備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練第六章平面向量復(fù)數(shù)第3講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用極化恒等式

極化恒等式例6（1）[2024北京高考]在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝1，則PA·PB的取值范圍是（D）A.[－5，3] B.[－3，5] C.[－6，4] D.[－4，6]解析解法一（極化恒等式）設(shè)AB的中點(diǎn)為M，CM與CP的夾角為θ，由極化恒等式得PA·PB＝PM2－14AB2＝（CM－CP）2－254＝CM2＋CP2－2CM·CPcosθ－254＝254＋1－5cosθ－254＝1－5cosθ，因?yàn)閏osθ∈[－1，1]，所以PA·解法二以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（3，0），B（0，4），設(shè)P（x，y），則x2＋y2＝1，PA＝（3－x，－y），PB＝（－x，4－y），所以PA·PB＝x2－3x＋y2－4y＝（x－32）2＋（y－2）2－254，又（x－32）2＋（y－2）2表示圓x2＋y2＝1上一點(diǎn)到點(diǎn)（32，2）距離的平方，圓心（0，0）到點(diǎn)（32，2）的距離為52，所以PA·PB∈[（52－1）2－254，（52＋1）2－254]，即PA·解法三以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（3，0），B（0，4），因?yàn)镻C＝1，所以P在以（0，0）為圓心，1為半徑的圓上，所以設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（cosα，sinα），則PA·PB＝（3－cosα，－sinα）·（－cosα，4－sinα）＝1－3cosα－4sinα＝1－5sin（α＋φ）（其中tanφ＝34）.因?yàn)閟in（α＋φ）∈[－1，1]，所以PA·PB∈[－4，6]（2）[全國(guó)卷Ⅱ]已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA·（PB＋PC）的最小值是（B）A.－2 B.－32 C.－43 D.解析解法一如圖，取BC的中點(diǎn)D，則PB＋PC＝2PD，則PA·（PB＋PC）＝2PA·PD.在△PAD中，取AD的中點(diǎn)O，則2PA·PD＝2｜PO｜2－12｜AD｜2＝2｜PO｜2－32由于點(diǎn)P在平面內(nèi)是隨意的，因此當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P，O重合時(shí)，｜PO｜取得最小值，即2PA·PD取得最小值－32.故選解法二如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，3），B（－1，0），C（1，0）.設(shè)P（x，y），則PA＝（－x，3－y），PB＝（－1－x，－y），PC＝（1－x，－y），所以PA·（PB＋PC）＝（－x，3－y）·（－2x，－2y）＝2x2＋2（y－32）2－32，易知當(dāng)x＝0，y＝32時(shí)，PA·（PB＋PC）取得最小值，最小值為－3方法技巧極化恒等式：a·b＝14[（a＋b）2－（a－b）2]幾何意義：向量a，b的數(shù)量積等于以這組向量所對(duì)應(yīng)的線段為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線長(zhǎng)”與“差對(duì)角線長(zhǎng)”的平方差的14應(yīng)用：（1）在?ABCD中，O為AC，BD的交點(diǎn)，則有AB·AD＝14（4｜AO｜2－4｜OB｜2）＝｜AO｜2－｜OB｜2.（2）如圖，在△ABC中，若M是BC的中點(diǎn)，則AB·AC＝AM2－1訓(xùn)練4[2024山東青島二中5月模擬]如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD＝λBC，AD·AB＝－32，則實(shí)數(shù)λ的值為16，若M，N是線段｜MN｜＝1，則DM·DN的最小值為132解析依題意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由AD·AB＝｜AD｜·｜AB｜·cos∠BAD＝－32｜AD｜＝－32，得｜AD｜＝1，因此λ＝｜AD｜｜BC｜＝16.