五年級(jí)奧數(shù)基礎(chǔ)教程-奇偶性小學(xué)

奇偶性（一）

整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：

（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如

0,2,4,6,8,10,12,14,16,…

（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如

1,3,5,7,9,11,13,15,17,…

整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個(gè)整數(shù)大小相差1,所以肯

定是一奇一偶。因?yàn)榕紨?shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n

為整數(shù)；因?yàn)槠鏀?shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+l的形式，其中n為

整數(shù)O

每一個(gè)整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個(gè)屬性叫做這個(gè)數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一

些重要性質(zhì)：

（1）兩個(gè)奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個(gè)奇偶性不同的數(shù)的

和（或差）一定是奇數(shù)。反過(guò)來(lái)，兩個(gè)數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個(gè)數(shù)奇偶

性相同；兩個(gè)數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個(gè)數(shù)肯定是一奇一偶。

（2）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任

意多個(gè)偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。

（3）兩個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。

（4）若干個(gè)數(shù)相乘，如果其中有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果

所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過(guò)來(lái)，如果若干個(gè)數(shù)的積是偶數(shù)，那

么因數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；如果若干個(gè)數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是

奇數(shù)。

（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù),

也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。

（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。

因?yàn)椋?n）Mn2=4Xn2,所以（2n）,能被4整除；

因?yàn)椋?n+l）2=4n2+4n+l=4X（n2+n）+1,所以（2n+l）?除以4余1。

（7）相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。

（8）如果一個(gè)整數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)（包括1和這個(gè)數(shù)本身），那么這個(gè)數(shù)一

定是平方數(shù)；如果一個(gè)整數(shù)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)數(shù)一定不是平方數(shù)。

整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問(wèn)題。有些問(wèn)題表面看來(lái)似乎與奇

偶性一點(diǎn)關(guān)系也沒(méi)有，例如染色問(wèn)題、覆蓋問(wèn)題、棋類問(wèn)題等，但只要想辦法編

上號(hào)碼，成為整數(shù)問(wèn)題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。

例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？

1+2+3+4+…+1997+1998。

分析與解：本題當(dāng)然可以先求出算式的和，再來(lái)判斷這個(gè)和的奇偶性。但如

果能不計(jì)算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡(jiǎn)潔。根據(jù)奇偶數(shù)的

性質(zhì)（2）,和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無(wú)關(guān)。1?

1998中共有999個(gè)奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求

的和是奇數(shù)。

例2能否在下式的口中填上“+”或，使得等式成立？

1口2口3口4口5口6口7口8口9=66。

分析與解：等號(hào)左端共有9個(gè)數(shù)參加加、減運(yùn)算，其中有5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶

數(shù)。5個(gè)奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因?yàn)椤捌鏀?shù)+偶數(shù)

=奇數(shù)”，所以題目的要求做不到。

例3任意給出一個(gè)五位數(shù)，將組成這個(gè)五位數(shù)的5個(gè)數(shù)碼的順序任意改變,

得到一個(gè)新的五位數(shù)。那么，這兩個(gè)五位數(shù)的和能不能等于99999?

分析與解：假設(shè)這兩個(gè)五位數(shù)的和等于99999,則有下式：

□□□□□

+口□□口口

99999

其中組成兩個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼完全相同。因?yàn)閮蓚€(gè)個(gè)位數(shù)相加，和不會(huì)大于

9+9=18,豎式中和的個(gè)位數(shù)是9,所以個(gè)位相加沒(méi)有向上進(jìn)位，即兩個(gè)個(gè)位數(shù)之

和等于9。同理，十位、百位、千位、萬(wàn)位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個(gè)

加數(shù)的10個(gè)數(shù)碼之和等于9+9+9+9+9=45,是奇數(shù)。

另一方面，因?yàn)榻M成兩個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼完全相同，所以組成兩個(gè)加數(shù)的

