所示．如圖2，小明發(fā)現(xiàn)，當點E落在邊BC上時，∠DEC＝2∠ACB．如圖3，小紅發(fā)現(xiàn)，當點D是AC的中點時，連接CE，若已知AB和CE的長，則可求BD的長．……問題提出與解決奮進小組根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1，請你解答．問題1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，點D是邊AC上一點，將△ABD沿BD翻折得到△EBD．（1）如圖2，當點E在邊BC上時，求證：∠DEC＝2∠ACB．（2）如圖3，當點D是AC的中點時，連接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的長．拓展延伸小剛受到探究過程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為銳角，嘗試畫圖，并提出問題2，請你解答．問題2：如圖4，點D是△ABC外一點，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的長．參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（2分）與|（﹣n）2|（n為實數(shù)）的值相等的是（）A．﹣n2 B．n2 C．（﹣n）3 D．|n3|【解答】解：|（﹣n）2|＝|n2|＝n2，故選：B．2．（2分）已知a，b都是實數(shù)，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，則（a+b）2024的值是（）A．﹣2024 B．0 C．1 D．2024【解答】解：由題意得，a+2＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣2，b＝2，所以（a+b）2024＝02024＝0．故選：B．3．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯誤的是（）A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC【解答】解：根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可得，∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分線，∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分線，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∵DE不是AB的垂直平分線，故不能證明∠BAD＝∠B，綜上所述：A，C，D不符合題意，B符合題意，故選：B．4．（2分）如圖，矩形紙片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿對角線AC將矩形紙片ABCD剪開，再將三角形紙片ABC沿著對角線AC向下適當平移，得到三角形紙片A'BC'，然后剪出如圖所示的最大圓形紙片，則此時圓形紙片的半徑為（）A．cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：過點A'作A'P⊥AD于點P，設(shè)AP＝xcm，A'P＝y(tǒng)cm，圓的直徑為dcm，由題意可得：d+x＝20，d﹣y＝15，∴20﹣x＝15+y，即x+y＝5，∵∠A＝∠A，∠APA'＝∠ADC，∴△APA'∽△ADC，∴，即，∴y＝，∴x＝，d＝，∴半徑為：cm．故選：A．5．（2分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為（）A．24° B．28° C．48° D．66°【解答】解：∵DE⊥AC，∠CAD＝24°，∴∠ADE＝66°，∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ADE，∴∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝66°∴∠BAD＝48°，故選：C．6．（2分）設(shè)O為坐標原點，點A、B為拋物線y＝x2上的兩個動點，且OA⊥OB．連接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（）A． B． C． D．1【解答】解：如圖，分別作AE、BF垂直于x軸于點E、F，設(shè)OE＝a，OF＝b，由拋物線解析式為y＝x2，則AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BF于H，交y軸于點G，連接AB交y軸于點D，設(shè)點D（0，m），∵DG∥BH，∴△ADG∽△ABH，∴，即．化簡得：m＝ab．∵∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠BOF＝90°，又∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠BOF＝∠EAO，又∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB．∴，即，化簡得ab＝1．則m＝ab＝1，說明直線AB過定點D，D點坐標為（0，1）．∵∠DCO＝90°，DO＝1，∴點C是在以DO為直徑的圓上運動，∴當點C到y(tǒng)軸距離為＝時，點C到y(tǒng)軸的距離最大．故選：A．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請把答案填寫答題卡相應(yīng)位置上）7．（2分）化簡2m﹣（3m+8m）的結(jié)果是﹣9m．【解答】解：原式＝2m﹣3m﹣8m＝﹣9m．故答案為：﹣9m．8．