取MN的中點(diǎn)E，連接DE，則DM＋DN＝2DE，DM·DN＝14[（DM＋DN）2－（DM－DN）2]＝DE2－14NM2＝DE2－14.留意到線段MN在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DE的最小值等于點(diǎn)D到直線BC的距離，即AB·sinB＝332，因此DE思維幫·提升思維快速解題三角形“四心”的向量表示與運(yùn)用角度1垂心的向量表示與運(yùn)用例7[2024山西朔州模擬]已知H為△ABC的垂心，若AH＝13AB＋25AC，則sin∠BAC＝解析如圖，連接BH，CH，因?yàn)锳H＝13AB＋25AC，所以BH＝BA－23AB＋25AC，CH＝CA＋AH＝13AB－35AC.由H為△ABC的垂心，得BH·AC＝0，即（－23AB＋25AC）·AC＝0，可知25｜AC｜2＝23｜AC｜·｜AB｜c(diǎn)os∠BAC，即cos∠BAC＝3｜AC｜5｜AB｜①，同理有CH·AB＝0，即（13AB－35AC）·AB＝0，可知13｜AB｜2＝35｜AC｜｜AB｜c(diǎn)os∠BAC，即cos∠BAC＝5｜AB｜9｜AC｜②，①×②得cos2∠方法技巧1.垂心的定義：三角形三條高的交點(diǎn)稱為該三角形的垂心.2.垂心的性質(zhì)：設(shè)O是△ABC的垂心，P為△ABC所在平面內(nèi)隨意一點(diǎn)，則有（1）OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；（2）｜OA｜2＋｜BC｜2＝｜OB｜2＋｜CA｜2＝｜OC｜2＋｜AB｜2；（3）動(dòng)點(diǎn)P滿意AP＝λ（AB｜AB｜c(diǎn)os∠ABC＋AC｜AC｜c(diǎn)os∠ACB）或OP＝OA＋λ（AB｜角度2重心的向量表示與運(yùn)用例8[2024廣州一中診斷]如圖，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)G作直線與AB，AC分別交于M，N兩點(diǎn)，AM＝xAB，AN＝y(tǒng)AC，則xyx＋y＝1解析由M，G，N三點(diǎn)共線得，存在實(shí)數(shù)λ使得AG＝λAM＋（1－λ）AN＝xλAB＋y（1－λ）AC，且0＜λ＜1.因?yàn)镚是△ABC的重心，所以AG＝13（AB＋AC），所以xλ＝13，y（1－λ）＝13，則x＝13λ，y＝13（1方法技巧1.重心的定義：三角形三條中線的交點(diǎn)稱為該三角形的重心.2.重心的性質(zhì)：設(shè)O是△ABC的重心，P為平面內(nèi)隨意一點(diǎn)，則有（1）OA＋OB＋OC＝0；（2）PO＝13（PA＋PB＋PC）；（3）動(dòng)點(diǎn)P滿意AP＝λ（AB＋AC）或OP＝OAλ（AB＋AC），λ∈[0，＋∞）時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的重心.角度3外心的向量表示與運(yùn)用例9[2024湖北荊門模擬]已知點(diǎn)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，在△ABC中，滿意2AB·AO＝｜AB｜2，2AC·AO＝｜AC｜2，則點(diǎn)O為該三角形的（B）A.內(nèi)心 B.外心 C.垂心 D.重心解析因?yàn)?AB·AO＝2｜AB｜｜AO｜c(diǎn)os∠OAB＝｜AB｜2，所以｜AO｜c(diǎn)os∠OAB＝12｜AB｜，則向量AO在向量AB上的投影向量的長(zhǎng)度為｜AB｜的一半，所以點(diǎn)O在邊AB的中垂線上，同理，點(diǎn)O在邊AC的中垂線上，所以點(diǎn)O為該三角形的外心，故選方法技巧1.外心的定義：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)稱為該三角形的外心.2.外心的性質(zhì)：若O是△ABC的外心，則有（1）｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜；（2）（OA＋OB）·AB＝（OA＋OC）·AC＝（OB＋OC）·BC＝0.角度4內(nèi)心的向量表示與運(yùn)用例10[2024四川南充階段測(cè)試]已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O滿意OA·（AB｜AB｜－AC｜AC｜）＝OB·（BA｜BA｜－BC｜BC｜）＝OC·（CA｜CAA.外心 B.重心 C.內(nèi)心 D.