高中數(shù)學(xué)第二冊 第一章 立體幾何(一)

高中數(shù)學(xué)第二冊第一章立體幾何

【基礎(chǔ)知識】

1、棱柱、棱臺、棱錐的結(jié)構(gòu)特征2、圓柱、圓臺、圓錐的結(jié)構(gòu)特征

3、直棱柱、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征4、三視圖：長對正、高平齊、寬相等

5、斜二側(cè)畫法，S直觀圖=也

S原圖4

6、表面積公式：

s圓柱二---------------------

s圓臺二--------------------

7、體積

匕上體二---------------------%柱二----------------------

%體=----------------------%錐=----------------------

%體=---------------------/1臺=----------------------

%體=----------------------

【基本題型】

一、平面問題

1、在空間四邊形A3CO各邊AB、BC、CD、D4上分別取區(qū)F、G、H四點(diǎn)，如果與所、GH能相

交于點(diǎn)P,那么（）

A、點(diǎn)P不在直線AC上B、點(diǎn)P必在直線B。上

C.點(diǎn)尸必在平面A3C內(nèi)D、點(diǎn)尸必在平面ABC外

練習(xí)：下面四個(gè)命題：①若直線a,6異面，b,c異面，則a,c異面；②若直線a,b相交，b,c相交，

則a,c相交；③若a〃6,則a,6與。所成的角相等；④若a，。，b±c,則a〃c.其中真命題的個(gè)

數(shù)為（）A.4B.3C.2D.1

二、直觀圖

1、--四邊形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45°,腰和上底的長均為1的等腰梯形，求原四邊形的面積。

練習(xí)1：已知A48C的平面直觀圖AA|B￡是邊長為。的正三角形，求原A4BC的面積。

練習(xí)2：已知一個(gè)四邊形，斜二側(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長為。的正方形，則原平面圖形四邊形面積為（）

旦2、V22z2V22

(A)(B)2缶2。(C)cC(D)------a-

423

2、已知A4BC的是邊長為2a的正三角形，求它的直觀圖八人小￡的面積。

練習(xí)1：已知AA8C的是邊長為。的正三角形，求它的直觀圖AA|B￡的面積。

練習(xí)2：ZXABC是邊長為1的正三角形，那么aABC的斜二側(cè)平面直觀圖AA'3'C'的面積為（）

V3V3屈屈

A.、

VB.TC.VD

三、三視圖

（一）、三視圖中的觀察視圖問題

1、（2011江西文）將長方體截去一個(gè)四棱錐,得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為（)

練習(xí)2：（2011全國新課標(biāo)）一幾何體的三視圖中，正視圖與俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（）

/△

A

0

2、（2010全國文）一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的

①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱

練習(xí)1：【2012福建文理】一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均等，那么這個(gè)幾何體不可以是（）

A、球B、三棱錐C、正方體D.圓柱

練習(xí)3：【2014福建理】某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（）

A、圓柱8.圓錐C四面體。.三棱柱

練習(xí)：（2011浙江文）幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是（）

練習(xí)4：（2013四川文）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是（）

（A）棱柱（B）棱臺（C）圓柱（D.）圓臺

練習(xí)5：（2011山東理）右圖是長和寬分別相等的兩個(gè)矩形.給定下列三個(gè)命題：①存在三棱柱，

其正（主）視圖、俯視圖如下圖；②存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖；③存在圓柱，其

正（主）視圖、俯視圖如右圖.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A、3B.2C.1D.0

練習(xí)6：[2014新課標(biāo)卷I文】如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的事一個(gè)幾何體的三視