（2分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是30o．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，故答案為：30°．9．（2分）如圖，△AOB頂點A，B的坐標分別為（﹣1，1），（1，1），將△AOB平移后，點A的對應(yīng)點D的坐標是（1，2），則點B的對應(yīng)點E的坐標是（3，2）．【解答】解：由題可知A（﹣1，1）平移后得到點D（1，2）；∴是先向右平移2個單位長度，在向上平移1個單位長度；∴點B（1，1）先向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度；∴點E（3，2）；故答案為（3，2）．10．（2分）如圖，點O是正六邊形ABCDEF和正五邊形AB1C1D1E1的中心，連接AE，C1F相交于點G，則∠AGF的度數(shù)為78°．【解答】解：連接OA，OB1，OC1，∵點O是正六邊形ABCDEF和正五邊形AB1C1D1E1的中心，∴∠AOB1＝∠B1OC1＝＝72°，∴∠AOC1＝144°，∴∠AFC1＝AOC1＝72°，∵AF＝EF，∠AFE＝120°，∴∠GAF＝30°，∴∠AGF＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣30°﹣72°＝78°，故答案為：78．11．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P、A分別位于直線BC異側(cè)，連接AP，∠PBC＝∠BAC，∠APB+2∠PAB＝90°，當BC＝8，PB＝5時，則AB的長為．【解答】解：過點A作AF⊥PB，交PB的延長線于點F，如圖，則∠APB+∠PAF＝90°，∵∠APB+2∠PAB＝90°，∴∠PAF＝2∠PAB，∴∠EAB＝∠FAB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠BAC+2∠ABC＝180°，∵∠PBC＝∠BAC，∠PBC+∠CBF＝180°，∴∠CBF＝2∠ABC，∴∠ABE＝∠ABF，在△ABE和△ABF中，，∴△ABE≌△ABF（ASA），∴AE＝AF，BE＝BF，∠AEB＝∠AFB＝90°，∵AB＝AC，BC＝8，∴BE＝BC＝4＝BF，在Rt△PBE中，∵PB＝5∴由勾股定理，得PE＝＝＝3，PF＝PB+BF＝5+4＝9，設(shè)AF＝x，則AP＝x+3，在Rt△PAF中，由勾股定理，得PA2＝AF2+PF2，即（x+3）2＝x2+92，解得x＝12，在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝＝＝，故答案為：．12．（2分）已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，則化簡b+a＝﹣．【解答】解：∵a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b，∴a、b可看作方程x2+5x+2＝0的兩不相等的實數(shù)根，則a+b＝﹣5，ab＝2，∴a＜0，b＜0，則原式＝﹣﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，故答案為：﹣．13．（2分）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，I是△ABC的內(nèi)心．若∠BIC＝∠BOC，則∠BAC的度數(shù)是60°或108°．【解答】解：①當∠BAC是銳角時，如圖所示：∵I為△ABC的內(nèi)心，∴∠ABI＝∠CBI＝∠ABC，∠BCI＝∠ACB，∴∠CBI+∠BCI＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∴∠BIC＝180°﹣（∠CBI+∠BCI）＝180°﹣（90°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，∵∠BOC＝2∠BAC，∴2∠BAC＝90°+∠BAC，解得：∠BAC＝60°．②當∠BAC是鈍角時，如圖，∵∠BIC＝90°+∠BAC，∵∠BOC＝2∠BA′C，∴2∠BA′C＝90°+∠BAC，∵∠BAC+∠BA′C＝180°，∴2（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，解得：∠BAC＝108°．故答案為：60°或108°．14．（2分）已知m是方程x2﹣3x﹣2024＝n（n為常數(shù)）的一個根，代數(shù)式2m2﹣6m+2024的值是6072+2n．【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2024＝n（n為常數(shù)）的一個根，∴m2﹣3m﹣2024＝n．∴m2﹣3m＝2024+n．∴2m2﹣6m+2024＝2（m2﹣3m）+2024＝2（2024+n）+2024＝6072+2n．故答案為：6072+2n．15．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，tanA＝，則AB＝6.5．【解答】解：∵CD⊥AB，∴tan∠BCD＝，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴tan∠BCD＝tanA＝＝，∴＝＝，∴BD＝2，AD＝4.5，∴BC＝AD+BD＝6.5．故答案為：6.5．16．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，則＝．