10個(gè)數(shù)碼之和，等于組成第一個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。

奇數(shù)壬偶數(shù),矛盾的產(chǎn)生在于假設(shè)這兩個(gè)五位數(shù)的和等于99999,所以假設(shè)

不成立，即這兩個(gè)數(shù)的和不能等于99999。

例4在一次校友聚會(huì)上，久別重逢的老同學(xué)互相頻頻握手。請(qǐng)問(wèn)：握過(guò)奇

數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對(duì)于甲是握手1次，對(duì)

于乙也是握手1次，兩人握手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不論人數(shù)是奇數(shù)

還是偶數(shù)，握手的總次數(shù)一定是偶數(shù)。

把聚會(huì)的人分成兩類：A類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B類是握手次數(shù)是奇數(shù)

的人。

A類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因

為所有人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，所以B類人握手的總次數(shù)也

是偶數(shù)。

握奇數(shù)次手的那部分人即B類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)，那

么因?yàn)椤捌鏀?shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)”，所以得到B類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)，與前

面得到的結(jié)論矛盾，所以B類人即握過(guò)奇數(shù)次手的人數(shù)是偶數(shù)。

例5五（2）班部分學(xué)生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每張?jiān)嚲碛?0道試題。

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：答對(duì)一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯(cuò)一道扣1分。試問(wèn)：

這部分學(xué)生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？

分析與解：本題要求出這部分學(xué)生的總成績(jī)是不可能的，所以應(yīng)從每個(gè)人得

分的情況入手分析。因?yàn)槊康李}無(wú)論答對(duì)、不答或答錯(cuò)，得分或扣分都是奇數(shù)，

共有50道題，50個(gè)奇數(shù)相加減，結(jié)果是偶數(shù)，所以每個(gè)人的得分都是偶數(shù)。因

為任意個(gè)偶數(shù)之和是偶數(shù)，所以這部分學(xué)生的總分必是偶數(shù)。

練習(xí)7

1.能否從四個(gè)3、三個(gè)5、兩個(gè)7中選出5個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)的和等于22?

2.任意交換一個(gè)三位數(shù)的數(shù)字，得一個(gè)新的三位數(shù)，一位同學(xué)將原三位數(shù)與

新的三位數(shù)相加，和是999。這位同學(xué)的計(jì)算有沒(méi)有錯(cuò)？

3.甲、乙兩人做游戲。任意指定七個(gè)整數(shù)（允許有相同數(shù)），甲將這七個(gè)整

數(shù)以任意的順序填在下圖第一行的方格內(nèi)，乙將這七個(gè)整數(shù)以任意的順序填在圖

中的第二行方格里，然后計(jì)算出所有同一列的兩個(gè)數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），再將

這七個(gè)差相乘。游戲規(guī)則是：若積是偶數(shù)，則甲勝；若積是奇數(shù)，則乙勝。請(qǐng)說(shuō)

明誰(shuí)將獲勝。

4.某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每?jī)扇碎g的通信量相等，即甲給乙寫幾封

信，乙也要給甲寫幾封信。問(wèn)：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？

5.A市舉辦五年級(jí)小學(xué)生“春暉杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽題30道，記分方法是:

底分15分，每答對(duì)一道加5分，不答的題，每道加1分，答錯(cuò)一道扣1分。如

果有333名學(xué)生參賽，那么他們的總得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？

6.把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。是否有可能使得在同一條直線上的紅

圈數(shù)都是奇數(shù)？試講出理由。

7.紅星影院有1999個(gè)座位，上、下午各放映一場(chǎng)電影。有兩所學(xué)校各有1999

名學(xué)生包場(chǎng)看這兩場(chǎng)電影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個(gè)座位上坐的

是兩所不同學(xué)校的學(xué)生，為什么？

奇偶性(二)

