暑假作業(yè)02平行線與相交線

完成時間：月日天氣：作業(yè)02平行線與相交線知識點1．平行線在同一平面內，兩條直線的位置關系有兩種：平行和相交（重合除外）．（1）平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線．記作：a∥b；讀作：直線a平行于直線b．（2）同一平面內，兩條直線的位置關系：平行或相交，對于這一知識的理解過程中要注意：①前提是在同一平面內；②對于線段或射線來說，指的是它們所在的直線．知識點2．平行公理及推論（1）平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．（2）平行公理中要準確理解“有且只有”的含義．從作圖的角度說，它是“能但只能畫出一條”的意思．（3）推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．（4）平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結論在證明直線平行時應用．知識點3．平行線的判定（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內錯角相等，兩直線平行．（3）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行．（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（5）定理5：在同一平面內，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．知識點4．平行線的性質1、平行線性質定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．知識點5．平行線的判定與性質（1）平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系．（2）應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆．（3）平行線的判定與性質的聯系與區(qū)別區(qū)別：性質由形到數，用于推導角的關系并計算；判定由數到形，用于判定兩直線平行．聯系：性質與判定的已知和結論正好相反，都是角的關系與平行線相關．（4）輔助線規(guī)律，經常作出兩平行線平行的直線或作出聯系兩直線的截線，構造出三類角．知識點6．命題與定理1、判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．2、有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．3、定理是真命題，但真命題不一定是定理．4、命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設，“那么”后面解的部分是結論．5、命題的“真”“假”是就命題的內容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．題型一：平行線的相關概念1．如圖，四條線段，，，中的一條與擋板另一側的線段平行，請借助直尺，判斷該線段是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：用直尺分別作，，，，的延長線，其中只有的延長線不與相交，故選：．2．下列說法：①若與相交，b與c相交，則a與b相交；②若，，那么；③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④在同一平面內，兩條直線的位置關系有平行、相交、垂直三種，其中錯誤的有（

）A．①② B．①②③ C．①③④ D．③④【答案】C【詳解】解：若a與c相交，b與c相交，則a與b相交的說法錯誤，a與b還有可能平行，如圖所示：，故①說法錯誤，符合題意；若，，那么，故②說法正確，不符合題意；經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故③說法錯誤，符合題意；在同一平面內，兩條直線的位置關系有平行、相交兩種，垂直是相交的特殊情況，故④說法錯誤，符合題意；綜上所述，①③④說法錯誤，故選：C．3．已知直線及其外一點，過點作，過點作，點，分別為直線，上任意一點，那么，，三點一定在同一條直線上，依據是．【答案】過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行【詳解】解：點為直線外的一點，且，，（已知），，三點一定在同一條直線上．（過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行）故答案為：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行4．（2324七年級下·內蒙古巴彥淖爾·階段練習）作圖題(1)在圖①中，過點P作P到的垂線段，垂足為，（填“”“”或“”），理由是(2)過點P作直線，，則三點共線，理由是【答案】(1)，點到直線的距離，垂線段最短，作圖見解析(2)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，作圖見解析【詳解】（1）過點P作P到的垂線段，垂足為如圖：，理由是：點到直線的距離，垂線段最短；（2）過點P作直線，，理由是∶過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．【點睛】本題考查了作垂線，平行線，點到直線的距離，平行公里的推論，正確掌握基本作圖方法是解題關鍵．題型二：平行線的判定5．如圖，點在的延長線上，下列條件中能判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的判定．解題的關鍵是掌握：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行．據此判斷即可．【詳解】解：A．∵，∴，故此選項不符合題意；B．∵，∴，故此選項符合題意；C．∵，∴，故此選項不符合題意；D．∵，∴，故此選項不符合題意．故選：B．6．如圖，下列條件中，不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查平行線的判定，根據平行線的判定方法，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、，同位角相等，兩直線平行，得到，不符合題意；B、，內錯角相等，兩直線平行，得到，不符合題意；C、，同旁內角互補，兩直線平行，得到，不符合題意；D、，無法判定，符合題意；故選D．7．在同一平面內，過直線外一點作的垂線，再過作的垂線，則直線與的位置關系是（）A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能確定【答案】C【分析】本題考查了垂線和平行線，熟練掌握同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行是關鍵．根據同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行，即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴．故選：C．8．如圖，已知，是上一點，直線與的夾角，要使，直線繞點按逆時針方向至少旋轉（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵，∴，∴．故選：B．9．完成下面的證明：如圖，平分，平分，且，求證．證明：∵平分（已知），∴（