【解答】解：如圖，過點D作DM∥BC，交CA的延長線于點M，延長BA交DM于點N，∵DM∥BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴＝＝tan∠ACB＝，＝＝，又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠NAD＝90°，∵∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴＝＝，設(shè)BC＝4a，由＝＝得，DM＝3a，∴AB＝2a，DN＝a，AN＝a，∴NB＝AB+AN＝2a+a＝a，∴＝＝＝．故答案為：．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）計算：[3×（﹣1）+22+|﹣8|]2．【解答】解：原式＝（﹣3+4+8）2＝92＝81．18．（8分）先化簡，再求值：（）÷（1﹣），其中a＝2﹣．【解答】解：原式＝[﹣]÷（﹣）＝÷＝?＝，當a＝2﹣時，原式＝＝．19．（8分）隨著社會的發(fā)展，通過微信朋友圈發(fā)布自己每天行走的步數(shù)已經(jīng)成為一種時尚．“健身達人”小陳為了了解他的好友的運動情況．隨機抽取了部分好友進行調(diào)查，把他們6月1日那天行走的情況分為四個類別：A（0～5000步）（說明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B，C，D，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示：請依據(jù)統(tǒng)計結(jié)果回答下列問題：（1）本次調(diào)查中，一共調(diào)查了30位好友．（2）已知A類好友人數(shù)是D類好友人數(shù)的5倍．①請補全條形圖；②依據(jù)數(shù)據(jù)，談?wù)勀愕慕Y(jié)論；③若小陳微信朋友圈共有好友150人，請根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)估計大約有多少位好友6月1日這天行走的步數(shù)超過10000步？【解答】解：（1）本次調(diào)查的好友人數(shù)為6÷20%＝30（人），故答案為：30；（2）①設(shè)D類人數(shù)為a，則A類人數(shù)為5a，根據(jù)題意，得：a+6+12+5a＝30，解得：a＝2，即A類人數(shù)為10、D類人數(shù)為2，補全圖形如下：②由圖可知，C類人數(shù)最多；故答案為：120；③150×＝70（人），答：估計大約6月1日這天行走的步數(shù)超過10000步的好友人數(shù)為70人．20．（8分）某小學(xué)學(xué)生較多，為了便于學(xué)生盡快就餐，師生約定：早餐一人一份，一份兩樣，一樣一個，食堂師傅在窗口隨機發(fā)放（發(fā)放的食品價格一樣），食堂在某天早餐提供了豬肉包、面包、雞蛋、油餅四樣食品．（1）按約定，“小李同學(xué)在該天早餐得到兩個油餅”是不可能事件；（可能，必然，不可能）（2）請用列表或樹狀圖的方法，求出小張同學(xué)該天早餐剛好得到豬肉包和油餅的概率．【解答】解：（1）小李同學(xué)在該天早餐得到兩個油餅”是不可能事件；（2）樹狀圖法即小張同學(xué)得到豬肉包和油餅的概率為＝．21．（8分）如圖，?ABCD中，點E是AD的中點，連結(jié)CE并延長交BA的延長線于點F．（1）求證：AF＝AB；（2）點G是線段AF上一點，滿足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于點H，若AG＝2，F(xiàn)G＝6，求CH的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，∵E是AD的中點，∴DE＝AE，∴△CDE≌△FAE（AAS），∴CE＝EF，∵AE∥BC，∴＝＝1，∴AF＝AB；（2）解：∵AG＝2，F(xiàn)G＝6，∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，∴AB＝AF＝8，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝8，∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，∴∠F＝∠FCG，∴CG＝FG＝6，∵CD∥AF，∴△DCH∽△AGH，∴＝，即＝，∴GH＝1.2，∴CH＝GC﹣GH＝4.8．22．（7分）已知a＞0，b＞0．試說明：a+b≥2．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴a+b﹣2＝≥0，∴a+b≥2．23．（8分）如圖①，某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂AB，連桿BC，懸臂CD和安裝在D處的攝像頭組成．如圖②是該款設(shè)備放置在水平桌面l上的示意圖．已知支撐臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，測量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求攝像頭到桌面l的距離DE的長（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）【解答】解：過點C作CF⊥l，垂足為F，過點B作BN⊥CF，垂足為N，過點D作DM⊥CF，垂足為M，設(shè)DM與BC交于點G，則FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝30cm，∴CN＝30?sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），BN＝30?cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），∴AF＝BN＝15.9cm，∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），∵DM∥BN，∴∠CGM＝∠CBN＝58°，∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，在Rt△CDM中，CM＝DM?tan30°＝×24.9≈14.36（cm），∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），∴DE＝MF＝26.1cm，∴攝像頭到桌面l的距離DE的長約為26.1cm．