例1用0?9這十個(gè)數(shù)碼組成五個(gè)兩位數(shù)，每個(gè)數(shù)字只用一次，要求它們的

和是奇數(shù)，那么這五個(gè)兩位數(shù)的和最大是多少？

分析與解：有時(shí)題目的要求比較多，可先考慮滿足部分要求，然后再調(diào)整，

使最后結(jié)果達(dá)到全部要求。

這道題的幾個(gè)要求中，滿足“和最大”是最容易的。暫時(shí)不考慮這五個(gè)數(shù)的

和是奇數(shù)的要求。

要使組成的五個(gè)兩位數(shù)的和最大，應(yīng)該把十個(gè)數(shù)碼中最大的五個(gè)分別放在十

位上，即十位上放5,6,7,8,9,而個(gè)位上放0,1,2,3,4。根據(jù)奇數(shù)的定

義，這樣組成的五個(gè)兩位數(shù)中，有兩個(gè)是奇數(shù)，即個(gè)位是1和3的兩個(gè)兩位數(shù)。

要滿足這五個(gè)兩位數(shù)的和是奇數(shù)，根據(jù)奇、偶數(shù)相加減的運(yùn)算規(guī)律，這五個(gè)

數(shù)中應(yīng)有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)?，F(xiàn)有兩個(gè)奇數(shù)，即個(gè)位數(shù)是1,3的兩位數(shù)。所以五個(gè)數(shù)

的和是偶數(shù)，不合要求，必須調(diào)整。調(diào)整的方法是交換十位與個(gè)位上的數(shù)字。要

使五個(gè)數(shù)有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，并且五個(gè)數(shù)的和盡可能最大，只要將個(gè)位和十位上的一

個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)交換，并且交換的兩個(gè)的數(shù)碼之差盡可能小，由此得到交換5

與4的位置。滿足題設(shè)要求的五個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)碼是4,6,7,8,9,個(gè)

位上的數(shù)碼是0,1,2,3,5,所求這五個(gè)數(shù)的和是(4+6+7+8+9)X10+(0+1+2+3+5)

=351o

例27只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的2只杯子。能否經(jīng)

過(guò)若干次翻轉(zhuǎn)，使得7只杯子全部杯口朝下？

分析與解：盲目的試驗(yàn)，可能總也找不到要領(lǐng)。如果我們分析一下每次翻轉(zhuǎn)

后杯口朝上的杯子數(shù)的奇偶性，就會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所在。一開始杯口朝上的杯子有7

只，是奇數(shù)；第一次翻轉(zhuǎn)后，杯口朝上的變?yōu)?只，仍是奇數(shù)；再繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，因

為只能翻轉(zhuǎn)兩只杯子，即只有兩只杯子改變了上、下方向，所以杯口朝上的杯子

數(shù)仍是奇數(shù)。類似的分析可以得到，無(wú)論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝上的杯子數(shù)永遠(yuǎn)是

奇數(shù)，不可能是偶數(shù)0。也就是說(shuō)，不可能使7只杯子全部杯口朝下。

例3有m（mN2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的（mT）

只杯子。經(jīng)過(guò)若干次翻轉(zhuǎn)，能使杯口全部朝上嗎？

分析與解：當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，（m-1）是偶數(shù)。由例2的分析知，如果每次翻

轉(zhuǎn)偶數(shù)只杯子，那么無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次翻轉(zhuǎn)，杯口朝上（下）的杯子數(shù)的奇偶性不

會(huì)改變。一開始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉(zhuǎn)

（m-l）即偶數(shù)只杯子。無(wú)論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝下的杯子數(shù)永遠(yuǎn)是奇數(shù)，不可

能全部朝上。

當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，（m-l）是奇數(shù)。為了直觀，我們先從m=4的情形入手觀察,