圖，則這個(gè)幾何體是（）A.三棱錐B、三棱柱C.四棱錐D.四棱柱

（二）、三視圖中的面積問題

1、（1）（2010安徽文理）一個(gè)幾何體的三視圖如圖，該幾何體表面積為（）

A、280B、292C、360D、372

練習(xí)1：（2011安徽理）一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

(A)48(B)32+8V17(C.)48+8V17(D)80

練習(xí)2：（2013重慶文）某幾何體的三視圖圖所示，則該幾何體的表面積為（）

(A)180(B)200(C)220(D.)240

練習(xí)3：【2014安徽理】一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為（）

（A.）21+V3（B）18+V3（C）21（D）18

【2014浙江理】某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是

A.90cm2B.129cm2C.132cm2

側(cè)視圖

俯視圖

（2）（2013臨沂一模）具有如圖所示的正視圖和俯視圖的幾何體中，體積最大的幾何體的表面積為（)

A、13B、7+372C、——D.14

2

練習(xí)1：一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)正三棱柱的表面積為.（24+8百）

練習(xí)2：（2011遼寧理）一個(gè)正三棱柱側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為2百，它的三視圖中的俯視圖如右圖

所示，左視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積是

（3）（2013湖南理）已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積

不可熊等于（）

V2+1

A.1B.V2

2

練習(xí)：（2013湖南文）已知正方體的棱長為1,其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)面積為J5

的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于

V3八V2+Ir-

A?B.1C?---------D、J2

22

2、（2011北京文）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是（）

A.32B.16+1672C.48D.16+32

練習(xí)1：（2013山東文）一個(gè)四棱錐的各側(cè)棱長都相等，且底面是正方形，其正（主）視圖如右圖所示該四

棱錐側(cè)面積和體積分別是（）

OO

（A）4行,8（B.）475,-（C）4（V5+1）,-（D）8,8

練習(xí)2：【2012北京文理】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）

【2014重慶理】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.54B、60C.66D.72

3、（1）（2013陜西文）某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為.3萬

練習(xí)：一個(gè)幾何體的三視圖如圖，其中俯視圖與左視圖均為半徑是2的圓，則這個(gè)幾何體的表面積是（）A、

16萬B.14%C.12兀D.8%

（2）（2008山東文）右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（）

練習(xí)1：（2013臨沂二模理）某幾何體的三視圖如圖（其中側(cè)視圖中的圓弧是半圓），則該幾何體的表面積

為（）（A.）92+14萬（B）82+14〃（C）92+24%（D）82+24萬

練習(xí)2：某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）

A.5"B.6萬C、7"D.8萬

俯視困

（3）（2013福建理）已知某一多面體內(nèi)接于一個(gè)簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如

圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是12兀

練習(xí)：【2012遼寧理13】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為38

（三）三視圖中的體積問題

1、（1）（2013重慶理）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

練習(xí)1：【2012安徽文理】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于。56

練習(xí)2：【2012江西文7】若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（）

練習(xí)3：【2012天津文10】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積加330

練習(xí)4：（2011廣東理）如圖1-3,某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側(cè)視圖（左視圖）和俯視

圖都是矩形，則該幾何體的體積為（）

A.6GB.973C.12百D.18V3

正說?圖M4V.S

圖?162

（2）如圖，某幾何體的三視圖均為邊長為1的正方形，則該幾何體的體積是（）

練習(xí)1:一個(gè)直棱柱被一個(gè)平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

23

A.9B.10C、11D.—

2

練習(xí)2：（2013浙江文）己知某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則該幾何體的體積是（）

A.108cm,B、100cmC.92cmD.84cm'

練習(xí)3：（2013浙江理）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積等于cm3.24

練習(xí)4：（2014臨沂一輪文）一個(gè)直棱柱被一個(gè)平面截去一部分后，所剩幾何體的三視圖如圖所示，則凡

何體的體積為（）

23

（A9（B）10（C）ll?（D）—

2

練習(xí)5：【2014重慶文】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

A.12B.18C、24D.30

練習(xí)6：【2014安徽文】一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則多面體的體積是（)