）∵平分（已知），∴_________（

）∴（

）∵（已知），∴_________（

）∴（

）【答案】角平分線的定義；；角平分線的定義；等量代換；；等量代換；同旁內角互補，兩直線平行【詳解】證明：∵平分（已知），∴（角平分線的定義）∵平分（已知），∴（角平分線的定義）∴（等量代換）∵（已知），∴（等量代換）∴（同旁內角互補，兩直線平行）10．如圖，已知，，試探究與的位置關系，并說明理由．【答案】，理由見解析【分析】本題主要考查了平行線的判定，先根據同位角相等，兩直線平行，同旁內角互補，兩直線平行得到，再根據平行于同一直線的兩直線平行可得．【詳解】解：，理由如下：∵，，∴，∴．題型三：平行線的性質與判定11．如圖所示，在內有一點P，動手畫一畫：（1）過點P畫；（2）過點P畫；則與相交所成的角與的大小關系是（

）A．相等 B．相等或互補 C．互補 D．互余【答案】B【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴所以和的夾角與相等或互補．故選B12．如圖，已知直線a，b被直線c所截，若，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖：∵，，∴，∴．故選D．13．如圖，下列判斷不正確的是（

）

A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】解：A．若，則，不符合題意；B．若，則，不符合題意；C．若，則，不符合題意；D．若，則，符合題意．故選：D．14．國家倡導綠色出行，小明的爸爸給他買了一輛單車．圖①是該品牌單車放在水平地面的實物圖，圖②是其示意圖，其中，都與地面l平行，，，當為（

）度時，．A．15 B．65 C．70 D．115【答案】B【詳解】解：依題意，，，，，，∵要使與平行，則有，，．故選：B．15．為保護視力，某公司推出了護眼燈，其側面示意圖（臺燈底座高度忽略不計）如圖所示，其中，，經使用發(fā)現，當時，臺燈光線最佳．則此時的度數是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：過作，∵，∴∵∴，∵，，∵，故選：C．16．已知：如圖，，．(1)判斷與的位置關系，并說明理由．(2)若，求的度數．【答案】(1)，見解析(2)．【詳解】（1）解：，理由是：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：，，∴．17．如圖，已知，．試說明：．（要求：推理過程要完整，并且每一步要注明理由根據）【答案】說明見解析【詳解】解：（已知），（同旁內角互補，兩直線平行），（兩直線平行，同位角相等），（已知），（等量代換），（內錯角相等，兩直線平行），（兩直線平行，內錯角相等）．18．閱讀下列材料，解決相應問題．【學科融合】如圖1，物理學光的反射現象中，把經過入射點并垂直于反射面的直線叫做法線，入射光線與法線的夾角叫做入射角，反射光線與法線的夾角叫做反射角，反射角入射角，這就是光的反射定律．（1）在圖1中，證明；【問題解決】根據光的反射定律，人們制造了潛望鏡，如圖2是潛望鏡的工作原理示意圖，、是平行放置的兩面平面鏡，是射入潛望鏡的光線，是經平面鏡兩次反射后離開潛望鏡的光線，由（1）可知，光線經過平面鏡反射時，有，；（2）請問和有什么關系？并說明理由；（3）請問光線和是否平行？并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3）理由見解析．【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴；（3）由材料可知，，∴，∴，∴，∴．19．有下列命題：①兩點確定一條直線；②相等的角是對頂角；③內錯角相等；④鄰補角是兩個互補的角．其中，假命題的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解：①兩點確定一條直線，正確，是真命題，符合題意；②相等的角不一定是對頂角，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；③兩直線平行，內錯角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；④鄰補角是兩個互補的角，正確，是真命題，符合題意．真命題有2個，故選：B．20．對于命題“如果，那么”，能說明它是假命題的反例是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于命題“如果，那么”，能說明它是假命題的反例是，此時滿足，也滿足，故選；C．21．把命題“對頂角相等”改寫成“如果…那么…”的形式為．【答案】如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等【詳解】把命題“對頂角相等”改寫成“如果…那么…”的形式為：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．故答案為：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．22．在同一平面內有條直線，如果，依此類推，那么與的位置關系是（