在下表中用U表示杯口朝上，n表示杯口朝下，每次翻轉(zhuǎn)3只杯子，保持不動(dòng)的

杯子用*號(hào)標(biāo)記。翻轉(zhuǎn)情況如下：

初始狀態(tài)nnnn

第一次翻轉(zhuǎn)n*uuu

第二次翻轉(zhuǎn)uu*nn

第三次翻轉(zhuǎn)nnn*u

第四次翻轉(zhuǎn)uuuu

由上表看出，只要翻轉(zhuǎn)4次，并且依次保持第1,2,3,4只杯子不動(dòng)，就

可達(dá)到要求。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于一只杯子，要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數(shù)次。

對(duì)于m只杯子，當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，因?yàn)椋╩-l）是奇數(shù)，所以每只杯子翻轉(zhuǎn)（mT）

次，就可使全部杯子改變狀態(tài)。要做到這一點(diǎn)，只需要翻轉(zhuǎn)m次，并且依次保持

第1,2,…，m只杯子不動(dòng)，這樣在m次翻轉(zhuǎn)中，每只杯子都有一次沒(méi)有翻轉(zhuǎn)，

即都翻轉(zhuǎn)了（m-l）次。

綜上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)（m-l）只。當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，無(wú)論翻

轉(zhuǎn)多少次，m只杯子不可能全部改變初始狀態(tài)；當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，翻轉(zhuǎn)m次，可以

使m只杯子全部改變初始狀態(tài)。

例4一本論文集編入15篇文章，這些文章排版后的頁(yè)數(shù)分別是1,2,3,…，

15頁(yè)。如果將這些文章按某種次序裝訂成冊(cè)，并統(tǒng)一編上頁(yè)碼，那么每篇文章

的第一面是奇數(shù)頁(yè)碼的最多有幾篇？

分析與解：可以先研究排版一本書，各篇文章頁(yè)數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)的規(guī)律。

一篇有奇數(shù)頁(yè)的文章，它的第一面和最后一面所在的頁(yè)碼的奇偶性是相同的，即

排版奇數(shù)頁(yè)的文章，第一面是奇數(shù)頁(yè)碼，最后一面也是奇數(shù)頁(yè)碼，而接下去的另

一篇文章的第一面是排在偶數(shù)頁(yè)碼上。一篇有偶數(shù)頁(yè)的文章，它的第一面和最后

一面所在的頁(yè)碼的奇偶性是相異的，即排版偶數(shù)頁(yè)的文章，第一面是奇（偶）數(shù)

頁(yè)碼，最后一面應(yīng)是偶（奇）數(shù)頁(yè)碼，而緊接的另一篇文章的第一面又是排在奇

（偶）數(shù)頁(yè)碼上。

以上說(shuō)明本題的解答主要是根據(jù)奇偶特點(diǎn)來(lái)處理。

題目要求第一面排在奇數(shù)頁(yè)碼的文章盡量多。首先考慮有偶數(shù)頁(yè)的文章，只

要這樣的第一篇文章的第一面排在奇數(shù)頁(yè)碼上（如第1頁(yè)），那么接著每一篇有

偶數(shù)頁(yè)的文章都會(huì)是第一面排在奇數(shù)頁(yè)碼上，共有7篇這樣的文章。然后考慮有

奇數(shù)頁(yè)的文章，第一篇的第一面排在奇數(shù)頁(yè)碼上，第二篇的第一面就會(huì)排在偶數(shù)

頁(yè)碼上，第三篇的第一面排在奇數(shù)頁(yè)碼上，如此等等。在8篇奇數(shù)頁(yè)的文章中，

有4篇的第一面排在奇數(shù)頁(yè)碼上。因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在

奇數(shù)頁(yè)碼上。

例5有大、小兩個(gè)盒子，其中大盒內(nèi)裝1001枚白棋子和1000枚同樣大小

的黑棋子，小盒內(nèi)裝有足夠多的黑棋子。阿花每次從大盒內(nèi)隨意摸出兩枚棋子，

若摸出的兩枚棋子同色，則從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)；若摸出的兩枚棋

子異色，則把其中白棋子放回大盒內(nèi)。問(wèn)：從大盒內(nèi)摸了1999次棋子后，大盒

內(nèi)還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？

分析與解：大盒內(nèi)裝有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。

因?yàn)槊看味际敲?枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了

1999次后,還剩2001-1999=2（枚）棋子。

從大盒內(nèi)每次摸2枚棋子有以下兩種情況：

（1）所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時(shí)從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒

內(nèi)。當(dāng)所摸兩枚棋子同是黑色，這時(shí)大盒內(nèi)少了一枚黑棋子；當(dāng)所摸兩枚棋子同

是白色，這時(shí)大盒內(nèi)多了一枚黑棋子。

（2）所摸到的兩枚棋子是不同顏色的，即一黑一白。這時(shí)要把拿出的白棋

子放回到大盒，大盒內(nèi)少了一枚黑棋子。

綜合（1）（2）,每摸一次，大盒內(nèi)的黑棋子總數(shù)不是少一枚就是多一枚，

即改變了黑棋子數(shù)的奇偶性。原來(lái)大盒內(nèi)有1000枚即偶數(shù)枚黑棋子，摸了1999

次，即改變了1999次奇偶性后，還剩奇數(shù)枚黑棋子。因?yàn)榇蠛袃?nèi)只剩下2枚棋

子，所以最后剩下的兩枚棋子是一黑一白。

例6一串?dāng)?shù)排成一行：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

到這串?dāng)?shù)的第1000個(gè)數(shù)為止，共有多少個(gè)偶數(shù)？

分析與解：首先分析這串?dāng)?shù)的組成規(guī)律和奇偶數(shù)情況。

1+1=2,2+3=5,3+5=8,5+8=13,…

這串?dāng)?shù)的規(guī)律是，從第三項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)等于前兩個(gè)數(shù)的和。根據(jù)奇偶數(shù)的

加法性質(zhì)，可以得出這串?dāng)?shù)的奇偶性：

奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……

容易看出，這串?dāng)?shù)是按“奇，奇，偶”每三個(gè)數(shù)為一組周期變化的。1000

4-3=333……1,這串?dāng)?shù)的前1000個(gè)數(shù)有333組又1個(gè)數(shù)，每組的三個(gè)數(shù)中有1

個(gè)偶數(shù)，并且是第3個(gè)數(shù)，所以這串?dāng)?shù)到第1000個(gè)數(shù)時(shí)，共有333個(gè)偶數(shù)。

練習(xí)8

1.在n,in,mi,inn,…這些數(shù)中，任何一個(gè)數(shù)都不會(huì)是某一個(gè)自

然數(shù)的平方。這樣說(shuō)對(duì)嗎？

2.一本書由17個(gè)故事組成，各個(gè)故事的篇幅分別是1,2,3,…，17頁(yè)。

這17個(gè)故事有各種編排法，但無(wú)論怎樣編排，故事正文都從第1頁(yè)開始，以后

每一個(gè)故事都從新一頁(yè)碼開始。如果要求安排在奇數(shù)頁(yè)碼開始的故事盡量少，那

么最少有多少個(gè)故事是從奇數(shù)頁(yè)碼開始的？

3.桌子上放著6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻轉(zhuǎn)

5只杯子，那么至少翻轉(zhuǎn)多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？

4.70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的3倍都恰好等于它

兩邊的兩個(gè)數(shù)的和，這一行數(shù)的最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：0,1,3,8,21,-

問(wèn)：最右邊的一個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？

5.學(xué)校組織運(yùn)動(dòng)會(huì)，小明領(lǐng)回自己的運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼后，小玲問(wèn)他：”今天發(fā)放

的運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼加起來(lái)是奇數(shù)還是偶數(shù)？”小明說(shuō)：“除開我的號(hào)碼，把今天發(fā)的

其它號(hào)碼加起來(lái)，再減去我的號(hào)碼，恰好是100。”今天發(fā)放的運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼加起

來(lái)，到底是奇數(shù)還是偶數(shù)？

6.在黑板上寫出三個(gè)整數(shù)，然后擦去一個(gè)換成所剩兩數(shù)之和，這樣繼續(xù)操作

下去，最后得到88,66,99o問(wèn)：原來(lái)寫的三個(gè)整數(shù)能否是1,3,5?