2347

A、B.一C.6D.7

練習(xí)7：【2014上海文】在長方體中割去兩個(gè)小長方體后的幾何體的三視圖如右圖，則切割掉的兩個(gè)小長方

體的體積之和等于.（24）

練習(xí)8：【2014新課標(biāo)n文】如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,

圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件

由一個(gè)底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱

體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與

原來毛坯體積的比值為（）

2、（1）（2011廣東理）如圖1-3,某幾何體的正視圖（主視圖）,側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖分別是等腰三

角形和菱形，則該幾何體體積為（）A.4百B.4C、2百D.2

練習(xí)1：（2013北京文）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為o（3）

俯視圖fR

（2）【2012浙江文3】已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該三棱錐的體積是（）

A.lcm3B.2cm,C、3cm3D.6cm3

練習(xí)2：【2012浙江理11】已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積等于cm3.（1）

4

練習(xí)3：（2009遼寧文）設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m）。則該幾何體的體積為m3

練習(xí)4：（2013廣東文）某三棱錐的三視圖如圖2所示，則該三棱錐的體積是（）

練習(xí)5：【2012新課標(biāo)文理】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此

幾何體的體積為（）

(A)6(8)9.(C)12(018

3、（2010浙江理）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示,則此幾何體的體積是cm,

練習(xí)I：（2013廣東理）某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是（）

A.4D.6

練習(xí)2：（2014臨沂一輪理）已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖，其中俯視圖是斜邊長為2的等腰直角三角形,

該三棱錐的外接球的半徑為亞，則該三棱錐的體積為（）

4

(B)-

33

2272

(D)

0。r

jr

4、（1）（2013陜西理）某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為.（y）

練習(xí)1：【2012湖北理4】已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

.8兀CCc10兀C,

A.—B、37rC.---D.6兀

33

練習(xí)2：【2014遼寧理】某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

7171

A.8-2%B、8—%C.8----D.8-------

24

上火，用Mill

（2）[2012遼寧文13]一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（12+"）

練習(xí)1：（2013新課標(biāo)I文理）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

A>16+8萬8.8+84C.16+16萬0.8+16）

練習(xí)2：（2009山東文理）一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）.

練習(xí)3：【2012天津理】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為m3.（18+9%）

-HlhMlh-

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

練習(xí)4：（2013江西文）一幾何體的三視圖如右所示，則該幾何體的體積為（）

A、200+9萬B.200+18"C.140+9萬D.140+18〃

練習(xí)5：【2012廣東文7】某幾何體的三視圖如圖2所示，它的體積為（）

A.72兀B.48〃C、30兀D.24〃

K—6—K-6—>1

俯視圖

練習(xí)6：（2013遼寧文理）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是.（16乃-16）

練習(xí)7：【2012湖北文15】已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為.12%

練習(xí)8：（2013湖北理）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡單幾何體組成，其體積

分別記為乂，匕，匕，匕，上面兩個(gè)簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡單幾何體均為多面體，則（）

A.K<匕<匕<匕B.X〈匕〈匕〈匕C、匕＜V,〈匕＜匕D.匕＜匕＜匕＜匕

練習(xí)9：[2012廣東理6】某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（)

A.12nB.45JtC、

側(cè)視圖

練習(xí)10：（2011天津理）一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為加

練習(xí)11：【2014天津理】已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為m3.

俯視圖

練習(xí)11：【2014新課標(biāo)卷H理】如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,圖中粗線畫出的是某

零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的

體積與原來毛坯體積的比值為（）

o/7

6、一空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為16%+土，則圖中x的值為(3)