）A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合【答案】B【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，……，以此類推可知，從開始，每4條直線為一個循環(huán)，與它們的位置關系分別為垂直，垂直，平行，平行，∵，∴，故選：B．23．如圖，直線上有兩點、，分別引兩條射線、，，，射線、分別繞點，點以度/秒和度/秒的速度同時順時針轉動，在射線轉動一周的時間內，使得與平行所有滿足條件的時間．【答案】秒或秒【詳解】解：，，，，分三種情況：如圖①，與在的兩側時，，，要使，則，即，解得：；如圖②，旋轉到與都在的右側，，，要使，則，即，解得：；如圖③，旋轉到與都在的左側，，，要使，則，即，解得：，此時，此情況不存在．綜上所述，當時間的值為秒或秒時，．故答案為：秒或秒．24．抖空竹是我國的傳統(tǒng)體育，也是國家級非物質文化遺產之一、明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間流行的歷史至少在600年以上．如圖，通過觀察抖空竹發(fā)現，可以將某一時刻的情形抽象成數學問題：，，，則的度數為．

【答案】/96度【詳解】解：過點作，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．∴的度數為．故答案為：．

25．如圖是一種躺椅及其簡化結構示意圖，扶手與底座都平行于地面，前支架與后支架分別與交于點G和點D，與交于點N，．

(1)求證∶(2)若平分，，求扶手與靠背的夾角的度數．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：∵，∴，∴；（2）∵與底座都平行于地面，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴．26．【閱讀理解】在平行線的學習中，“兩條平行線被第三條直線所截”是一個重要的“基本圖形”．在這個“基本圖形”中，所有與平行線有關的角都存在其中，并都分布在“第三條直線”的兩側．如圖，已知，點在直線、之間，當發(fā)現題目的圖形“不完整”時，可通過添加適當的輔助線，將“非基本圖形”轉化為“基本圖形”，這體現了“轉化思想”．解：過點作因為，所以所以，因為所以(1)【學以致用】由題意得，當，，則_____．(2)如圖1，若，，求出的度數．(3)如圖2，若、分別平分和，請判斷與的數量關系，并說明理由．【答案】(1)65(2)的度數為(3)，理由見解析【詳解】（1）∵，∴；故答案為：65．（2）過點作，∵，∴，，，，即，，，∵，，．（3）理由是：過點作，平分，平分，，，由材料可知，由（2）知，，∴；．27．在數學實踐活動課上，小亮同學利用一副三角尺探索與研究共直角頂點的兩個直角三角形中的位置關系與數量關系．(其中，，)

(1)將三角尺如圖1所示疊放在一起．①與的大小關系是________，依據是___________________；②與的數量關系是__________________．(2)小亮固定其中一塊三角尺不動，繞點О順時針轉動另一塊三角尺，從圖2的與重合開始，到圖3的與在一條直線上結束，請你探索并且求出當的一邊與的一邊平行時的值．【答案】(1)①相等，同角的余角相等；②(2)的度數為或或或或【詳解】（1）解：①∵，∴（同角的余角相等）．②，即．（2）解：①當時，