7.將888件禮品分給若干個(gè)小朋友。問(wèn)：分到奇數(shù)件禮品的小朋友是奇數(shù)還

是偶數(shù)？

奇偶性（三）

利用奇、偶數(shù)的性質(zhì)，上兩講已經(jīng)解決了許多有關(guān)奇偶性的問(wèn)題。本講將繼

續(xù)利用奇偶性研究一些表面上似乎與奇偶性無(wú)關(guān)的問(wèn)題。

例1在7X7的正方形的方格表中，以左上角與右下角所連對(duì)角線為軸對(duì)稱

地放置棋子，要求每個(gè)方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，則

在這條對(duì)角線上的格子里至少放有一枚棋子，這是為什么？

分析與解：題目說(shuō)在指定的這條對(duì)角線上的格子里必定至少放有一枚棋子，

假設(shè)這個(gè)說(shuō)法不對(duì)，即對(duì)角線上沒(méi)放棋子。如下圖所示，因?yàn)轭}目要求擺放的棋

子以MN為對(duì)稱軸，所以對(duì)于MN左下方的任意一格A,總有MN右上方的一格A，,

A與A，關(guān)于MN對(duì)稱，所以A與A，要么都放有棋子，要么都沒(méi)放棋子。由此推

知方格表中放置棋子的總枚數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。而題設(shè)每行放3枚棋子，7行共放棋子

3X7=21（枚），21是奇數(shù)，與上面的推論矛盾。所以假設(shè)不成立，即在指定的

對(duì)角線上的格子中必定至少有一枚棋子。

....................

\

\

A\

\

例2對(duì)于左下表，每次使其中的任意兩個(gè)數(shù)減去或加上同一個(gè)數(shù)，能否經(jīng)

過(guò)若干次后（各次減去或加上的數(shù)可以不同），變?yōu)橛蚁卤?？為什么?/p>

分析與解：因?yàn)槊看斡袃蓚€(gè)數(shù)同時(shí)被加上或減去同一個(gè)數(shù)，所以表中九個(gè)數(shù)

碼的總和經(jīng)過(guò)變化后，等于原來(lái)的總和加上或減去那個(gè)數(shù)的2倍，因此總和的奇

偶性沒(méi)有改變。原來(lái)九個(gè)數(shù)的總和為1+2+…+9=45,是奇數(shù)，經(jīng)過(guò)若干次變化后，

總和仍應(yīng)是奇數(shù)，與右上表九個(gè)數(shù)的總和是4矛盾。所以不可能變成右上表。

例3左下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個(gè)房間都有通

向任何一個(gè)鄰室的門。有人想從某個(gè)房間開始，依次不重復(fù)地走遍每一個(gè)房間，

他的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？

分析與解：如右上圖所示，將相鄰的房間黑、白相間染色。無(wú)論從哪個(gè)房間

開始走，因?yàn)榭偸呛诎紫嚅g地走過(guò)各房間，所以走過(guò)的黑、白房間數(shù)最多相差1。

而右上圖有7黑5白，所以不可能不重復(fù)地走遍每一個(gè)房間。

例4左下圖是由14個(gè)大小相同的方格組成的圖形。試問(wèn)能不能剪裁成7個(gè)

由相鄰兩方格組成的長(zhǎng)方形？

分析與解：將這14個(gè)小方格黑白相間染色（見(jiàn)右上圖），有8個(gè)黑格，6

個(gè)白格。相鄰兩個(gè)方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7個(gè)小長(zhǎng)方形，那么14