3

練習(xí)1：（2009天津文）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是3百，則。=（）

A.&B,T*也D.T

練習(xí)2：（2013臨沂二模文）多面體MAH4BCO的底面ABCO為矩形，其正視圖和側(cè)視圖如圖，其中正視圖

為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則AM的長為（）

正視圖

(A)也(B)亞(C.)V6(D)2V2

練習(xí)3：【2014北京文】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的棱長為.（2夜）

練習(xí)4：【2014新課標(biāo)卷I理】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，

則該多面體的個(gè)條棱中，最長的棱的長度為（）

A.6無B、472C.6D,4

四、立體幾何中的概念問題

1、（1）［2012安徽文15］若四面體ABC。的三組對棱都分別對應(yīng)相等，即A8=CO,AC=BD,

AD=BC,則（寫出所有正確結(jié)論編號②④⑤）。

①四面體ABCD每組對棱都相互垂直②四面體A8CO每個(gè)面的面積相等

③從四面體A6Q）每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°

④連接四面體ABCD每組對棱中點(diǎn)的線段互垂直平分

⑤從四面體A6CQ每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個(gè)三角形的三邊長

練習(xí)：若空間四邊形ABC。中，旦￡6,“分別是4氏8。,。。,。4的中點(diǎn)，（I）求證：四邊形EFGH為

平行四邊形。（II）再加條件AC=8。,判斷四邊形EFGH是什么圖形？

（2）（2013安徽文）如圖，正方體ABC。—44GA的棱長為1，_______刁。，

p為3。的中點(diǎn)，。為線段CG上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A,P,。\\rI

的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的|―-二

是（寫出所有正確命題的編號①②③⑤）。

①當(dāng)0<CQ<；時(shí)，S為四邊形；②當(dāng)CQ=g時(shí)，S為等腰梯形

313

③當(dāng)CQ=］時(shí)，S與的交點(diǎn)R滿足GR=§④當(dāng)a<CQ<l時(shí)，S為六邊形

⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為當(dāng)

練習(xí)：在正方體ABC。-4AG2中，點(diǎn)。是0A上的動(dòng)點(diǎn)，判斷過A,Q,q三點(diǎn)的截面圖形的形狀。

(矩形，正三角形，等腰梯形)

五、展開、折疊問題

1、(1)圓柱的一個(gè)底面面積為S,側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，求該圓柱的側(cè)面積。

練習(xí)1：一張長12厘米和寬8厘米的矩形鐵皮，把它圍成圓柱形的側(cè)面，求這個(gè)圓柱的體積。

練習(xí)2：一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的軸截面分別是邊長。的正方形和正三角形，求他們的表面積之比。

練習(xí)3：【2014福建文】以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所

得圓柱的側(cè)面積等于()A、2萬B.71C.2D.1

練習(xí)4：[2014陜西文】將邊長為1的正方形以其一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得集合

體的側(cè)面積是()4、4萬B.8兀Co2〃。、〃

(2)半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，求它的體積

練習(xí)1：圓錐的表面積是底面積的3倍，求該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角。

巧

練習(xí)2：【2012上海理8】若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2〃的半圓面，則該圓錐的體積為?—71

-3

練習(xí)3：將圓心角為120°,面積為3萬的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的表面積和體積.

(3)一扇形鐵皮4陷半徑好72cm,圓心角//彼=60°.現(xiàn)剪下一個(gè)扇環(huán)作圓臺形容器的側(cè)面，并從剩

下的扇形皈內(nèi)剪下一個(gè)最大的圓剛好作容器的下底(圓臺的下底大于上底)，則勿的長為一(36cm)

2、(1)圓柱的軸截面是邊長為5cm的正方形ABCD,求圓柱側(cè)面上從A到C的最短距離。

練習(xí)1：圓錐母線長為8,底面半徑為2,A是底面圓周上一點(diǎn)，從A出發(fā)將一繩子繞圓錐側(cè)面一周后再回

到A,求最短距離。

練習(xí)2：一圓臺上底半徑為5cm,下底半徑為10cm,母線AB長為20cm,其中A在上底面上，B在下底面

上，從AB中點(diǎn)M,拉一條繩子，繞圓臺的側(cè)面一周轉(zhuǎn)到B點(diǎn)，則這條繩子最短長為「(50cm)

(2)邊長為5的正方形EFGH是圓柱的軸截面，求從E點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面到相對頂點(diǎn)G的最短距離。

