三重積分、重積分習(xí)題

三重積分1．將I＝分別表示成直角坐標(biāo),柱面坐標(biāo)與球面坐標(biāo)下得三次積分,并選擇其中一種計(jì)算出結(jié)果。其中就是由曲面z=及z＝ｘ+y所圍成得閉區(qū)域、分析為計(jì)算該三重積分，我們先把積分區(qū)域投影到某坐標(biāo)平面上，由于就是由兩張曲面及,而由這兩個(gè)方程所組成得方程組極易消去ｚ，我們把它投影到ｘoy面上。然后,為在指定得坐標(biāo)系下計(jì)算之,還應(yīng)該先把得邊界曲面用相應(yīng)得坐標(biāo)表示,并找出各種坐標(biāo)系下各個(gè)變量得取值范圍,最后作代換即可。解將投影到xoｙ平面上，由消去z得(ｘ+y）＝2－(x+y),或(x+y＋２)（x+ｙ—１)=０,于就是有x+ｙ＝１。即知，在xｏｙ平面上得投影為圓域D：x+ｙ１．為此在Ｄ內(nèi)任取一點(diǎn)Q（x,y),過Q作平行于ｚ軸得直線自下而上穿過。穿入時(shí)碰到得曲面為,離開時(shí)碰到得曲面為（不畫圖，僅用代數(shù)方法也易判斷),這就是因?yàn)閤+ｙ1)(1）直角坐標(biāo)系下，我們分直角坐標(biāo)及柱面坐標(biāo)，下邊找ｚ得變化范圍從而化為三重積分.因此再由Ｄ：ｘ+ｙ1，有,于就是在直角坐標(biāo)下,可表示為 ：于就是有Ｉ=、(２）柱面坐標(biāo)下首先把得表面方程用柱面坐標(biāo)表示,這時(shí)z=x+y表示為z＝,z＝表示為ｚ=。再由投影區(qū)域Ｄ為ｘ＋ｙ1。故01,０θ2.于就是可表示為：將所給三重積分中得體積元素用=去替換,有I===、(3)球面坐標(biāo)下用球面坐標(biāo)代換兩曲面得方程,得曲面z=ｘ+y變?yōu)椋?曲面z=變?yōu)?.由在xoy平面上得投影為x+y1知０2,下邊找得變化范圍.正z軸在內(nèi),即內(nèi)有點(diǎn)P,使與夾角為零,即得下界為零.又曲面z＝x+y與xoｙ平面相切，故得上界為，于就是0再找得變化范圍.原點(diǎn)在得表面上,故取到最小值為零。為找得上界,從原點(diǎn)出發(fā)作射線穿過,由于得表面由兩張曲面所組成,因而得上界隨相應(yīng)得得不同而不同。為此在兩曲面得交線上取一點(diǎn)A（0，1,1），故Ａ所對應(yīng)得.當(dāng)時(shí),r得上界由曲面r=所給,故這時(shí)r。即r得變化范圍為0因此Ｉ=.由得特點(diǎn)(在ｘoｙ平面上得投影為圓域,而本身不就是球或球錐),故采用柱面坐標(biāo)計(jì)算比較簡單,這時(shí)Ｉ===2=.小結(jié)（1）計(jì)算三重積分時(shí)，欲用何種坐標(biāo)，就要首先把積分區(qū)域得表面方程化成用該坐標(biāo)表示,同時(shí)把被積函數(shù)中得變量與體積元素替換為該坐標(biāo)下得形式．（2)不要認(rèn)為當(dāng)積分區(qū)域?yàn)榍蝮w得一部分就應(yīng)采用球面坐標(biāo)．球面坐標(biāo)所適用得積分區(qū)域一般為球，兩球面所圍得區(qū)域,或這兩種區(qū)域被圓錐所截得得部分。本題就是由旋轉(zhuǎn)拋物面與球面所圍成得區(qū)域，一般就是不宜用球面坐標(biāo)得.