個(gè)格應(yīng)當(dāng)是黑、白各7個(gè)，與實(shí)際情況不符，所以不能剪裁成7個(gè)由相鄰兩個(gè)方

格組成的長(zhǎng)方形。

例5在右圖的每個(gè)。中填入一個(gè)自然數(shù)（可以相同），使得任意兩個(gè)相鄰

的。中的數(shù)字之差（大數(shù)減小數(shù)）恰好等于它們之間所標(biāo)的數(shù)字。能否辦到？為

什么？

分析與解：假定圖中5與1之間的。中的數(shù)是奇數(shù)，按順時(shí)針加上或減去標(biāo)

出的數(shù)字，依次得到各個(gè)。中的數(shù)的奇偶性如下：

春一與唱上那一與奇衛(wèi)＞奇一匕傲

因?yàn)樯蠄D兩端是同一個(gè)。中的數(shù)，不可能既是奇數(shù)又是偶數(shù)，所以5與1

之間的。中的數(shù)不是奇數(shù)。

同理，假定5與1之間的。中的數(shù)是偶數(shù)，也將推出矛盾。

所以，題目的要求辦不到。

例6下頁(yè)上圖是半張中國(guó)象棋盤，棋盤上已放有一只馬。眾所周知，馬是

走“日”字的。請(qǐng)問(wèn)：這只馬能否不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每一個(gè)點(diǎn)，然后

回到出發(fā)點(diǎn)？

為方便研究規(guī)律，如下圖所示，先在棋盤各交點(diǎn)處相間標(biāo)上。和?，圖中共

有22個(gè)。和23個(gè)?。因?yàn)轳R走“日”字，每步只能從。跳到?，或由?跳到。，

所以馬從某點(diǎn)跳到同色的點(diǎn)（指?；?），要跳偶數(shù)步；跳到不同色的點(diǎn)，要跳

奇數(shù)步?，F(xiàn)在馬在。點(diǎn)，要跳回這一點(diǎn)，應(yīng)跳偶數(shù)步，可是棋盤上共有23+22=45

（個(gè)）點(diǎn)，不可能做到不重復(fù)地走遍所有的點(diǎn)后回到出發(fā)點(diǎn)。

討論：如果馬的出發(fā)點(diǎn)不是在。點(diǎn)上而是在?點(diǎn)上，那么這只馬能不能不重

復(fù)地走遍這半張棋盤上的每個(gè)點(diǎn)，最后回到出發(fā)點(diǎn)上呢？按照上面的分析，顯然

也是不可能的。但是如果放棄“回到出發(fā)點(diǎn)”的要求，那么情況就不一樣了。從

某點(diǎn)出發(fā)，跳遍半張棋盤上除起點(diǎn)以外的其它44點(diǎn)，要跳44步，44是偶數(shù)，

所以起點(diǎn)和終點(diǎn)應(yīng)是同色的點(diǎn)（指?；?）。因?yàn)?4步跳過(guò)的點(diǎn)。與點(diǎn)?各22

個(gè)，所以起點(diǎn)必是?，終點(diǎn)也是?。也就說(shuō)是，當(dāng)不要求回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，只要從

?出發(fā)，就可以不重復(fù)地走遍半張棋盤上的所有點(diǎn)。

練習(xí)

1,教室9里有5排椅子，每排5張，每張椅子上坐一個(gè)學(xué)生。一周后，每個(gè)學(xué)

生都必須和他相鄰（前、后、左、右）的某一同學(xué)交換座位。問(wèn)：能不能換成？

為什么？

2.房間里有5盞燈，全部關(guān)著。每次拉兩盞燈的開關(guān)，這樣做若干次后，有

沒(méi)有可能使5盞燈全部是亮的？

3.左下圖是由40個(gè)小正方形組成的圖形，能否將它剪裁成20個(gè)相同的長(zhǎng)方

形？

IIIIIOOOOOOO

000000。

0000000

0000000

0000000

0000000

IIIIIIII000000口

4.一個(gè)正方形果園里種有48棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列

成七行七列（見(jiàn)右上圖）。守園人從小屋出發(fā)經(jīng)過(guò)每一棵樹，不重復(fù)也不遺漏（不

許斜走），最后又回到小屋?？梢宰龅絾?？

5.紅光小學(xué)五年級(jí)一次乒乓球賽，共有男女學(xué)生17人報(bào)名參加。為節(jié)省時(shí)