24．（8分）一名在校大學(xué)生利用“互聯(lián)網(wǎng)+”自主創(chuàng)業(yè)，銷售一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的成本價10元/件，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于16元/件，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求每天的銷售利潤W（元）與銷售價x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件銷售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y＝kx+b，將（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，所以y與x的函數(shù)解析式為y＝﹣x+40（10≤x≤16）；（2）根據(jù)題意知，W＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400＝﹣（x﹣25）2+225，∵a＝﹣1＜0，∴當x＜25時，W隨x的增大而增大，∵10≤x≤16，∴當x＝16時，W取得最大值，最大值為144，答：每件銷售價為16元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是144元．25．（9分）如圖，AB為⊙O的直徑，DA和⊙O相交于點F，AC平分∠DAB，點C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于點P．（1）求證：AC?PC＝BC2；（2）已知BC2＝3FP?DC，的值為；（3）延長DC交AB的延長線于M，連接PM．當AB＝10時，隨著點C的變化，PM的長度如何變化？請描述變化過程，并說明理由．【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵∠DAC＝∠PBC，∴∠BAC＝∠PBC，又∵∠ACB＝∠BCP，∴△ACB∽D△BCP，∴，∴AC?PC＝BC2．（2）解：作PE⊥AB于E，如圖，由（1）可知AC?PC＝BC2，∵BC2＝3FP?DC，∴AC?PC＝3FP?DC，∵CD⊥DA，∴∠ADC＝90°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠BCP＝90°，∴∠ADC＝∠BCP，∵∠DAC＝∠CBP，∴△ACD∽△BPC，∴，∴AC?PC＝BP?DC，∴BP?DC＝3FP?DC，∴BP＝3FP，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，∴PF⊥AD，∵AC平分∠DAB，PE⊥AB，∴PF＝PE，∵∠PEB＝∠AFB＝90°，∠ABF＝∠PBE，∴△ABF∽△PBE，＝＝．故答案為：．（3）解：如圖，過O作MN⊥AB，∵AD與圓交于點F，∴0°＜∠DAB＜90°，∵AC平分∠DAB，∴0°＜∠BAC＜45°，∴點C只能在上運動，且不能與B重合，①當C在圓上從M到B的過程中，此時PM的長度逐漸減小，∵F和C越來越靠近B點，∴BF和AC交點P越來越靠近點B，且M也離B點越來越近，∴PM逐漸減?。虎诋擟在圓上從B到N的過程中，此時PM的長度逐漸增大．∵F和C離B點，越來越遠，∴BF和AC交點P同樣離B點越來越遠，且M也是離B的距離逐漸增大∴PM逐漸增大；綜上，PM隨著點C的變化，PM先減小再增大．26．（8分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k為常數(shù)）．（1）若拋物線經(jīng)過點（1，k2），求k的值；（2）若拋物線經(jīng)過點（2k，y1）和點（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范圍；（3）若將拋物線向右平移1個單位長度得到新拋物線，當1≤x≤2時，新拋物線對應(yīng)的函數(shù)有最小值﹣，求k的值．【解答】解：（1）把點（1，k2）代入拋物線y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得k2＝12﹣2（k﹣1）+k2﹣k解得k＝（2）把點（2k，y1）代入拋物線y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得y1＝（2k）2﹣2（k﹣1）?2k+k2﹣k＝k2+k把點（2，y2）代入拋物線y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得y2＝22﹣2（k﹣1）×2+k2﹣k＝k2﹣k+8∵y1＞y2∴k2+k＞k2﹣k+8解得k＞1（3）拋物線y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k解析式配方得y＝（x﹣k+1）2+（﹣）將拋物線向右平移1個單位長度得到新解析式為y＝（x﹣k）2+（﹣）當k＜1時，1≤x≤2對應(yīng)的拋物線部分位于對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，∴x＝1時，y最?。剑?﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣k，∴k2﹣k＝﹣，解得k1＝1，k2＝都不合題意，舍去；當1≤k≤2時，y最?。僵乲﹣1，∴﹣k﹣1＝﹣解得