；②當時，

；③當時，過點O作，

∵，∴，∴，，∴．④當時，

∵，∴，∴；⑤當時，

∵，∴，∴；綜上所述，的度數為或或或或．28．如圖1，在反射現象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個平面內；反射光線和入射光線分別位于法線兩側；反射角r等于入射角i．這就是光的反射定律．（1）如圖2，李明同學將支架平面鏡放置在水平桌面上，鏡面的調節(jié)角，激光筆發(fā)出的光束射到平面鏡上，若激光筆與水平天花板（直線的夾角，則反射光束與天花板所形成的角的度數為；（2）若（1）中鏡面的調節(jié)角的調節(jié)范圍為，則下列度數中，反射光束與天花板所形成的角可能取到的度數為（填序號）．①；②；③；④．【答案】①③④【詳解】（1）過點作，過點作，，，，，∵，，∴，，，，即，，故答案為：；（2）解：①當調節(jié)角的調節(jié)范圍在時，由（1）圖可得，，，②當調節(jié)角的調節(jié)范圍在時，，，可能取到的度數為：①③④，故答案為：①③④．29．感知發(fā)現：（1）在學習平行線中，興趣小組發(fā)現了很多有趣的模型圖，如圖1，當時，可以得到結論：．那么如果把條件和結論互換一下是否還成立呢？于是興趣小組想嘗試證明：如圖1，，求證：．請寫出證明過程．（2）利用這個“模型結論”，我們可以解決很多問題．在綜合與實踐課上，同學們以“一個含角的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數學活動，如圖2．已知兩直線a，b且和直角三角形，，，．創(chuàng)新小組的同學發(fā)現，說明理由．實踐探究：（3）如圖3，，在射線是的平分線，在的延長線上取點N，連接，若，，求的度數．【答案】（1）證明見解析（2）理由見解析（3）【詳解】（1）證明：過點E作，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）證明：如圖，由（1）可知，，且，∴，∴；（3）如圖，令，，則，由（1）得：，∵射線是的平分線，∴，∴，∵，∴，∴，過點H作，則，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．30．【問題背景】同學們，我們一起觀察小豬的豬蹄，你會發(fā)現一個我們熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形形象的稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數量關系．(1)如圖①，，E為，之間一點，連接、，得到．試探究與、之間的數量關系，并說明理由．(2)【類比探究】請你利用上述“豬蹄模型”得到的結論或解題方法，完成下面的問題：如圖②，若，點E、F為直線、之間兩個點，連接、、，，求的值．并說明理由．(3)【拓展延伸】如圖③，如圖，，平分，平分，、的反向延長線相交于點H，，求的值．寫出必要的求解過程．【答案】(1)，證明見解析(2)，理由見解析(3)【詳解】（1）解：，理由如下：過E作，如圖，

∵，∴，∴，∴，即；（2）如圖，過作，過作，∵，∴，∴，，，∵，∴，∴．（3）如圖，分別過作，的垂線，，∴，∵，∴，由（1）可得：，，∵平分，平分，∴，，∴，，，，∵∴，∴，∴，過作的平行線，而，∴，∴，，∴，∴．31．已知：如圖，，直線交于點M，交于點N，點E是線段上一點，P，Q分別在射線，上，連接，，平分，平分．(1)如圖1，當時，直接寫出的度數；(2)如圖2，求與之間的數量關系，并說明理由；(3)如圖3，在（1）問的條件下，若，過點P作交的延長線于點H，將繞點N順時針旋轉，速度為每秒，直線旋轉后的對應直線為，同時將繞點P逆時針旋轉，速度為每秒，旋轉后的對應三角形為，當首次與重合時，整個運動停止．在此運動過程中，經過秒后，恰好平行于的其中一條邊，請直接寫出所有滿足條件的t的值．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)0或3或6或12或15【詳解】（1）解：過點E作，過點F作，∵，∴，∴，，，，∵平分，平分，∴，，∵，即，∴；（2）解：，理由如下：過點E作，過點F作，∵，∴，∴，，，，∵平分，平分，∴，，∴，即；（3）解：總的時間為：，，則旋轉的角度范圍為，直線旋轉的角度范圍為，由（1）得：，則，∵，∴，∴，當時，如圖：則，，，依題意得，解得：；當時，如圖：則，∵，，∴，解得：；當時，設與交于點G，如圖：則，，，依題意得，解得：；當時，設與交于點I，如圖：則，∵，∴，∴，∵，，∴，解得：；當時，連接并延長，如圖：則，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，解得：；綜上，所有滿足條件的t的值為0或3或6或12或15．【點睛】本題考查了平行線的性質、三角形外角性質、角平分線的有關計算、解一元一次方程、余角性質、垂直的定義，掌握平行線的性質、三角形外角性質列出方程是解題的關鍵．32．（2023·山東臨沂·中考真題）在同一平面內，過直線外一點作的垂線，再過作的垂線，則直線與的位置關系是（