練習(xí)：【2012福建文19】如圖，在長方體ABCD-A|B|CQ|中，AB=AD=1,AA「2,M為棱DD】上的一點(diǎn)。

①求三棱錐A-MCC|的體積；②當(dāng)AiM+MC取得最小值時(shí)，求證：B|M,平面MAC。

3、（D如圖為正方體的平面展開圖，則①BM〃DE,②CN和BE為異面直線，③CN和BM成60°角；④DEJ_，

正確的為（③④）

練習(xí)1：右圖是正方體平面展開圖，在這個(gè)正方體中：①與EO平行；②GV與BE是異面直線；

③CN與成60°角；④OM與8N垂直.以上四個(gè)說法中，正確說法的序號依次是（34）

練習(xí)2：將無蓋正方體紙盒展開如圖，直線AB,CD在原正方體中的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交且垂直C.異面D、相交成60°

（2）將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，折后連結(jié)BD,構(gòu)成三棱錐D-ABC,若棱BD的長為

—a.則此時(shí)三棱錐D-ABC的體積是（）

2

A.gAB.3a?C、4D.一

1212

練習(xí)1：將邊長為a的正方形力沿對角線/C折起，使法&則三棱錐〃-/8C的體積為（）

C,由WD、

練習(xí)2:（2013上期末）在邊長為2的正方形中，（I）點(diǎn)￡是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將AAERADCF

分別沿。E,OF折起，使A,C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A',求證：A'D上EF;（TT）當(dāng)BE=BF=^BC

4

時(shí)，求三棱錐A—EFO的體積。

練習(xí)3：【2012浙江理10】已知矩形ABCD,AB=1,BC=后。將△沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻

折，在翻折過程中（）

A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直.

B.存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直.

C、存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直.

D.對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直

4、(1)(2011陜西文)如圖，在AABC中，ZABC=45°,ZBAC=90°,AD是BC上的高，沿AD把4

ABD折起，使NBDC=90°?(I)證明：平面ADB_L平面BDC；

(H)設(shè)BD=1,求三棱錐D—ABC的表面積。

練習(xí)：(2009福建文)如圖，平行四邊形ABC。中，ZDAB=60°,A3=2,AD=4將

\CBD沿BD折起到\EBD的位置，使平面EDBJ_平面ABD

(1)求證：ABIDE(H)求三棱錐E-ABO的側(cè)面積。

(2)[2012江西文19]如圖，在梯形ABCD中，AB〃CD,E,F是線段AB上的兩點(diǎn)，且DE_LAB,CF

±AB,AB=12,AD=5,BC=4應(yīng)，DE=4.現(xiàn)將aADE,4CFB分別沿DE,CF折起，使A,B兩點(diǎn)

重合與點(diǎn)G,得到多面體CDEFG。①求證：平面DEGJL平面CFG；②求多面體CDEFG的體積。

練習(xí)1：【2012安徽理18】平面圖形A8用AC。如圖所示，其中BBC。是矩形，BC=2,BBi=4,

AB=AC=s/2,4瓦=AG=后。現(xiàn)將該平面圖形分別沿8C和用G折疊，使A48C與A414G

所在平面都與平面34G。垂直，再分別連接Aa.BA，。,,得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖

形解答下列問題。(I)證明：AA.1BC；(II)求A4,；(Ill)求二面角A—8。一A的余弦值。

練習(xí)2：(2013廣東文)如圖4,在邊長為1的等邊三角形ABC中，E分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，AO=AE,

F是的中點(diǎn)，AF與OE交于點(diǎn)G,將A4B/沿AC折起，得到如圖5所示的三棱錐A-8CR,

/y

其中=(I)證明：DE〃平面BCF；(II)證明：。/_1_平面43尸；

2

練習(xí)3：【2014廣東文】如圖2,四邊形A8C。為矩形，P￡>_L平面ABC。，A8=1,8C=PC=2,作如圖

3折疊，折痕E尸〃。C,其中點(diǎn)分別在線段PZ),PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AO上

的點(diǎn)記為M，并且MF_LCF.