間不打循環(huán)賽，而采取以下方式：每人只打5場(chǎng)比賽，每?jī)扇酥g用抽簽的方法

決定只打一場(chǎng)或不賽。然后根據(jù)每人得分決定出前5名。這種比賽方式是否可

行？

6.如下圖所示，將1?12順次排成一圈。如果報(bào)出一個(gè)數(shù)a（在1?12之間），

那么就從數(shù)a的位置順時(shí)針走a個(gè)數(shù)的位置。例如a=3,就從3的位置順時(shí)針走

3個(gè)數(shù)的位置到達(dá)6的位置；a=H,就從11的位置順時(shí)針走11個(gè)數(shù)的位置到達(dá)

10的位置。問(wèn)：a是多少時(shí)，可以走到7的位置？

練習(xí)7

1.五個(gè)奇數(shù)的和不可能等于22。

2.與例3類似，這位同學(xué)計(jì)算有錯(cuò)誤。

3.甲勝。

提示：七個(gè)整數(shù)中，奇、偶數(shù)的個(gè)數(shù)肯定不等，如果奇（偶）數(shù)多，那么至少有一列的兩個(gè)數(shù)都是奇

（偶）數(shù)，這列的差是偶數(shù)，七個(gè)差中有一個(gè)偶數(shù)，七個(gè)差之積必是偶數(shù)，所以甲勝。

4.偶數(shù)。

提示：因?yàn)檫@次活動(dòng)是有來(lái)有往，所以總的通信數(shù)是偶數(shù)。又因?yàn)閷懥伺紨?shù)封信的人寫信的總數(shù)是偶

數(shù)，所以寫了奇數(shù)封信的人寫信的總數(shù)也是偶數(shù)。因?yàn)橹挥信紨?shù)個(gè)奇數(shù)之和是偶數(shù)，所以寫奇數(shù)封信的人

數(shù)是偶數(shù)。

5.奇數(shù)。提示：每個(gè)同學(xué)的得分都是奇數(shù)。

6.不可能。

提示：假設(shè)在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)，5條直線上的紅圈總數(shù)就會(huì)是奇數(shù)（奇數(shù)乘以奇數(shù)仍

是奇數(shù)）。因?yàn)槊總€(gè)紅圈均在兩條直線上，所以按各條直線上的紅圈數(shù)計(jì)算和時(shí)，每個(gè)紅圈都被算了兩次,

所以紅圈總數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。這就出現(xiàn)了矛盾。所以假設(shè)在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)是不可能的。

7.提示：如果每個(gè)座位上、下午坐的都是同一個(gè)學(xué)校的學(xué)生，那么每個(gè)學(xué)校來(lái)看電影的學(xué)生數(shù)應(yīng)當(dāng)是

偶數(shù)，與每所學(xué)校有1999名學(xué)生來(lái)看電影矛盾。這個(gè)矛盾說(shuō)明必有上、下午坐的是不同學(xué)校的學(xué)生的座位。

練習(xí)8

1.對(duì)。提示：因?yàn)槠椒綌?shù)能被4整除或除以4余1,而形如111…11的數(shù)除以4的余數(shù)與11除以4的

余數(shù)相同，余3,所以不是平方數(shù)。

2.5個(gè)。提示：與例4類似分析可知，先排9個(gè)奇數(shù)頁(yè)的故事，其中有5個(gè)從奇數(shù)頁(yè)開始，再