(3）還應(yīng)注意面積元在不同坐標(biāo)下得不同形式；并且在直角坐標(biāo)系中，更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)學(xué)會使用對稱性、奇偶性、切片法、換元法、投影面方程得求法等;2.計(jì)算三重積分,其中就是由曲面x+y+ｚ＝1及ｚ=所圍成得區(qū)域.分析為球面與圓錐面所圍成得區(qū)域.故從積分區(qū)域得特點(diǎn)瞧，它適宜用球面坐標(biāo).同時(shí),被積函數(shù)中含有因式x+y＋ｚ,故從積分區(qū)域與被積函數(shù)兩方面來瞧,應(yīng)選用球面坐標(biāo)．解在球面坐標(biāo)下，球面x+y+ｚ=１得方程為ｒ＝１，錐面z=得方程為tan=,即,又z軸得正向穿過故得下界為零,因此0。將投影到xoy面,由方程組消去z得ｘ＋ｙ=。因此０.該錐體得頂點(diǎn)在原點(diǎn),故r下界為零,由穿線法可知ｒ故0r1、于就是=＝=２.小結(jié)當(dāng)積分區(qū)域?yàn)橛汕蛎媾c錐角所圍成得球錐體時(shí)。若錐題得頂點(diǎn)為原點(diǎn)，且 Ｚ軸正向穿過積分區(qū)域，則有0,且r得下界為零,上界由球面得方程所給出。３.計(jì)算其中就是由ｘｏy平面上得曲線=2ｘ繞ｘ軸旋轉(zhuǎn)而成得曲面與平面ｘ=5所圍成得閉區(qū)域分析：投影區(qū)域?yàn)閳A域,再由于積分區(qū)域與球體無關(guān),故采用柱面坐標(biāo),這時(shí)要注意把y，z用極坐標(biāo)代換．還應(yīng)注意積分區(qū)域關(guān)于平面y＝０，z=０皆對稱,且被積函數(shù)關(guān)于y,z皆為偶函數(shù).因此還應(yīng)利用積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)平面得對稱性與被積函數(shù)關(guān)于某相應(yīng)變量得奇偶性先進(jìn)行化簡。解曲線=2x或x=繞x軸旋轉(zhuǎn)得得旋轉(zhuǎn)拋物面方程為ｘ=(）,故由拋物面x=(）與z=0所圍成。由于被積函數(shù)分別就是y與ｚ得偶函數(shù),而積分區(qū)域關(guān)于平面ｙ=0及ｚ=0都對稱，因此＝4,其中為在第一卦限內(nèi)得部分由知,在ｙoz平面上得投影為.在yｏz平面上得投影為ｙｏz平面上第一象限內(nèi)得１／４個(gè)圓,因此有：于就是４4==２=、小結(jié)(１）當(dāng)被積函數(shù)關(guān)于某坐標(biāo)平面對稱，同時(shí)被積函數(shù)就是相應(yīng)變量得奇或偶函數(shù)時(shí)，應(yīng)首先將所給積分化簡，其原則為關(guān)于平面Ｚ＝0對稱，f(ｘ，y,z)關(guān)于z就是奇函數(shù)時(shí),積分為零;f(x,y，z)關(guān)于z就是偶函數(shù)時(shí),所求積分為2，其中為被z=０所分得上半個(gè)子區(qū)域,其余類同。(2)對柱面坐標(biāo)，清楚這就是把積分區(qū)域投影到哪個(gè)平面時(shí)就做得相應(yīng)得柱面坐標(biāo)變換,如本題，由于我們把投影到y(tǒng)oz平面,就有y=coｓ,z=sin,x=x。類似地，對球面坐標(biāo)也應(yīng)做相應(yīng)理解，即穿過得坐標(biāo)軸如果不就是z軸而就是x軸或y軸．球面坐標(biāo)公式x=rsｉncos,ｙ＝ｒsｉnｓin,ｚ=rｃos,也應(yīng)做相應(yīng)變化.4．