(I)證明：CF_L平面MDF;(II)求三棱錐M-C0E的體積.

5、點(diǎn)E、F分別在BC、AD上,

EF〃AB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使平面ABCDJ"平面EFDC,設(shè)AD中點(diǎn)為P.

(1)當(dāng)￡為8(3中點(diǎn)時(shí)，求證：CP〃平面ABEF；(H)設(shè)BE=X,問當(dāng)X為何值時(shí)，三棱錐A-CDF的體

積有最大值？并求出這個(gè)最大值。

2

中點(diǎn)；^BE=xMF=x(0<x<4),F￡>=6-x,^_CDf=-1(x-3)+3,x=3,max=3)

6、如圖：C、D是以AB為直徑的圓上兩點(diǎn)，AB=2AD=26,AC=BC,AF^-AB,將圓面沿直徑

3

AB折起，使點(diǎn)C在平面ABD的射影E在BD上.(I)求證平面ACDJ_平面BCD；(II)求證:

AD〃平面CEF.

練習(xí)1：已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上，A4BC是邊長為1的正三角形，SC為球0的

直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為()

，、及V3V2V2

(A)(B)—(C)—(D)—

6632

練習(xí)2：一個(gè)三棱錐的側(cè)面都是等腰直角三角形，且側(cè)棱長為a,求其內(nèi)切球的半徑。

六、距離問題

1,(2011福建文)如圖，正方體ABCD-A|B|CQ|中，AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF

〃平面ABC，則線段EF的長度等于.

練習(xí)：(2013北京文)如圖，在正方體ABC。-44GA中，尸為對角線的三等分點(diǎn)，則P到各頂點(diǎn)

的距離的不同取值有()

A.3個(gè)B、4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

2、棱長為1的正四面體內(nèi)有一點(diǎn)P,由點(diǎn)P向各面引垂線，垂線段長度分別為4,d2,4,d4,則4+42

+“3+44的值為

3、（2013江西文）如圖，直四棱柱ABCD-A|B|C|D|中，AB//CD,AD±AB,AB=2,AD=、ZAA『3,E

為CD上一點(diǎn)，DE=1,EC=3。(I)證明：BEJ_平面BBiGC;

(II)求點(diǎn)用到平面EA.C.的距離

練習(xí)1：（2013全國大綱文）四棱錐P—A3CD44,ZABC=ZBAD=90°,BC=2AD,\PAB^\PAD?

是邊長為2的等邊三角形.（I）證明：PB1CD-（II）求點(diǎn)A到平面PCD的距離.

（。到平面PCDfi勺距離"就是A到平面PCD^距離，OF，PB=\）

2

練習(xí)2：（2011全國理）已知直二面角a-/-/?,點(diǎn)Aea,AC_L/,C為垂足，Be/3,BD11,D為垂

足.若AB=2,AC=BD=1,則D到平面ABC的距離等于（）

V2V3V66亞、

A-B.C.D.1（練習(xí)3：-----）

3335

練習(xí)3：［21）14新課標(biāo)fl文】如圖，四棱錐p—ABCD中，底面ABCD為矩形，PA上面ABCD,E為PD的

點(diǎn)。（I）證明：PP〃平面AEC;（n）設(shè)置AP=1,AD=JJ,三棱錐P-ABD的體積V=——，求A

4

到平面PBC的距離。

練習(xí)4：正方體ABCD-A|B￡2的棱長為a,過頂點(diǎn)B,D,4截下一個(gè)三棱錐，求：①求此三棱錐的體積；②

以8,。,4為底面時(shí)，求此三棱錐的高。

4、（2009北京卷理）若正四棱柱48。。一446。的底面邊長為1,A4與底面ABCO成60。角，則4G

到底面ABC。的距離為（）

A.——B.1C.72D.A/3

3

練習(xí)1：（2013上海理）如圖,在長方體ABCD-A|B|CiD|中，AB=2,AD=1,A,A=1,證明直線平行于平

2

面D|AC,并求直線BQ到平面D|AC的距離.（等積法§）

練習(xí)2：【2012全國文理】正四棱柱ABC。-44GA中，AB=2,CC）=272,E為CQ的中點(diǎn)，則

直線AG與平面BE。的距離為（）

（A）2（B）V3（C）V2（D）1.