垂心解析解法一AB｜AB｜，AC｜AC｜分別是與AB，AC方向相同的單位向量，可令A(yù)B｜AB｜＝AD，AC｜AC｜＝AE，連接ED，則△ADE為腰長(zhǎng)是1的等腰三角形，AB｜AB｜－AC｜AC｜＝ED，所以O(shè)A·ED＝0，所以AO為∠CAB的平分線，同理解法二OA·（AB｜AB｜－AC｜AC｜）＝0，即OA·AB｜AB｜＝OA·AC｜AC｜，即｜OA｜·｜AB｜｜AB｜c(diǎn)os（π－∠OAB）＝｜OA｜·｜AC｜｜AC｜·cos（π－∠OAC），所以∠OAB＝∠OAC方法技巧1.內(nèi)心的定義：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)稱為該三角形的內(nèi)心.2.內(nèi)心的性質(zhì)：若O是△ABC的內(nèi)心，P為平面內(nèi)隨意一點(diǎn)，則有（1）aOA＋bOB＋cOC＝0（a，b，c分別是△ABC的三邊BC，AC，AB的長(zhǎng)）；（2）動(dòng)點(diǎn)P滿意AP＝λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）或OP＝OA＋λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜），λ∈訓(xùn)練5（1）[2024長(zhǎng)春模擬]點(diǎn)O是平面α上確定點(diǎn)，點(diǎn)P是平面α上一動(dòng)點(diǎn)，A，B，C是平面α上△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)（點(diǎn)O，P，A，B，C均不重合），以下命題正確的是①②③④.①動(dòng)點(diǎn)P滿意OP＝OA＋PB＋PC，則△ABC的重心確定在滿意條件的P點(diǎn)的集合中；②動(dòng)點(diǎn)P滿意OP＝OA＋λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）（λ＞0），則△ABC的內(nèi)心③動(dòng)點(diǎn)P滿意OP＝OA＋λ（AB｜AB｜sinB＋AC｜AC｜sinC）（λ＞0④動(dòng)點(diǎn)P滿意OP＝OA＋λ（AB｜AB｜（λ∈R），則△ABC的垂心確定在滿意條件的P點(diǎn)的集合中.解析對(duì)于①，OP＝OA＋PB＋PC，移項(xiàng)得－OA＋OP＝AP＝PB＋PC，即PA＋PB＋PC＝0，則點(diǎn)P是△ABC的重心，故①正確.對(duì)于②，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P滿意OP＝OA＋λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）（λ＞0），移項(xiàng)得AP＝λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）（λ＞0），所以AP與∠BAC的平分線對(duì)應(yīng)的向量共線，所以P在∠對(duì)于③，OP＝OA＋λ（AB｜AB｜sinB＋AC｜AC｜sinC）（λ＞0），即AP＝λ（AB｜AB｜sinB＋AC｜AC｜sinC），過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，則｜AB｜sinB＝｜AC｜sinC＝AD，AP＝λAD（AB＋AC），設(shè)M為BC的中點(diǎn)，則AB＋AC＝2AM對(duì)于④，OP＝OA＋λ（AB｜AB｜c(diǎn)osB＋AC｜AC｜c(diǎn)osC）（λ∈R），即AP＝λ（AB｜AB｜c(diǎn)osB＋AC｜AC｜c(diǎn)osC），所以AP·BC＝λ（AB·BC｜AB｜c(diǎn)osB＋AC·BC｜AC｜c(diǎn)osC）＝（2）[多選/2024安徽淮北師大附中模擬]數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個(gè)定理：三角形的重心、垂心和外心共線.這條線就是三角形的歐拉線.在△ABC中，O，H，G分別是外心、垂心和重心，D為BC邊的中點(diǎn)，則下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（ABD）A.GH＝2OG B.GA＋GB＋GC＝0C.AH＝OD D.S△ABG＝S△BCG＝S△ACG解析依據(jù)題意畫出圖形，如圖所示.對(duì)于B，連接GD，由重心的性質(zhì)可得G為AD的三等分點(diǎn)，且GA＝－2GD，又D為BC的中點(diǎn)，所以GB＋GC＝2GD，所以GA＋GB＋GC＝－2GD＋2GD＝