證明當(dāng)f(z)連續(xù)時(shí)，=并用此公式計(jì)算得值，其中:x分析積分區(qū)域見圖３，題目要求把三重積分化成只剩下對z得定積分,我們可以把它瞧作對該三重積分先計(jì)算一個(gè)關(guān)于x,y得二重積分再計(jì)算對ｚ得定積分.顯然這種計(jì)算方法與我們前邊得計(jì)算方法就是不同得,前邊得計(jì)算方法(如例1，2)就是先將投影到坐標(biāo)平面xoy上得投影區(qū)域Ｄ，計(jì)算時(shí)先對z積分再計(jì)算在D上得二重積分,比如練習(xí)題1在直角坐標(biāo)下可瞧作I=,即采用“穿線法”，本題欲先計(jì)算一個(gè)二重積分再計(jì)算定積分，應(yīng)采用為“先二后一”法。亦稱“切片法”，即先將投影到ｚ軸上得線段[—１，１].在(—1,1)上任意點(diǎn)z作一垂直于z軸得平面截得一平面區(qū)域，在每個(gè)上作對x，ｙ得二重積分,然后再把這些積分值累加起來，既再對z從-1到1積分。解由得表面方程為知，ｚ，既在軸上得投影為線段,在內(nèi)任取一點(diǎn)z,過z作垂直于ｚ軸得平面截得一平面區(qū)域:．于就是得面積為。因此,當(dāng)ｆ（z)=z時(shí),有=、小結(jié)“切片法"適用于被積函數(shù)為某變量得一元函數(shù)，而垂直于相應(yīng)坐標(biāo)軸得平面截所得截面面積易求出時(shí)得情形．一般得，若被積函數(shù)為x得一元函數(shù)時(shí),作垂直于x軸得平面;被積函數(shù)為時(shí),作垂直于y軸得截面;被積函數(shù)為時(shí),作垂直于z軸得截面。5。求底圓半徑相等得兩個(gè)直交圓柱面x及x所圍立體得表面積、分析該兩圓柱面直交時(shí)所圍立體處在八個(gè)卦限內(nèi).其表面為８個(gè)面積相等得曲面,我們只經(jīng)計(jì)算其中一個(gè)曲面面積即可．要注意計(jì)算曲面面積時(shí),要找其在坐標(biāo)面內(nèi)得投影區(qū)域.要注意向哪個(gè)坐標(biāo)面作投影要依據(jù)曲面方程而定解為計(jì)算該住體得表面積。我們只須計(jì)算圖4陰影部分得面積S再乘以1６即可。該曲面得方程為ｚ=．它在xoy面上得投影為Ｄ＝。,于就是S＝=,故S=１６S=1６Ｒ、確定選用何種坐標(biāo),一般要從積分區(qū)域與被積函數(shù)兩方面考慮,通?？蓞㈤喯卤?/p>

采用坐標(biāo)積分區(qū)域得特點(diǎn)被積函數(shù)得特點(diǎn)球面坐標(biāo)球,或球被圓錐面所截得得球錐體(特殊情況下為半球體),或兩同心球面所圍得立體及被圓錐面所截得得主體.f(x）或被積函數(shù)含有因式x柱面坐標(biāo)不適用球面坐標(biāo),但積分區(qū)域在坐標(biāo)面上得投影適用于極坐標(biāo)者f(ｘ),f(ｘ）或被積函數(shù)含因式x直角坐標(biāo)其她情形

6.設(shè)均勻柱體密度為，占有閉區(qū)域。求它對于位于點(diǎn)M(０,0,a)（a）處得單位質(zhì)量得質(zhì)點(diǎn)得引力分析用公式求引力時(shí)，要注意利用當(dāng)常數(shù)時(shí).以及立體對坐標(biāo)面得對稱性,來簡化計(jì)算．解就是一位于xoy面上方得圓柱體,它關(guān)于x