5、已知a//￡,A、Cea,B、DGd直線AB與CD交于S,

且AS=8,BS=9,CD=34,當(dāng)S在a,￡之間，求CS的長度。

練習(xí)1：a/1/3,點(diǎn)P在a,￡外一點(diǎn)，直線PABJCD交a,分別于點(diǎn)A、8和點(diǎn)C、D,若PA=4,

AB=5,PC=3,求PD

練習(xí)2：al1/3,點(diǎn)P在a,￡外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線m交a,￡于A、C點(diǎn),過點(diǎn)P作直線〃交a,

月于B、D點(diǎn)，且PA=6,AC=9,PD=8,求BD

七、面積

1、已知棱長為a,各面均為等邊三角形的四面體S-ABC,求它的表面積。

練習(xí)1：三棱錐S—ABC中，面SAB,SBC,SAC都是以S為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求AB=BC=CA=2,

求三棱錐S-ABC的表面積。

練習(xí)2：（2013上海文）如圖，正三棱錐。-ABC的底面邊

長為2,高為1,求該三棱錐的體積及表面

^O-ABC~~^~'^O-ABC=3A/5)

練習(xí)3：已知三棱錐。一ABC中，48=8。=1,4。=2,8。=后,4。=&,8。_14。,則關(guān)于該三棱錐

的下列敘述正確的為（）

A、表面積s=；（遙+2近+3）B.表面積s=；（石+2近+2）

2

C.體積V=1D.體積丫=一

3

練習(xí)4：【2014山東文】一個(gè)六棱錐的體積為2百，其底面是邊長為2的正

六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱銖的側(cè)面積為—o（12）

2、【2012湖北文19）某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部

A.

是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺A|B]GD「ABCD,上部是一個(gè)底面與四棱臺的上

底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2c2D2。①證明：直線BQi，平面ACC2A2；②現(xiàn)需

要對該零部件表面進(jìn)行防腐處理，已知AB=10,A|B|=20,AA2=30,AA(=13(單位：厘米)，每平方

厘米的加工處理費(fèi)為0.20元，需加工處理費(fèi)多少元？

練習(xí)1：已知一個(gè)四棱臺的底面為正方形，側(cè)面為全等的等腰梯形，上底面邊長為3厘米，下底面為邊長為

6厘米，側(cè)棱長為4厘米，求此四棱臺所在的四棱錐的表面積。

練習(xí)2：一個(gè)三棱臺的上、下底面是邊長分別為3厘米和6厘米的等邊三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，側(cè)

棱長都是2.5厘米，求三棱臺的全面積。

3、(1)圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，求圓柱的側(cè)面積。

練習(xí)1：【2012上海文5】一個(gè)高為2的圓柱，底面周長為2〃，該圓柱的表面積為(6兀)

練習(xí)2：【2014江蘇】設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面分別為跖，&，體積分別為％，V2,若它們的側(cè)面積相等,

且員=2,則匕?的值是.(3)

S24V2——2

(2)已知圓錐的表面積為S,且它的側(cè)面積展開圖是一個(gè)半圓，求這個(gè)圓錐的底面半徑。

(3)圓臺的上、下底面半徑分別是10和20,它的側(cè)面展開圖扇環(huán)，其圓心角為180°,求圓臺的表面積。

練習(xí)：已知圓臺的上、下底面的半徑分別為r,R,且側(cè)面積等于兩底面積之和，求圓臺的母線長。

4、(1)一個(gè)圓錐的底面半徑為R,高為3R,它的內(nèi)接圓柱的底面半徑為巳3R,求這個(gè)圓柱的全面積。

4

練習(xí)：一個(gè)圓錐的底面半徑為2,